Теплопроводность при стационарном режиме
Теплопроводность при стационарном режиме
- В установившемся состоянии температурное поле T (x, yₜr, t) не зависит от времени. То есть,^ = 0.Дифференциальное уравнение теплопроводности (II-55)^ = aV2T (IV-I) DX is (П-56 И Р-57) Eh2du * Ldz2(IV-2)для решения конкретной задачи в Формулу (IV-2) необходимо добавить соответствующее граничное условие. Рассмотрим несколько простых случаев Определение стационарного температурного поля для объектов различной формы. § 1.
To рассмотрим теплопроводность тела плоская стенка неограниченная плоская стенка с подходящим температурным полем Его толщина равна 6, его поверхность параллельна плоскостям Y, z декартовой системы координат и находится при x = 0 и x = 6(рис. IV-1).Давайте поддержим его этими поверхностями Соответственно, задаются температуры 7 \и Т₂, то есть граничные условия типа 1(Глава 2,§ 5).
Выражение (IV-3) немедленно интегрируется. Людмила Фирмаль
Если Γ и T₂ не зависят от координат y и z, то, очевидно, искомое температурное поле Уравнение (IV-2), которое зависит от этих координат и определяет температуру T (x), принимает вид
= 0 (IV-3) dx2V ’при граничном условии. Г= 7 \ при x-0 (IV-4) T-X Tn-6.Общая форма решения T (x)=C₁X4-C₂,(1V-5).Где C. И C₂-произвольная константа, определяемая из граничного условия. (IV-4).фактически, если вы установите x = 0 в(IV-5)и используете первую формулу (IV-4), вы получите 2-е условие (IV-4) и (на основе) Л=С₂, (IV-6), x = 6. (IV-6) есть фига IV -!.
Теплопроводность плоской стенки т = С.6+С₂ = С.6+ 7 ′., (IV-7) где C = ^, 16 наконец, решение уравнения (IV-3) при граничном условии(1V-4) видно из (IV-8)(1V-8 T(x)линейно зависит от x, и эта зависимость T (x)= f (x)показана на рисунке вдоль толщины стенки. IV-1.Тепловой поток q можно определить по закону Фурье (1-3): q = — XgradГ, или В нашем случае, дифференцируя распределение температуры по толщине стенки (IV-8), мы видим, что dxowhence (IV-9) получается из Формулы (IV-9), которая равна 7′. > Flux тепловой поток положительный, то есть он направлен вдоль положительного направления оси X. В 7 \7 ′ 2 он направлен в противоположную сторону.
Этот результат является результатом второго закона термодинамики. В частности, тепло передается от нагретого тела к неотапливаемому. Количество тепла, проходящего через стенку за единицу времени, легко вычисляется с помощью (IV-9), q = ^ = X (T₁ — ^ 7′) 4 -/⁷. (1V-10) перепишите уравнение Фурье (P-54) в цилиндрической системе координат с цилиндрическим wall. To сделайте это, декартовы координаты и Цилиндрические координаты (рис. IV-2), x = r cos B, y = r sin B, z = R.
После проведения изменения этой переменной форма уравнения цилиндрической системы координат (P-54) равна dT / dTT- = а-э \ ДГ * \ _ ДТ Р ДГ \ &т р * ДВ. Рассмотрим 1D процесс стационарной теплопроводности на бесконечной цилиндрической стенке (рис. IV-3).Если на рисунке IV-2.Соотношение Прямоугольные и цилиндрические координаты T рис. 1в-3.Теплопроводность цилиндрической стенки, внутренней (r = r) и внешней (r-RJ) поверхности стенки.
Они не зависят от угла Вига, искомое температурное поле не зависит от этих переменных, и если оно стационарно, то уравнение (IV-11) имеет вид (FT (g) 1 dT ® Q dr-r dr (IV-12) при заданном граничном условии типа 1 R = r₁T =Г= = ₂ ₂t =t 決定 определяет распределение температуры по всей толщине стенки. Формула (IV-12) Переписывание (IV-13) (IV-14) Теперь 1 раз integration. As в результате после 2-го интеграла получаем общее решение уравнения. (IV-14): T(g)= CJn g 4-C₂. (IV-15) постоянная интеграция C! И С₂ должно быть определено из граничного условия(IV-13).Р= rxT₁=С₁1пг₁+С₂]и (IV-16)⁼ГГ2Т2⁷ ⁷1ПГ₂4″ С₂.
Если вы решите для (IV-16) относительно Ca, вы найдете первую интегральную константу Ca≥1n-и вторую константу Ca₂C = Tj-Cjlnr ^-br ^ linr ^ 1гг-ЛПП. ’1′ 1 замена Найдя значения Cb и C₂ в Формуле (IV-15), получим искомое распределение температуры по всей толщине цилиндрической стенки In-T ® =Tₗ+(T,-T₁) — I. (IV-17) ’ I следовательно T(g） Логарифмически зависит от радиусной координаты r. плотность теплового потока q определяется по закону Фурье. Основываясь на (IV-17), существует проходящее количество тепла.
