Уравнение эйлера для турбомашин и его анализа

Уравнение Эйлера для турбомашин

Выведем уравнение Эйлера в предположении, что жидкость невязкая, несжимаемая, колесо имеет бесконечное множество лопаток, т.е. предполагаем струйную модель Эйлера (рисунок 9).

Воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения.

Теорема: Изменение момента количества движения относительно выбранной оси равно сумме моментов всех сил, действующих на поток относительно той же оси.

;

На частицу жидкости на каналах рабочего колеса действуют силы:

(т.к. жидкость идеальная, см. допущения)

— центробежная сила F M_F=0 (т.к. плеча нет)

— сила торцевого давления F_T (рисунок 11)

Рисунок 11 – Действие силы торцевого давления

— сила давления лопатки на жидкость (рисунок 12)

Рисунок 12 – Действие силы давления лопатки на жидкость

dS – элементарная площадка на производительном радиусе r.

— гидравлическая мощность

Н_Т¥ — теоретический напор колеса при ¥ числе лопаток

— уравнение Эйлера

Чаще всего колеса центробежных насосов имеют радиальный вход в колесо, т.е. a₁=90 0

Напор колеса от плотности жидкости не зависит.

Для обеспечения всасывающей способности насоса нужно создать определенный перепад давления, который зависит от плотности жидкости, и, следовательно, работая на воздухе, насос не сможет поднять жидкость. Перед запуском насос должен быть заполнен перекачиваемой жидкостью.

Заключение

Изучено устройство и принцип действия лопастных насосов. Даны основные рабочие органы. Способы разгрузки осевых усилий. Уплотнения. Типичные конструкции лопастных насосов. Рассмотрена гидромеханика центробежного насоса. Схема проточной части, кинематика потока. Уравнение гидромашин (Эйлера).

Лекция 4

Введение

Рассматривается теоретическая подача центробежного насоса. Состав напора, влияние конструктивных и режимных параметров на подачу и напор насоса. Приводится корректировка струйной теории. Рассматривается зависимость напора от подачи. Потери энергии в насосе. Приводится баланс мощности в центробежном насосе. Строится теоретическая характеристика центробежного насоса.

Дата добавления: 2015-11-28 ; просмотров: 2426 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Основное уравнение турбомашин (уравнение Эйлера) и его анализ

Теоретическая работа, сообщенная 1 кг газа (напор), Дж/кг, при изоэнтропном (адиабатном) сжатии его от давления Р₁ до давления Р₂ может быть вычислена по известному из термодинамики соотношению (6.2):

= .

Эта же работа может быть найдена из уравнения Эйлера:

, (6.19)

где u₂ и u₁ – окружные скорости концов рабочих лопаток, м/с; с_2u и c_1u – окружные составляющие абсолютных скоростей потока на выходе и входе рабочего колеса (см. рис. 6.2).

Рис. 6.2. Треугольники скоростей газового потока на входе и выходе рабочего колеса центробежного компрессора (ЦБК)

Используя соотношения для треугольников скоростей, преобразуем уравнение Эйлера. В соответствии с теоремой косинусов из выходного треугольника можно записать:

, где ,

. (6.20)

Аналогично из входного треугольника:

. (6.21)

Подставив эти выражения в уравнение Эйлера (6.19) получим:

. (6.22)

Это преобразованное уравнение Эйлера, удобное для анализа. Здесь два последних члена выражают часть работы ТК, затраченной на прирост давления газа в рабочем колесе. Это статический напор колеса. Первый член – это динамический напор колеса, который может быть преобразован в статический напор в диффузоре ТК.

Из уравнения (6.19) видно, что максимальный напор, а следовательно, максимальное давление, развиваемое ступенью ТК, будут при , т.е. при a₁=90° (вход потока в колесо без предварительной закрутки): . Иначе

, (6.23)

где – коэффициент закрутки потока, который является характеристикой геометрии рабочего колеса. Отсюда важный вывод:

· при постоянном значении j (для одного и того же колеса), напор (удельная работа сжатия) развиваемый компрессором пропорционален квадрату частоты вращения колеса.

Максимальная окружная скорость u₂ лимитируется условиями прочности. В стационарном компрессоростроении при загнутых рабочих лопатках для применяемых материалов обычно принимают u₂@250 м/с. В таких ступенях ЦБК степени повышения давления составляют e_ст=1,3-1,5.

На практике в ЦБК могут быть использованы рабочие колеса с лопатками следующих форм (см. рис. 6.3):

Рис. 6.3. Схемы рабочих колес ЦБК: а – лопатки загнуты назад; б – лопатки радиальные; в – лопатки загнуты вперед

В соответствии с (6.23), если все три колеса одного диаметра, то при неизменной частоте вращения (u₂=const) и одинаковых условиях входа потока наименьший напор будет в колесе а) и наибольший – в колесе в).

