Уравнение эйнштейна для вязкости дисперсных систем

Вязкость дисперсных систем

Важной характеристикой структурно-механических свойств является течение. Течение бывает ламинарным и турбулентным.

Ламинарное течение – движение жидкости в виде параллельных слоев, имеющих различную скорость и не смещающихся между собой. Возникает при низкой скорости течения и малом перепаде давления.

Турбулентное течение – течение, сопровождающееся вихреобразованием.

В соответствие с уравнением Ньютона сила сопротивления при течении F прямо пропорциональна градиенту скорости du и площади поверхности потока S:

— уравнение Ньютона

где η – коэффициент пропорциональости или вязкость, зависит от природы жидкости Единицей измерения вязкости является пуаз (пз), 1 пз = Па∙с= Н∙с/м 2 . Единица измерения вязкости названа в честь франц. учёного Пуазейля, который впервые изучал движение жидкости в капиллярах.

Ламинарное течение по трубкам или скорость течения жидкости из капилляра описывается уравнением Пуазейля (1842г.), которое было найдено экспериментальным путём:

где u — объемная скорость течения;

r – радиус капилляра трубки;

Δp – перепад давления или разность давления на обоих концах трубки;

Η – вязкость жидкости;

l – длина капилляра.

Величина, обратная вязкости называется текучестью – характеризует подвижность жидкости под влиянием внешних воздействий.

Жидкости, у которых отсутствует зависимость вязкости от характера взаимодействия частиц, подчиняются законам Ньютона и Пуазейля и называются ньютонскими жидкостями. Уравнение Ньютона и Пуазейля соблюдается, если жидкость движется ламинарно.

Вязкость дисперсных систем всегда превышает вязкость чистой дисперсионной среды. Зависимость вязкости коллоидной системы от концентрации дисперсной фазы выражается уравнением Эйнштейна (1906г.):

— уравнение Эйнштейна,

где η – вязкость коллоидной системы;

η₀ – вязкость чистого растворителя (дисперсионной среды);

φ – объемная доля частиц дисперсной фазы;

k – коэффициент, характеризующий форму частицы. Для сферической формы k = 2,5.

Для структурированных систем законы Ньютона не выполняются.

4.1.2. Вязкость разбавленных дисперсных систем

Если в разбавленных дисперсных системах (при отсутствии взаимодействия между диспергированными частицами) размер частиц оказывается значительно большим, чем размер молекул жидкости, но намного меньшим, чем радиус капилляров, по которым такая жидкость течет, то макроскопическая вязкость, измеренная каким-либо методом, будет отличаться от вязкости чистой жидкости, хотя течение такой системы может быть описано законом Ньютона. Происходит это потому, что частица, по своим размерам намного превосходящая молекулы жидкости, искажает картину течения слоев жидкости.

Для сферических частиц расчет вязкого сопротивления потока жидкости, в котором находятся сферические частицы, был проведен Стоксом.

Для несжимаемых гладких сферических частиц, движущихся вдали от стенок капилляра так, что плоскость разрыва между частицей и жидкой фазой проходит в жидкости, сила, уравновешивающая силу потока на неподвижную частицу, составит

где r – радиус частиц, U₀ – скорость движения частицы относительно жидкости, h – вязкость жидкости.

Сила трения и коэффициент вязкого сопротивления движению асимметричных частиц зависит от ориентации таких частиц в потоке жидкости. Существует ряд уравнений для расчета коэффициента трения В для частиц различной формы.

Влияние частиц дисперсной фазы на вязкое течение жидкостей будет состоять в том, что те слои, которые прилегают непосредственно к частицам, могут перемещаться только с той же скоростью, что и частицы. Этот эффект был рассчитан Эйнштейном (1906 г.) для сферических частиц. Принимая, что на достаточном удалении от поверхности частицы поток имеет постоянную скорость, а сама частица перемещается вместе с потоком, Эйнштейн получил уравнение для вязкости дисперсной системы

где h – вязкость дисперсной среды; j – объемная доля частиц дисперсной фазы; 2,5 – коэффициент формы сферических частиц; h_отн= h/h₀– относительная вязкость.

Симха распространил метод Эйнштейна на дисперсии с частицами, имеющими форму, отличающуюся от сферической при низких градиентах скорости течения, когда частицы ориентированы длинной осью параллельно течению, получил уравнение

гдеu – коэффициент формы частиц; для асимметричных частиц всегда больше 2,5.

