Урок посвящен построению зубчатого колеса с эвольвентным профилем зуба. Урок состоит из двух частей. В первой части выложена теория, формулы для расчета и один из способов графического построения эвольвентного профиля зуба. Во второй части (видео) показан способ построения модели зубчатого колеса с использованием графических построений в первой части урока.
Часто задаваемые вопросы:
*Что такое эвольвента (эволюта)? *Как построить эвольвенту? *Как построить зубчатое колесо в программе SolidWorks? *Формулы для расчета зубчатого колеса? *Как нарисовать эвольвентный профиль зуба зубчатого колеса?
Итак, начнем с теории.
Эвольвентное зацепление позволяет передавать движение с постоянным передаточным отношением. Эвольвентное зацепление — зубчатое зацепление, в котором профили зубьев очерчены по эвольвенте окружности. Для этого необходимо чтобы зубья зубчатых колёс были очерчены по кривой, у которой общая нормаль, проведённая через точку касания профилей зубьев, всегда проходит через одну и туже точку на линии, соединяющей центры зубчатых колёс, называемую полюсом зацепления.
Параметры зубчатых колёс
Основной теореме зацепления удовлетворяют различные кривые, в том числе эвольвента и окружность, по которым чаще всего изготавливают профили зубьев зубчатого колеса.
В случае, если профиль зуба выполнен по эвольвенте, передача называется эвольвентной.
Для передачи больших усилий с помощью зубчатых механизмов используют зацепление Новикова, в котором профиль зуба выполнен по окружности.
Окружности, которые катятся в зацеплении без скольжения друг по другу, называются начальными(D).
Окружности, огибающие головки зубьев зубчатых колёс, называются окружностями головок(d1).
Окружности, огибающие ножки зубьев зубчатых колёс, называются окружностями ножек(d2).
Окружности, по которым катятся прямые, образующие эвольвенты зубьев первого и второго колёс, называются основными окружностями.
Окружность, которая делит зуб на головку и ножку, называется делительной окружностью (D).
Для нулевых (некорригированных) колёс начальная и делительная окружности совпадают.
Расстояние между одноимёнными точками двух соседних профилей зубьев зубчатого колеса называется шагом по соответствующей окружности.
Шаг можно определить по любой из пяти окружностей. Чаще всего используют делительный шаг p =2r/z, где z – число зубьев зубчатого колеса. Чтобы уйти от иррациональности в расчётах параметров зубчатых колёс, в рассмотрение вводят модуль, измеряемый в миллиметрах, равный
Модуль зубчатого колеса, геометрический параметр зубчатых колёс. Для прямозубых цилиндрических зубчатых колёс модуль m равен отношению диаметра делительной окружности (D) к числу зубьев z или отношению шага p к числу «пи» .
Модуль зубчатого колеса стандартизованы, что является основой для стандартизации других параметров зубчатых колёс.
Основные формулы для расчета эвольвентного зацепления:
Исходными данными для расчета как эвольвенты, так и зубчатого колеса являются следующие параметры: m — Модуль — часть диаметра делительной окружности приходящаяся на один зуб. Модуль — стандартная величина и определяется по справочникам. z — количество зубьев колеса. ?(«альфа») — угол профиля исходного контура. Угол является величиной стандартной и равной 20°.
Делительный диаметр рассчитывается по формуле:
Диаметр вершин зубьев рассчитывается по формуле:
d1=D+2m
Диаметр впадин зубьев рассчитывается по формуле:
d2=D-2*(c+m)
где с— радиальный зазор пары исходных контуров. Он определяется по формуле:
с = 0,25m
Диаметр основной окружности, развертка которой и будет составлять эвольвенту, определяется по формуле:
d3 = cos ? * D
От автора. Я нашел в интернете полезную программку в Excel 2007. Это автоматизированная табличка для расчета всех параметров прямозубого зубчатого колеса.
Скачать Скачать с зеркала
Итак, приступим к графическому построению профиля зубчатого колеса.
Изобразите делительный диаметр с диаметром D, и центром шестерни O. Окружность показана красным цветом.
Изобразите диаметр вершин зубьев (d1) с центром в точке O с радиусом большим на высоту головки зуба(зелёного цвета).
Изобразите диаметр впадин зубьев (d2) с центром в точке O с радиусом меньшим на высоту ножки зуба (голубого цвета цвета).
