Уравнение фурье для плоской многослойной стенки

Вопрос 31. Теплопроводность. Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности.

Теплопроводность — процесс передачи теплоты путем непосредственного соприкосновения тел, имеющих различную температуру. При этом процесс теплообмена происходит за счет передачи энергии микродвижения одних частиц другим.
Тепловой поток , .

Закон Фурье: тепловой поток пропорционален градиенту температуры и площади, то есть .
Плотность теплового потока , .
Коэффициент теплопроводности — количество теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу поверхности через единичную толщину стенки при перепаде температуры в один градус, .
_____________________________________________________________________

Вопрос 32. Дифференциальное уравнение теплопроводности. Условия однозначности.
Условности:

1. Теплофизические свойства системы: , , .

2. Микрочастицы тела неподвижны.

3. Внутренние источники теплоты распределены в теле равномерно.

, где – коэффициент температуропроводности, характеризующий скорость изменения температуры в любой точке тела, [ ]
– теплоемкость тела; – плотность тела; – объемная плотность тепловыделения, [вm/м 3 ]; – температура; – оператор Лапласа.
(для полярных координат , , ),
Условия однозначности – математическое описание частных особенностей рассматриваемого процесса.
Решая уравнение , получим общее решение, которое в совокупности с условиями однозначности даст нам частные решения.

Условия однозначности:

1. Геометрические условия (характеризуют форму, размеры и положение тела в пространстве):

a. Форма тела (плоское, цилиндрическое сферическое тело)

b. Ограниченное тело.

c. Неограниченное тело.

2. Физические условия (определяют физические свойства тела и среды)

a. Характер изменения физических параметров:

i. Характер изменения .

ii. Характер изменения .

iii. Характер изменения .

iv. Характер изменения .

3. Временные условия (дают представление о распределении температуры в исследуемом теле в начальный момент времени):

a. :

i. .

ii. .

b. .

4. Граничные условия (определяют особенности взаимодействия на границе изучаемого тела с окружающими телами (средой)):

a. Граничные условия первого рода – закон изменения температуры на границе тела:

i. .

ii. .

b. Граничные условия второго рода – закон изменения температурного потока в стенке тела:

i. .

ii. .

c. Граничные условия третьего рода:

i. Закон изменения температуры окружающей среды.

ii. Закон, по которому идёт теплообмен тела с окружающей средой, .

d. Граничные условия четвёртого рода, .

________________________________________________________

Билет 33. Теплопроводность через однослойные и многослойные плоские стенки.
Теплопроводность – процесс передачи теплоты соприкасающимися, беспорядочно движущимися структурными частицами вещества

В основу теории теплопроводности положен закон Фурье – тепловой поток прямо пропорционален температурному градиенту и площади поверхности тела. Закон Фурье для плоской однослойной стенки

Плотность теплового потока – отношение теплового потока к площади поверхности теплопроводности. Для плоской стенки:
, где .
Коэффициент теплопроводности λ характеризует способность тел проводить теплоту.
Плотность теплового потока для стенки, состоящей из n слоёв:
,
где R – термическое сопротивление многослойной стенки
Многослойную стенку можно заменить эквивалентной однослойной, толщина которой равна толщине многослойной стенки

Тогда плотность теплового потока , где
_____________________________________________________________________

Вопрос 34. Теплопроводность через однослойные и многослойные цилиндрические стенки
Тепловой поток для цилиндрической однослойной стенки:

где Fm — расчётная поверхность теплопроводности,

где.
δ – толщина стенки, δ=r₂ – r₁
F₁, F₂ – площади внутренней и наружной поверхностей трубы, [м 2 ]
ψ – коэффициент, характеризующий отношение средней логарифмической F_mL к средней геометрической
Линейная плотность теплового потока (тепловой поток, отнесённый к единице длины трубы) однослойной стенки определяется по формуле:

Тепловой поток для многослойной цилиндрической стенки:

Где

Fm – расчётная поверхность теплопроводности стенки;
λ_э – эквивалентный коэффициент теплопроводности многослойной стенки

