Уравнение фоккера планка для броуновского движения

СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ДИНАМИКЕ ДЕЛЕНИЯ

Г.Д. Адеев, Д.В. Ванин

Омский государственный университет, кафедра теоретической физики
644077, Омск, пр. Мира,55-A

Получена 25 декабря 1998 г.

1. Введение

Хорошо известно, что стохастические методы традиционно широко используются в естественных науках: физике, химии, астрономии, биологии, не говоря уже об их многочисленных технических приложениях в радиофизике, радиотехнике и оптике.

В последние два десятилетия интерес к случайным флуктуациям и описывающим их стохастическим методам чрезвычайно возрос, что нашло отражение в последних монографиях, посвященных этим проблемам [1,2,3]. Начиная с середины восьмидесятых годов — времени открытия нового класса ядерных реакций (глубоконеупругих столкновений тяжелых ионов [4]) — стохастические методы широко используются и в ядерной физике. Хотя следует отметить, что еще в 1940 году Крамерс использовал [5] стохастическое уравнение Фоккера-Планка (УФП) для описания динамики деления атомных ядер. Он предложил рассматривать эволюцию коллективных степеней свободы ядра, отвечающих за деление ядра по аналогии с движением броуновских частиц в вязкой среде (термостате), образуемых одночастичными (внутренними) степенями свободы. Используя эту аналогию динамики деления ядра с броуновским движением, Крамерс вычислил парциальную ширину деления , связанную со скоростью деления через постоянную Планка .

Исходным уравнением в рассмотрении Крамерса было одномерное уравнение Ланжевена для броуновской частицы массой m , движущейся в потенциальном поле V ( q ) и взаимодействующей с термостатом, характеризуемым температурой T . Это уравнение эквивалентно УФП, которое в литературе принято называть [1,2] уравнением Крамерса.

Здесь — коэффициент диффузии, — коэффициент трения (фрикционный параметр).

Для решения задачи о прохождении ансамбля броуновских частиц через одномерный потенциальный барьер Крамерс использовал УФП (1) в предположении, что коэффициенты инерции m , трения и температура T не зависят от координаты, а потенциальная энергия V ( q ) аппроксимируется двумя плавно сшитыми осцилляторами вблизи основного состояния q = q 0 с частотой и вблизи вершины барьера q = q b (в многомерном случае — седловой точки) с частотой , причем высота барьера B f существенно больше температуры системы. Если , а это неравенство почти всегда выполняется, за исключением случая неразумно малой вязкости, то вблизи основного состояния с высокой степенью точности осуществляется распределение Максвелла-Больцмана, т.е. делящаяся система находится в состоянии, близком к статистическому равновесию. Таким образом, равновесная функция распределения в основном состоянии может рассматриваться как начальное условие для УФП.

С течением времени через вершину барьера будет происходить медленная диффузия, стремящаяся восстановить повсюду равновесные условия. Начиная с некоторого момента времени через барьер установится квазистационарный ток, т.е. число частиц за единицу времени, сумевших преодолеть барьер, практически не будет зависеть от времени. При этом квазистационарное решение УФП также не будет зависеть от времени. Явный вид функции распределения, отвечающей этому решению, выглядит так:

Много лет спустя стационарное решение w K ( q , p ) было использовано В.М. Струтинским в работах [6], в которых было получено выражение для при произвольном соотношении T и B f . Выражения, полученные Крамерсом и Струтинским, уточняют классическую формулу Бора и Уилера для [7] на случай конечного значения ядерной вязкости.

где — хорошо известное из химической кинетики выражение аррениусовского вида .

В случае аномально большого трения уравнение Крамерса (1) для функции распределения w ( q , p , t ) сводится для редуцированной функции распределения :

которое называют уравнением Смолуховского [2,8]. Для свободной броуновской частицы, когда V =0, уравнение (4) есть уравнение диффузии с коэффициентом диффузии .

