Уравнение эйлера остроградского для функционала примеры

Уравнение эйлера остроградского для функционала примеры

Пример 5.1. Найти экстремаль функционала:

в прямоугольной области показанной на

Граничные условия: на правой стороне

на остальных сторонах

Решение примера изложено в книге.

Решение нашей задачи − это одна первая гармоника ряда (5.16):

Вот как выглядит график этой функции (мы здесь взяли

5.2. Вопросы для самопроверки

1. Какую вариационную задачу мы решаем?
2. Как выводится дифференциальное уравнение Эйлера-Остроградского?
3. Где используется в выводе дифференциального уравнения Эйлера-Остроградского основная лемма вариационного исчисления?
4. Почему мы не можем использовать формулу интегрирования по частям? Чем мы её заменяем?
5. Обязательно ли будет достигаться экстремум функционала на решении дифференциального уравнения Эйлера-Остроградского?
6. Какие вы знаете методы решения дифференциальных уравнений в частных производных?
7. Всегда ли решение вариационной задачи будет единственным? От чего это зависит?
8. Выведите систему дифференциальных уравнений Эйлера-Остроградского для функционала, зависящего от нескольких функций нескольких переменных.

5.3. Пример выполнения задания

Найти экстремум функционала

в области D, которая представляет из себя квадрат со стороной скруглённый по верхнему краю дугой окружности радиуса с добавкой полукруга слева и с вырезанной частью эллиптического очертания справа. Центр полукруга находится посередине левой стороны, а центр эллипса − на расстоянии наружу от середины правой стороны. Эллипс с полуосями и повёрнут на 30° против часовой стрелки. Начало координат выберем в центре полукруга

Граничные условия: на нижней стороне u изменяется по параболическому закону в зависимости от x с максимальным значением посередине стороны, на остальных сторонах

Составим программу для решения данной задачи. Вначале очистим рабочую область от предыдущих задач. Опишем необходимые символические переменные и введём исходные данные. Нам необходимы будут символические переменные для аргументов x и y , функции z , первых и вторых частных производных Dzx , Dzy , D2zx2 , D2zxy и D2zy2 . Вводим подынтегральную функцию F (символическое выражение), граничное условие zc там, где оно не равно нулю (также символическое выражение), и строковую переменную bc , показывающую, где именно граничное условие отлично от нуля. Не забудьте, что при вычислениях мы имеем дело с округлёнными значениями. Поэтому пишите условие bc так, чтобы захватить нужную Вам сторону.

Найдём частные производные F_z, F_p и F_q. Сформируем из них полные частные производные и При их формировании учитываем, что Используем формулу (2.87). Формируем уравнение Эйлера-Остроградского. Нам нужно будет иметь уравнение в виде (5.14), когда слева записаны частные производные и сама функция z, а справа − известные функции. Поэтому вычислим отдельно левую и правую части. Правую часть получим, когда в выражение подставим и вместо всех частных производных также подставим нуль. Тогда левая часть − это всё остальное.

Для решения дифференциальных уравнений в частных производных в MATLAB’е есть специальный инструментарий − Partial Differential Equation Toolbox (PDE) [54], в котором используется метод конечных элементов (FEM). Использование PDE Toolbox для решения дифференциальных уравнений в частных производных подробно описано в книге.

Наша область образована следующими примитивами:

1. квадрат со стороной
2. круг радиусом с центром в точке он отрезает от квадрата верхнюю часть;
3. круг радиусом с центром в начале координат; он добавляется к области;
4. эллипс с центром в точке с полуосями повёрнутый на угол он вырезается из области.

Зададим эти примитивы в виде матрицы. В столбце зададим данные для прямоугольника, во и − для кругов, и в − для эллипса. Уравняем длины всех столбцов.

Затем сформируем из этих примитивов область. Обозначим столбцы матрицы буквами a, b, c, d. Тогда область может быть получена с помощью формулы Действительно, из квадрата a кругом b вырезается область, затем к ней добавляется круг c, и из полученной области вырезается эллипс d. Напечатаем число элементарных участков границы. Изобразим полученную область графически. Выравняем масштабы по осям координат. Надпишем заголовок и метки осей.

