Уравнение фигуры в декартовых координатах называется

Уравнение фигуры в декартовых координатах называется

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Четырёхугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на некоторой окружности, и описанным, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Вершины четырёхугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырёхугольника, называются диагоналями.

Стороны четырёхугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.

Четырёхугольник обозначается указанием его вершин. Например, ABCD. В обозначении четырёхугольника рядом стоящие вершины должны быть соседними. Четырёхугольник ABCD можно также обозначить BCDA или DCBA. Но нельзя обозначить ABDC (В и D — не соседние вершины).

Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется периметром.

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Теорема 6.1. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Свойство диагоналей параллелограмма

Теорема 6.2 . (обратная теореме 6.1) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма

Теорема 6.3 . У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Теорема 6.4 . Диагонали прямоугольника равны.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Квадрат

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

1. У квадрата все углы прямые.
2. Диагонали квадрата равны.
3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Теорема Фалеса

Теорема 6.6 . Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Замечание. В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же: параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема 6.7 . Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.

Теорема 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пропорциональные отрезки

Теорема 6.9 . Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Замечательные точки в треугольнике

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Все три прямые, содержащие высоты к сторонам треугольника, тоже пересекаются в одной точке (ортоцентр треугольника). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Окружность, описанную около треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, называют окружностью Эйлера (окружность девяти точек). Середины сторон треугольника и середины отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности с центром О, являющейся по определению окружностью Эйлера.

Раздел 2. Теорема Пифагора

Косинус угла

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла а обозначается так: cos а и равен отношению катета АС, прилежащего к этому углу, к гипотенузе АВ, т. е. cos a = АС/АВ.

Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Это означает, что у двух прямоугольных треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны.

Теорема Пифагора

Теорема 7.2. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Отсюда, в свою очередь, следует, что cos а 2 + 4 2 = 5 2 ).

В связи с указанным способом построения прямого угла треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц иногда называют египетским.

Перпендикуляр и наклонная

Пусть ВА — перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С — любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведённой из точки В к прямой а (рис. 153). Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной.

Из теоремы Пифагора следует, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Неравенство треугольника

Если точки А и В различны, то расстоянием между ними называется длина отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю.

Теорема 7.3. Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.

Это значит, что каждое из этих расстояний меньше суммы или равно сумме двух других. Заметим, что в случае, когда точки не лежат на одной прямой, в неравенстве треугольника строгое неравенство. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным а.

• Согласно определению cos а равен отношению катета, прилежащего к углу а, к гипотенузе.
• Синусом угла а (обозначается sin а) называется отношение противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ: sin а = ВС/АВ.
• Тангенсом угла а (обозначается tg a) называется отношение противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС: tg a = ВС/АС.
• Котангенсом угла а (обозначается ctg a) называется отношение прилежащего катета АС к противолежащему катету ВС: ctga = АС/ВС.

Синус, тангенс и котангенс утла, так же как и косинус, зависят только от величины угла. Из определения sin a, cos a, tg a и ctg a получаем следующие правила:

1. Катет, противолежащий углу а, равен произведению гипотенузы на sin a.
2. Катет, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы на cos a.
3. Катет, противолежащий углу а, равен произведению второго катета на tg a.
4. Катет, прилежащий к углу а, равен произведению второго катета на ctg a.

Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны; зная две стороны, находить острые углы.

Для sin a, cos a, tg a и ctg a составлены специальные таблицы . Эти таблицы позволяют по данному углу а найти sin a, cos a, tg a и ctg a или по значениям sin a, cos a, tg a и ctg a найти соответствующий угол. В настоящее время для этой цели обычно применяют микрокалькуляторы.

Основные тригонометрические тождества

Эти тождества позволяют, зная одну из величин sin a, cos a, tg a или ctg a, найти три другие.

1. tg a = sin a / cos a.
2. сtg a = cos a / sin a.
3. sin 2 a + cos 2 a = 1.
4. 1 + tg 2 a = 1 / cos 2 a
5. 1 + ctg 2 a = 1 / sin 2 a

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов

Теорема 7.4. Для любого острого угла a: sin (90° — a) = cos a, cos (90° — a) = sin a.