Обобщение уравнения Крамерса (1) на случай n коллективных координат, когда тензоры инерционных ( m ij ), фрикционных и диффузионных ( D ij ) параметров являются симметричными недиагональными матрицами и зависят, как и потенциальная энергия V , от координат, имеет вид:

и его часто называют обобщенным уравнением Крамерса (здесь , а по повторяющимся в произведениях индексам подразумевается суммирование).

Отметим, что применение уравнения (5) к изучению динамики деления до недавнего времени ограничивалось достаточно нагретыми ядрами, энергия возбуждения которых и температура . Происходящее при таких возбуждениях исчезновение парных корреляций и оболочечных эффектов приводит асимптотически к квазиклассическим значениям характеристик ядра, которые могут быть рассчитаны в макроскопических подходах.

При менее сильных возбуждениях эффекты оболочечной структуры и парное взаимодействие нуклонов существенно влияет [9] на поведение транспортных коэффициентов уравнения (5) и для их расчета необходимо использовать более сложные микроскопические подходы, например теорию линейного отклика [10].

Для расчета потенциальной энергии деформации делящегося ядра используется большое число макроскопических моделей: классическая модель жидкой капли [7,9], ее модифицированный вариант, учитывающий конечный радиус действия ядерных сил [11,12].

Тензор инерционных коэффициентов в УФП рассчитывался в гидродинамическом приближении методом Вернера-Уилера [13], который, как было показано в [14], позволяет достаточно точно рассчитать массовые параметры практически для всех форм делящегося ядра, вплоть до района разрыва.

Модели для расчета диссипативных свойств ядра (расчет тензора ) обсуждаются ниже.

2. Уравнения Фоккера-Планка и методы их решения

Из выражения (5) видно, что УФП является линейным относительно функции распределения (2 n +1)-мерным дифференциальным уравнением второго порядка относительно фазовых переменных и первого порядка относительно времени. В случае одной степени свободы для решения УФП используют эффективные конечно-разностные методы [15] или метод пропагатора [16]. Однако уже в случае двух степеней свободы данные методы использовать невозможно из-за крайней громоздкости вычислений. Деление же является существенно многомерным процессом [9]. Для адекватного его описания необходимо введение по крайней мере трех коллективных обобщенных координат: координаты удлинения, отвечающей разделению ядра на осколки, параметра массовой асимметрии, определяющей массы будущих осколков, и координаты шейки, описывающей толщину перемычки между будущими осколками [9]. В некоторых случаях необходимо вводить также другие обобщенные координаты, описывающие более сложные коллективные движения, например, координату, определяющую разделение заряда между осколками [17,18]. Поэтому для решения многомерного УФП применяются приближенные методы, такие как метод глобального моментного приближения (ГМП) [8,19] и метод редуцированного пропагатора [8,20,21].

Метод ГМП является эффективным при исследовании динамики деления с седловой точки до точки разрыва и в то же время обеспечивающим достаточную точность такого рассмотрения. При этом w ( q , p , t ) ищется в виде многомерного гауссова распределения, которое полностью определяется своими первыми и вторыми моментами:

где , и интегрирование в этих формулах производится по всему фазовому пространству.

Из УФП (5) для первых и вторых моментов получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику этих величин. Уравнения для первых моментов есть не что иное как обобщенные уравнения Гамильтона. При выводе системы уравнений для вторых моментов используют локальную гармоническую аппроксимацию гамильтониана . Это означает, что H представляется в виде разложения в ряд Тейлора около и вплоть до квадратичных членов. Одновременно полагают, что коэффициенты m ij , , D ij зависят не от координат, а от соответствующих средних значений.

Начальную функцию распределения при рассмотрении динамики деления с седловой точки обычно выбирают согласно методу переходного состояния [22].

В первых работах [23,24], использующих УФП (5), рассматривалась упрощенная двухмерная модель, в которой потенциальная энергия аппроксимировалась для финитной моды — осциллятором, для инфинитной (основной делительной моды) — перевернутым осциллятором. Жесткости оценивались в рамках жидкокапельной модели. Температура ядра предполагалась постоянной, тензоры транспортных коэффициентов — диагональными, а их компоненты — независящими от координат. Начальная функция распределения выбиралась в седловой точке -образной по обеим координатам. Такая упрощенная модель позволяет построить аналитическое решение УФП (5), представляющее собой гауссово распределение. Алгоритм построения функции Грина изложен в [25]. Если начальное условие — произвольное гауссово распределение, то решение УФП строится путем его свертки с функцией Грина [24,26].