При больших градиентах скорости течения частицы могут располагаться беспорядочно, в том числе и поперек течения, что приводит к образованию локальных турбулентных областей, для таких дисперсий характерно неньютоновское течение.

Уравнение (2.4.16), известное как уравнение Симха-Эйштейна, общее как для сферических, так и для несферических частиц, часто записывают в форме

где h_уд– удельная вязкость – безразмерная величина, показывающая приращение вязкости относительно вязкости дисперсионной среды, приходящееся на дисперсную фазу.

Можно отметить, что удельная вязкость зависит только от общего объема, занятого дисперсной фазой и не зависит от размера частиц и их распределения по размерам.

Для разбавленных эмульсий, в которых сферические капли жидкости имеют вязкость h’, Тейлор получил уравнение

. (2.4.18)

Для дисперсных систем, где возможно парное взаимодействие частиц, приводящее к образованию ориентированных вдоль потока временных агрегатов частиц, Симха предложил уравнение, описывающее вязкость систем со сферическими частицами, в котором взаимодействие между частицами и возможные их столкновения при течении дисперсии учитываются дополнительным членом:

h_уд = 2,5j + 12,6j 2 . (2.4.19)

Более точным считается теоретическое уравнение Ванда, полученное для дисперсий, в которых образуются агрегаты из двух частиц. В нем не учитывается рассеивание энергии, возможное при столкновении частиц в потоке,

h_уд = 2,5j + 7,34j 2 . (2.4.20)

Это уравнение нашло экспериментальное подтверждение при изучении поведения стеклянных сфер в водно-глицериновой среде с высокой вязкостью. В водной среде был найден коэффициент для второго члена уравнения (2.4.19), равный от 9 до 13, что согласуется как с уравнением Ванда, так и с уравнением Симха.

В общем виде можно записать уравнение зависимости вязкости дисперсии от объемной концентрации дисперсной фазы в виде

h/h₀=1 + aj + bj 2 + cj 3 +.

h_уд=aj + bj 2 + cj 3 +. (2.4.21)

Это уравнение позволяет учесть все виды взаимодействий, возникающих при течении дисперсных систем. Можно отметить, что при концентрации дисперсной фазы менее 1% при расчете второго члена уравнения (2.4.21) относительная вязкость даже при наибольшем значении постоянной b вносит поправку не более 0,1% от найденной относительной вязкости, что находится в пределах экспериментальной погрешности. Естественно, что при более высокой концентрации дисперсной фазы необходимо учитывать второй член уравнения, а при необходимости высокой точности определения вязкости дисперсий — и третий.

Уравнение (2.4.21) можно использовать и для расчета вязкости несферических частиц в зависимости от концентрации.

Для таких систем уравнение зависимости вязкости от концентрации принимает вид

где а – параметр, зависящий от формы частиц; K₁, K₂, K₃. – безразмерные постоянные.

Постоянная а рассчитывается как отношение длинной оси несферических частиц к короткой.

Постоянные уравнений (2.4.21) и (2.4.22) зависят не только от формы частиц, но и от градиента скорости течения, так как при низких скоростях течения броуновское движение частиц создает большое сопротивление течению, особенно если асимметричные частицы ориентируются поперек потока. В этой связи экспериментально найденная вязкость дисперсных систем с постоянной концентрацией уменьшается при повышении скорости сдвига даже в том случае, если в дисперсии не образуется пространственная структура. Приведенные выше уравнения справедливы для дисперсных систем, в которых на поверхности частиц не образуется двойной электрический слой или в которых не развита его диффузионная часть.

Если же на поверхности частиц образуется двойной ионный слой диффузионной структуры, то в процессе течения диффузионная обкладка может отрываться от частиц, в результате чего частицы приобретают нескомпенсированный заряд и течение может тормозиться в результате электростатического взаимодействия. Этот эффект, называемый электровязкостным, учитывается добавочным членом в уравнении Эйнштейна (2.4.14)

, (2.4.23)

где e – диэлектрическая проницаемость среды; z – электрокинетический потенциал; r – радиус частиц; k – удельная электрическая проводимость среды; h₀ – вязкость дисперсионной среды.

Уравнение (2.4.23) в 1916 г. предложил Смолуховский для жестких не набухающих частиц. При развитых диффузионных слоях для частиц с r» 10 -8 м при k» 10 -4 Ом -1 ×cм -1 поправочный член может быть на порядок больше основного.

При введении электролитов и следующим за этим сжатием двойного ионного слоя вязкость падает до некоторого предельного значения, не зависящего от вида добавленного электролита.