Разбивка полученной области на треугольные конечные элементы осуществляется командой initmesh , которая возвращает 3 выходных параметра: p , e и t . Смысл их следующий:

• В переменной p возвращаются координаты узлов сформированной сетки. Массив p имеет размеры где n_p − число узлов. В нём содержатся:
  • строка − − координаты.
• В переменной t возвращаются данные по треугольникам. Это массив размером где n_el − число элементов.
  • Первые 3 строки содержат номера узлов для каждого элемента в порядке обхода против часовой стрелки.
  • число − это номер подобласти. Если мы удалим все внутренние границы, то у нас будет только одна подобласть, и все числа строки будут 1.
• В переменной e возвращаются данные по граничным точкам сетки. Размер массива e где n_b − число участков границы в В каждом столбце массива e содержатся данные по одной граничной линии.
  • и числа − это номера узлов (в том порядке, в котором они перечислены в массиве p ).
  • и числа содержат значения параметра длины в начальной и конечной точках. Параметр длины точки − это отношение расстояния от начала участка границы до данной точки к общей длине участка границы.
  • число содержит номер участка границы.
  • и числа − это номера подобластей слева и справа от данной границы. Если мы удалим все внутренние границы, то из и чисел одно число будет равно 1, а другое − 0.

Заметим, что n_e − это число элементарных участков границы (дуг окружностей или эллипсов, отрезков прямых), а n_b − это число сторон конечных элементов, которые выходят на границу. Обычно

Полученную FEM-сетку можно один или несколько раз измельчить при помощи команды refinemesh . Эту команду можно использовать, например, в цикле для достижения нужной точности вычислений.

Изобразить сетку разбиения можно командой pdemesh .

Сформируем треугольную FEM-сетку и измельчим её. Напечатаем количество узлов, элементов, граничных линий. Нарисуем полученную сетку. Выравняем масштабы по осям, надпишем заголовок, метки осей.

Следующий этап − это задание граничных условий. Граничные условия можно задать или в виде матрицы граничных условий (boundary condition matrix), или в виде граничных условий (boundary M-file). Второй вариант проще. Файл граничных условий должен иметь такую структуру:

Входные параметры: p , e − данные по сетке разбиения, u − решение, time − время. Выходные параметры − матрицы граничных условий Дирихле (5.30) или Неймана (5.31). PDE позволянт решать параболические и гиперболические уравнения (зависящие от времени), а также нелинейные задачи, поэтому граничные условия и параметры дифференциального уравнения могут зависеть также от времени и решения.

Для граничных условий Неймана матрицы q и g должны содержать значения параметров q и g в средних точках границ. Размер матрицы q: где N − число уравнений системы, а n_b − число сторон конечных элементов, выходящих на границу. Размер матрицы g: В каждом из столбцов этих матриц должны возвращаться коэффициенты q и g в средних точках соответствующей границы. Для нескольких уравнений элементы q должны следовать по столбцам. Так, например, для уравнений в каждом столбце матрицы q нужно возвратить q₁₁, q₂₁, q₁₂, q₂₂. В случае граничных условий Дирихле в этих матрицах должны возвращаться нулевые значения.

Для граничных условий Дирихле должны формироваться матрицы h и r . Матрица h имеет размеры и содержит значения h сперва во всех начальных точках каждой граничной линии, и сразу за ними − в конечных точках граничных линий. Размер матрицы r : этот массив заполняется аналогично.

Сформируем файл для вычисления граничных условий Дирихле. Число уравнений у нас число точек граничных линий n_b находим из массива e . Формируем строки для записи в файл и записываем их. Файл размещаем в рабочем каталоге системы MATLAB. Имена всех файлов, которые мы будем записывать в каталоги MATLAB, мы будем начинать с префикса My . Файлов с такими именами в каталогах MATLAB’а нет, поэтому мы ничего не испоритм. Файл граничных условий назовём Это − обычный текстовый файл. Расширение говорит о том, что MATLAB будет воспринимать его как свою функцию, причём имя функции должно совпадать с именем файла.

Следующий этап − задание функций, входящих в дифференциальное уравнение.

Найдём C, a, f. Элементы матрицы C − это коэффициенты при частных производных. При их вычислении учтём, что коэффициенты при и одинаковые. Число a − это коэффициент при u в дифференциальном уравнении. Параметр f вычисляем вначале в узлах, а затем в центрах тяжести конечных элементов.

Решаем наше дифференциальное уравнение с помощью функции assempde . Рисуем график решения командой pdeplot . Показываем конечноэлементную сетку и не показываем линейку соответствия цветов. Команда axis возвращает или устанавливает границы рисунка по осям. Мы получили текущие границы, выравняли масштаб по осям Ox и Oy, а затем восстановили старые границы. Надписываем оси. Выбираем палитру. Показываем сетку и контур. Осталось почистить за собой: убрать из текущего каталога записанный туда файл Делаем это командой delete .