Проведите касательную к делительному диаметру (желтая).
В точке касания под углом ? проведите линию зацепления, оранжевого цвета.
Изобразите окружность касательную к линии зацепления, и центром в точке O. Эта окружность является основной и показана тёмно синего цвета.
Отметьте точку A на диаметре вершин зубьев.
На прямой соединяющие точки A и O отметьте точку B находящуюся на основной окружности.
Разделите расстояние AB на 3 части и отметьте, точкой C, полученное значение от точки A в сторону точки B на отрезке AB.
От точки C проведите касательную к основной окружности.
В точке касания отметьте точку D.
Разделите расстояние DC на четыре части и отметьте, точкой E, полученное значение от точки D в сторону точки C на отрезке DC.
Изобразите дугу окружности с центром в точке E, что проходит через точку C. Это будет часть одной стороны зуба, показана оранжевым.
Изобразите дугу окружности с центром в точке H, радиусом, равным толщине зуба (s). Место пересечения с делительным диаметром отметьте точкой F. Эта точка находится на другой стороне зуба.
Изобразите ось симметрии проходящую через центр О и середину расстояния FH.
Линия профиля зуба отображенная зеркально относительно этой оси и будет второй стороной зуба.
Вот и готов профиль зуба прямозубого зубчатого колеса. В этом примере использовались следующие параметры:
Модуль m=5 мм
Число зубьев z=20
Угол профиля исходного контура ?=20 0
Делительный диаметр D=100 мм
Диаметр вершин зубьевd1=110 мм
Диаметр впадин зубьевd2=87.5 мм
Толщина зубьев по делительной окружности S=7.853975 мм
На этом первая часть урока является завершенной. Во второй части (видео) мы рассмотрим как применить полученный профиль зуба для построения модели зубчатого колеса. Для полного ознакомления с данной темой («зубчатые колеса и зубчатые зацепления», а также «динамические сопряжения в SolidWorks») необходимо вместе с изучением этого урока изучать урок №24.
Еще скажу пару слов о специальной программе, производящей расчет зубчатых колес и генерацию модели зубчатого колеса для SolidWorks. Это программа Camnetics GearTrax.
P.S.(16.03.2010) Скачать Camnetics GearTrax
А теперь переходим с следующей части урока.
Скачать 2-ю часть урока №30 Скачать с зеркала
Комментарии
Поиск
RSS
—>
Анонимно
| Ваш IP адрес194.213.23.xxx | 2010-09-21 17:19:38
СПАСИБО
—>
Валерий — Урок №30
| Ваш IP адрес109.167.112.xxx | 2011-03-01 04:09:50
Прекрасный урок, только откуда берётся толщина зуба (s) я так и не понял. Поясните пожалуйста.
—>
admin — Толщина зуба
| SAdministrator | 2011-03-01 18:20:59
Толщина зуба по делительной окружности:
Более подробно познакомиться с основными определениями и расчетными зависимостями можно в литературе ГОСТ 16530-83.
—>
admin — Толщина зуба
| SAdministrator | 2011-03-01 20:22:39
Извините, Валерий, я ввел Вас в заблуждение. (Поспешил и скопировал с другого сайта формулы не проверяя их. )
На самом деле так:
Толщина зуба по дуге делительной окружности
s = Пи*m/2 = 1.57 m = 1.57 * 5 = 7.85
Я предыдущие удалю, чтобы не путать людей.
А r=50 — это делительний радиус (r=D/2)
—>
Александр — Зубчатое
| Ваш IP адрес94.73.248.xxx | 2011-04-11 20:18:18
Скажите пожалуйста, как Вы сделали линии разнымим цветами, спасибо..
—>
admin — Разные цвета
| SAdministrator | 2011-04-11 20:30:10
На панели инструментов «Форматирование» есть кнопка «цвет линии», вот с ее помошью это и сделано.
—>
Анонимно
| Ваш IP адрес188.124.104.xxx | 2011-05-18 18:00:49
спасибо за статью
—>
sergoll — внутренняя эвольвента
| Registered | 2011-06-15 12:30:51
спасибо за статью, а можете подсказать как построить эвольвентный зуб на внутренней поверхности планетарной шестерни. и ещё я пришёл к выводу что невозможно взять произвольный размер D . исходя из этого получается что должны быть какие то стандарты основных диаметров шестерён так ли это?