Экспериментальная проверка уравнения (2.4.23) показала, что найденные экспериментальные значения вязкости в 100 раз меньше рассчитанного по уравнению Смолуховского. В связи с этим были предложены другие уравнения, учитывающие электровязкостный эффект, в частности, известное уравнение Буфа:

, (2.4.24)

где q – постоянная, зависящая от температуры и природы электролита; е – элементарный заряд; k – параметр Дебая, характеризующий толщину двойного ионного слоя; f(kr) – параметр, зависящий от размера частиц и толщины двойного ионного слоя.

Уравнение Буфа более точно учитывает электровязкостный эффект и теоретически предсказывает порядок величины вязкости. Рассчитанные по этому уравнению и найденные экспериментально значения вязкости имеют один порядок, но различаются по величине в 2-3 раза.

Экзаменационные билеты по коллоидной химии. Экзаменационный билет 1

Название	Экзаменационный билет 1
Анкор	Экзаменационные билеты по коллоидной химии.doc
Дата	10.04.2017
Размер	3.47 Mb.
Формат файла
Имя файла	Экзаменационные билеты по коллоидной химии.doc
Тип	Документы #4693
Категория	Химия
страница	9 из 12

Подборка по базе: квартальные и годовые зачёты 2018 билеты новые .doc, экзамен Психология. Билет 5.doc, 13 БИЛЕТ.docx, 1 билет.docx, анализ билет 12.docx, Ответы на билеты по автоматизации.docx, ответы на билеты 6 класс (1).docx, Экзаменационные билеты по дисциплине «Микроэкономика».doc, бх 3 апта билеттер.docx, Ответы на экзаменационные вопросы по экономике морского транспор

Общее определение поверхностной активности дается соотношением:

Поверхностная активность, как и гиббсовская адсорбция, может быть положительной и отрицательной. Абсолютное значение и ее знак зависят от природы как адсорбируемого вещества, так и среды (растворителя). Если с увеличением концентрации вещества поверхностное натяжение на границе раздела фаз понижается, то такое вещество называют поверхностно-активным. Для таких веществ

Вещества, повышающие поверхностное натяжение на границе раздела фаз с увеличением концентрации, называют поверхностно-инактивными. Для них

Ньютоновские жидкости, уравнения Ньютона и Пуазейля. Методы измерения вязкости. Уравнение Эйнштейна для вязкости дисперсных систем, границы применения.

Жидкообразные тела классифицируют на ньютоновские и неньютоновские жидкости. Ньютоновскими жидкостями называют системы, вязкость которых не зависит от напряжения сдвига и является постоянной величиной в соответствии с законом Ньютона: P = η Течение неньютоновских жидкостей не следует закону Ньютона, их вязкость зависит от напряжения сдвига. В свою очередь, они подразделяются на стационарные, реологические свойства которых не изменяются со временем, и нестационарные, для которых эти характеристики зависят от времени. Среди неньютоновских стационарных жидкостей различают псевдопластические и дилатантные. Типичные зависимости скорости деформации жидкообразных тел от напряжения (кривые течения, или реологические кривые) представлены на рисунке.

Общую зависимость напряжения сдвига от скорости деформации можно выразить в виде степенной функции:

Если n = 1, то данное соотношение переходит в уравнение Ньютона.

Это двухпараметрическое уравнение известно под названием математической модели Оствальда — Вейля. Ньютоновская вязкость η неньютоновской стационарной жидкости определяется уравнением .

Если n = 1, жидкость является ньютоновской и константа k совпадает со значением ньютоновской вязкости (кривая 1). Таким образом, отклонение n от единицы характеризует степень отклонения свойств жидкости от ньютоновских.

Основы теории вязкости разбавленных лиозолей (суспензий) были заложены Эйнштейном. Он исходил из гидродинамических уравнений для систем макроскопических твердых сферических частиц,, которые при сдвиге приобретают дополнительное вращательное движение. Возникающее при этом рассеяние энергии является причиной возрастания вязкости. Эйнштейном была установлена связь между вязкостью дисперсной системы η и объемной долей дисперсной фазы φ:

Формула Эйнштейна не учитывает наличия у частиц поверхностных слоев, таких как адсорбционные, сольватные и двойные электрические. Оно было получено в предположении отсутствия взаимодействия между частицами дисперсной фазы, поэтому оно справедливо только для разбавленных растворов. С увеличением концентрации дисперсной фазы взаимодействие частиц возрастает, и его необходимо учитывать.

