Уравнение эйлера для динамических нагнетателей

Уравнение Эйлера для работы лопастного колеса

Для определения суммарного момента реакции лопаток рабочего колеса при взаимодействии их с потоком жидкости воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения. Согласно этой теореме при установившемся движении изменение момента количества движения потока жидкости, проходящее через рабочее колесо нагнетателя в единицу времени, равно моменту сил реакции лопаток.

Применяя данную теорему к движению жидкости через рабочее колесо нагнетателя, допустим, что это движение установившееся, струйное, без гидравлических потерь. Рассмотрим изменение момента количества движения, массы жидкости за 1с. При этом масса участвующей в движении жидкости можно определить по следующей зависимости:

(2.15)

где, – плотность жидкости;

Q – подача нагнетателя.

Момент количества движения относительно оси рабочего колеса во входном сечении при скорости движения в этом сечении C₁ (рисунок 2.3), можно определить по следующей зависимости:

M₁= Qc₁r₁

А момент количества движения на выходе из рабочего колеса – по следующей зависимости:

M₂= Qc₂r₂

r₁ и r₂ — расстояния от оси колеса до вектора входной и выходной скоростей.

Сумма моментов сил, действующих на лопатку рабочего колеса нагнетателя спроецированных на радиус определяют по следующей зависимости:

, а

(2.16)

С другой стороны на массу жидкости, заполняющей межлопастные каналы рабочего колеса, действуют 4 группы внешних сил: сила тяжести, силы давления в сечениях (входа-выхода), динамические силы (центробежные силы) со стороны рабочего колеса и силы трения жидкости на обтекаемых поверхностях

где, М_G – момент силы тяжести;

М_P – момент сил давления;

М_К – момент от динамических сил.

Момент силы тяжести всегда равен 0, так как плечо этих сил равно 0 (они проходят через ось вращения колеса). Момент сил давления в расчетных сечениях по той же причине равен 0. А поскольку силами трения пренебрегают, то момент сил трения тоже равен 0. Следовательно, момент всех внешних сил относительно оси вращения колеса сводится к моменту динамического взаимодействия рабочего колеса на протекающую через него жидкость, т.е.

(2.17)

Известно, что мощность, передаваемая жидкости рабочим колесом, т.е. произведение на окружную скорость w₀ равна произведению расхода Q на теоретическое давление P_т, создаваемое нагнетателем.

_, (2.18)

Следовательно, уравнение (2.16) с учетом выражений (2.17) и (2.18) будет иметь вид

(2.19)

Известно, что окружные скорости u₁ и u₂ можно представить в виде:

(2.20)

из этого следует

_;

Подставив выражения в (2.19) и (2.20) и разделив его на Q, получим

(2.21)

или с учетом того, что или P= gH, уравнение (2.21) примет вид:

(2.22)

Зависимость (2.22) называют основным уравнением лопастных нагнетателей или уравнением Эйлера.

Уравнения (2.21) и (2.22) выведены из условия пренебрежения силами трения и учетом того, что рабочее колесо имеет бесконечное число тонких лопаток (z= ).

Известно, что в рабочее колеса большинства центробежных нагнетателей жидкость поступает радиально (a=90 0 , следовательно, с₁=0) поэтому уравнение (2.21) и (2.22) можно записать в виде:

(2.23)

(2.24)

Для осевых нагнетателей в силу того, что переносные (окружные) скорости на входе и выходе одинаковы уравнение (2.22) имеет вид:

(2.25)

Основное уравнение лопастного нагнетателя показывает, что теоретическое давление и напор, тем больше, чем больше окружная скорость на внешней окружности рабочего колеса u=pD₂n, т.е. чем больше его диаметр, частота вращения и угол b₂.

2.4 Влияние угла (β₂) выхода потока на напор нагнетателя

Угол выхода потока b₂ зависит от формы лопаток. Существуют три вида лопаток: загнутые (по ходу вращения) назад; с радиальным выходом; загнутые вперед.

в)

Рис. 2.5. Зависимость угла выходы от формы лопаток.

При равных геометрических размерах колес и постоянном значении u₂ c возрастанием b₂ увеличивается окружная составляющая абсолютной скорости с_w. Следовательно, с увеличением b₂ напор насоса увеличивается и у рабочего колеса с лопатками, загнутыми вперед, он будет наибольшим. Однако в практике насосостроения чаще используют рабочие колеса с лопатками, загнутыми назад. Это объясняется следующими причинами:

1. Основным назначением нагнетателей является создание статистического напора, а колеса с лопатками загнутыми вперед обладают малым коэффициентом статического напора (k_с 0,5), (k= )

Основное увеличение напора у них происходит за счет возрастания динамической составляющей скорости (с₂).