Линейная плотность теплового потока для многослойной стенки трубы

_____________________________________________________________________

Вопрос 35. Теплоотдача. Уравнение Ньютона. Коэффициент теплоотдачи.
Теплоотдача — конвективный теплообмен между жидкостью и поверхностью твёрдого тела (совместный перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью).
Теплоотдачу рассчитывают по формуле Ньютона-Рихмана:

и плотность теплового потока

Коэффициент теплоотдачи зависит от: природы возникновения движения жидкости у поверхности теплообмена, режима движения жидкости, физических свойств жидкости, формы, размеров, положения в пространстве и состояния поверхности теплообмена.
____________________________________________________________________

Вопрос 36. Критериальные уравнения, физический смысл критериев подобия.Числа подобия, составленные только из заданных величин математического описания задачи, называются определяющими критериями подобия. Критерии подобия, содержащие альфа, называются определяемыми.
Число Нуссельта, или критерий теплоотдачи, характеризует соотношение тепловых потоков, передаваемых конвекцией и теплопроводностью по нормали через пристенный слой.
, где
— коэффициент теплоотдачи, [Вт/м^2*С]
l – определяющий линейный размер, [м]
— коэффициент теплопроводности жидкости, [Вт/м**С]
Число Рейнольдса – критерий гидродинамического подобия, характеризуется соотношением сил инерции и молекулярного трения (вязкости)
, где
w – средняя (линейная) скорость жидкости, определяется отношением объемного расхода к площади поперечного сечения потока, [м/с],
— кинематическая вязкость жидкости, [м^2/с]
По числовому значению Re судят о режиме течения жидкости:
Re =10^4 – развитый турбулентный
2320 2 К 4 ], ε – степень черноты наружной поверхности опытной трубы, F – площадь наружной поверхности опытной трубы.
Тепловой поток, передаваемый от опытной трубы в окружающую среду путем конвекции, равен

а опытное значение коэффициента теплоотдачи составляет

Определив при средней температуре пограничного слоя tm теплофизические свойства сухого воздуха λ; ν; β; Pr (находятся значения числа Грасгофа)
и комплекса (GrPr).
В зависимости от значения комплекса (GrPr) подбирается коэффициент C и показатель степени n в уравнении подобия конвективного теплообмена и определяются число Нуссельта

и расчетное значение коэффициента теплоотдачи

_____________________________________________________________________

Вопрос 38. Последовательность расчетов конвективного теплообмена в условиях вынужденной конвекции.
Рассчитаем конвективный теплообмен на примере лабораторной работы

Дано: напряжение U [В]
Динамический напор жидкости ΔH [кГ/м 2 ]
Температура стенки трубы t₁ [°С] (10 измерений)
Температура жидкости на входе в трубу t₁₁ [°C]
Температура жидкости на выходе из трубы t₁₂ [°С]
Рассчитаем коэффициент теплоотдачи
Обработка опытных данных начинается с определения средней темпе-ратуры поверхности стенки трубы tс:

Средняя температура потока воды в трубе:

При средней температуре потока по таблице определяются теплофизические свойства воды: ρ; с_p; λ; v.
Число Прандтля при средней температуре потока (10):

Скорость движения воды в трубе:

При движении жидкость нагревается на:

Количество теплоты в единицу времени, которое получает поток жид-кости от горячей поверхности стенки трубы:

Плотность теплового потока от стенки трубы к потоку жидкости:

Опытное значение среднего коэффициента теплоотдачи:

Число Рейнольдса (8) для потока жидкости в трубе:

В зависимости от полученного значения определяется выражение для поиска числу Нуссельта.
Теоретическое значение среднего коэффициента теплоотдачи вычисляется из определения критерия Нуссельта

_____________________________________________________________________

Основы теории теплообмена

Теория теплообмена, основные понятия и определения. Теплопроводность. Предмет и методы теории теплообмена. Основные виды переноса теплоты. Понятия теплоотдачи и теплопередачи. Температурное поле, температурный градиент. Закон Фурье. Расчетные формулы стационарной теплопроводности для плоской и цилиндрической стенок при граничных условиях 1 и 3 рода (теплопередача).

