Уравнение фурье для шаровой стенки

Стационарная теплопроводность через шаровую стенку

Пусть имеется полый шар (Рис.9.6) – внутренний диаметр d₁, внешний диаметрd₂, температура внутренней поверхности стенки –t_ст1, температуранаружнойповерхности стенки –t_ст2, коэффициент теплопроводности стенки -λ .

Уравнение теплопроводности по закону Фурье в сферических координатах:

Q =-λ·4·π·r 2 ∂t/∂r (9.35)

δ –толщина стенки.

Тема 10. Конвективный теплообмен

Факторы, влияющие на конвективный теплообмен

Конвективным теплообменом называется одновременный перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью.

В инженерных расчетах часто определяют конвективный теплообмен между потоками жидкости или газа и поверхностью твердого тела. Этот процесс конвективного теплообмена называют конвективной теплоотдачей или просто теплоотдачей.

Основными факторами, влияющими на процесс теплоотдачи являются следующие:

1). Природа возникновения движения жидкости вдоль поверхности стенки. Самопроизвольное движение жидкости (газа) в поле тяжести, обусловленное разностью плотностей её горячих и холодных слоев, называют свободным движением (естественная конвекция).

Движение, создаваемое вследствие разности давлений, которые создаются насосом, вентилятором и другими устройствами, называется вынужденным (вынужденная конвекция).

2). Режим движения жидкости.

Упорядоченное, слоистое, спокойное, без пульсаций движение называется ламинарным.

Беспорядочное, хаотическое, вихревое движение называется турбулентным.

3). Физические свойства жидкостей и газов.

Большое влияние на конвективный теплообмен оказывают следующие физические параметры: коэффициент теплопроводности (λ), удельная теплоемкость (с), плотность (ρ), коэффициент температуропроводности (а = λ/c_р·ρ), коэффициент динамической вязкости (μ) или кинематической вязкости (ν = μ/ρ), тεмпературный коэффициент объемного расширения (β = 1/Т).

4). Форма (плоская, цилиндрическая), размеры и положение поверхности горизонтальная, вертикальная).

Теплотехника.

56. Передача теплоты через шаровую стенку.

Пусть имеется полый шар с внутренним и внешним радиусами соответственно г₁ и г₂ коэффициент теплопроводности I которого постоянен. При заданных граничных условиях третьего рода будут также определены коэффициенты теплоотдачи на поверхностях шара а₁ и а₂ и температуры внутренней и внешней сред соответственно Тж₁ и Тж₂. Коэффициенты а₁,а₂ будут постоянными во времени, а температуры Тж₁,Тж₂ – постоянными и во времени, и по поверхностям.

При стационарном режиме теплопередачи полный тепловой поток Q, переданный через однородную сферическую стенку от горячей среды к холодной, будет постоянным для всех изотермических поверхностей и может быть определен тремя уравнениями.

Где d₁,d₂ – внутренний и наружный диаметры шара;

а₁,а₂ коэффициенты теплоотдачи от горячей среды к стенке и от стенки к холодной среде;

I– коэффициент теплопроводности материала стенки;

Т₁,Т₂ – температуры внутренней и наружной стенок.

Где DТ = Тж₁ – Тж₂ – полный температурный напор;

К_ш – коэффициент теплопередачи шаровой стенки (Вт/град).

Величина обратная К_ш называется термическим сопротивлением теплопередачи шаровой стенки:

Реферат: Теплопроводность через сферическую оболочку

Министерство общего и профессионального образования

ТОМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра промышленной электроники (ПрЭ)

Теплопроводность через сферическую оболочку

Пояснительная записка к курсовому проекту

по дисциплине «Физика»

Доцент кафедры физики

Объектом исследования является сферическая оболочка заданной толщины с переменным коэффициентом теплопроводности и с заданными значениями температуры на внутренней и внешней поверхностях оболочки.

Цель проекта — определить распределение температуры внутри оболочки.

В процессе работы выведено дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к данным конкретным условиям задачи и получено решение этого уравнения в виде функции T (r ), где T — температура в произвольной точке оболочки а r — расстояние между этой точкой и геометрическим центром оболочки. Разработана программа TSO , рассчитывающая функцию T (r ) и строящая её график для различных задаваемых пользователем параметров задачи .

Результатом исследования является аналитическое решение уравнения теплопроводности T (r ) и графическая иллюстрация этого решения, изображаемая на экране компьютера программой TSO .

Полученная в проекте функция T (r ) и разработанная программа TSO могут быть полезными для разработчиков химических и ядерных реакторов, котлов тепловых станций и различных сосудов в области промышленной и бытовой техники.