Изменение синуса, косинуса, тангенса и котангенса при возрастании угла

Теорема 7.5 . При возрастании острого угла sin a и tg a возрастают, а cos a и ctg a убывают.

Раздел 3. Декартовы координаты на плоскости

Определение декартовых координат

Проведём на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х и у — оси координат. Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у — осью ординат. Точкой пересечения О — началом координат — каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из них называть положительной, отмечая её стрелкой, а другую — отрицательной.

Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел — координаты точки — абсциссу (х) и ординату (у) по такому правилу.

Через точку А проведём прямую, параллельную оси ординат. Она пересечёт ось абсцисс х в некоторой точке Ах. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Ах. Это число будет положительным, если Ах принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если Ах принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси у, то полагаем х равным нулю.

Ордината (у) точки А определяется аналогично. Через точку А проведём прямую, параллельную оси абсцисс х. Она пересечёт ось ординат у в некоторой точке Ау. Ординатой точки А мы будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Ау. Это число будет положительным, если Ау принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если Ау принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс х, то полагаем у равным нулю. Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: А (х; у) (на первом месте абсцисса, на втором — ордината).

Оси координат разбивают плоскость на четыре части — четверти: I, И, III, IV.

Точки оси х (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты (у = 0), а точки оси у (оси ординат) имеют равные нулю абсциссы (х = 0). У начала координат абсцисса и ордината равны нулю.

Плоскость, на которой введены описанным выше способом координаты х и у, будем называть плоскостью ху. Произвольную точку на этой плоскости с координатами х и у будем иногда обозначать просто (х; у). Введённые на плоскости координаты х и у называются декартовыми по имени Р. Декарта, который впервые применил их в своих исследованиях.

Координаты середины отрезка

Пусть А (х1; у1) и В (х2; у2) — две произвольные точки и С (х; у) — середина отрезка АВ. Найдём координаты х, у точки С.
х = (х1 + х2)/2; у = (у1 = у2)/2

Расстояние между точками

Пусть на плоскости ху даны две точки: А1 с координатами х1, у1 и А2 с координатами х2, у2. Выразим расстояние между точками А1 и А2 через координаты этих точек.
d 2 = (х₁ — х₂) 2 + (у₁ — у₂) 2
где d — расстояние между точками А1 и А2.

Уравнение окружности

Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.

Составим уравнение окружности с центром в точке А0 (а; b) и радиусом R
(х — а) 2 + (у — b) 2 = R 2 .
Если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид: х 2 + у 2 = R 2 .

Уравнение прямой

Любая прямая в декартовых координатах х, у имеет уравнение вида ах + by + с = 0, где а, b, с — некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел а, b не равно нулю.

Координаты точки пересечения прямых

Координаты точки пересечения являются решением системы уравнений, задающих прямые.

Расположение прямой относительно системы координат

Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если её уравнение ах + by + с = 0 имеет тот или иной частный вид.

1. а = 0, b ≠ 0. В этом случае уравнение прямой можно переписать так: у = -c/b. Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату (-c/b); следовательно, прямая параллельна оси х. В частности, если с = 0, то прямая совпадает с осью х.
2. b = 0, а ≠ 0. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси у и совпадает с ней, если и с = 0.
3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой.

Угловой коэффициент в уравнении прямой

Если в общем уравнении прямой ах + by + с = 0 коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим y = -a/b, x = -c/b. Или, обозначая -a/b = k, -c/b = l, получим у = kx + l.

Коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью х. Коэффициент k в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой.

График линейной функции

Графиком линейной функции является прямая.

Пересечение прямой с окружностью

Пусть R — радиус окружности и d — расстояние от центра окружности до прямой. Примем центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную к данной,— за ось х (рис. 180). Тогда уравнением окружности будет х 2 + у 2 = R 2 , а уравнением прямой х = d.

Для того чтобы прямая и окружность пересекались, надо, чтобы система двух уравнений х2 + у2 = R2, х = d имела решение. И обратно: всякое решение этой системы даёт координаты х, у точки пересечения прямой с окружностью.

