Уравнение эйлера лагранжа для чего

эйлера -лагранжа уравнение

ЭЙЛЕРА -ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЕ -необходимое условие экстремума в задачах вариационного исчисления, полученное Л. Эйлером в 1744. Впоследствии, используя другой метод, это ур-ние вывел Ж. Лагранж (J. Lagrange) в 1759.

Пусть поставлена задача вариац. исчисления, состоящая в определении экстремума функционала

при известных условиях на концах

И пусть непрерывно дифференцируемая ф-ция x(t), есть решение задачи (1), (2). Тогда x(t)удовлетворяет Э.- Л. у.:

Ур-ние (3) можно записать в развёрнутом виде:

Гладкое решение ур-ния (3) [или (4)] наз. экстремалью. Если F xx =0 в точке (t, х), лежащей на экстремали, то в этой точке экстремаль имеет непрерывную 2-ю производную х. Экстремаль, во всех точках к-ройназ. неособенной. Для неособенной экстремали Э.- Л. у. можно записать в виде, разрешённом относительно 2-й производной х.

Решение вариац. задачи (1), (2) необязательно должно быть непрерывно дифференцируемым. В общем случае оптимальное решение x(t) может быть кусочно дифференцируемой ф-цией. Тогда в угл. точках х (t) должны выполняться необходимые условия Вейерштрасса — Эрдмана, обеспечивающие непрерывность при переходе через угл. точку выраженийа на отрезках между соседними угл. точками ф-ция должна удовлетворять

Э—Л. у. Кусочно гладкие линии, составленные из кусков экстремалей и удовлетворяющие в угл. точках условиям Вейерштрасса-Эрдмана, наз. ломаными экстремалями.

В общем случае дифференциальное Э.- Л. у. является ур-нием 2-го порядка и, следовательно, его общее решение зависит от двух произвольных постоянных

Эти произвольные постоянные можно определить из граничных условий (2):

Если рассматривается функционал, зависящий от неск. ф-ций,

то вместо одного Э.- Л. у. приходят к системе n Э—Л. у.:

Общее решение системы (7) зависит от 2n произвольных постоянных, к-рые определяются из заданных 2n граничных условий (для задачи с закреплёнными концами).

В случае вариац. задач с подвижными концами, в к-рых левый и правый концы экстремали могут смещаться по нек-рым заданным гиперповерхностям, недостающие граничные условия, позволяющие получить замкнутую систему соотношений типа (5), определяются с помощью необходимого условия трансверсальности. Для простейшей задачи типа (1), в к-рой точка

не фиксируется, а может принадлежать нек-рому множеству, условие трансверсальности записывается в виде

оно должно выполняться при любых значениях дифференциалов dt 1 , dx 1 , dt 2 , dx 2 , удовлетворяющих проварьиро-ванным граничным условиям. Если левый и правый концы экстремали могут смещаться вдоль заданных линий то в силу условий

и независимости вариаций dt 1 и dt 2 из (8) получают

Если уравнения линий, вдоль к-рых смещаются левый и правый концы экстремали, заданы в неявном виде то условие трансверсальности записывается так:

Если на один из концов экстремали не наложено никаких ограничений, то на этом конце в силу независимости соответствующих концевых вариаций dt и dx условие трансверсальности принимает вид

Для функционалов, содержащих производные высших порядков [а не только 1-го, как (1), (6)], необходимое условие, аналогичное Э—Л. у., записывается в виде диф-ференц. ур-ния Эйлера-Пуассона (см. [1 ]).

Для вариац. задач, в к-рых разыскивается экстремум функционалов, зависящих от ф-ций неск. переменных, аналогичное необходимое условие записывается в виде ур-ния Эйлера — Остроградского, представляющего собой дифференц. ур-ние с частными производными (см. [2]).

В случае вариац. задач на условный экстремум получение системы Э.- Л. у. связано с использованием множителей Лагранжа. Напр., для т. н. задачи Больца, в к-рой требуется найти экстремум функционала, зависящего от n ф-ций
при наличии дифференц. ограничений типа равенств и граничных условийс помощью множителей Лагранжаиз составляется ф-цияи Э—Л. у. записываются в виде

Т.о., оптимальное решение вариац. задачи (9) — (11) должно удовлетворять системе (12), причём первые т из этих ур-ний совпадают с заданными условиями связи (10). Используя дополнительно необходимое условие трансверсальности, получают замкнутую краевую задачу для определения решения вариац. задачи (9) — (II).

Помимо Э.- Л. у. и условий трансверсальности оптимальное решение вариац. задачи должно удовлетворять и др. необходимым условиям [условию Клебша (Лежанд-ра), условию Вейерштрасса и условию Якоби].

Лит.: 1) Ахиезер H. И., Лекции по вариационному исчислению, M., 1955; 2) Лаврентьев M. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., M.-Л., 1950.