Эта модель позволила провести оценки величин, определяющих параметры энергетического распределения осколков деления, а также проанализировать возможности применения многомерного УФП (5) в полном виде и без всяких упрощений. Расчеты, проведенные в [17,20,27,28,29] с использованием УФП (5) с зависимыми от коллективных координат всеми транспортными коэффициентами для объяснения формирования наблюдаемых распределений осколков деления, оказались довольно успешными. В частности, в модели «естественно» воспроизводятся большие по значению дисперсии массового и энергетического распределений, а также наблюдаемое их значительное возрастание с ростом параметра делимости составного ядра. Было впервые получено хорошее описание всех характеристик массово-энергетического распределения по величине, а также зависимостей от различных характеристик составного ядра: его нуклонного состава, энергии возбуждения, углового момента и т.п., что являлось известным камнем преткновения для статистической [30] и динамической [22] модели деления.

Метод ГМП, однако, не является универсальным. Его нельзя использовать, например, при изучении динамики асимметричного деления, а также, когда рассмотрение эволюции делящейся системы начинается не с седловой точки, а из основного состояния. Наличие тока через барьер делает гауссову аппроксимацию решения УФП заведомо неприменимой.

В этих случаях для решения УФП можно воспользоваться методом пропагатора — для одной степени свободы. Изложим коротко суть метода «полного» пропагатора на примере решения уравнения (1).

Пусть в начальный момент времени t 0 известна функция распределения w ( q 0 , p 0 , t 0 ) — начальное условие для уравнения (1). Тогда в момент времени , где — малый интервал времени, решение уравнения (1) определим как:

где K — пропагатор (функция распространения). Можно показать, что K также подчиняются уравнению (1), причем

Поскольку мало, то потенциал V можно аппроксимировать (смотри вывод системы для вторых моментов в методе ГМП) осцилляторным потенциалом, используя разложение в ряд Тейлора. В этом случае аналитическое решение УФП известно:

где и — вектор фазовых переменных, а средние траектории описываются классическими уравнениями движения:

с начальными условиями и . А матрица A есть следующая матрица вторых моментов:

Матричные элементы ( A -1 ) ij удовлетворяют следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

с начальными условиями:

Функция распределения w ( q , p , t ) для произвольного значения получается повторным применением процедуры распространения за малый интервал :

Для случая нескольких переменных вышеизложенный метод «полного» пропагатора становится слишком громоздким и практически не применим при современном уровне развития вычислительной техники. Поэтому, как правило, в этом случае используется метод редуцированного пропагатора [8,20,21].

Главным в методе редуцированного пропагатора является предположение о том, что локальные импульсные распределения (при фиксированных q 0 ) могут быть аппроксимированы распределением Гаусса, т.е. w ( q 0 , p 0 , t 0 ) может быть представлена в приближенном модифицированном виде:

Временное развитие редуцированной функции распределения описывается аналогично (14):

где вместо K используем K red , который имеет те же свойства, что и K в методе «полного» пропагатора, за исключением начального условия

В рамках данного метода были проведены расчеты динамики деления ядра из основного состояния [20,21], из которых было установлено, что траектория движения системы к точке разрыва проходит в достаточной близости от седловой точки, а после прохождения барьера она близка к траектории, полученной при рассмотрении динамики с седловой точки. В результате показана справедливость концепции метода переходного состояния [7,22] при изучении динамики деления и формирования осколков деления тяжелых ядер, у которых барьер деления заметно превышает температуру.

3. Решение уравнений Ланжевена

Динамику деления ядра довольно просто и наглядно моделировать при помощи уравнений Ланжевена (УЛ) [31]. Обмен энергией, сосредоточенной в коллективном движении и внутренних степенях свободы, происходит за счет феноменологически введенной Ланжевеном случайной силы, действующей со стороны термостата и сил трения, приводящих к повышению температуры системы.