1. Окружность и прямая имеют две точки пересечения, если R > d.
2. Система имеет одно решение, т. е. прямая и окружность касаются, если R = d
3. Система не имеет решения, т. е. прямая и окружность не пересекаются, если R Раздел 4. Движение

Преобразование фигур

Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной.

Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, т. е. переводит любые две точки X и У одной фигуры в точки X’ и Y’ другой фигуры так, что ХУ = Х’У’.

Замечание. Понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении. Но если мы представляем себе непрерывный процесс, то в геометрии для нас будут иметь значение только начальное и конечное положения фигуры. Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Преобразование, обратное движению, также является движением.

Свойства движения

Теорема 9.1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Это значит, что если точки А, В, С, лежащие на прямой, переходят в точки А1, В1, С1, то эти точки также лежат на прямой; если точка В лежит между точками А и С, то точка В1 лежит между точками А1 и С1.

Из теоремы 9.1 следует, что при движении прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки. При движении сохраняются углы между полупрямыми.

Симметрия относительно точки

Пусть О — фиксированная точка и X — произвольная точка плоскости. Отложим на продолжении отрезка ОХ за точку О отрезок ОХ’, равный ОХ. Точка X’ называется симметричной точке X относительно точки О. Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая её точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно точки О (рис. 189).

Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется центром симметрии.

Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Его центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

Теорема 9.2. Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Симметрия относительно прямой

Пусть g — фиксированная прямая. Возьмём произвольную точку X и опустим перпендикуляр АХ на прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку А отложим отрезок АХ’, равный отрезку АХ. Точка X’ называется симметричной точке относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая её точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно прямой g.

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры.

Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника. Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Теорема 9.3. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Поворот

Поворотом плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.

Это значит, что если при повороте около точки О точка X переходит в точку X’, то лучи ОХ и ОХ’ образуют один и тот же угол, какова бы ни была точка X. Этот угол называется углом поворота. Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом.

Параллельный перенос и его свойства

Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (данное определение не является математически строгим).

Параллельный перенос задаётся формулами х = х + а, у’ = у + b. Эти формулы выражают координаты х’, у’ точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном переносе.

Параллельный перенос есть движение. Параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

Существование и единственность параллельного переноса. Сонаправленность полупрямых

Теорема 9.4. Каковы бы ни были две точки А и А’, существует один и только один параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А’.

Две полупрямые называются одинаково направленными или сонаправленными, если они совмещаются параллельным переносом, т. е. существует параллельный перенос, который переводит одну полупрямую в другую.

Если полупрямые а и b одинаково направлены и полупрямые b и с одинаково направлены, то полупрямые а и с тоже одинаково направлены.

Две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одинаково направлена с полупрямой, дополнительной к другой.

Геометрические преобразования на практике

Известно, что геометрия как наука выросла из практического землемерия. А теперь сама она имеет большое прикладное значение. В частности, на практике широко используются геометрические преобразования

Равенство фигур

Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую. Для обозначения равенства фигур используется обычный знак равенства. Запись F = F’ означает, что фигура F равна фигуре F’. В записи равенства треугольников: DАВС = DA1B1C1 — предполагается, что совмещаемые при движении вершины стоят на соответствующих местах. При таком условии равенство треугольников, определяемое через их совмещение движением, и равенство, как мы его понимали до сих пор, выражают одно и то же.

Это значит, что если у двух треугольников соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны, то эти треугольники совмещаются движением. И обратно: если два треугольника совмещаются движением, то у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

Раздел 5. Векторы

Абсолютная величина и направление вектора

Вектор — это направленный отрезок. Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, b, с, … . Можно также обозначать вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова «вектор» над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или черта.

Векторы АВ и CD называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Векторы АВ и CD называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и CD противоположно направлены.

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.

Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулём с чёрточкой (0). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю.

Равенство векторов

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора. Из данного определения равенства векторов следует, что

равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Координаты вектора

Пусть вектор а имеет началом точку А1 (х1; у1), а концом точку А2 (х2; у2). Координатами вектора а будем называть числа а1 = х2 – х1, а2 = у2 – у1. Координаты нулевого вектора равны нулю.