—>
vovashka288
| Registered | 2012-11-17 07:40:00
у вас как-то цвет из темно синего в бирюзовый превратился
—>
admin — Цветовое восприятие
| SAdministrator | 2012-11-17 13:32:53
Где Вы видите «бирюзовый»? (Мне когда-то один заказчик тоже говорил, что у него дом цвета «канарейки» . Этот урок просмотрен 51445 раз, но по цветам еще никто не «возмущался». Будете первым!
—>
vovashka288
| Registered | 2012-12-05 11:40:05
у вас диаметр впадин(d2) зубьев меняет цвет c темно синего на бирюзовый, а не цвет канарейки(а как правильно чертить посмотрите на википедии) у вас дажепереходной поверхности зуба не отраженоhttp://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Unwin%27s_Construction_7.svg&page;=1&uselang;=ru
—>
admin — Цвет диаметра впадин d2
| SAdministrator | 2012-12-05 12:55:10
vovashka288, за цвет приношу извинения — исправил (05-12-2012). А по поводу переходной поверхности и википедии — читайте заголовок: «Построение эвольвенты зубчатого колеса (упрощенный способ)».
Даже колеса в библиотеке SolidWorks прорисованы упрощенно. При изготовлении зубчатых колес (если Вы знаете) используется зуборезной инструмент (долбежка, фрезеровка, шлифовка). Этот инструмент уже профилирован, тем более зубчатые шестерни стандартизированы.
Но если Вам нужен способ прорисовки оригинальной эвольвенты — я позвоню своей знакомой (учился с ней в Политехническом) и попрошу найти мою работу по начертательной геометрии — где я прорисовывал эвольвенту прямозубого зубчатого колеса.
Но за критику благодарю — меня это делает сильнее! С ув. Петр Марценюк
—>
vovashka288
| Registered | 2013-03-23 09:36:56
на рисунке модуль и высота головки одно и тоже, это как понять?
—>
admin — re:
| SAdministrator | 2013-04-26 22:21:16
Высота головки нормальных зубчатых колес равна модулю.
Как построить точный профиль зуба?
При вращении шестерни и находящегося в зацеплении с ней зубчатого колеса происходит неприметная глазу удивительная вещь. При контакте боковых поверхностей зуба шестерни и зуба колеса почти отсутствует скольжение! Профиль зуба шестерни катится.
. с небольшой пробуксовкой по профилю зуба колеса!
Почему и как такое возможно? Потому, что рабочие поверхности зубьев представляют собой боковые поверхности эвольвентных цилиндров. Торец колеса (точнее — части зуба) является основанием этого цилиндра. Пересечение торцевой плоскости и вышеуказанного цилиндра – это кривая, именуемая эвольвентой.
Современная наука считает «отцом эволют и эвольвент» гениального голландского ученого Христиана Гюйгенса. Теорию этих кривых Гюйгенс открыл (или создал) в 1654 году.
Когда тебе 17 лет, то 1654 год кажется невероятно далеким. Но сегодня, когда мне гораздо больше лет, я понимаю, что моя бабушка 1892 года рождения видела и слышала в своем детстве стариков – современников Пушкина, и даже, возможно, Наполеона — и вот от начала 21-ого века до первой половины 19-ого уже «рукой подать». Глаза близкого мне человека, в которые я смотрел много раз, видели людей, живших в первой половине 19-ого века. Невероятно! А там, еще столько же и — времена Гюйгенса…
Минимизация скольжения в зубчатом зацеплении обеспечивает очень высокий КПД передачи и существенно уменьшенный износ профилей зубьев потому, что коэффициент трения качения как минимум на порядок меньше коэффициента трения скольжения.
Как построить просто эвольвенту окружности знают все инженеры и математики. Как построить профиль зуба с эвольвентой и переходной кривой, судя по форумам Интернета, знают единицы.
Кому и зачем это нужно?
Во-первых, студентам машиностроительных специальностей для выполнения курсовых работ по теории механизмов и машин.
Во-вторых, конструкторам приводов и режущих инструментов.
В-третьих, изготовителям зубчатых колес на плазморежущих, электроэрозионных и лазерных станках.