По сравнению с уравнением Фоккера-Планка, являющимся уравнением в частных производных первого порядка по времени и второго порядка по фазовым переменным (координат и сопряженных им импульсов), уравнения Ланжевена — система обыкновенных дифференциальных уравнений в фазовом пространстве, включающих в себя, однако, случайную силу. Кроме того, как было показано выше, решение многомерных УФП получаются только приближенными методами, тогда как решение УЛ не требует привлечения каких-либо дополнительных соображений по поводу вида функции распределения координат и импульсов.

В общем виде УЛ можно записать так:

где , V — потенциал, — коэффициент трения среды, m — масса броуновской частицы, — случайная сила, g — амплитуда случайной силы, — случайная величина со свойствами:

Можно показать, что УЛ эквивалентны УФП. Введем в фазовом пространстве координат и импульсов фазовую плотность частиц w ( q , p , t ). Для нее справедливо уравнение непрерывности:

Подставляя в (21) выражения для и , получим:

Интегрируя на интервале , где много больше времени релаксации случайной силы R ( t ), но меньше характерного времени макроскопического движения броуновской частицы, получим:

Используя свойство случайной силы R ( t ) и усредняя по всевозможным ее реализациям (по ансамблю), будем иметь:

Поделив это выражение на и взяв предел , уравнение (24) преобразуется к виду:

т.е. получаем уравнение Крамерса (1) При выводе этого выражения была использована флуктационно-диссипативная теорема:

Таким образом мы показали, что УЛ эквивалентны УФП для функции распределения фазовых переменных.

Обобщение УЛ на многомерный случай с учетом зависимости инерционных и фрикционных параметров от коллективных координат выглядит следующим образом:

при этом соотношение Эйнштейна (26) запишется в виде: . Случайная сила в этом случае удовлетворяет: , .

Численное решение УЛ наглядно, увеличение числа степеней свободы осуществить практически проще, чем решение многомерных УФП. Однако, для численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений не подходят обычные методы, такие как Рунге-Кутта, Адамса и т.п., поскольку случайная сила в правой части уравнений не имеет определенной производной по времени. Поэтому такие уравнения интегрируют прямыми методами. Итак, интегрируя уравнения (19) от t до , имеем:

Поскольку величина есть сумма нормальнораспределенной силы за промежуток времени , то она сама является нормальнораспределенной случайной величиной. Ее средние значения обладают следующими свойствами [3]:

Тогда, чтобы моделировать случайную силу методом Монте-Карло, удобно записать:

где — случайное число, подчиняющееся распределению Гаусса со следующими параметрами:

В итоге, конечно-разностную схему можно представить в виде [3,32]:

Вышеприведенная схема численного интегрирования является приближением первого порядка. Не представляет труда распространить ее для более высоких порядков по , разлагая член h ( q , p ) в ряд Тейлора:

и подставляя в это разложение выражения (28).

Подобная процедура, однако, потребует также вычисления производных от h ( q , p ) более высокого порядка по q и p . В то же время появится возможность увеличения шага интегрирования по времени и в конечном итоге сократится время машинного счета.

Мы рассмотрели случай с бесконечно малым временем корреляции, т.е. марковский процесс, однако подобное предположение не совсем верно вследствие двухчастичных взаимодействий нуклонов между собой. Этот факт выражается в том, что система обладает конечной «памятью». Тогда в систему УЛ (19) входит так называемое «задержанное» трение [8,33]:

Тогда случайная сила R ( t ) уже не является -коррелированной по времени:

Явный вид зависимости определяется из рассмотрения микроскопических моделей взаимодействия отдельных нуклонов:

где величины — время релаксации деформированной поверхности Ферми и определяются на основе метода Хартри-Фокка, зависящего от времени.