Переменные Лагранжа и Эйлера

Переменные Лагранжа и Эйлера

• Переменная Лагранжа. Для выбранного объема сплошных сред каждая точка (малая частица) в фиксированный момент (например, f = 0) имеет координаты x0, y0, z0 или другие параметры a, b, которые являются функцией этих координат Есть с «= F1 (* = 1)> r = r (a, b, c, / ). Рассмотренная ранее кинематика в одной точке использовала эту точечную лагранжеву переменную. Параметры a, b и c не использовались. Это потому, что нет другого смысла отличать проблемный момент.

Оставалась только временная зависимость координат точки или ее радиус-вектора. Для непрерывного носителя вы можете выбрать определенные точки, установив параметры a, b и c. Разные значения этих параметров соответствуют разным точкам на сплошной среде. Если движение непрерывной среды задается лагранжевыми переменными, скорость и ускорение этих переменных определяются обычными точечными кинематическими уравнениями. v = drfdt или vx = dx / dt; vf = dy / dt; vz = dz / dt; a = dv / dt == d2r / dt2, ax = d2x / 8t2; a ,, -d2y1d12; az-d2zl8t2. Производная по времени от i вычисляется для фиксированных значений переменных a, b и c, поэтому существует смещение.

Изменяя начальное условие бесконечно малым, а начальное вращение вокруг оси бесконечно близким к Оа0, породия превращается в небольшую замкнутую кривую, бесконечно близкую к вершинам малой оси. Людмила Фирмаль

Значения x, y, z или r также можно различить для каждой переменной a, b, c. В методе Лагранжа предметом исследования является точка движущихся сплошных сред. Переменная Эйлера. В механике сплошных сред, особенно в жидкостях и газах, а также в теории поля, в основном используются метод Эйлера и соответствующие переменные Эйлера. Метод Эйлера не учитывает точку пространства, занимаемую движущимися сплошными средами, а не неподвижные точки сплошных сред. Независимыми переменными являются время I и декартовы координаты точки M в пространстве x, y, z или другие параметры, которые характеризуют различные точки в пространстве.

Четыре независимые переменные x, y, z и t называются переменными Эйлера. Различные векторы и скалярные величины, характеризующие сплошные среды, такие как скорость и ускоритель Плотность считается функцией этих переменных. Для сплошных сред исследуются поля скалярных и векторных величин, характеризующих движущиеся сплошные среды, и их свойства. Изучите распределение этих величин в точке пространства, занятой сплошной средой, и изменение во времени. Из известного векторного поля скорости сплошной среды, заданного переменной Эйлера v = v (x, y, z, t), можно определить векторное поле ускорения a для этих переменных. Получите соответствующее выражение.

Переменное непрерывное движение среды Эйлера считается известным, если заданы поля скоростей этих переменных. Согласно определению ускорения точки сплошной среды в любой точке пространства A / (x, y, z) в момент времени t следует учитывать положение этой точки сплошной среды в момент времени t + Dm. В этой точке, благодаря движению сплошной среды, она находится в другой точке пространства Mt с координатами x + Dx, y + ky, z + Az и скоростью в соответствии с координатами этой новой точки в пространстве M и времени t + Dm.

Это становится. Поскольку изменение координат рассматриваемой точки сплошной среды в Дх, Ду, Дз произошло из-за изменения времени Д / lim l * m l * m X7 = Vl ‘(1) Увеличивает скорость r с помощью ряда степеней величин Dx, Dy, Dz, Dg. t> j = i> (x + Ax, y + Dy, z + Dz, f + D /) = d (x, y, z, r) ++ (dvldx) Ml & x + (dvldy) M ‘, & y + (Dvldz) M » & z + (dvldt) M ‘, & t + … Производные индексы M и t указывают, что они взяты в точке M (x, y, z) в пространстве в момент времени t. Согласно определению ускорения а точки сплошной среды в точке пространства М момента I, Остальные термины в серии исчезнут в определенных пределах.

• Подставляя (1) для (2) и для краткости, опуская индекс Миг производной. А = (dv / dt) + vx (dv / dx) + vf (dv / du) + vz (dv / dz) (3) В проекции на оси координат ax = dvx / 8t + vx (8vx / 8x) + vy (8 vx / 8y) + vt (8 vx / 8z); af = 8vy / 8t + vx (dvy / 8x) + vf (dvy / dy) + vz (8vy / dz);> (3 ‘) az = 8 vz / 5t + vx (5 vjdx) + vy (dvx / dy) + vz (8 vz / 8z). Используя векторное уравнение (3), если поле скорости известно, вычисляется поле переменного ускорения Эйлера. Эта формула включает группу dv / dt, которая является локальной производной вектора скорости, и vx (8vldx) + vy (dv / 8y) + + vz (8v / 8zj, конвекционная производная этого вектора).