Именно третьей группе, я надеюсь, будет особенно полезен представленный далее алгоритм.
Расчет в Excel координат точек профиля зуба.
Для выполнения громоздких и достаточно сложных расчетов запускаем программу MS Excel. Выполнить этот расчет можно и в программе Calc из бесплатных офисных пакетовApache OpenOffice илиLibreOffice.
Представленный далее алгоритм расчета адаптирован для колес с наружными зубьями. Для колес с внутренними зубьями его можно применить после незначительных поправок.
Для косозубых колес профиль строится для торцевого сечения.
Исходные данные:
Профиль зуба будем «нарезать» реечным инструментом – гребенкой или червячной фрезой. Параметры и коэффициенты исходного контура возьмем по ГОСТ13755-81. Посмотреть на чертеж исходной рейки и понять, что это такое можно здесь.
Первые четыре параметра в ячейках D3-D6 характеризуют исходный контур.
Следующие пять исходных данных в ячейках D7-D11 являются «паспортом» зубчатого колеса, представляя о нем исчерпывающую информацию.
Алгоритм расчетов:
Результаты расчетов угла профиля и всех диаметров получены по следующим формулам:
10.αt=arctg (tg (α)/cos (β))
11.dа=d+2*m*(ha* +x—Δy)
12.d=m*z/cos (β)
13.db=d*cos (αt)
14.df=dа-2*m*(2* ha* + c* —Δy )
Часть профиля зуба – это эвольвента основной окружности диаметром db. Таким образом, эвольвента может существовать в зубчатом колесе от диаметра основной окружности до диаметра вершин зубьев!
Вторая часть профиля зуба – переходная кривая от эвольвенты до диаметра впадин.
Я выбрал количество точек n каждой из кривых для своего примера равное 100, посчитав его достаточным для требующейся точности построения. Если вы захотите его изменить, то вам нужно будет соответственно расширить или сузить таблицу «Координаты точек профиля зуба», которая сдержит 100 строк ( imax=n ).
Результаты вспомогательных констант определены по формулам:
16.D=2* m *(( z /(2*cos (β)) — (1- x )) 2 +((1- x )/tg (αt)) 2 ) 0,5
17.hdy=( da — db )/( n -1)
18. hγ= γ1/( n -1)
19. hda=2* Xэ1/( n -1)
20. C=(π/2+2* x *tg ( α ))/ z +tg (αt) —αt
21. y0=1- (ρf* )*sin (αt) — x
22. x0=π/(4*cos (β))+(ρf* )*cos (αt)+tg (αt)
Подготовка завершена, можно выполнить расчет в Excel промежуточных данных и непосредственно координат точек профиля зуба.
Значения в таблице рассчитаны по формулам:
γ1=π/2-αt
γ(i+1)=γi— hγ
Ai = z /(2*cos(β)) —y0— (ρf* )*cos (γi)
Bi = y0 *tg(γi))+(ρf* )*sin (γi)
φi=(2*cos(β)/ z )*( x0+ y0 *tg (γi))
Yэi=( dyi /2)*cos ( Di )
Xэi= Yэi*tg ( Di )
Yпкi=( Ai *cos (φi)+ Bi *sin (φi))* m
Xпкi=( Ai *sin (φi) -Bi*cos (φi))* m
Xda1 =- Xэ1
Xda (i+1) = Xdai + hda
Ydai =((dа/2) 2 —Xdai 2 ) 0,5
После того, как расчет в Excel выполнен, запускаем мастера диаграмм и строим точечные графики по полученным координатам. О том, как это делается подробно описано тут.
На скриншоте выше синим цветом показан наружный диаметр, темно-синим изображены эвольвенты, лиловым – переходные кривые.
Оси X и Y пересекаются в центре колеса — это точка начала координат.
Excel построил профиль зуба! Задача решена.
Изменяя исходные данные можно мгновенно оценить визуально изменения профиля зуба и увидеть подрезку ножки или заострение вершины при применении смещения контура.
Итоги.
Для того чтобы начертить полный реальный контур зубчатого колеса следует взять координаты точек профиля одного зуба и в любой доступной CAD-программе по этим точкам построить сплайн. Затем нужно размножить его по окружности на количество зубьев, достроить диаметр впадин и получить DXF-чертеж. Имея чертеж, легко написать управляющую программу для станка с ЧПУ и изготовить деталь.