Курсовой проект выполнен в текстовом редакторе Microsoft WORD 7.0.

Object of study is a spherical shell of given thickness with floating factors heatconduct and with given values of temperature on internal and external surfaces of shell.

Purpose of project — define a sharing a temperature of inwardly shell.

In the process of work is remove differential equation heatconduct is aplicable to given concrete conditions of problem and is received decision of this equation in the manner of functions T(r), where T — a temperature in the free spot of shell, but r — a distance between this spot and geometric shell centre. Designed program TSO, calculate function T(r) and build its graph for different assign by the user of parameters of task.

Result of studies is an analytical decision of equation heatconduct T(r) and graphic illustration of this deciding, express on the computer screen by the program TSO.

Received in the project a function T(r) and developping program TSO are to be useful for developers of chemical and nucleus reactors, caldrons of heat stations and different containers in the field of industrial and home appliances.

Course project is executed in the textual editor Microsoft WORD 7.0.

Пространство между двумя сферами радиусы которых R ₁ и R ₂ (R ₁ 2 ):

. (2.11)

Вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермической поверхности в сторону убывания температуры. Векторы j и grad T лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны.

Тепловой поток q , прошедший сквозь произвольную поверхность S , находят из выражения

. (2.12)

Количество теплоты, прошедшее через эту поверхность в течение времени t , определяется интегралом

. (2.13)

Таким образом, для определения количества теплоты, проходящего через какую-либо произвольную поверхность твердого тела, необходимо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела. Нахождение температурного поля и составляет основную задачу аналитической теории теплопроводности.
2.4 Дифференциальное уравнение теплопроводности

Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача теплоты теплопроводностью, при установлении зависимостей между величинами удобно воспользоваться методами математической физики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бесконечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения:

· внутренние источники теплоты отсутствуют;

· среда, в которой распространяется тепло, однородна и изотропна;

· используется закон сохранения энергии, который для данного случая формулируется так: разность между количеством теплоты, вошедшей вследствие теплопроводности в элементарный параллелепипед за время dt и вышедшей из него за тоже время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема.

Выделим в среде элементарный параллелепипед с ребрами (рисунок 2.2). Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в направлении осей . Через площадку за время dt , согласно уравнению Фурье, проходит количество теплоты:

(2.14)

(grad T взят в виде частной производной, т.к. предполагается зависимость температуры не только от x , но и от других координат и времени).

Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество теплоты, определяемое из выражения:

, (2.15)

где — температура второй грани, а величина определяет изменение температуры в направлении z.

Название: Теплопроводность через сферическую оболочку
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат Добавлен 17:02:03 05 октября 2005 Похожие работы
Просмотров: 567 Комментариев: 21 Оценило: 4 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать

Последнее уравнение можно представить в другом виде:

. (2.16)

Итак, приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси z равно:

. (2.17)

Приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси y выразится аналогичным уравнением:

, (2.18)

а в направлении оси x :

. (2.19)

Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде:

. (2.20)

С другой стороны, согласно закону сохранения энергии:

, (2.21)

где — объем параллелепипеда;

— масса параллелепипеда;

c — удельная теплоемкость среды;

— плотность среды;

— изменение температуры в данной точке среды за время dt .

Левые части уравнения (2.20) и (2.21) равны, поэтому:

, (2.22)

. (2.23)

Величину называют оператором Лапласа и обычно обозначают сокращенно ; величину называют температуропроводностью и обозначают буквой a . При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид:

. (2.24)

Уравнение (2.24) называется дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменениям температуры в любой точке поля.

Температуропроводность является физическим параметром вещества и имеет единицу м 2 /c. В нестационарных тепловых процессах a характеризует скорость изменения температуры.

Из уравнения (2.24) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a . Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты внутри тела имеет вид:

, (2.25)

где q_V — удельная мощность источника, то есть количество выделяемой теплоты в единице объёма вещества в единицу времени.

Это уравнение записано в декартовых координатах. В других координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид уравнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренним источником теплоты таково:

, (2.26)

где r — радиус-вектор в цилиндрической системе координат;

— полярный угол.

2.5 Краевые условия

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле или начальные условия. Кроме того, должны быть известны:

· геометрическая форма и размеры тела,

· физические параметры среды и тела,

· граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой.

Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Обычно начальные условия распределения температуры задаются для момента времени t = 0.

Граничные условия могут быть заданы тремя способами.