Преобразование кинетической энергии потока в потенциальную происходит в диффузоре и обратном направляющем аппарате. Оно сопровождается значительными газодинамическими потерями. Эти потери растут с увеличением скорости c₂ (в соответствии с законом Дарси). Отсюда области применения центробежных компрессоров с разными типами колес:

1) в стационарных крупных компрессорах, для которых экономичность имеет первостепенное значение, используют рабочие колеса с лопатками, загнутыми назад (b_2л=35-55°);

2) загнутые вперед лопатки применяют в тех случаях, когда необходимо получить высокий напор в одной ступени, а величина КПД играет второстепенную роль;

3) наиболее прочные – радиальные лопатки. Они позволяют получать окружную скорость до 500 м/с. Кроме того, эти лопатки обеспечивают максимальную диффузорность, т.е. наибольший член уравнения (6.22): .

Благодаря этому в одном колесе с радиальными лопатками достижимы более высокие статические давления. Такие колеса применяются тогда, когда требуются высокие давления при минимальных габаритах и массе. Обычно в транспортных конструкциях.

В осевых компрессорах (ОК) обычно u₁=u₂, т.е. в уравнении (6.22) отсутствует член , отражающий влияние центробежных сил.

Вследствие этого ступень ОК развивает значительно меньший напор, чем ступень ЦБК. Так что при равных степенях повышения давления и других равных условиях ОК имеет значительно большее число ступеней, чем ЦБК.

Лекция на тему: Характеристики турбомашин. Уравнения Эйлера

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема: : Характеристики турбомашин. Уравнения Эйлера.

1. Теоретические характеристики турбомашин

2. Действительные индивидуальные характеристики центробежных и осевых турбомашин

1. Хаджиков Р.Н., Бутаков С.А. Горная механика. — М.: Недра, 1982. (стр. 11-17)рис. 5 и 7.

1. Теоретические характеристики турбомашин .

Теоретическая подача центробежной турбомашины получается как произведение площади выходного живого сечения πD₂b₂ рабочего колеса без учета стеснения его лопастями на радиальную скорость с_2r-проекцию скорости с₂ на направление радиуса:

где b₂— ширина рабочего колеса на выходе;

D₂ – диаметр рабочего колеса;

c_2r – радиальная скорость движения жидкости из колеса.

В осевой турбомашине выходное сечение потока равно площади, ометаемой лопастями, а теоретическая производительность турбомашины — произведению этой площади на осевую скорость с _, представляющую собой проекцию скорости с на осевое направление:

Q_T=c .

где D₂— диаметр рабочего колеса;

d_ВТ — диаметр втулки.

Теоретическая индивидуальная характеристика турбомашины представляет собой зависимость между теоретическим напором Н_Т и теоретической подачей Q_Т при известных размерах турбомашины и определенной частоте вращения ее рабочего колеса.

Зависимость H_T=f (Q_T) получается следующим образом:

На основании этого выражения и формулы

C_2u=U₂+ ctg β_{2 .}

Подставляя значение С_2u в формулу Н_Т= получаем уравнение теоретической индивидуальной характеристики центробежной турбомашины:

Н_т=

Применительно к осевым турбомашинам:

Н_т=

где β-угол притекания потока на выходе.

Лопасти рабочих колес центробежных турбомашин могут быть:

1) загнутые вперед, когда β₂ 0 (рис. 2, а);

2) радиальные, когда β₂ = 90°, т. е. ctg β = 0 (рис. 2, б);

3) загнутые назад, когда β₂ > 90°, т. е. ctg β₂

В соответствии с этим и на основании выражения Н_т= в коорди­ натных осях подачи Q_T и напора Н_т (рис. 2) строят теоретические индивидуальные характеристики турбомашины при u₂ = const. При Q_T =0 для всех типов рабочих колес

Н_т= .

Из рис. 2 видно, что при увеличении подачи Q_T напор турбо машин с колесами, имеющими лопасти, загнутые вперед, возра­ стает, при радиальных лопастях остается постоянным, а при лопастях, загнутых назад, снижается.

В отношении величины напора колеса с лопастями, загнутыми вперед, предпочтительнее. Однако в этих колесах имеет место наибольшая скорость с_{2 ,} а наименьшая величина ее – в колесах с лопастями, загнутыми назад. Для уменьшения потерь желательно, чтобы скорость с₂ была меньше, но не менее известного предела , так как с ее уменьшением снижается Н_Т. Значения с₂ , обеспечивающие максмальный к. п. д. колеса, имеют место при 155 о >β₂>130 о , поэтому необходимо иметь колесо большого диаметра. Центробежные вентиляторы имеют одно колесо (в целях сокра­ щения габаритов вентилятора по оси вращения его вала). В центро­ бежных вентиляторах небольшой производительности применя­ ются колеса с лопастями, загнутыми вперед. При этом несколько снижается к. п. д., что в известной степени компенсируется при­ менением диффузора. В вентиляторах большой производительности применяются рабочие колеса с лопастями, загнутыми назад, которые обеспечивают более высокий к. п. д.