2. Лопатки, загнутые назад, с гидродинамической точки зрения более удобообтекаемые при переменном режиме работы нагнетателей, диапазон скоростей безотрывного обтекания значительно шире. Следовательно, гидравлические потери при движении жидкой среды по каналам будут меньше, а КПД насоса выше. Обычно принимают следующие значения углов входа и выхода для лопаток, загнутых назад:

Действительное давление и напор, развиваемый нагнетателем, меньше теоретических. Давление, развиваемое нагнетателем, уменьшается главным образом из-за того, что при конечном числе лопастей рабочего колеса не все частицы жидкости отклоняются равномерно, вследствие чего уменьшается абсолютная скорость (с₂). Влияние конечного числа лопастей учитывается введением поправочного коэффициента К,

(2.26)

Z – число лопастей рабочего колеса нагнетателя.

Кроме того, часть энергии расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений, которые учитываются гидравлическим КПД.

(2.27)

С учетом этих поправок полное давление определяют следующим выражением:

(2.28)

(2.29)

Угол a₂ принимают обычно в пределах 8-14 0 .

Полное давление (напор) можно выразить в виде зависимости от абсолютной, переносной и относительной скоростей потока. Для этого еще раз воспользуемся треугольником скоростей (см. рис.2.4)

Согласно теореме косинусов имеем:

(2.30)

и подставив в уравнение (2.69), вместо значения

(2.31)

Из уравнения видно, что давление, создаваемое нагнетателем, складывается из прироста кинетической энергии абсолютного движения, повышения статического давления от работы центробежных сил и преобразования кинетической энергии относительного движения в межлопасных каналах.

Отношение скорости закручивания к окружной скорости называется коэффициентом закручиванияj.

Отношение полного давления P_Т к динамическому P_d= , где скорость потока равна окружной скорости U₂, получило название коэффициентаполного давления ψ, который определяют опытным путем.

Динамические уравнения Эйлера

Динамические уравнения Эйлера

• Динамическое уравнение Эйлера для вращения объекта вокруг неподвижной точки под действием силы можно вывести из теоремы об изменении момента движения. Согласно этой теореме, dKoldt = L ^>, (10) Где Ko — момент движения тела относительно неподвижной точки от вращения тела относительно инерциальной системы отсчета. D> | = X — векторная сумма моментов Т внешней силы, действующей на тело (рис. 135). Среди внешних сил есть сила реакции в фиксированной точке.

Когда снаряд находится в движении, его центр тяжести движется так, как если бы в нем была сосредоточена вся масса тела и к нему были приложены все действующие на снаряд внешние силы. Людмила Фирмаль

Когда (10) представляется проекцией на инерциальную (фиксированную) координатную ось, моменты, которые меняются со временем, в зависимости от конкретного случая основных (3) и (4) главных осей, через Kx, Ku, K В том числе обычное уравнение инерции. Это расчет, который уже должен знать движение тела, и сам должен определяться силой, данной. Чтобы избежать этого, Эйлер предложил проецировать вектор (10) на движущуюся ось координат, прикрепленную к вращающемуся телу.

• Для таких осей момент инерции не зависит от времени. Подготовьте векторное уравнение (10) для проекции на оси подвижных координат, закрепленных на движущемся объекте. По этой причине абсолютная производная по времени от момента движения должна быть выражена как относительная производная по формуле Бора. + К. Болезнь.

Это связано с тем, что система перемещения осей координат имеет ту же угловую скорость, что и само тело, с которым эти оси связаны. Представлено векторное поколение для удобства проецирования Удалить вектор в виде определителя, затем развернуть до элементов первой строки, т.е. | J K I шхко = тсс шу юг = / (шу ^ 1-шхх) + | к * к, кг я + j (azKx-axKz) + H (axKy-ayKx), (12) где i, j и H — единичные векторы, ориентированные вдоль осей координат движущейся системы координат.

В разделе упражнений будет показано, что систему векторов можно всегда привести к таким двум векторам, из которых Ъдин лежит на произвольной прямой, не параллельной главному вектору. Людмила Фирмаль

Используйте уравнение (I) для выражения теоремы об изменении момента движения (10) в следующем виде: Рисунок 135 В проекции на ось подвижной координаты, прикрепленной к вращающемуся телу, с учетом (10 ‘) — (12), ^ + — (15) sog = f cos6 4-f, Это представляет проекцию угловой скорости вращения объекта на движущиеся координатные оси, прикрепленные к объекту через углы Эйлера f, 6, f и их производные по времени.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Уравнение Эйлера

Жидкость, перекачиваемая под действием центробежной силы насосом, при прохождении через межлопаточные пространства (каналы) рабочего колеса приобретает как потенциальную, так и кинетическую энергию.

На рис. 2.25 изображена схема изменения направления скоростей на рабочем колесе при входе жидкости на рабочую лопатку и выходе с нее. Энергия в потоке жидкости увеличивается в результате силового воздействия лопаток колеса на жидкость и соответствующего расхода энергии двигателя, приводящего насос в действие. Напор, развиваемый насосом, может характеризовать удельную энергию, т. е. энергию, приобретенную единицей массы жидкости.

Рис. 2.25. Схема изменения направления скоростей на рабочем колесе насоса

Эйлер вывел уравнение для определения теоретического напора при следующих допущениях: а) перекачиваемая жидкость является идеальной (при ее протекании через проточную часть насоса исключаются гидравлические сопротивления); б) рассматриваемый насос имеет бесконечно большое число лопаток, благодаря чему все частицы жидкости движутся внутри колеса по одинаковым траекториям, имеющим очертания лопаток.