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Сложение векторов

Суммой векторов а и b с координатами а1, а2 и b1, b2 называется вектор с с координатами a1 +b1, a2 + b2.

Теорема 10.1. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство АВ + ВС = АС.

Сложение сил

Силу, приложенную к телу, удобно изображать вектором, направление которого совпадает с направлением действия силы, а абсолютная величина пропорциональна величине силы. Как показывает опыт, при таком способе изображения сил равнодействующая двух или нескольких сил, приложенных к телу в одной точке, изображается суммой соответствующих им векторов.

Представление силы в виде суммы сил, действующих в двух заданных направлениях, называется разложением силы по этим направлениям. Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси.

Умножение вектора на число

Произведением вектора (а1; а2) на число λ называется вектор (λа1; λа2).

Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора λа равна |λ| |a|. Направление вектора λа при а ≠ 0 совпадает с направлением вектора а, если λ > 0, и противоположно направлению вектора а, если λ 2 и называется скалярным квадратом.

Для любых векторов а(а1; а2), b(b1; b2), с(с1; с2)
(а + b) • с = ас + bс.

Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Из теоремы 10.3 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нулевого векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Разложение вектора по координатным осям

Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.

Для любого вектора a (a1; а2) получается разложение а = а1е1 + а2е2.

Вы смотрели «Геометрия 8 Погорелов: все теоремы и определения» — краткое повторение геометрии за 8 класс (основные понятия, определения и теоремы без доказательств ).

Уравнения фигур

Уравнение фигуры — это уравнение с двумя переменными x и y, для которого выполняются два условия: 1) координаты любой точки фигуры F удовлетворяют этому уравнению.

Содержание:

Понятие уравнения фигур

Название этого раздела означает: геометрические фигуры можно задавать уравнениями (некоторые фигуры можно задавать неравенствами).

Известно, что точки плоскости и пространства задаются их координатами, геометрические фигуры могут задаваться уравнениями или неравенствами: — уравнение прямой; — уравнение окружности; — уравнение сферы и т. д.

Говорят, что фигура F задается уравнением в прямоугольных координатах, если точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению. Это означает, что выполняются два условия:

1. Если точка принадлежит фигуре F, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению.

2. Если числа х, у, г удовлетворяют данному уравнению, то точка с такими координатами принадлежит фигуре F.

Второе условие можно выразить иначе: координаты любой точки, не принадлежащей фигуре F, не удовлетворяют данному уравнению.

Например, прямая, перпендикулярная оси Ох и проходящая через точку М(2, 0), на оси Ох задается уравнением х = 2 (рис. 2.461). Действительно, каждая точка, лежащая на этой прямой, имеет одну и ту же координату 2. А любая точка, не лежащая на этой прямой, имеет другое значение координаты х, нежели 2. Ось Оу задается уравнением х = 0.

Аналогично прямая, перпендикулярная оси Оу и проходящая через точку Щ0, 3), имеет уравнение у = 3 (рис. 2.462). Ось Ох имеет уравнение у = 0.

Уравнение прямой

Можно доказать такую теорему.

Теорема 3. Любая прямая в декартовой системе координат хОу имеет уравнение вида — некоторые числа.

Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если ее уравнение имеет тот или иной частный вид.

1. В этом случае уравнение прямой можно переписать так:

Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату ; следовательно, прямая параллельна оси х (рис. 2.463). В частности, если с = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

2. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси Оу (рис. 2.464) и совпадает с ней, если и с = 0.

3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 2.465).

Если в общем уравнении прямой коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим: Или, обозначая получим: у = kх + d.

Коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью Ох. В уравнении прямой, изображенной на рисунке 2.466, k > 0.

Коэффициент k в уравнении прямой называют угловым коэффициентом прямой.

Уравнения окружности и сферы

Составим уравнение окружности с центром в точке и радиусом R (рис. 2.467).

1. Возьмем произвольную точку А(х, у) на окружности. Расстояние от нее до центра О равно R.

2. Квадрат расстояния от точки А до точки О равен (формула расстояния между точками).