Основы теории теплообмена

Теплопередача — это процесс переноса теплоты от одного теплоносителя к другому через разделяющую стенку. Теплопередача связана с весьма сложными процессами и при ее изучении необходимо знать законы теории теплообмена и методы анализа, применяемые в физике, термодинамике, гидродинамике и химии.

Сложный процесс переноса теплоты разбивают на ряд более простых. Такой прием упрощает его изучение. Кроме того, каждый простой процесс переноса теплоты подчиняется своим законам. Существует три простейших способа передачи теплоты: теплопроводность, конвекция, излучение.

Явление теплопроводности состоит в переносе теплоты микрочастицами (молекулами, атомами, электронами и т. п.). Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур.

Конвективный теплоперенос (конвекция) наблюдается лишь в жидкостях и газах. Конвекция — это перенос теплоты вместе с макроскопическими объемами вещества. Следует иметь в виду, что одновременно с конвекцией всегда существует и теплопроводность. Однако конвекция обычно является определяющей, т. к. она интенсивнее теплопроводности.

Конвекцией можно передавать теплоту на очень большие расстояния (например, при движении газа по трубам). Движущаяся среда (жидкость или газ), используемая для переноса теплоты, называется теплоносителем.

Третьим способом переноса теплоты является излучение. За счет излучения теплота передается во всех лучепрозрачных средах, в том числе и в вакууме. Носителями энергии при теплообмене излучением являются фотоны, излучаемые и поглощаемые телами, участвующими в теплообмене.

В большинстве случаев перенос тепла осуществляется несколькими способами одновременно. Например, конвективная теплопередача от газа к стенке практически всегда сопровождается параллельным переносом теплоты излучением.

Основные понятия и определения

Интенсивность переноса теплоты характеризуется плотностью теплового потока. Плотность теплового потока — это количество теплоты, передаваемое в единицу времени через единичную плотность поверхности, q [Вт/м2].

Мощность теплового потока или просто тепловой поток — это количество теплоты, передаваемое в единицу времени через произвольную поверхность F, [Вт].

поверхность теплообмена F — это поверхность, через которую происходит передача тепла. Например, при остывании теплоносителя в трубе диаметром d и длиной l, тепло передается от горячего теплоносителя к окружающей среде через цилиндрическую поверхность трубы. В этом случае .

Перенос теплоты зависит от распределения температуры по объему тела или пространства. Температурным полем называется совокупность мгновенных значений температуры во всех точках тела или системы тел в данный момент времени. Математическое описание температурного поля имеет вид:

где t — температура;

x, y,z — пространственные координаты;

— время.

Температурное поле, описываемое приведенным уравнением, называется нестационарным. В этом случае температуры зависят от времени.

В том случае, когда распределение температуры в теле не изменяется со временем, температурное поле называется стационарным

если температура изменяется только по одной или двум пространственным координатам, то температурное поле называется соответственно одно— и двухмерным:

Температурные поля (1.2) и (1.3) называются трехмерными.

Поверхность, во всех точках которой температура одинакова, называется изотермической. Изотермические поверхности могут быть замкнутыми, но не могут пересекаться. Быстрее всего температура изменяется при движении в направлении, перпендикулярном изотермической поверхности. Скорость изменения температуры по нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры.

Градиент температуры

(grad t) — есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности и численно равный производной пот температуры по этому направлению:

Рисунок 1 — Расположение градиента температуры и вектора теплового потока относительно изотермы t2=Const температурного поля

где — единичный вектор, направленный в сторону возрастания температур нормально к изотермической поверхности.

Теория теплопроводности рассматривает тело как непрерывную среду. Согласно основному закону теплопроводности — закону Фурье — вектор плотности теплового потока, передаваемого теплопроводностью, пропорционален вектору градиента температуры:

где — коэффициент теплопроводности, Вт/(м×К). Он характеризует способность вещества, из которого состоит рассматриваемое тело, проводить теплоту.