Выражается во времени, т.е. ускорение, Dv / Dt. Локальная производная dv / dt характеризует изменение вектора скорости v в точке M (x, y, z) в пространстве вследствие одноразового изменения констант x, y, z. Полная производная от Dv / Dt равна локальной производной от dv / dt в точке пространства, где мгновенная скорость равна нулю. Группа членов, представляющих производную конвекции, учитывает изменение вектора скорости, вызванное движением точки рассмотрения сплошной среды самой движущейся средой.

Это положение равновесия считается устойчивым, если начальное отклонение стержня от положения равновесия достаточно мало. Людмила Фирмаль

Рассмотрим особые случаи. 1. Если v = v (x, y, z), т. Е. Поле скоростей стационарно, 8v / 8t = 0 и a = Dv / Dt = vx (dvldx \ + vAdvl8y \ + vz (8v / dz . 2. Когда v = vp, dv / 8x = 8v / dy = 8v / dz = 0 и a = Dv / Dt = dv / 8t. 3. Когда v = const, dv / 8t = O, dv / dx = dv / dy = ^ dv / dz = Q и a = Dv / Dt = 0. Уравнение (3) вычисляет полную или существенную производную по времени переменной Эйлера для любого вектора или скалярной величины, которая характеризует сплошную среду. Например, предположим, что известно поле скалярной плотности p (x, y, z, /) сплошной среды. Аргумент, аналогичный приведенному при выводе формулы ускорения, приводит к полной производной от p по времени t. Dp / Dt = 8p / dt + vx (5p / dx) + vy (8p / dd ‘) + vz (8p / dz).

Если сплошная среда не движется, то есть если ax = 1> y = r = 0, то согласно (3) полная производная по времени от векторной или скалярной функции, характеризующей сплошную среду, равна локальной производной. Преобразовав производную конвекции в (3), можно получить другое уравнение ускорения (формула Лэмба-Громекко). Где rotf — вектор скорости вихря, а V — символический оператор Гамильтона. i, J и A — единичные векторы, ориентированные вдоль декартовой оси координатных осей. Вихревая формула вектора скорости F j L £ d_ d Sx do cTz vx vy vz В будущем также будет использоваться вектор a>.

Это определяется как половина вектора скорости вихря. w = 1/2 r ° t «’ — (6) Проекция на координатные оси Чтобы прояснить физический смысл понятия rotv, рассмотрим несколько примеров расчета по заданному полю скорости. Пример 1. Непрерывная среда с постоянной скоростью оси Ox Векторная формула (5) _ Sv, Sv, _ _ Sv, Sv, Q ’= a7-a7 = O; = Q1 = g_ ^ = 0. Выполните плоское движение, параллельное v (рисунок 104). vx = o = const; in, = 0; существует «R = 0 и вихрь I = go1»: Рис. 104 Рисунок 105 Рисунок 106 Рис. 107 В результате fl = rotii = 0 в каждой точке пространства, занятого движущейся сплошной средой. Пример 2. Сплошная среда создает плоскую ось Ox со скоростью и распределением.

Параллельно (рисунок 105). Вот так. nxi + £ 1Д + Оск = Пример 3. Точка сплошной среды движется по круговой траектории, центр которой находится на оси Oz, а скорость которой обратно пропорциональна радиусу круга (рис. 106). То есть p = l / g, где n = const. У нас есть: -vsin 0) = 2в> о- В результате. A = go1b = 2

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Гидродинамика. Способ Лагранжа. Способ Эйлера.

Способ Лагранжа основывается на анализе течения каждой частицы жидкости, то есть траектории их течения. В начальный момент времени местоположение частицы обусловлено начальными координатами ее полюса х0, y0, z0. При передвижении частицы ее координаты претерпевают изменения. Движение жидкости определено, когда для всякой частицы представляется возможность определить координаты х, у и z как функции начального положения (х0, y0, z0) и времени t:

Величины х0, y0, z0 и t обозначают как переменные Лагранжа.

Способ Эйлера основывается на анализе течения жидкости в различных точках пространства в данный временной отрезок.

Методика представляет возможность фиксировать скорость движения жидкости в той либо иной точке пространства в произвольный временной отрезок, т. е. характеризуется построением поля скоростей и благодаря этому получила массовое практическое применение для исследования движения жидкости.

В отобранный временной отрезок в любой точке этой области, описываемой координатами х, у, z расположена частица жидкости, ей присуща некоторая скорость u, которую обозначают как мгновенную местную скорость.

Общность мгновенных местных скоростей формирует векторное поле, обозначаемое — полем скоростей.

Поле скоростей имеет возможность претерпевать трансформации во времени и по координатам:

Векторными линиями поля скоростей выступают линии тока жидкости.