5.4. Задание

Для своего варианта функционала выведите дифференциальное уравнение Эйлера-Остроградского и решите его МКЭ. Нарисуйте область решения, сетку МКЭ и трёхмерную поверхность − график решения.

Различные обобщения уравнения Эйлера. Уравнение Пуассона-Эйлера и Остроградского.

Функционалы с производными высшего порядка

Рассмотрим сначала случай, когда подинтегральная функция содержит производные до второго порядка, и соответствующую вариационную задачу с закреплёнными концами:

, , , (2)

В этой задаче необходимо взять четыре условия закрепления, т.е

в два раза больше, чем порядок старшей производной в функционале J(y).

Вычисляя вариацию функционала (1) аналогично тому, как это

было сделано ранее, убеждаемся, что выражение для δI(y, δy) содер-

жит дополнительное слагаемое, именно, в отличие от примера 2.8,

Отметим теперь, что в качестве области определения D(I) = X функционала J(y) нужно выбрать такие функции из , которые удовлетворяют краевым условиям (2). Тогда, очевидно, приращения δy(x) должны удовлетворять краевым условиям

, (4)

Применим к функционалу (3) приём интегрирования по частям, причём для второго слагаемого, как и раньше, один раз, а для третьего — два раза. При этом учтём условия (4). Тогда необходимое условие экстремума приводит к соотношению

Здесь предполагается, что функция F(x, y, y’, y’’) имеет непрерывные производные по своим аргументам вплоть до четвёртого порядка. Тогда выражение в скобках (5) — непрерывная функция, если искомая функция y = y(x) четырежды непрерывно дифференцируема, и по основной лемме вариационного исчисления из (5) получаем, что y = y(x) должна быть решением уравнения

, (6)

которое называют уравнением Эйлера-Пуассона.

Уравнение Эйлера-Пуассона представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение четвёртого порядка, его общее решение содержит четыре произвольных постоянных, которые находятся из четырёх краевых условий (2).

Функционалы от функций нескольких переменных

Рассмотрим для определённости случай, когда аргументом функционала является функция двух переменных z = z(x, y), заданная в некоторой области Ω ⊂

Функционал I, содержащий саму функцию и ее первые частные производные

, имеет вид

Для простейшей вариационной задачи на контуре Γ= ∂Ω следует задать краевое условие Дирихле

где –известна.

Здесь, очевидно, в качестве области определения D(J) = X функционала J(z) следует взять множество

где — множество непрерывно дифференцируемых функций в замыкании области Ω.

Если (x, y) — решение вариационной задачи, а z(x, y) — любая другая функция из D(J), то

δz = z(x, y) − (x, y), δz = 0 (на Γ).

Воспользуемся формулой вычисления вариации функционала J(z):

Теорема. Пусть F = F(x, y, z, p, q) — дважды непрерывно дифференцируемая функция по всем своим аргументам. Если z(x, y) ∈ D(J) даёт экстремум функционалу J(z), то она является решением уравнения

(2)

называемым уравнением Эйлера-Остроградского.

Доказательство. Воспользуемся соотношениями

,

запишем второе и третье слагаемое (5.12) в виде повторного интеграла и осуществим интегрирование по частям во внутреннем интеграле. Например,

Аналогично для последнего слагаемого в (1) имеем

Поэтому, приравнивая нулю правую часть (1), т.е. вариацию

функционала J(z) и учитывая приведенные формулы, будем иметь

(3)

∀ , (на Γ= ∂Ω)

Теперь можно воспользоваться основной леммой вариационного исчисления для функций уже не одной, а нескольких переменных.Так как δz произвольна, непрерывна и обращается в нуль на Γ, то соотношение (3) возможно тогда и только тогда, когда выражение в скобках в (3) равно нулю, т.е. выполнено уравнение Эйлера-Остроградского (2).

Дата добавления: 2015-09-10 ; просмотров: 23 | Нарушение авторских прав

Функционалы, зависящие от нескольких функций

Рассмотренный нами простейший функционал вариационного исчисления – уравнение Эйлера — зависел лишь от одной функции. В приложениях с такого рода функционалами приходится встречаться в тех случаях, когда изучаемый объект (или его поведение) определяется лишь одной функциональной зависимостью. Например, линия на плоскости определяется зависимостью ординаты ее точки от абсциссы, движение материальной точки вдоль оси определяется зависимостью ее координаты от времени и т.п.