Знак «-» указывает на противоположное направление вектора теплового потока и вектора градиента температуры. Вектор плотности теплового потока q всегда направлен в сторону наибольшего уменьшения температуры.

скалярная величина вектора плотности теплового потока:

Из формулы следует, что коэффициент теплопроводности определяет плотность теплового потока при градиенте температуры 1 К/м.

Коэффициент теплопроводности является физическим параметром и зависит от химической природы вещества и его физического состояния (плотности, влажности, давления, температуры). Диапазоны изменения для различных материалов приведены на рисунке 2.

Рисунок 2 — Теплопроводность при стационарном режиме

Однослойная плоская стенка

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной d, на поверхностях которой поддерживаются температуры tс1 и tс2, причем tс1>tс2 (рис.3). температура изменяется только по толщине стенки — по одной координате х, коэффициент теплопроводности . Теплового потока в этом случае, в соответствии с законом Фурье, определяется по формуле:

Рисунок 3 — Изменение температур по толщине однородной плоской стенки

где , причем tс1>tс2;

— внутреннее термическое сопротивление теплопроводности стенки, (м2×К)/Вт.

Распределение температур в плоской однородной стенке — линейное.

В большинстве практических задач приближенно предполагается, что коэффициент теплопроводности не зависит от температуры и одинаков по всей толщине стенки. значение находят в справочниках при средней температуре .

Тепловой поток (мощность теплового потока) определяется по формуле:

Многослойная плоская стенка

Рассмотрим для тех же условий многослойную плоскую стенку с толщиной слоев d1, d2,…, dn с соответствующими коэффициентами теплопроводности l1, l2,…, ln (рисунок 4). Здесь слои плотно прилегают друг к другу.

В этом случае плотность теплового потока определяется по формуле:

Рисунок 4 — Распределение температур по толщине многослойной плоской стенки

где n — число слоев многослойной стенки;

tc1 и tc(n+1) — температуры на внешних границах многослойной стенки;

— полное термическое сопротивление многослойной плоской стенки.

Плотность теплового потока, проходящего через все слои, в стационарном режиме одинакова. А так как коэффициент теплопроводности l различен, то для плоской многослойной стенки распределение температур — ломаная линия.

Рассчитав тепловой поток через многослойную стенку, можно найти температуру на границе любого слоя. Для к-го слоя можно записать:

Однородная цилиндрическая стенка

Задача о распространении тепла в цилиндрической стенке также одномерная, если ее рассматривать в цилиндрических координатах. температура изменяется только вдоль радиуса r, а по длине и по ее периметру остается неизменной.

В соответствии с законом Фурье, тепловой поток через однородную цилиндрическую стенку длиной l определяется по формуле:

Тепловой поток Q через цилиндрическую стенку можно отнести к единице длины l:

где ql — линейная плотность теплового потока, Вт/м;

— линейное термическое сопротивление теплопроводности трубы.

Рисунок 5 — Изменение температуры по толщине однородной цилиндрической стенки

При значениях d2/d1 близких к единице расчеты Rl должны производиться с высокой точностью, т. к. при округлении d2/d до одного знака после запятой погрешность вычисления логарифма будет больше 10%. С точностью до 4% при d2/d1

Теплопроводность плоской, цилиндрической и сферической стенок при стационарном режиме

Рисунок 7.3 – К выводу уравнения теплопроводности плоской стенки

Теплопроводность плоской стенки. Тепловой поток перемещается через плоскую стенку толщиной δ (рис. 7.3) из однородного материала, имеющего коэффициент теплопроводности .

На наружной поверхности стенки поддерживаются постоянные температуры и ( > ). Температура изменяется только в направлении оси х, перпендикулярной плоскости стенки, т.е. температурное поле одномерно, а изотермические поверхности плоские и располагаются перпендикулярно оси х.

В соответствии с дифференциальным уравнением теплопроводности (7.23) .