Одним из приборов для определения вязкости является капиллярный вискозиметр. При измерении капиллярным вискозиметром, вязкость рассчитывают по уравнению Пуазейля:

Для исследования вязкости неньютоновских жидкостей используется ротационный вискозиметр.

Рассчитайте ζ-потенциал по данным электроосмоса через корундовую (Аl₂О₃) мембрану: при силе тока 0,015 A за 60 секунд перенесено 1,2 мл раствора, удельная электропроводимость которого χ_V = 0,012 Ом -1 ·м -1 , поверхностная проводимость χ_S = 0,005 Ом -1 ·м -1 , η = 10 -3 Па·с, ε = 81, ε₀ = 8,85·10 -12 Ф/м.

Экзаменационный билет № 18

Адгезия, смачивание и растекание жидкостей как поверхностные явления, общность и различие этих явлений. Условия растекания, коэффициент растекания по Гаркинсу. Влияние ПАВ на смачивание и растекание.

Адгезия, смачивание и растекание относятся к межфазным взаимодействиям, которые происходят между конденсированными фазами. Межфазное взаимодействие, или взаимодействие между приведенными в контакт поверхностями конденсированных тел разной природы, называют адгезией (прилипанием).

Смачивание— это поверхностное явление, заключающееся во взаимодействии жидкости с твердым или другим жидким телом при наличии одновременного контакта трех несмешивающихся фаз, одна из которых обычно является газом (воздухом). Степень смачивания количественно характеризуется косинусом краевого угла (угла смачивания), или просто краевым углом (углом смачивания).

Капля жидкости, нанесенная на поверхность, может оставаться на ее определенном участке, и система будет находиться в равновесии в соответствии с законом Юнга, или же растекаться по поверхности. В обоих этих случаях система переходит в состояние с минимальной энергией Гиббса. Если капля не растекается, то, кал было показано выше, краевой угол зависит от соотношения работ адгезии W_а и когезии W_к смачивающей жидкости.

Рассмотрим условия растекания жидкости 2 по поверхности 3. Изменение энергии Гиббса можно записать следующим пбразом:

Для самопроизвольного процесса dG 0:

Если разность заменить выражением из уравнения Дюпре, то получим или

Разницу между левой и правой частями этих неравенств называют коэффициентом растекания f по Гаркинсу: или

При положительном значении коэффициента f жидкость растекается по поверхности, при отрицательном — нe растекается.

Введение ПАВ уменьшает работу когезии (поверхностное натяжение) жид к ости а значит, как следует из уравнения Дюпре-Юнга, увеличивает смачивание. Лучше смачивает та жидкость, которая имеет меньшее поверхностное натяжение или работу когезии.

Седиментационный анализ. Кривые распределения частиц по размерам, их расчет и назначение, седиментация в центробежном поле.

Принцип седиментационного метода анализа дисперсности состоит в измерении скорости осаждения частиц, обычно в жидкой среде. По скорости осаждения с помощью соответствующих уравнений рассчитывают размеры частиц. Метод позволяет определить распределение частиц по размерам и соответственно подсчитать их удельную поверхность.

При седиментационном анализе дисперсности полидисперсных систем определяют время осаждения частиц отдельных фракций, рассчитывают скорости их осаждения и соответствующие им размеры частиц. Для этого сначала измеряют зависимость массы осевшего осадка от времени, строят график этой зависимости, называемой кривой седиментации, по которому затем определяют все необходимые характеристики дисперсной системы.

Имеются графические и аналитические методы расчета кривой седиментации.

Реальная кривая седиментации полидисперсной системы обычно получается плавной и ей отвечает множество бесконечно малых участков, касательные в каждой точке этой кривой отражают седиментацию данной бесконечно малой фракции.

Результаты седиментациоиного анализа дисперсности полиднсперсных систем представляют также в виде кривых распределения частиц по размерам, характеризующих степень полиднсперсности системы.

Кривая распределения является наглядной и удобной характеристикой полидисперсности системы, по которой легко определить содержание различных фракций. Ее строят подобно кривой распределения пор по размерам. Обычно сначала получают интегральную кривую распределения, проводят ее выравнивание с учетом точности получаемых средних значений радиусов частиц фракций и затем по ней строят дифференциальную кривую распределения. Иногда дифференциальную кривую строят сразу. На оси абсцисс откладывают значения радиусов; на ось ординат наносят отношение приращения массовых долей к разности радиусов частиц соседних фракций Δx/Δr_i. Построив на графике отдельные прямоугольники для каждой фракции (гистограмму) и соединив плавной кривой середины их верхних сторон, получают дифференциальную кривую распределения частиц полидисперсной системы по размерам.