Не менее часто приходится встречаться с объектами, которые уже не могут быть определены столь просто. Чтобы задать линию в пространстве, необходимо указать две функциональные зависимости двух ее координат от третьей. Движение точки в пространстве определяется зависимостью трех ее координат от времени и т.д. Изучение таких более сложных объектов приводит к вариационным задачам с несколькими изменяющимися функциями.

Мы ограничимся случаем, когда функционал зависит от двух функций и , так как случай большего числа функций ничем в принципе от него не отличается.

Поставим следующую задачу. Допустимые к сравнению пары функций и определим условиями:

— непрерывно дифференцируемы на отрезке ;

2) на концах отрезка эти функции принимают заданные значения

Среди всевозможных пар функций и нужно найти ту, которой отвечает наименьшее значение интеграла

В трехмерном пространстве каждой паре допустимых функций будет отвечать линия , определяемая уравнениями (18) и проходящая через точки и .

Нам нужно найти минимум интеграла (20) на множестве всех таких линий.

Предположим, что пара функций, доставляющая минимум интегралу (20), существует, и назовем эти функции и . Наряду с ними мы рассмотрим другую пару функций

где и — любые непрерывно дифференцируемые функции, обращающиеся в нуль на концах отрезка; также будут допустимы, и при они совпадут с функциями . Подставим их в (20)

Полученный интеграл будет функцией от . Так как при функции и совпадут с и , то функция должна иметь минимум при . В точке же минимума производная обращается в нуль: .

Вычисление производной дает

или, если члены с и проинтегрировать по частям,

Последнее равенство должно выполняться для любых двух непрерывно дифференцируемых функций и , обращающихся в нуль на концах отрезка. Отсюда, на основании леммы, доказанной несколькими страницами раньше, легко можно заключить, что должны быть выполнены два условия

Итак, если функции доставляют интегралу (20) минимум, они должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений Эйлера (21).

Такое заключение вновь позволяет вариационную задачу о минимуме интеграла (20) заменить граничной проблемой теории дифференциальных уравнений: на отрезке нужно найти решение системы дифференциальных уравнений (21), удовлетворяющее граничным условиям (19).

Как и в прежнем случае, это открывает один из возможных путей для решения поставленной минимальной задачи.

В качестве примера приложения эйлеровой системы (21) рассмотрим вариационный принцип Остроградского–Гамильтона в ньютоновой механике. Ограничимся простейшей формой этого принципа.

Возьмем материальное тело массы т и будем считать, что размерами и формой тела мы можем пренебрегать и принимать его за материальную точку.

Допустим, что из положения , которое точка занимает в момент времени она к моменту времени переместилась в положение . Предположим, что движение было подчинено законам механики Ньютона и происходило под действием силы , зависящей от положения точки и времени и имеющей потенциальную функцию . Последнее означает следующее: составляющие силы по осям координат будут частными производными от некоторой функции по соответствующим координатам

Движение считаем свободным, не подчиненным никаким ограничивающим связям. Для принципа Остроградского–Гамильтона это несущественно: на механическую систему могут быть наложены любые, даже нестационарные связи, лишь бы они были голономными, т.е. могли быть записаны в форме уравнений, не содержащих производных от координат по времени.

Уравнения движения Ньютона будут

Следуя законам механики Ньютона, точка совершит перемещение вполне определенным способом. Наряду с «ньютоновским движением» точки мы будем рассматривать другие ее движения, которые коротко будем называть «допустимыми». Их мы определим двумя требованиями: в момент времени точка занимает положение и в момент — положение .

Как можно отличить «ньютоновское движение» точки от всякого другого «допустимого» ее движения? Такую возможность и дает принцип Остроградского-Гамильтона.

Введем кинетическую энергию точки

и составим так называемый интеграл действия

Содержание принципа таково: «ньютоновское движение» точки отличается от всякого ее «допустимого» движения тем, что оно доставляет интегралу действия стационарное значение.

Интеграл действия зависит от трех функций: .

Так как во всех сравниваемых движениях начальное и конечное положения точки одинаковы, граничные значения этих функций являются закрепленными. Мы имеем здесь вариационную задачу с тремя варьируемыми функциями, имеющими фиксированные значения на концах промежутка .

Выше мы условились говорить, что интеграл (17) имеет стационарное значение на некоторой линии, если она является интегральной линией уравнения Эйлера. В нашей задаче интегрируемая функция

зависит от трех функций и для стационарного значения интеграла должна выполняться система трех дифференциальных уравнений

Так как , то система уравнений Эйлера будет совпадать с уравнениями движения в механике Ньютона. Этим справедливость высказанного принципа установлена.