В результате интегрирования этого выражения получим:

Таким образом, температура по толщине плоской стенки при установившемся тепловом режиме изменяется линейно, а градиент температуры сохраняет постоянное значение.

Константы интегрирования и определяют из граничных условий:

При , следовательно ;

При ,

С учетом найденных констант:

. (7.25)

Дифференцируя последнее уравнение, имеем: .

Подставив найденные значения температурного градиента в уравнение, выражающее основной закон теплопроводности (7.12), получим уравнение теплопроводности для плоской стенки при стационарном режиме:

, (7.26)

Рисунок 7.4 – К выводу уравнения теплопроводности плоской многослойной стенки

Отношение (l/d) носит название тепловой проводимости стенки, а (d/l) – термического сопротивления стенки.

Если стенка многослойная(рис. 7.4), состоит из n слоев толщиной с коэффициентами теплопроводности соответственно, при этом температуры наружных поверхностей и , а температуры на границе слоев , то при установившемся тепловом режиме тепловой поток Q, проходящий через каждый слой, одинаков и уравнение теплопроводности для каждого из них может быть выражено уравнением (7.26):

для 1-го слоя , или ;

для 2-го слоя , или ; (7.27)

для n-го слоя , или .

Складывая левые и правые части выражение (7.27), получим уравнение теплопроводности плоской многослойной стенки для стационарного режима:

, (7.28)

где i – порядковый номер слоя.

Таким образом, общее термическое сопротивление плоской многослойной стенки равно сумме термических сопротивлений отдельных слоев стенки при условии, что слои плотно прилегают друг к другу. Внутри каждого слоя линия изменения температуры (рис. 7.4) – прямая, но для многослойной стенки в целом она представляет собой ломаную линию.

Рисунок 7.5 – К выводу уравнения теплопроводности цилиндрической стенки

Теплопроводность цилиндрической стенки. В однородной цилиндрической стенке длиной L (рис. 7.5) температура в случае одномерного стационарного поля изменяется только в радиальном направлении, поэтому для поверхности произвольного радиуса r уравнение Фурье можно представить в виде

. (7.29)

Для кольцевого слоя с радиусом r и толщиной dr, выделенного внутри стенки (рис. 7.5), при внутреннем и наружном радиусах соответственно r₁ и r₂ и температурах на внутренней и наружной поверхностях стенки и , согласно уравнению (7.29) имеем:

В результате интегрирования последнего выражения получим:

(7.30)

либо .

Если учесть, что ( и – наружный и внутренний диаметры цилиндра соответственно), то:

. (7.31)

Уравнения (7.30) и (7.31) являются уравнениями теплопроводности цилиндрической стенки при установившемся процессе теплообмена. Они показывают, что по толщине цилиндрической стенки (в отличие от плоской) температура изменяется криволинейно – по логарифмическому закону. При этом влияние кривизны стенки учитывается коэффициентом кривизныφ, значение которого определяется отношением диаметров . При


Рисунок 7.6 – Теплопроводность многослойной цилиндрической стенки	Рисунок 7.7 – К выводу уравнения теплопроводности сферической стенки

В соответствии с законом Фурье количество тепла, проходящее через шаровой слой толщиной dr и радиусом r

. (7.34)

В результате разделения переменных и интегрирования этого выражения в соответствующих пределах, получим:

, (7.35)

где и – диаметры внутренней и внешней поверхности соответственно.

Уравнения (7.35) являются расчетными формулами теплопроводности сферической стенки. Как следует из них, при = сonst температура в сферической стенке меняется по закону гиперболы.

По аналогии с плоской и цилиндрической стенками для многослойной сферической стенки

. (7.36)

Тепловое излучение

В тепловых процессах одновременно с теплопроводностью и конвекцией почти всегда наблюдается и тепловое излучение, причем, чем выше температура тела, отдающего тепло, тем большее количество тепла передается в виде лучистой энергии.