4. Эмиссия легких частиц

Для описания характеристик продуктов распада атомных ядер широко используются различные варианты статистической модели. Наиболее успешно такое описание удается реализовать на основе микроскопических методов, опирающихся на оболочечную модель ядра. В рамках этих методов ядро рассматривается как газ квазичастиц, движущихся в самосогласованном среднем поле, и остаточное взаимодействие квазичастиц моделируется с помощью феномнологически найденных эффективных сил.

Состояние составного ядра является квазистационарным, т.к. оно способно испускать нуклоны и -кванты. В термодинамическом подходе испускание нейтронов рассматривается как испарение — по аналогии с испарением атомов из жидкости или электронов с поверхности металла. Вероятность вылета той или иной частицы определяется шириной распада по соответствующему каналу. Ширины распада выражаются через плотность одночастичных уровней ядра, которая в свою очередь зависит от энергии возбуждения составного ядра, а также его состава (числа протонов и нейтронов).

В рамках модели ферми-газа выражение для плотности уровней составного ядра с массовым числом A и энергией возбуждения U выглядит следующим образом [34]:

где a — параметр плотности уровней ферми-газа, через который удобно выражается связь энергии возбуждения с температурой T и энтропией S рассматриваемой системы:

Из последней формулы видно, что именно энтропия фактически определяет плотность возбужденных состояний системы.

Как следует из экспериментальных данных, в первом приближении параметр плотности уровней пропорционален массовому числу ядра A , однако более детальный анализ показывает зависимость величины a от наличия замкнутых оболочек в ядре, его деформации и энергии возбуждения. В общем виде выражение для a запишется:

где , , — коэффициенты, определяемые методом наименьших квадратов на основе анализа экспериментальных данных, — оболочечная поправка, характеризующая нерегулярные вариации масс и энергий деформации ядер (определяющая роль таких поправок в формировании многих свойств атомных ядер показана в работах В.М.Струтинского [35]), B s — площадь поверхности деформированного ядра в единицах площади сферического ядра.

Общее выражение для плотности уровней ядра учитывает влияние коллективных эффектов, увеличивающих ее с ростом температуры, а также зависимость от углового момента I [34,36]:

где , — твердотельный момент инерции ядра (равный , R = r 0 A 1/3 , ), — коэффициент увеличения одночастичной плотности уровней за счет возбуждения колебаний поверхности ядра.

Вероятности распада составного ядра можно получить с помощью принципа детального равновесия [37], который связывает вероятность перехода системы из состояния a в состояние b (прямой процесс) w ab с вероятностью обратного процесса w ba соотношением:

где и — плотность соответствующих состояний системы.

Таким образом, вероятность вылета частицы j ( ) из составного ядра можно выразить [36] через плотность одночастичных уровней остаточного ядра и сечение поглащения данной частицы остаточным ядром :

Здесь g j , m j , B j , V j — статистический фактор, обусловленный спином частицы, ее масса, энергия связи в составном ядре и кулоновский барьер, соответственно.

Радиационные ширины испускания -квантов обычно вычисляются по формуле:

где — обратное сечение дипольного фотопоглащения, аппроксимированное по экспериментальным значениям гигантских дипольных резонансов.

5. Объединение динамики деления с испарением легких частиц

Процесс деления атомных ядер, как правило, сопровождается эмиссией легких частиц и -квантов (при больших энергиях возбуждения их число может быть весьма значительным) [38,39,40], поэтому в последние годы появились работы, объединяющие динамический подход, основанный на УЛ либо на УФП, со статистической моделью, описывающей девозбуждение ядра по закону радиоактивного распада [41].

Первая попытка такого объединения была сделана в работе [42]. В ней обычное УФП для функции распределения фазовых переменных дополнялось членом, описывающим эмиссию легких частиц непрерывным образом. Полученное уравнение решалось методом редуцированного пропагатора [20,21], описанным выше. При этом вводилась обобщенная функция распределения, , зависящая от числа испущенных частиц. Т.е. УФП преобразовывалось к виду:

Здесь s j — число испущенных частиц вида j ( ), — ширина распада по соответствующему каналу при данной деформации (зависящей от коллективных координат q 0 ) и энергии возбуждения внутренних степеней свободы (получаемой из полной энергии возбуждения, потенциальной энергии при данном q 0 и кинетической энергии при данном значении импульса p 0 ).