Бесконечное число лопаток дает бесконечно узкий канал для прохода жидкости и обеспечивает ламинарный характер течения жидкости, что упрощает построение векторной диаграммы на выходе. Допустим, что за 1 с через колесо протекает масса жидкости т. При входе в лопаточное колесо частица жидкости получает окружную скорость направленную по касательной к окружности входных кромок и равную u1 = 0,5ωD1, где ω — угловая скорость колеса насоса (по часовой стрелке); D1 — диаметр внутренней окружности колеса. Кроме того, жидкость получает относительную скорость ω1 которая направлена по касательной к контуру лопатки от положения входа.

Абсолютная скорость с1 может быть найдена построением параллелограмма, сторонами которого являются векторы скорости u1 и ω1. После того как частица жидкости совершила путь вдоль лопаток колеса, при выходе она будет иметь окружную скорость u2, направленную по касательной к наружному контуру колеса, и относительную ω2, направленную по касательной к контуру лопатки. Построив параллелограмм, можно найти абсолютную скорость выхода с2. Напор Ht∞ (t — идеальная жидкость; ∞ — бесконечно большое число лопаток) определяется на основании закона, известного из теоретической механики, по которому приращение момента количества движения материальной системы относительно данной оси за некоторый промежуток времени равно моменту импульса всех внешних сил за тот же промежуток времени (например, за 1 с).

Количество движения массы жидкости при входе равно произведению массы на скорость F1 = mc1, а при выходе F2 = mс2. Момент количества движения массы жидкости при входе равен 0,5mc1D1 cos α1, момент количества движения массы жидкости при выходе 0,5mc2D2 cos α2, где α1, α2 — углы между направлениями абсолютной и окружной скоростей. Момент импульса внешних сил равен разности моментов количества движения М = 0,5 (mc2D2 cos α2 — mc1D1 cos α1). Для упрощения обе части уравнения умножим на угловую скорость и разделим на массу, а левую часть разделим и умножим на ускорение свободного падения:
Mωg/(mg) = 0,5 (ωc2D2 cos α2 — mc1D1 cos α1. (2.6)
Известно, что мощность равна произведению угловой скорости и момента импульса внешних сил: N = ωМ. Если мощность выразить через теоретический напор, то она равна N = mgHt∞, откуда
Ht∞ = N/(mg). (2.7)
Заменяя в уравнении (2.6) произведение Мω на N и помня, что u1 = 0,5ω1D1 и u2 = 0,5ω2D2, получаем N/(mg) = (c2u2 cos α2 —с1u1 cos α1)/g. С учетом равенства (2.7) теоретический напор определится из выражения Ht∞ = (c2u2 cos α2 — c1u1 cos α1)/g.

Полный теоретический напор равен сумме статического и динамического напоров: Ht∞ = Hст + Hдин. Это очевидно из другого уравнения Эйлера, полученного через уравнение Бернулли: Ht∞ = Hст + Hдин = (n2 — u1)/(2g) + (w1 — w2)/(2g) + (c2—c1)/(2g).

Так как проекция абсолютной скорости на направление окружной скорости u2 представляет собой тангенциальную составляющую абсолютной выходной скорости с2, то она вычисляется по выражению c2u = с2 cos a2. Ввиду того что у большинства центробежных насосов отсутствуют направляющие аппараты при входе жидкости на лопатки и во избежание больших гидравлических потерь от ударов жидкости о лопатки угол ах принято выбирать равным 90°. Но cos 90° = 0, следовательно, c1u1 cos а1 = = 0. Таким образом, получаем основное уравнение центробежного насоса, или уравнение Эйлера:
Ht∞ = u2c2 cos a2/g = u2c2u/g. (2.8)
Основные уравнения для получения теоретического напора Ht в центробежном насосе были получены при условии, что траектория каждой частицы жидкости, движущейся по рабочему колесу, совпадает с профилем лопатки. Это было бы возможно лишь в том случае, когда каждая элементарная струйка направлялась бы двумя бесконечно тонкими лопатками, которых потребовалось бы бесконечно большое число. В действительном насосе число лопаток ограничено и они имеют определенную толщину. Это приводит к искажению треугольников скоростей, пересечению струек жидкости и образованию различных завихрений. Затраты на эти потери энергия снижают создаваемый напор на величину коэффициента φ = 1/<1 + 2 /z·1/[1 — (γ1/γ2)2]>, где ψ — технологический коэффициент, который зависит от степени обработки проточной части и угла β2 между направлениями относительной и окружной скоростей, находится по соотношению ψ= (0,55÷0,65) + 0,6 sin β1 ≈ 0,8÷1,3; z = 6÷9 — число лопастей судового насоса.

Для получения действительного напора необходимо учитывать также потери на преодоление гидравлических сопротивлений в насосе. Тогда (2.8) может быть преобразована в формулу действительного напора Hд = Ht∞φηr=u2c2uφηr/g.