Рис. 2. Рабочие колеса центробежных турбомашин и соот­ ветствующие им теоретические индивидуальные характери­ стики

Шахтные насосы по сравнению с вентиляторами характери­ зуются значительными напорами и небольшими подачами. По­ этому центробежные насосы обычно имеют несколько последова­ тельно соединенных колес относительно небольших диаметров. Для насосов применяются колеса с лопастями, загнутыми назад. Та­ кого же типа колеса применяются для центробежных компрес­ соров.

Теоретическая индивидуальная характеристика осевой тур бомашины по формуле (18) в координатах Q_T — Н_т имеет вид нисходящей прямой.

Действительная индивидуальная харак­ теристика турбомашины представляет собой зависи­ мость между действительным напором Н и действительной по­ дачей Q турбомашины при известных размерах машины и опре­ деленной частоте вращения рабочего колеса. Действительный на­ пор меньше теоретического из-за потерь в турбомашине, причинами которых являются: 1) конечное число лопастей колеса; 2) трение частиц жидкости между собой и о поверхности проточной части турбомашины; 3) затраты энергии на удары при вихревом движе нии жидкости внутри турбомашины; 4) затраты энергии на преоб­ разование скоростного напора в статический.

В реальной турбомашине с известным числом лопастей определенной толщины скорости движения жидкости по сечению данного радиуса различны; давление у лицевой стороны лопасти выше, чем у тыльной; поток жидкости на выходе из колеса скошен в сторону, обратную направлению вращения.

Рис. 3. Движение жидкости в межлопастном канале (а, б) и скорости на выходе из колеса при конечном числе лопастей (в)

Опыты ЦАГИ показали, что при подаче турбомашины меньше нормальной поток (рис. 3, а) прижимается к лицевой стороне 1 лопасти центробежного колеса, а у ее тыльной стороны 2 обра­ зуется завихренная зона 3. При очень малой подаче поток пере­ текает из одного канала в другой. При большой подаче поток (рис. 3, б) прижимается к тыльной стороне лопасти 2, а у лицевой стороны 1 возникает завихренная зона 3. Оторвавшаяся при входе в канал от лицевой стороны лопасти часть потока скашивается на выходе в сторону, обратную направлению вращения. Вихревая з она оказывается замкнутой, так как эта часть потока снова встре­ чает лицевую сторону лопасти. Поэтому относительная скорость у лицевой стороны лопасти не касательна к лопасти и по величине больше теоретической .

Таким образом, с’_2и — действительная величина окружной проекции абсолютной скорости — меньше теоретической с_{2 u} при неизменной радиальной скорости с_{2 r} , а создаваемый рабочим ко­ лесом напор с учетом конечного числа лопастей меньше получен­ ного по формуле (4), т. е. Н_тк = k _ц H _т . Коэффициент k _ц называется коэффициентом циркуляции.

Рис.4. Формы действительных индивидуальных харак­ теристик турбомашины:

а и б — центробежных; в — осевой

Все указанные потери напора учитываются гидравли­ ческим к. п. д. турбомашины, определяемым отношением полезной мощности турбомашины к сумме полезной мощности и мощности, затраченной на потери напора в турбомашине. Гид­ равлический к. п. д. зависит от качества изготовления турбома­ шины, ее параметров и равен для современных машин η _Т = 0,8. 0,96.

Действительная подача турбомашины, как и напор, меньше теоретической вследствие объемных потерь — утечек через не­ плотности в турбомашине. Эти потери характеризует объемный к. п. д. — отношение полезной мощности к сумме полезной мощ­ ности и мощности, утраченной с утечками. В среднем объем­ный к. п. д. η _о = 0,95 . 0,98.

В турбомашине имеются также механические потери — за­ траты энергии на трение в подшипниках, сальниках, жидкости о наружные поверхности дисков рабочего колеса (дисковое трение) и др. Эти потери определяются механическим к. п. д., который для современных турбомашин η _м = 0,95 . 0,99.

Отношение полезной мощности к мощности турбомашины на­ зывается к. п. д. турбомашины и является ее характеристикой. Он равен произведению гидравлического, объемного и механи­ческого к. п. д., т. е. η =η_г η_о η_м.

Кривую действительной индивидуальной характеристики тур­ бомашины можно получить, если из ординат теоретического на­ пора Н_т вычесть ординаты потерь напора Н_д при соответствующих подачах (рис. 4).

Сравнение форм действительных индивидуальных характери­ стик турбомашин, имеющих рабочие колеса с лопастями, загну­ тыми вперед (рис. 4, а) и назад (рис. 4, 6), показывает, что пер­ вая характеристика имеет вид выпуклой кривой (горбатые харак­ теристики), а вторая — падающей кривой (безгорбые характе­ ристики) или имеет слабо выраженный горб. Форма характери­ стики при определенных условиях оказывает влияние на устой­ чивость режима работы турбомашины.

1. Изучение материала конспекта лекций.

2. Г . Н. Хаджиков, Горная механика, М. Недра 1982, стр. 8-10

Составил Ларионов О.Ф. — преподаватель высшей квалификационной категории ГПОУ «Комсомольский индустриальный техникум» , г. Комсомольское, Донецкая область, 2021 год.