Несмотря на то, что в этой работе авторы ограничились рассмотрением лишь одной коллективной координаты и эмиссия частиц рассматривалась непрерывным образом, им удалось воспроизвести основные эффекты влияния вылета частиц на динамику деления ядра.

Несколькими годами позже в работе [43,44] была предложена другая схема включения статистической модели испускания частиц в динамические расчеты. В ней рассматривалось редуцированное уравнение Ланжевена, эквивалентное уравнению Смолуховского, при численном интегрировании которого вылет частиц учитывался дискретным образом.

В общем виде подобная схема выглядит следующим образом. На каждом шаге интегрирования стохастических уравнений наряду со значением внутренней энергии делящейся системы определялись ширины распада составного ядра с вылетом легких частиц. Из суммы парциальных ширин по всем каналам и соотношения неопределенностей определялось среднее время жизни ядра до вылета какой-нибудь частицы . Вероятность того, что ядро спустит частицу за малый промежуток времени , равный шагу интегрирования динамических уравнений на i -ом шаге, равна . Таким образом, чтобы определить акт испускания частицы, на интервале [0,1] разыгрывалось равномернораспределенное случайное число , которое затем сравнивалось с отношением . Если выполнялось условие , то полагалось, что вылет какой-либо частицы имел место. Выбор конкретной частицы осуществлялся методом Монте-Карло по известным значениям парциальных ширин.

Можно показать, что подобная схема расчетов воспроизводит закон радиоактивного распада. Для простоты положим величину постоянной, т.е. не зависящей от времени. Вероятность того, что ядро не распадется за время , равна . Найдем вероятность P t того, что в течение большого промежутка времени t распада не произойдет. Для этого разобьем весь промежуток t на малые: . Тогда вероятность P t будет равна:

Рассмотрим натуральный логарифм этого выражения:

Поскольку выбирается очень малым по сравнению с , в (46) выражения можно разложить в ряд. Ограничиваясь первым членом разложения, находим:

что выражает хорошо известный результат — отношение числа атомов, не распавшихся за время t к первоначальному числу атомов, где — постоянная распада, характеризующая данное ядро.

Вышеописанная схема объединения двух подходов позволяет рассчитывать динамические характеристики составного ядра, такие как время (скорость) деления, энергетические и массовые распределения осколков деления, одновременно с множественностью предразрывных частиц, испущенных из составного ядра с момента его образования до разрыва на осколки. Применение статистической модели к возбужденным осколкам деления позволяет [45] также рассчитать множественности послеразрывных частиц, снимающих возбуждение с осколков и, таким образом, получить полную множественность легких частиц [46], испущенных в процессе деления.

6. Развитие модели в настоящее время

Для полноты описания реакций с тяжелыми ионами, идущими через образование составного ядра, в последнее время делаются попытки объединенния двух стадий этого процесса — стадии слияния двух ионов, образование составного ядра и стадии деления составного ядра с последующим девозбуждением осколков деления.

Входной канал реакции можно описывать также, применяя УЛ [32].

Несмотря на то, что численная схема решения УЛ достаточно проста в реализации, моделирование процесса деления сталкивается с трудностями технического характера. Для уменьшения статистической погрешности расчетов в рамках подхода с УЛ требуется разыгрывать большой ансамбль броуновских частиц [33,47], например в работе [33] использовалось до траекторий.

При этом одна из проблем заключается в том, что ядро может довольно долго находиться в основном состоянии перед тем как разделиться. Времена жизни отдельных ядер порой отличаются в 10 5 раз. В настоящее время корректно охватить подобный разброс времен жизни в рамках одного подхода представляется затруднительным.

Другая проблема, возникающая при моделировании многомерных УЛ, заключается в следующем. Чтобы достичь хорошей точности решения УЛ для трех и более коллективных координат, требуются довольно мощные компьютеры, обладающие большим объемом оперативной памяти и быстродействием.