Для осуществления седиментации ультрамикрогетерогенных систем русский ученый А. В. Думанский в 1912 г. предложил использовать центробежное поле. Этот способ удалось реализовать шведскому ученому Сведбергу, который разработал центрифугу с частотой вращения в несколько десятков тысяч оборотов в секунду.

Центробежная сила F_ц, как и нормальное ускорение а, пропорциональна кривизне траектории движения частицы (при постоянной линейной скорости u):

Равновесие между F_тр и F_ц, которое наступает при седиментации, удобнее записать таким образом (чтобы оставить одну переменную от времени):

Разделяя переменные в полученном соотношении и интегрируя его в пределах от начального расстояния x₀ до x и соответственно от τ = 0 до τ, получим:

или

По характеристикам седиментации в центробежном поле при частоте вращения ротора в несколько десятков тысяч оборотов в секунду можно рассчитывать молекулярную массу, например, полимеров. Определив массу m или размер r макромолекулы, мольную массу (численно равную молекулярной массе) рассчитывают по формуле:

Рассчитайте толщину диффузной части ДЭС частиц гидрозоля AgI при 25 ºС. Дисперсионная среда золя (ε = 77) содержит Ва(NО₃)₂ (М = 261) с концентрацией 50 г/м 3 . Во сколько раз изменится толщина диффузной части, если концентрацию Ba(NO₃)₂ повысить в 4 раза?

Экзаменационный билет № 19

Правило фаз Гиббса и дисперсность. Влияние кривизны поверхности (дисперсности) на внутреннее давление тел (вывод и анализ уравнения Лапласа). Капиллярные явления (уравнение Жюрена).

Дисперсность является самостоятельным и полноправным термодинамическим параметром системы, а для дисперсных систем правило фаз Гиббса принимает следующий вид:

F – количество степеней свободы, К – количество компонентов, Ф – количество фаз.

Рассмотрим результат влияния кривизны поверхности раздела между двумя несмешивающимися жидкостями на внутреннее давление в фазах.

Кривизна вызывает изменение площади и положения межфазной поверхности, что можно выразить приращением поверхностной энергии σds. Кроме того, изменяются объемы фаз V₁ и V₂ на dV₁ и dV₂. При условии постоянства объема всей системы dV₁ = — dV₂. Изменение объемов вызывает соответствующие изменения энергий фаз 1 и 2 на p₁dV₁ и p₂dV₂ (где p₁ и р₂ — давления внутри фаз). Соотношение между поверхностной энергией и «объемной» можно записать с помощью обобщенного уравнения первого и второго начал термодинамики относительно энергии Гельмгольца F при T=const:

При равновесии между фазами ΔF = 0, тогда

Это уравнение называется уравнением Лапласа.

Для сферической поверхности и уравнение принимает вид .

Капиллярные явления наблюдаются в содержащих жидкость узких сосудах (капилляры, капиллярно-пористые тела), у которых расстояние между стенками соизмеримо с радиусом кривизны поверхности жидкости. Кривизна возникает в результате взаимодействия жидкости со стенками сосуда (адгезия, смачивание). Специфика поведения жидкости в капиллярных сосудах зависит от того, смачивает или не смачивает жидкость стенки сосуда, точнее, от значения краевого угла.

Рассмотрим положение уровней жидкости в двух капиллярах, один из которых имеет лиофильную поверхность и поэтому стенки его смачиваются, у другого внутренняя поверхность лиофобизирована и не смачивается. В первом капилляре поверхность жидкости имеет отрицательную кривизну, поэтому дополнительное давление Лапласа стремится растянуть жидкость (давление направлено к центру кривизны) и поднимает ее в капилляре. Кривизна поверхности жидкости во втором капилляре положительна, дополнительное давление направлено внутрь жидкости, в результате жидкость в капилляре опускается (отрицательное капиллярное поднятие). При равновесии лапласовское давление равно гидростатическому давлению столба жидкости высотой h:

Чтобы высоту капиллярного поднятия связать с характеристикой смачивания, радиус мениска необходимо выразить через угол смачивания θ и радиус капилляра r₀. На рисунке показан мениск жидкости в капилляре. Видно, что r₀ = r·соsθ, тогда высоту капиллярного поднятия можно представить в виде формулы Жюрена:

Нередко приходится наблюдать, как жидкость не может вытечь из капилляра под действием силы тяжести. Это объясняется проявлением действия капиллярного потенциала, направленного против силы тяжести, так как на нижнем конце капилляра жидкость образует мениск с положительной кривизной. Если часть капилляра, находящаяся над жидкостью, меньше высоты поднятия жидкости, жидкость из него не вытекает, так как кривизна мениска жидкости вверху капилляра становится положительной (положительный радиус кривизны), отвечающей гидростатическому давлению столба жидкости, равному размеру (высоте) капилляра, т. е. устанавливается равновесие.