Многие CAD-программы могут выдать чертеж контура зубчатого колеса и без описанных действий, но контур, к сожалению, в большинстве случаев не будет реальным!
Есть интересная программа Gear Template Generator, которая генерирует DXF-файлы контуров зубчатых колес (http://woodgears.ca/gear/index.html). Однако исходные данные для построений какие-то нетрадиционные… да и впадины зубьев — без радиального зазора.
Хочу отметить, что предлагаемый к скачиванию файл Excel с расчетами профиля зуба в данном случае не является полноценной программой и требует от пользователя при работе основополагающих знаний MS Excel и понимания геометрии задачи.
В частности, меняя исходные данные, придется вручную подстраивать шкалы осей и следить за тем, чтобы масштаб по оси X был равен масштабу по оси Y (сетка линий должна образовывать квадратики, а не прямоугольники). Точку сопряжения эвольвенты и переходной кривой при переносе координат в CAD-программу придется корректировать вручную, обрезая ненужные части кривых.
Представленный алгоритм был написан (страшно подумать) в 1992 году для программируемого калькулятора и предназначался для вычерчивания на кульмане чертежей контрольных экранов для оптико-шлифовальных станков.
ПрошуУВАЖАЮЩИХтруд автора скачать файлПОСЛЕ ПОДПИСКИна анонсы статей.
Ссылка на скачивание файла с расчетами: profil-zuba (xls 107KB).
Уважаемые читатели, прошу вопросы, отзывы, и замечания писать в комментариях внизу страницы.
На блоге есть несколько статей, посвященных зубчатым (и не только) передачам. Найти их проще всего перейдя на страницу «Все статьи блога» по ссылке, расположенной ниже:
Уравнение эвольвенты зубчатого колеса в параметрическом виде
Сопряженные поверхности – поверхности, которые постоянно или с определенной периодичностью входят в зацепление друг с другом.
По отношению к начальным окружностям сопряженные поверхности могут занимать различные положения. Правильным положением является то, которое удовлетворяет основной теореме зацепления, теореме о мгновенном передаточном отношении, которое формулируется следующим образом:
Общая нормаль, проведенная в точке контакта сопряженных поверхностей, проходит через линию центров О1О2и делит эту линию на части, обратно пропорциональные отношению угловых скоростей.
«-» если зацепление внешнее;
«+» если зацепление внутреннее;
Сопряженные профили должны удовлетворять следующим требованиям:
1. быть простыми в изготовлении (технологичными);
2. иметь высокий КПД.
Таким требованиям удовлетворят эвольвентные профили.
4.3 Эвольвента и ее свойства.
Эвольвента образуется путем перекатывания производящей прямой KyNy без скольжения по основной окружности радиуса rb .
Радиус произвольной окружности – ry . ONy || t t
Из треугольника ONyKy следует, что
Т.к. KyNy перекатывается без скольжения по основной окружности, то
Уравнения (1) И (2) являются уравнениями эвольвенты в параметрической форме.
a у – угол профиля эвольвенты для точки Ку , лежащей на произвольной окружности.
a – угол профиля эвольвенты для точки К , лежащей на делительной окружности радиуса r .
Угол профиля эвольвенты для точки Кb , лежащей на основной окружности, равен нулю: a b =0 .
1. Форма эвольвенты зависит от радиуса основной окружности. При стремлении rb ,эвольвента превращается в прямую линию (пример рейка).
2. Производящая прямая KyNy является нормалью к эвольвенте в данной тоске.
3. Эвольвента начинается от основной окружности. Внутри основной окружности точек эвольвенты нет.
4.4 Элементы эвольвентного зубчатого колеса (рис.8-86).
Делительной окружностью называется окружность стандартных шага р , модуля m и угла профиля a .
Шаг – расстояние между одноименными точками двух соседних профилей зубьев, измеренные по дуге соответствующей окружности.
Модулем называется часть диаметра делительной окружности, приходящаяся на один зуб.
Модуль m, [мм] – стандартная величина и определяется по справочникам, исходя из трех рядов:
1 ряд – наиболее предпочтительный;
2 ряд – средней предпочтительности;
3 ряд – наименее предпочтительный.
Модуль является масштабным фактором высоты зуба. Чем больше модуль, тем выше высота зуба, тем больше плечо силы P, вызывающей изгибные напряжения у основания зуба.