К настоящему времени проведено много расчетов в рамках двухмерных УЛ [45,46,47,48,49,50,51,52]. В этих работах проводились исследования параметров энергетического распределения осколков деления и множественностей легких частиц с целью определения типа ядерной вязкости, реализующейся в делении.

В обычных жидкостях и газах средняя длина свободного пробега частиц между столкновениями , как правило, меньше размеров системы, в ядре же величина сопоставима с размерами ядра (и, порой, даже превышает их). Поэтому наряду с двухтельным механизмом вязкости [13], обусловленным двухчастичными столкновениями нуклонов, рассматривают так называемый однотельный [53,54], который возникает вследствие взаимодействия отдельных нуклонов со средним полем ядра, т.е. нуклоны в ядре как бы сталкиваются с движущейся поверхностью ядра [40,55].

Святецким с соавторами [53] при целом ряде упрощений механизма соударения нуклонов с поверхностью ядра были получены простые формулы для однотельного механизма вязкости (формулы «стены» и «стены и окна»). Оценки ядерной вязкости по этим формулам приводят к чрезмерно большим ее значениям, и ядра при этом механизме оказываются супервязкими. Квантовое рассмотрение однотельной диссипации показало [56], что ядерная вязкость составляет лишь около значения, рассчитанного по формуле стены, хотя функциональная зависимость однотельной диссипации от изменения формы ядра формулой стены дается правильно. Поэтому в модифицированном варианте однотельного механизма диссипации [54], который получил название «поверхностного» однотельного, вклад в диссипацию от соударений нуклонов о поверхность ядра был уменьшен с помощью коэффициента редукции k s . Сравнение различных расчитанных характеристик деления с экспериментальными значениями определяет величину . Выяснение механизма ядерной вязкости в делении и получение надежной оценки его значения до сих пор являются открытыми вопросами.

Расчеты, проведенные в рамках многомерных УФП [17,20,27,28,29], использовали оба механизма ядерной вязкости. При этом оказалось, что характеристики массово-энергетического и зарядового распределений являются величинами, не чувствительными к используемому типу вязкости. А величинами, критичными к нему, являются времена деления и предразрывные множественности легких частиц [40].

В работах, в которых в качестве динамических уравнений использовались УЛ [46,47,48,51] и учитывалась также эмиссия предразрывных частиц, ситуация стала более определенной — наилучшее согласие с экспериментальными данными дают расчеты, использующие однотельный механизм ядерной вязкости.

В одной из последних работ [52] были проведены расчеты массового распределения осколков деления в рамках двухмерных УЛ. Результаты этих расчетов также дают указания на однотельный механизм диссипации.

Дальнейшее развитие динамического подхода к описанию характеристик деления атомных ядер может включать в себя замену механической силы на термодинамическую , где F — свободная энергия [41], а также использование в расчетах механизма «задержанного» трения, кратко описанного выше. Существенным шагом в развитии данной модели представляется также рассмотрение эволюции сразу нескольких переменных, что позволит получить одновременно массовые и энергетические распределения осколков деления, а в перспективе и зарядовые.

Комплексное описание наблюдаемых величин на всех стадиях процесса деления (таких как множественности легких частиц, распределения осколков, различные сечения реакции: слияния, деления, остатков испарения и т.д.) позволит решить вопрос об адекватности той или иной модели экспериментальным данным.

В заключение авторы обзора выражают глубокую признательность Г.И. Косенко за сотрудничество в последние годы, а также благодарность за многочисленные обсуждения А.Я. Русанову, В.С. Саламатину и Г.Ю. Краппе.

На протяжении 1994-1998 годов работа была частично поддержана INTAS (грант 93-1560).

фоккера -планка уравнение

ФОККЕРА -ПЛАНКА УРАВНЕНИЕ -ур-ние для функции распределения, содержащее первую производную по времени и дифференц. оператор (оператор Фоккера -Планка) второго порядка по координатам, импульсам и т. п. Впервые получено А. Эйнштейном в 1906 и M. Смо-луховским (M. Smoluchowski) в 1913 при анализе броуновского движения; позднее А. Фоккер (A. Fokker) в 1914 и M. Планк (M. Planck) в 1917 получили аналогичное ур-ние в классич. и квантовых теориях вращения диполя в поле излучения, после чего ур-ние стало наз. Ф.- П. у.