Природа броуновского движения. Понятие и определение среднеквадратичного сдвига по выбранному направлению. Взаимосвязь между среднеквадратичным сдвигом и коэффициентом диффузии (ввод уравнения Эйнштейна-Смолуховского). Следствия из теории броуновского движения.

Основой доказательства теплового молекулярного движения в телах явилось обнаруженное английским ботаником Робертом Броуном в 1827 г. с помощью микроскопа непрерывное движете очень мелких частичек — спор папоротника (цветочной пыльцы), взвешенных в воде. Более крупные частицы находились в состоянии постоянного колебания около положения равновесия. Колебания и перемещения частиц ускорялись с уменьшением их размера и повышением температуры и не были связаны с какими-либо внешними механическими воздействиями.

Теоретически обоснованная интерпретация броуновского движения — участие частиц дисперсной фазы ультрамикрогетерогенных систем в тепловом движении — была дана независимо друг от друга Эйнштейнии (1905 г.) и Смолуховским (1906 г.).

Проведенными исследованиями была окончательно доказана природа броуновского движения. Молекулы среды (жидкости или газа) сталкиваются с частицей дисперсной фазы, в результате чего она получает огромное число ударов со всех сторон.

Эйнштейн и Смолуховский для количественного выражения броуновского движения частиц ввели представление о среднем сдвиге частицы. Если при наблюдении движения частицы золя под микроскопом через определенные равные промежутки времени отмечать ее местонахождение, то можно получить ее траекторию движения. Так как движение происходит в трехмерном пространстве, то квадрат среднего расстояния, проходимого частицей за любой промежуток времени, равен .

Под микроскопам наблюдают проекцию смещения частицы на плоскость за какое-то время, поэтому .

При равновероятных отклонениях частицы ее направление будет находиться между направлениями x и у, т. е. под углом 45° к каждой координате. Отсюда или .

Из-за равновероятных отклонений среднеарифметическое значение сдвигов равно нулю. Поэтому используются среднеквадратичные расстояния, проходимые частицей:

Эйнштейн и Смолуховский, постулируя единство природы броуновского движения и теплового движения, установили количественную связь между средним сдвигом частицы (называемым иногда амплитудой смещения) и коэффициентом диффузии D.

Если броуновское движение является следствием теплового движения молекул среды, то можно говорить о тепловом движении частиц дисперсной фазы. Это означает, что дисперсная фаза, представляющая собой совокупность числа частиц, должна подчиняться тем же статистическим законам молекулярно-кинетической теории, приложимым к газам или растворам.

Для установления связи между средним сдвигом (смещением) частицы и коэффициентом диффузии представим себе трубку с поперечным сечением S, наполненную золем, концентрация частиц которого уменьшается слева направо. В этом же направлении протекает и диффузия частиц золя (на рисуике отмечено стрелкой). Выделим по обе стороны от линии MN два малых участка 1 и 2, размеры которых в направлении диффузии равны Δ — среднему квадратичному сдвигу за время τ. Обозначим частичную концентрацию золя в объемах этих участков соответственно через ν₁ и ν₂ (ν₁>ν₂). Хаотичность теплового движения приводит к равной вероятности переноса дисперсной фазы из обоих объемов вправо и влево от линии MN: половина частиц переместится вправо, а другая половина — влево. Количество дисперсной фазы за время τ переместится из объема 1 вправо: , а из объема 2 влево (в обратном направлении):.

Так как |Q₁| > |Q₂| (ν₁>ν₂), то суммарное количество перенесенного вещества через плоскость MN вправо определится соотношением .

Градиент концентрации по расстоянию в направлении диффузии можно выразить так:

Подставляя, получим:

Сравнивая это соотношение с первым законом диффузии Фика: , окончательно имеем:

источники:

http://xumuk.ru/colloidchem/127.html

http://topuch.ru/ekzamenacionnij-bilet-1/index9.html