Граничное условие первого рода задается распределением температуры на поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие второго рода задается поверхностной плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие третьего рода задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхность тела и окружающей средой.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при заданных условиях однозначности позволяет определить температурное поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти функцию .

2.6 Теплопроводность через шаровую стенку

С учётом описанной в разделах 2.1 — 2.5 терминологии задачу данной курсовой работы можно сформулировать так. Постоянный тепловой поток направлен через шаровую стенку, причем источником теплоты является внутренняя сфера радиусом R ₁ . Мощность источника P постоянна. Среда между граничными сферами изотропна, поэтому её теплопроводность c является функцией одной переменной — расстояния от центра сфер (радиуса) r . По условию задачи . Вследствие этого температура среды тоже является в данном случае функцией одной переменной — радиуса r : T = T (r ), а изотермические поверхности это концентрические сферы. Таким образом искомое температурное поле — стационарное и одномерное, а граничные условия являются условиями первого рода: T (R ₁ ) = T ₁ , T (R ₂ ) = T ₂ .

Из одномерности температурного поля следует, что плотность теплового потока j так же, как теплопроводность и температура, являются в данном случае функциями одной переменной — радиуса r . Неизвестные функции j (r ) и T (r ) можно определить одним из двух способов: или решать дифференциальное уравнение Фурье (2.25), или использовать закон Фурье (2.11). В данной работе избран второй способ. Закон Фурье для исследуемого одномерного сферически симметричного температурного поля имеет вид:

. (2.27)

В этом уравнении учтено, что вектор нормали к изотермической поверхности n параллелен радиус-вектору r . Поэтому производная может быть записана как .

Определим зависимость плотности теплового потока j от r . Для этого сначала вычислим тепловой поток q через сферу произвольного радиуса r > R .

. (2.28)

В частности, тепловой поток q ₁ через внутреннюю сферу радиусом R ₁ и тепловой поток q ₂ через наружную сферу радиусом R ₂ равны

(2.29)

Все эти три потока создаются одним и тем же источником мощностью P . Поэтому все они равны P и поэтому равны между собой.

. (2.30)

С учётом (2.28) и (2.29) это равенство можно записать в виде:

. (2.31)

получаем искомую зависимость плотности теплового потока j от радиуса r :

, (2.32)

где C ₁ — это константа, определяемая формулой

. (2.33)

Физический смысл полученного результата достаточно ясен: это известный закон обратных квадратов, характерный для задач со сферической симметрией.

Теперь, так как функция j (r ) известна, можно рассматривать уравнение (2.27) как дифференциальное уравнение относительно функции T (r ). Решение этого уравнение и даст искомое распределение температур. Подставив в (2.27) выражение (2.32) и заданную функцию , получим следующее дифференциальное уравнение:

. (2.34)

Данное уравнение решается методом разделения переменных:

Интегрирование этого выражения даёт:

Итак, функция T (r ) имеет вид:

. (2.35)

Константы C ₁ и C ₂ можно определить из граничных условий T (R ₁ ) = T ₁ ,
T (R ₂ ) = T ₂ . Подстановка этих условий в (2.35) даёт линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными C ₁ и C ₂ :

. (2.36)

Вычитая из первого уравнения второе, получим уравнение относительно C ₁ :

. (2.37)

С учётом этого выражение (2.35) можно записать в виде:

. (2.38)

Теперь первое граничное условие T (R ₁ ) = T ₁ даёт:

, (2.39)

откуда следует выражение для константы C ₂ :

. (2.40)

Подстановка (2.40) в (2.39) даёт окончательное выражение для искомой функции T (r ):

. (2.41)

Зная функцию T (r ), можно из закона Фурье

определить и окончательное выражение для плотности теплового потока j как функции от радиуса r :

. (2.42)

Интересно отметить, что распределение температур не зависит от коэффициента b , но зато плотность потока пропорциональна b .

В результате проделанной работы выведено дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к данным конкретным условиям задачи и получено решение этого уравнения в виде функции T (r ). Разработана программа TSO , рассчитывающая функцию T (r ) и строящая её график для различных задаваемых пользователем параметров задачи . Листинг программы приведен в Приложении А.

Список используемых источников

Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., испр. и доп. — М: Высш. школа, 1980. — 469 с.

Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики: М.: Наука, 1969. — 288 стр.

Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика: Учеб. пособие для студентов втузов. — М.: Наука, 1982. — 432с.

Зельдович Б.И., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. — М.: Наука, 1973. — 352с.

Листинг программы TSO

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

источники:

http://ur-consul.ru/Bibli/Tyeplotyekhnika.56.html

http://www.bestreferat.ru/referat-59643.html