3. Координаты х, у каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению

(2, определение окружности).

Получили искомое уравнение. Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению окружности, принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки О равно R. Отсюда следует, что данное уравнение действительно является уравнением окружности с центром в точке О и радиусом R.

Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:

Выведем теперь уравнение сферы. Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат и задана сфера S с центром и радиусом R. Эта сфера есть множество точек М, для которых расстояние от А равно R, т. е. AM = R (рис. 2.468).

Пусть х, у, z — координаты точки М. Согласно формуле расстояния между точками в пространстве, предыдущее равенство можно записывать в координатах так:

Это и есть уравнение сферы S с центром и радиусом R, т. е. множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, представляет собой сферу S (рис. 2.468).

Если центр А находится в начале координат, т. е. то уравнение получает простой вид:

Рассмотрим шар с центром и радиусом R (рис. 2.469).

По определению, это множество точек М, для которых , т. е. . Выражая расстояние AM через координаты точки М(х, у, z), получим:

Это неравенство задает шар S с центром и радиусом R, так как оно равносильно неравенству , задающему такой шар по самому его определению.

Если центр шара находится в начале координат, то уравнение шара упрощается и имеет вид:

Два предприятия A и В производят продукцию с одной и той же ценой т за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 руб. на 1 км, а для предприятия В 20 руб. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными?

Решение:

1. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу — через точку А (построение) (рис. 2.470).

2. Пусть N — произвольная точка, — расстояния от точки N до предприятий А и Б (рис. 2.471).

3. При доставке груза из пункта А расходы равны (1,2).

4. При доставке груза из пункта Б расходы равны (1,2).

5. Если для пункта N выгоднее доставлять груз с предприятия А, то откуда , в обратном случае получим (3,4).

6. Таким образом, границей этих двух областей для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и Б равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению (5)

7. Выразим через координаты:

(1,2, формула расстояния между точками).

8. Имея в виду равенство из п. 6, получим:

(6,7).

9. Это есть уравнение окружности (рис. 2.472).

Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, — из пункта А.

Пример 2.

Два наблюдаемых пункта находятся в точках Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от точки А на расстояние км, а от В на расстояние с км (с > ). Наблюдатель для безопасности должен идти по такому пути, чтобы расстояние от него до пункта А все время оставалось в два раза больше, чем расстояние от него до пункта В. По какой линии должен идти наблюдатель?

Решение:

Из условий задачи имеем:

1. Два наблюдаемых пункта находятся в точках

2. Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от А на расстоянии км, а от В — с км (с > ).

3. Наблюдатель идет так, чтобы расстояние до пункта А было в два раза больше, чем до В.

4. По какой линии должен идти наблюдатель?

5. Примем за начало координат наблюдательный пункт О и направление оси Ох будет проходить через пункты А и В (по условию задачи эти три точки находятся на одной прямой) (рис. 2.473).

6. Пусть наблюдатель находится в точке М(х, у). Вычислим расстояние от наблюдателя до пунктов А и В (рис. 2.473):

(1, 2, 3, 5, формула расстояния между точками).

7. По условию задачи имеем: МА = 2MB, т. е.

(3, 6).

8. Решая это уравнение, получим:

9. Раскроем скобки и перегруппируем:

10. Наблюдатель должен идти по окружности с центром и радиусом (4, уравнение окружности).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Уравнение фигуры в декартовых координатах называется

Вопрос 1. Объясните, как определяются координаты точки.
Ответ. Проведём на плоскости через точку O две взаимно перпендикулярные прямые x и y – оси координат (рис. 170). Ось x (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Точкой пересечения O – началом координат – каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из них называть положительной, отмечая её стрелкой, а другую – отрицательной.

Каждой точке A плоскости мы сопоставим пару чисел – координаты точки – абсциссу (x) и ординату (y) по такому правилу.
Через точку A проведём прямую, параллельную оси ординат (рис. 171). Она пересечёт ось абсцисс x в некоторой точке A_x. Абсциссой точки A мы будем называть число x, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки O до точки A_x. Это число будет положительным, если Ax принадлежит положительной полуоси и отрицательным, если A_xпринадлежит отрицательной полуоси. Если точка A лежит на оси ординат y, то полагаем x равным нулю.