Тепловое излучение представляет собой процесс распространения внутренней энергии излучающего тела путем электромагнитных волн. При поглощении электромагнитных волн какими-либо другими телами они вновь превращаются в энергию теплового движения молекул. Источниками электромагнитных волн являются заряженные материальные частицы, т.е. электроны и ионы, входящие в состав вещества. По своей природе тепловое излучение аналогично излучению света, оба они представляют собой один вид энергии – лучистой – и подчиняются одним и тем же законам отражения, преломления и поглощения. Соответственно этому тепловое излучение характеризуется длиной волны. Однако в отличие от видимых световых лучей, имеющих длину волн 0,4÷0,8 мкм, длина волн теплового излучения лежит в основном в невидимой (инфракрасной) части спектра и составляет 0,8÷40 мкм.

Все тела излучают и поглощают лучистую энергию непрерывно. Интенсивность излучения зависит от природы тела, его температуры, длины волны, состояния поверхности, а для газов – еще от толщины слоя и давления. Твердые и жидкие тела имеют значительные поглощательную и излучательную способности. Вследствие этого в процессах лучистого теплообмена участвуют лишь тонкие поверхностные слои. Поэтому в этих случаях тепловое излучение приближенно можно рассматривать как поверхностное явление. Газы и пары характеризуются объемным характером излучения, в котором участвуют все частицы объема вещества. Излучение всех тел зависит от температуры. С увеличением температуры тела его энергия излучения увеличивается, так как увеличивается внутренняя энергия тела. При этом изменяется не только значение этой энергии, но и спектральный состав. При увеличении температуры повышается интенсивность коротковолнового излучения и уменьшается интенсивность длинноволнового излучения. В процессах излучения зависимость от температуры значительно большая, чем в процессах теплопроводности и конвекции. Вследствие этого при высоких температурах основным видом переноса тепла может быть тепловое излучение.

Лучистая энергия распространяется в однородной и изотропной среде прямолинейно. В отличие от теплопроводности и конвекции, лучистый теплообмен происходит не только между соприкасающимися, но и между удаленными друг от друга телами. Поток лучей, испускаемый нагретым телом, попадая на поверхность другого лучеиспускающего тела, частично поглощается, частично отражается (при этом угол падения равен углу отражения) и частично проходит сквозь тело без изменений, т.е.

; (7.37)

то есть ,

где – общая энергия падающих на тело лучей; – энергия, поглощенная телом; – энергия, отраженная от поверхности тела; – энергия лучей, проходящих сквозь тело без изменений.

Таким образом, отношения , и характеризуют поглощательную, отражательную и пропускательную способности тела. Если тело полностью поглощает падающую на него лучистую энергию, т.е. , а и равны нулю, то оно носит название абсолютно черного. При полном отражении телом лучистой энергии, , а , такие тела называют абсолютно белыми. Наконец, если тело пропускает все падающие на него лучи, не поглощая их и не отражая, , а , его называют абсолютно прозрачным или диатермичным.

В природе не существует абсолютно черных, абсолютно белых и абсолютно прозрачных тел. Все тела в той или иной степени поглощают, отражают и пропускают сквозь себя падающие на них лучи, т.е. являются серыми. Однако твердые тела и жидкости практически непрозрачны для тепловых лучей, а большинство газов, наоборот, диатермичны.

Основные законы излучения

Закон Стефана-Больцмана. Количество тепла, излучаемого единицей поверхности тела в единицу времени, называют лучеиспускательной способностью тела Е, Вт/м 2 :

. (7.38)

Как указывалось ранее, энергия излучения зависит от длины волн и температуры Т. Характеристикой энергии излучения по длинам волн служит интенсивность излучения I – лучеиспускательная способность тела в интервале длин волн от до + d , отнесенная к этому интервалу d , т.е.

. (7.39)

Лучеиспускательная способность тела E является интегральной характеристикой, которая учитывает энергию излучения волн всех длин от λ = 0 до λ = ∞.

. (7.40)

На основании электромагнитной теории света Планком аналитически была определена функциональная зависимость интенсивности излучения I₀ от температуры и длины волн для абсолютно черного тела. Согласно этой зависимости

, (7.41)

где c₁ – константа, равная 3,74∙10 –16 Вт/м 2 ; с₂ – константа, равная 1,44∙10 –2 (м∙К).

