Уравнение эйлера для функции лагранжа

эйлера -лагранжа уравнение

ЭЙЛЕРА -ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЕ -необходимое условие экстремума в задачах вариационного исчисления, полученное Л. Эйлером в 1744. Впоследствии, используя другой метод, это ур-ние вывел Ж. Лагранж (J. Lagrange) в 1759.

Пусть поставлена задача вариац. исчисления, состоящая в определении экстремума функционала

при известных условиях на концах

И пусть непрерывно дифференцируемая ф-ция x(t), есть решение задачи (1), (2). Тогда x(t)удовлетворяет Э.- Л. у.:

Ур-ние (3) можно записать в развёрнутом виде:

Гладкое решение ур-ния (3) [или (4)] наз. экстремалью. Если F xx =0 в точке (t, х), лежащей на экстремали, то в этой точке экстремаль имеет непрерывную 2-ю производную х. Экстремаль, во всех точках к-ройназ. неособенной. Для неособенной экстремали Э.- Л. у. можно записать в виде, разрешённом относительно 2-й производной х.

Решение вариац. задачи (1), (2) необязательно должно быть непрерывно дифференцируемым. В общем случае оптимальное решение x(t) может быть кусочно дифференцируемой ф-цией. Тогда в угл. точках х (t) должны выполняться необходимые условия Вейерштрасса — Эрдмана, обеспечивающие непрерывность при переходе через угл. точку выраженийа на отрезках между соседними угл. точками ф-ция должна удовлетворять

Э—Л. у. Кусочно гладкие линии, составленные из кусков экстремалей и удовлетворяющие в угл. точках условиям Вейерштрасса-Эрдмана, наз. ломаными экстремалями.

В общем случае дифференциальное Э.- Л. у. является ур-нием 2-го порядка и, следовательно, его общее решение зависит от двух произвольных постоянных

Эти произвольные постоянные можно определить из граничных условий (2):

Если рассматривается функционал, зависящий от неск. ф-ций,

то вместо одного Э.- Л. у. приходят к системе n Э—Л. у.:

Общее решение системы (7) зависит от 2n произвольных постоянных, к-рые определяются из заданных 2n граничных условий (для задачи с закреплёнными концами).

В случае вариац. задач с подвижными концами, в к-рых левый и правый концы экстремали могут смещаться по нек-рым заданным гиперповерхностям, недостающие граничные условия, позволяющие получить замкнутую систему соотношений типа (5), определяются с помощью необходимого условия трансверсальности. Для простейшей задачи типа (1), в к-рой точка

не фиксируется, а может принадлежать нек-рому множеству, условие трансверсальности записывается в виде

оно должно выполняться при любых значениях дифференциалов dt 1 , dx 1 , dt 2 , dx 2 , удовлетворяющих проварьиро-ванным граничным условиям. Если левый и правый концы экстремали могут смещаться вдоль заданных линий то в силу условий

и независимости вариаций dt 1 и dt 2 из (8) получают

Если уравнения линий, вдоль к-рых смещаются левый и правый концы экстремали, заданы в неявном виде то условие трансверсальности записывается так:

Если на один из концов экстремали не наложено никаких ограничений, то на этом конце в силу независимости соответствующих концевых вариаций dt и dx условие трансверсальности принимает вид

Для функционалов, содержащих производные высших порядков [а не только 1-го, как (1), (6)], необходимое условие, аналогичное Э—Л. у., записывается в виде диф-ференц. ур-ния Эйлера-Пуассона (см. [1 ]).

Для вариац. задач, в к-рых разыскивается экстремум функционалов, зависящих от ф-ций неск. переменных, аналогичное необходимое условие записывается в виде ур-ния Эйлера — Остроградского, представляющего собой дифференц. ур-ние с частными производными (см. [2]).

В случае вариац. задач на условный экстремум получение системы Э.- Л. у. связано с использованием множителей Лагранжа. Напр., для т. н. задачи Больца, в к-рой требуется найти экстремум функционала, зависящего от n ф-ций
при наличии дифференц. ограничений типа равенств и граничных условийс помощью множителей Лагранжаиз составляется ф-цияи Э—Л. у. записываются в виде

Т.о., оптимальное решение вариац. задачи (9) — (11) должно удовлетворять системе (12), причём первые т из этих ур-ний совпадают с заданными условиями связи (10). Используя дополнительно необходимое условие трансверсальности, получают замкнутую краевую задачу для определения решения вариац. задачи (9) — (II).

Помимо Э.- Л. у. и условий трансверсальности оптимальное решение вариац. задачи должно удовлетворять и др. необходимым условиям [условию Клебша (Лежанд-ра), условию Вейерштрасса и условию Якоби].

Лит.: 1) Ахиезер H. И., Лекции по вариационному исчислению, M., 1955; 2) Лаврентьев M. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., M.-Л., 1950.

Гидродинамика. Способ Лагранжа. Способ Эйлера.

Способ Лагранжа основывается на анализе течения каждой частицы жидкости, то есть траектории их течения. В начальный момент времени местоположение частицы обусловлено начальными координатами ее полюса х0, y0, z0. При передвижении частицы ее координаты претерпевают изменения. Движение жидкости определено, когда для всякой частицы представляется возможность определить координаты х, у и z как функции начального положения (х0, y0, z0) и времени t:

Величины х0, y0, z0 и t обозначают как переменные Лагранжа.

Способ Эйлера основывается на анализе течения жидкости в различных точках пространства в данный временной отрезок.

Методика представляет возможность фиксировать скорость движения жидкости в той либо иной точке пространства в произвольный временной отрезок, т. е. характеризуется построением поля скоростей и благодаря этому получила массовое практическое применение для исследования движения жидкости.

В отобранный временной отрезок в любой точке этой области, описываемой координатами х, у, z расположена частица жидкости, ей присуща некоторая скорость u, которую обозначают как мгновенную местную скорость.

Общность мгновенных местных скоростей формирует векторное поле, обозначаемое — полем скоростей.

Поле скоростей имеет возможность претерпевать трансформации во времени и по координатам:

Векторными линиями поля скоростей выступают линии тока жидкости.