Ордината (y) точки A определяется аналогично. Через точку A проведём прямую, параллельную оси абсцисс x (см. рис. 171). Она пересечёт ось ординат y в некоторой точке A_y. Ординатой точки A мы будем называть число y, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки O до точки A_y. Это число будет положительным, если A_y принадлежит положительной полуоси и отрицательным, если A_y принадлежит отрицательной полуоси. Если точка A лежит на оси абсцисс x, то полагаем y равным нулю.
Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: A (x; y) (на первом месте абсцисса, на втором – ордината).

Вопрос 2. Какие знаки у координат точки, если она принадлежит первой (второй, третьей, четвёртой) четверти?
Ответ. Оси координат разбивают плоскость на четыре части – четверти: I, II, III, IV (рис. 172). В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются и имеют значения.

Если точка принадлежит первой четверти, то её абсцисса и ордината будут положительными.
Если точка принадлежит второй четверти, то её абсцисса будет отрицательной, а ордината будет положительной.
Если точка принадлежит третьей четверти, то её абсцисса и ордината будут отрицательными.
Если точка принадлежит четвёртой четверти, то её абсцисса будет положительной, а ордината будет отрицательной.

Вопрос 3. Чему равны абсциссы точек, лежащих на оси ординат?
Чему равны ординаты точек, лежащих на оси абсцисс?
Чему равны координаты начала координат?
Ответ. Точки оси x (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты (y = 0), а точки оси y (оси ординат) имеют равные нулю абсциссы (x = 0).
Если какая-либо точка лежит на оси ординат y, то абсцисса данной точки равна нулю.
Если какая-либо точка лежит на оси абсцисс x, то ордината данной точки равна нулю.
У начала координат абсцисса и ордината равны нулю.

Вопрос 4. Выведите формулы для координат середины отрезка.
Ответ. Пусть A (x₁; y₁) и B (x₂;y₂) – две произвольные точки и C (x; y) – середина отрезка AB. Найдём координаты x, y точки C.
Рассмотрим сначала случай, когда отрезок AB не параллелен оси y, т.е. \(x_1 \neq x_2\). Проведём через точки A, B, C прямые, параллельные оси y (рис. 173). Они пересекут ось x в точках A1 (\(x_1\); 0), B1 (\(x_2\); 0), C (\(x\); 0). По теореме Фалеса точка \(C_1\) будет серединой отрезка \(A_1B_1\).

Так как точка \(C_1\) – середина отрезка \(A_1B_1\), то \(A_1C_1 = B_1C_1\), а значит, \(|x – x_1| = |x – x_2|\). Отсюда следует, что либо \(x – x_1 = -(x – x_2)\). Первое равенство невозможно, так как \(x_1 \neq x_2\). Поэтому верно второе. А из него получается формула

Если \(x_1 = x_2\), т.е. отрезок AB параллелен оси y, то все три точки \(A_1, B_1, C_1\) имеют одну и ту же абсциссу. Значит, формула остаётся верной и в этом случае.
Ордината точки C находится аналогично. Через точки A, B, C проводятся прямые, параллельные оси x. Получается формула

Вопрос 5. Выведите формулу для расстояния между точками.
Ответ. Пусть на плоскости xy даны две точки: \(A_1\) с координатами \(x_1, y_1\) и \(A_2\) с координатами \(x_2, y_2\). Выразим расстояние между точками \(A_2\) и \(A_2\) через координаты этих точек.
Рассмотрим сначала случай, когда \(x_1 \neq x_2\) и \(y_1 \neq y_2\). Проведём через точки \(A_1\) и \(A_2\) прямые, параллельные осям координат, и обозначим через A точку их пересечения (рис. 174). Расстояние между точками \(A\) и \(A_1\) равно \(|y_1 – y_2|\), а расстояние между точками \(A\) и \(A_2\) равно \(|x_1 – x_2|\). Применяя к прямоугольному треугольнику \(AA_1A_2\) теорему Пифагора, получим:

\(d^2 = (x_1 — x_2)^2+ (y_1 — y_2)^2\), (*)

где d –расстояние между точками \(A_1\) и \(A\).

