Уравнение эйлера для интеграла дифференциальное уравнения

Интегрирование однородных линейных систем ДУ
с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера

Линейной однородной системой с постоянными коэффициентами называется система дифференциальных уравнений вида

где коэффициенты — постоянные, а — искомые функции от .

Систему (1) можно коротко записать в виде одного матричного уравнения

называется частным решением уравнения (2) в интервале , если выполняется тождество

Система частных решений

(здесь в записи нижний индекс указывает номер решения, а верхний — номер функции в решении) называется фундаментальной на интервале , если ее определитель Вронского

Теорема. Если система частных решений однородного уравнения (2) является фундаментальной, то общее решение этого уравнения имеет вид

где — произвольные постоянные.

Линейные системы можно интегрировать различными способами, рассмотренными ранее, например методом исключения, путем нахождения интегрируемых комбинаций и т.д.

Для интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэффициентами применяется также метод Эйлера .

Рассмотрим этот метод в применении к системе трех линейных дифференциальных уравнений:

Решение системы (3) ищем в виде

Подставляя (4) в (3) и сокращая на , получаем систему уравнений для определения и

Система (5) имеет ненулевое решение, когда ее определитель равен нулю,

Уравнение (6) называется характеристическим .

А. Пусть корни и характеристического уравнения — вещественные и различные . Подставив в (5) вместо число и решив систему (5), получим числа и . Затем положим в (5) и получим числа и, наконец, при получим и . Соответственно трем наборам чисел и получим три частных решения

Общее решение системы (3) имеет вид

Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Корням соответствуют числа

Выписываем частные решения

Общее решение системы:

Б. Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения комплексные .

Пример 2. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений

Решение. Выпишем систему для определения и

имеет корни . Подставляя в (8), получаем два уравнения для определения и

из которых одно является следствием другого (в силу того, что определитель системы (8) равен нулю).

Возьмем , тогда первое частное решение запишется так:

Аналогично, подставляя в (8) корень , найдем второе частное решение:

Перейдем к новой фундаментальной системе решений:

Пользуясь известной формулой Эйлера , из (9), (10) и (11) получаем

Общим решением системы (7) будет

Замечание. Найдя первое частное решение (9), можно было бы сразу написать общее решение системы (7), пользуясь формулами

где и обозначают соответственно действительную и мнимую части комплексного числа , т. е. если , то , .

В. Случай кратных корней.

Пример 3. Решить систему

Решение. Характеристическое уравнение

Решение следует искать в виде

Подставляя (13) в первое уравнение системы (12), получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части (14), получаем:

Величины и остаются произвольными. Обозначая их соответственно через и , получаем общее решение системы (12):

Замечание. Легко проверить, что если (13) подставить во второе уравнение системы (12), то получим тот же результат (15). В самом деле, из равенства

получаем два соотношения для определения и через и

Пример 4. Решить задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений

с начальными условиями .

Решение. Характеристическое уравнение

Корни уравнения (17): . Действительному корню отвечает решение

Подставляя (18) в систему (16) и сокращая на , получаем

откуда . Полагаем, например, , тогда и частное решение (18):

Комплексному корню отвечает решение

подставив которое в (16) и сокращая на , получим

откуда , так что, например, при имеем и частное решение

Корню соответствует решение, комплексно сопряженное решению (20), т.е.

Учитывая (19), (20), (21), получаем общее решение

Выделим, наконец, решение с начальными условиями . Из (22) при имеем

Воспользовавшись формулами Эйлера , окончательно получим

Интегрирование уравнений Эйлера.

Интегрирование уравнений Эйлера. Вектор Γ обладает потенциалом. Это общая форма Интеграла гидростатического уравнения, когда существует потенциал в объемной силе. Рассмотрим частный случай объемной силы. Внешняя объемная сила-это гравитация. направьте ось z вверх в декартовой системе координат. С помощью (2.16) легко установить возможность гравитации (2.19） Где§ ускорение свободного падения,§= 9,81 м / с2、 С GX = 0,ГУ = 0,1 г = Назначить (2.19) на (2.18)： п%г—= СОП $ Е П когда Y представляет удельный вес (y =p§)、 2 + = SOP51 или 2 + = SOP5G. (2.20 am)） РЕ У Это закон распределения гидростатического давления. p0 обозначает давление свободной поверхности, или поверхностное давление, а P = p0 = найти форму свободной поверхности из условия const. 20 = SOP51-Р0 / г. (2.21） если b-расстояние до свободной поверхности (глубина точки), А начало координат находится на свободной поверхности, то при b = −2 (рис. 2.3) давление в точке C равно ПК = Р0 + y11s в том = по +(Фэ) с-(2-22） Где pb = y 1t-весовое давление.

Давление из-за веса жидкости. Обычно в практике гражданского строительства абсолютное давление pL (оно обозначалось как p) не используется, а представляет собой отклонение от атмосферного давления pa. Людмила Фирмаль

Избыточное давление pn-это избыточное давление в точке выше атмосферного давления Р » = ра-ра (2.23） В условиях па-па недостаток давления в атмосферной точке называется вакуумом РВАК «ра-ра» (2-24） Остальная жидкость находится во вращающемся сосуде. Если сосуд вращается вокруг вертикальной оси r с угловой скоростью O, то через некоторое время жидкость вращается вместе с сосудом как 1 твердое тело. Жидкость неподвижна относительно container. To используйте гидростатическое уравнение (2.18), жидкость должна быть неподвижной относительно координаты system. It необходимо принять систему координат, которая вращается со скоростью.