В теории броуновского движения Ф.- П. у. записывается для ф-ции распределения f (r, p, t)значений координаты г и импульса p броуновской частицы с массой M в жидкости или газе с темптрой T в виде

где U-потенциал внеш. силы, -коэф. трения, к-рый Дж. Кирквуд (J. Kirkwood) представил в виде

где F-сила взаимодействия броуновской частицы с молекулами жидкости (газа), — усреднение по фазовому пространству жидкости с равновесной ф-цией распределения Гиббса. Это выражение имеет форму ф-лы Кубо (1957, см. Кубо формулы ),выражающей кинетич. коэффициенты через временные корреляц. ф-ции динамич. величин.

В 1990-х гг. термин «броуновское движение» применяют в гораздо более широком смысле — в кинетике физической, в статистич. гидродинамике, матем. теории стохастич. процессов; в этих областях также используют Ф. — П. у. (в теории стохастич. процессов оно наз. ур-нием Колмогорова). В физ. кинетике Ф. — П. у. получается из цепочки Боголюбова уравнений в приближении малости взаимодействия (малого параметра при потенциале взаимодействия) или малости отношения массы молекулы жидкости или газа к массе примесной частицы. Для достаточно разреженных систем, описываемых уравнением Больцмана, приведённое приближение также даёт Ф. — П. у. В этом случае интеграл столкновения Больцмана разлагается по параметру малости взаимодействия, что в низшем приближении даёт столкновительный оператор Фоккера — Планка. Такой подход используется в кинетике гравитирующих систем и плазмы, а также для описания разл. релаксационных процессов (внутр. степеней свободы молекул газа, электронов в твёрдом теле и др.).

Лит.: Эйнштейн А., Смолуховский M., Броуновское движение. Сб. статей, пер. с нем. и франц., M.- Л., 1936; Зубарев Д. H., Неравновесная статистическая термодинамика, M., 1971; Лифшиц E. M., Питаевский Л. П., Физическая кинетика, M., 1979. А. Г. Башкиров. ФОКОН— фокусирующий конус, полый зеркальный, либо стеклянный монолитный, либо волоконно-оптический, изготовленный из спечённых вместе конич. стеклянных нитей — световодов .Сердцевина каждой нити имеет более высокий показатель преломления, чем оболочка. Изображение, спроецированное на один торец Ф., переносится с соответствующим изменением масштаба на другой торец. Ф. могут служить концентраторами света в оптич. системах с малой угл. апертурой. H. А. Валюс.

ФО́ККЕРА – ПЛА́НКА УРАВНЕ́НИЕ

ФО́ ККЕРА – ПЛ А́НКА УРАВНЕ́НИЕ, диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние в ча­ст­ных про­из­вод­ных для функ­ции рас­пре­де­ле­ния в ста­ти­стич. фи­зи­ке f ( x , t ), оп­ре­де­лён­ной в мно­го­мер­ном фа­зо­вом про­стран­ст­ве по пе­ре­мен­ным x . Ча­ст­ный слу­чай Ф. – П. у. – урав­не­ние Эйн­штей­на – Смо­лу­хов­ско­го, впер­вые по­лу­чен­ное при опи­са­нии бро­унов­ско­го дви­же­ния . Ф. – П. у. име­ет вид 𝜕f / 𝜕t+L FP = 0, где t – вре­мя, L FP = А FP +B FP – т. н. опе­ра­тор Фок­ке­ра – План­ка, со­дер­жа­щий пер­вую и вто­рую про­из­вод­ные по пе­ре­мен­ным x (как пра­ви­ло, ко­ор­ди­на­там и им­пуль­сам): А FP = –( 𝜕 / 𝜕x )[ a ( x ) f ( x , t )], B FP = ( 1 / 2)( 𝜕 2 / 𝜕x 2 )[ b ( x ) f ( x , t )].