Угол профиля – угол между касательной к эвольвенте в данной точке и радиус-вектором этой точки (см. чертеж эвольвенты).
Угол профиля для точки, лежащей на делительной окружности, является величиной стандартной и равной 20 о (хотя лучше 25 о ).
1.Основные расчетные зависимости для определения параметров эвольвентного зубчатого колеса.
Рис.8-86. Элементы и основные параметры эвольвентного прямозубого колеса.
Из (1) следует, что радиус делительной окружности
;(3)
модуль по ГОСТу определяется
(5)
à
(6)
по основной окружности
a y = 0 à pb = p cos 20 o (7)
2.Виды зубчатых колес.
где Δ – коэффициент изменения толщины зуба .
В зависимости от знака коэффициента Δ различают виды зубчатых колес:
1. Δ = 0 s = e = p/2 нулевое зубчатое колесо;
2. Δ > 0 s > e положительное зубчатое колесо;
3. Δотрицательное зубчатое колесо.
4. Эвольвентная зубчатая передача и ее свойства (рис. 11-86).
ym — воспринимаемое смещение; C — радиальный зазор;
Р — полюс зацепления; rw1, rw2— радиусы начальных окружностей;
φα1— угол торцевого перекрытия зубчатого колеса.
Рис.11-86. Элементы и основные параметры эвольвентной зубчатой передачи
Эвольвентную зубчатую передачу составляют, как минимум, из 2-х зубчатых колес, при этом в рассмотрение вводится две начальные окружности радиусами rw1 и rw2 .
Меньшее зубчатое колесо в обычной понижающей зубчатой передаче называется шестерня .
Вместо производящей прямой здесь вводится в рассмотрение линия зацепления N1N2 , которая одновременно касается 2-х основных окружностей rb1 и rb2 .
Линия зацепления является геометрическим местом точек контакта сопряженных эвольвентных профилей. В точке В1 пара эвольвент, которые в данный момент времени контактируют в точке К , вошли в зацепление. В точке В2 эта же пара эвольвент из зацепления выходят.
На линии зацепления N1N2 все взаимодействующие эвольвенты при зацеплении касаются друг друга. Вне участка N1N2 эвольвенты пересекаются, и если такое случится, то произойдет заклинивание зубчатого колеса (9-86).
Рис.9-86. Интерференция эвольвет при внешнем зацеплении
а) интерференция эвольвет
Для передачи, составленной из нулевых зубчатых колес a w =20 o
Для передачи, составленной из положительных з. к. a w >20 o
Для передачи, составленной из отрицательных з. к. a w o
c=c*.m — радиальный зазор , величина стандартная, необходим для нормального обеспечения смазки.
c* — коэффициент радиального зазора , по ГОСТ c * =0.25 (c * =0.35).
Расстояние между делительными окружностями у . m – это воспринимаемое смещение.
у – коэффициент воспринимаемого смещения , он имеет знак, и в зависимости от знака различают:
1. у=0 у . m=0 – нулевая зубчатая передача;
2. у>0 у . m>0 – положительная зубчатая передача;
3. у . m – отрицательная зубчатая передача;
Свойства эвольвентного зацепления .
1. Эвольвентное зацепление молочувствительно к погрешностям изготовления, т.е. при отклонении межосевого расстояния от номинала передаточное отношение зубчатой передачи не изменится.
2. Линия зацепления N1N2 является общей нормалью к сопряженным эвольвентным профилям.
3. Контакт эвольвент осуществляется только на линии зацепления.
Урок посвящен построению зубчатого колеса с эвольвентным профилем зуба. Урок состоит из двух частей. В первой части выложена теория, формулы для расчета и один из способов графического построения эвольвентного профиля зуба.
r/z, где z – число зубьев зубчатого колеса. Чтобы уйти от иррациональности в расчётах параметров зубчатых колёс, в рассмотрение вводят модуль, измеряемый в миллиметрах, равный
При вращении шестерни и находящегося в зацеплении с ней зубчатого колеса происходит неприметная глазу удивительная вещь. При контакте боковых поверхностей зуба шестерни и зуба колеса почти отсутствует скольжение! Профиль зуба шестерни катится.
; 
(3)
(5)
à 
(6)