Интегрирование выражения (7.40) с учетом (7.41) дает зависимость для определения лучеиспускательной способности абсолютно черного тела Е₀:

, (7.42)

где к₀ – константа излучения абсолютно черного тела,
к₀ = 5,67∙10 –8 Вт/(м 2 ∙К 4 ).

Зависимость (7.42) носит название закона Стефана–Больцмана, так как была найдена экспериментально Стефаном и подтверждена Больцманом до того, как Планк вывел соотношение (7.41).

Таким образом, согласно закону Стефана–Больцмана, лучеиспускательная способность абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры.

При проведении технических расчетов выражение (7.42) удобнее использовать в виде

, (7.43)

где С₀ – коэффициент излучения абсолютно черного тела, равный С₀ = k₀∙10 8 = 5,67 Вт/(м 2 ∙К 4 ).

Исследования показали, что закон Стефана-Больцмана применим не только к абсолютно черным телам, но и к серым. В этом случае его записывают в виде

(7.44)

(C по аналогии с абсолютно черным телом называют коэффициентом излучения серых тел).

Отношение коэффициентов излучения данного тела и абсолютно черного С/С₀ = e носит название относительной излучательной способности или степени черноты данного тела. С учетом этого понятия закон Стефана-Больцмана принимает вид

. (7.45)

Рисунок 7.8 – К выводу закона Кирхгофа

Закон Кирхгофа устанавливает соотношение между лучеиспускательной и поглощательной способностями тел. Это соотношение может быть получено из рассмотрения процесса обмена лучистой энергией между абсолютно черным и серым телами (рис. 7.8).

Поверхности рассматриваемых тел параллельны и расположены на расстоянии, при котором излучение каждого из тел попадает на другое. Абсолютно черное тело имеет температуру T₀, лучеиспускательную способность E₀ и поглощательную A₀ = 1, серое тело имеет соответственно Т, Е и А, при этом Т > T₀. Излучение Е попадает на абсолютно черное тело и целиком им поглощается. Излучение E₀ попадает на серое тело. При этом часть этого излучения, равная E₀А, поглощается, а другая часть, равная E₀(1 – А), отражается на абсолютно черное тело и поглощается им. В результате этого обмена абсолютно черное тело получает суммарное количество энергии:

. (7.46)

При выравнивании температур обоих тел наступает тепловое равновесие, при котором Q = 0, т.е. . Следовательно,

. (7.47)

Последнее соотношение является математическим выражением закона Кирхгофа, согласно которому отношение лучеиспускательной способности тел к их поглощательной способности для всех тел одинаково, равно лучеиспускательной способности абсолютно черного тела при той же температуре и зависит только от температуры.

В результате подстановки значений E и E₀ из равенств (7.44) и (7.45) в соотношение (7.47) получаем

. (7.48)

Рисунок 7.9 – К формулировке закона Ламберта

Так как , то , т.е. способность тела к поглощению излучения численно равна степени его черноты. Учитывая, что e и A изменяются в пределах от 0 до 1, из равенства (7.47) следует, что лучеиспускательная способность реального тела всегда меньше лучеиспускательной способности абсолютно черного тела при той же температуре.

Закон Ламбертаопределяет изменение интенсивности излучения по различным направлениям. Согласно этому закону излучение энергии элементом поверхности в направлении элемента (рис. 7.9) пропорционально излучению dQ (по направлению нормали к ), телесному углу dψ (под которым виден элемент из элемента ) и косинусу угла φ, образованного прямой, соединяющей элементы и , и нормалью к элементу .

При этом лучеиспускательная способность в направлении нормали в p раз меньше полной лучеиспускательной способности тела.

Таким образом, количество энергии, излучаемой элементом в направлении элемента :

. (7.49)

источники:

http://pandia.ru/text/78/082/79823.php

http://lektsii.org/8-38207.html