Но такая система не является инерционной; при движении к ней необходимо ввести соответствующую инерционную силу как внешнюю объемную силу. Центробежная сила действует на основные частицы жидкости, масса которых составляет 5 т(рис. 2.4 8 Пц6 = br2O2 г、 (2.25 )） Где r-радиус-вектор, определяющий положение элементарных частиц относительно оси вращения. R = XI + y) или r =(x, y); x, y-координаты частиц. Очевидно, что 8 RC смотрит в том же направлении. Найдите проекцию 8rtsb на координатных осях. (3РЦБ)х=8ш02х,(бРц6)у=8ш02у. (2.26） Плотность распределения массы центробежной силы (то есть силы на единицу массы)、 8ш=°2Г (Г» 61 =°2х>Н-°2У-2’27） При решении уравнения (2.18) необходимо ввести центробежную силу плотности распределения Hzb в качестве дополнительной внешней силы. Но, как указано, если в объемной силе есть потенциал, то выполняется интеграл по формуле (2.13). Непосредственно интегрируя выражения для (Hzb) x и (^Cb) y, вы можете легко найти возможные функции для Hz6. * ЦБ8 г Центральный банк = О2 Х2 + У2 (2.28） ’ІБ 2′.

В дополнение к центробежной силе, сила тяжести также действует на жидкость. Людмила Фирмаль

Возможно, что, как и раньше,= Да. Тридцать три Потенциал валовых объемных сил, действующих на жидкость во вращающейся системе координат、 2/2 \ с = У8 + ui6 = г + О2 2Y_(2 29） Подставляя (2 29) (2 18), получаем формулу, определяющую давление в любой точке вращающегося объема жидкости. (2 30） Как и в предыдущем случае, координаты свободной поверхности представлены Р0.(2 30) найти уравнение свободной поверхности, подставив p = p0.Получим уравнение вращающегося параболоида. § 20+ Р2 х г = SOP51 + 2р Если поместить начало координат в вершину этого параболоида (рис. 2-5), то получим уравнение свободной поверхности в виде: 20 = Р2 ’2 + У2′ 2 5 осевая секция жидкости вращающейся с контейнером 2, 231.） П = для p0-2 + pO2 Х2 + У2 (232)） Как видите, форма параболоида не зависит от плотности жидкости. Согласно (232), в каждом вертикальном направлении давление распределяется по закону гидростатического давления(2 20).

Смотрите также:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Уравнение эйлера для интеграла дифференциальное уравнения

Пример 2.1. Рассмотрим пример, который легко решить аналитически. Требуется найти экстремум функционала

при граничных условиях

Найдём частные производные и

Вычислим полную производную по x от

Составляем дифференциальное уравнение Эйлера вида

или, после упрощений

Его общее решение имеет вид

Для нахождения произвольных постоянных C₁ и C₂ подставим решение (2.16) в граничные условия (2.11):

Видно, что система (2.17) имеет единственное решение. Решая эту систему, найдём значения C₁ и C₂:

и тогда уравнение экстремали имеет вид:

Действительно ли на этой кривой достигается экстремум? И если да, то какой: минимум или максимум? Далее, в главе 13, мы рассмотрим достаточные условия экстремума . В частности, мы выведем условие Лежандра: если на экстремали выполняется условие а на функциях, близких к экстремали, для произвольных y‘ имеет место то достигается сильный минимум. В нашем случае это выполняется:

и, следовательно, на нашей экстремали достигается сильный минимум. Проверим этот результат: вычислим на нескольких функциях вида Эти функции удовлетворяют граничным условиям (2.11) и, следовательно, являются допустимыми. Для вычислений применим MATLAB.

Действительно, полученный результат не противоречит выводу о том, что на функции достигается минимум. Но, конечно же, проведенная проверка не доказывает этот факт. Ведь мы проверили только несколько из бесконечного числа функций, графики которых проходят через точки и Доказательством могут служить необходимые и достаточные условия экстремума функционала.

Пример 2.2. Найти экстремаль функционала

при граничных условиях

Выводим уравнение Эйлера вида (2.9). Частные производные:

Уравнение Эйлера после упрощений имеет вид:

Его общее решение

Находим произвольные постоянные из граничных условий (3.22). Подставляем решение (3.25) в эти граничные условия:

Мы видим, что из полученной системы уравнений можно найти только а C₂ может быть произвольной. Поэтому данная вариационная задача имеет бесчисленное множество решений вида

На любой из этих функций функционал принимает постоянное значение (какое − мы сейчас посчитаем). Проверка по достаточному условию Лежандра даёт:

поэтому на экстремалях (3.27) достигается сильный минимум.

Посчитаем значение функционала (2.21) на функциях вида (2.27) и нарисуем несколько экстремалей с помощью MATLAB.

На каждой из наших функций функционал равен нулю.