Хотя формула (*) для расстояния между точками выведена нами в предположении \(x_1 \neq x_2\), \(y_1 \neq y_2\), она остаётся верной и в других случаях. Действительно, если \(x_1 = x_2\), \(y_1 \neq y_2\), то d равно \(|y_2 — y_2|\). Тот же результат даёт и формула (*). Аналогично рассматривается случай, когда \(x_1 \neq x_2, y_1 = y_2\). При \(x_1 = x_2, y_1 = y_2\) точки \(A_1\) и \(A_2\) совпадают и формула (*) даёт d = 0.

Вопрос 6. Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах?
Ответ. Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.

Вопрос 7. Выведите уравнение окружности.
Ответ. Составим уравнение окружности с центром в точке A_O (a; b) и радиусом R (рис. 175). Возьмём произвольную точку A (x; y) на окружности. Расстояние от неё до центра A_O равен \((x – a)^2 + (y – b)^2\). Таким образом, координаты x, y каждой точки A окружности удовлетворяют уравнению

Обратно: любая точка A, координаты которой удовлетворяют уравнению (*), принадлежит окружности, так как расстояние от неё до точки A_O равно R. Отсюда следует, что уравнение (*) действительно является уравнением окружности с центром A_Oи радиусом R. Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:

Вопрос 8. Докажите, что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ax + by + c = 0.
Ответ. Докажем, что любая прямая в декартовых координатах x, y имеет уравнение вида

где a, b, c – некоторые числа.
Пусть h – произвольная прямая на плоскости xy. Проведём какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой h, и отложим на ней от точки пересечения C с прямой h равные отрезки CA₁ и CA₂(рис. 176).

Пусть a₁, b₁ – координаты точки A₁ и a₂, b₂ – координаты точки A₂. Как мы знаем, любая точка A (x; y) прямой h равноудалена от точек A₁ и A₂. Поэтому координаты её удовлетворяют уравнению

\((x – a_1)^2 + (y — b_1)^2 = (x – a_2)^2 + (y — b_2)^2\). (**)

Обратно: если координаты x и y какой-нибудь точки удовлетворяют уравнению (**), то эта точка равноудалена от точек A₁ и A₂, а значит, принадлежит прямой h. Таким образом, уравнение (**) является уравнением прямой h. Если в этом уравнении раскрыть скобки и перенести все члены уравнения в левую его часть, то оно примет вид:

\(2(a_2 — a_1)x + 2(b_2 — b_1)y + (a_1^2 + b^2_1 — a^2_2 — b^2_2) = 0.\)

Обозначая \(2(a_2 — a_1) = a\), \(2(b_2 — b_1) = b\), \(a^2_1 + b^2_1 — a^2_2 — b^2_2 = c\), получаем уравнение (*). Утверждение доказано.

Вопрос 9. Как найти координаты точки пересечения двух прямых, если заданы уравнения этих прямых?
Ответ. Пусть заданы уравнения двух прямых:

Найдём координаты их точки пересечения.
Так как точка пересечения (x; y) принадлежит каждой из прямых, то её координаты удовлетворяют и первому и второму уравнению. Поэтому координаты точки пересечения являются решением системы уравнений, задающих прямые. Рассмотрим пример.
Пусть уравнениями данных прямых будут:

Решая эту систему уравнений, находим x = -3, y = -7. Точка пересечения прямых (-3; -7).

Вопрос 10. Как расположена прямая, если в её уравнении коэффициент a = 0 (b = 0; c = 0)?
Ответ. Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если её уравнение ax + by + c = 0 имеет тот или иной частный вид.
1. a = 0, b \(\neq\) 0. В этом случае уравнение прямой можно переписать так:

Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату (\(-\frac\)); следовательно, прямая параллельна оси x (рис. 177, а). В частности, если c = 0, то прямая совпадает с осью x.
2. b = 0, a \(\neq\) 0. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси y (рис. 177, б) и совпадает с ней, если c = 0.

3. c = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 177, в).