Цилиндрическую стенку, которая указывает на единицу длины трубы, можно определить по формуле: Q-qF-q-2nr = inK (T1-T.). (IV-19) — — — в ri Q естественно не зависит от R. Тепло не будет накапливаться anywhere. By по аналогии с многослойной цилиндрической стенкой(1-6) принимается тепловое сопротивление многослойной цилиндрической стенки (рис. IV-4). Равна сумме тепловых сопротивлений отдельных слоев. На основе этого утверждения можно использовать формулу (IV-19) для создания формулы, определяющей количество тепла, которое проходит через нее.
Q-присваивается единице длины стены. Преобразуйте уравнение сферической стенки (P-54) в сферическую систему координат. Используйте его для этого Следующая зависимость между Декартовыми координатами и сферическими координатами (рис. IV-5): x = r sinccosф, y = r sin 8 sinФ, z = r cos 8.Проводимость многослойной цилиндрической стенки В В сферической системе координат форма уравнения (P-54) равна dTha2?Как туда добраться, 2 at, 1 d F. dT \ₜdtL3r3g dr’g2sinea\ ae /1_g2sin26dF2] (IV-2I) рассмотрим стационарный процесс Теплопроводность внутренней поверхности (r = rx) и наружной поверхности (r =r₂) сферической стенки (оболочки) (рис. IV-6) соответственно.
Т₂. Семь Т₂ является постоянным. То есть она не зависит от направления, которое определяется углом 8 и cp. Поэтому требуемое температурное поле сферической стенки не зависит от этих переменных、 Функция радиальной переменной r. вид дифференциального уравнения (1V-2I) в этом случае равен IV-5.Корреляция декартовых и сферических координат IV-6. Для решения задачи теплопроводности граничного значения сферической конформации (IV-22, IV-23) необходимо определить распределение температуры по всей толщине сферической стенки. Переписывание Формулы (IV-22） (Ив-24) \ m2dr доктор! сначала в результате первого интеграла получается dr r* второй .
Интеграл дает Г ® =Г (IV-25).Общее использование граничных условий (IV-23) Решите уравнение (1V-25) для определения любых констант Ci и C2:r — — — rx m \ — — ^ + c2, T \ A = — — — ^ + C2. для r = r2 G # Если вы решите эти уравнения относительно C и C₂, вы получите 1 _ _ _ _ _ 1_ Заменяет \ G «-G1 G1 gg и G₂-G1 Cx и C₂ общим решением (IV-25).Упрощенный, наконец m = r = +(T₁-t₁) r \ yr от Gg-gx (IV-26) (IV-26), температура T (g） Она изменяется по толщине сферической стенки вдоль гиперболы. Определите тепловой поток из раствора (IV-26) — CL-L) ’ 1 ’» количество тепла, передаваемого через сферу 1 yy-yy.
В единицу времени, 2 =₉Г=₉.4лг2 = 4ях (л-Г₂) -!он равен а^ -. (IV-27) / ■ » — ’ 1 не зависит от r по тем же причинам, что и для цилиндрических стенок.§ 2.Теплопроводность тела с Внутренние источники тепла процессы теплопроводности в твердых телах обусловлены внешними условиями, то есть распределением температуры и теплового потока Подвод (отвод) тепла от поверхности тела и образующейся в результате внешней среды.
Математически это выражалось в выделении определенных граничных условий на поверхности тела. Рассмотрим процесс теплопередачи, когда помимо такого внешнего источника тепла существует еще и внутренний источник (сток), который распределяется определенным образом. Объем тела. Вы можете привести много примеров таких processes. It ограничивается упоминанием о том, что тепло образуется, когда электрический ток протекает через проводник.
Тепло Количество тепловыделяющих элементов выделяется и в замедлителях реактора. Когда в рассматриваемом объеме тела происходит определенная химическая реакция, он высвобождается(поглощается） В таком вопросе теплопроводности желательным обычно является распределение температуры внутри тела субъекта, а мощность внутреннего источника тепла (стока) принимается во внимание Это было дано. Мощность источника (стока) — это количество тепла, которое выделяется (поглощается) единицей объема тела за единицу времени.
Эта сумма показана в qᵥ、 Килоджоули / кубический метр / сек (kA s /l13-sec).В зависимости от характера процессов, происходящих в рассматриваемом теле, источник тепла (Сток) может выбираться по-разному. Или концентрируйтесь на определенной части или точке объема тела в течение определенного времени, или равномерно распределяйтесь по всему объему, в зависимости от температуры. Уравнения Теплопроводность при наличии внутреннего источника тепла описывается в виде cp% — = Ky’t +qᵥ. (IV-28) изменение теплоты на единицу объема за 01 единицу времени、 .
Здесь имеет место не только процесс теплопроводности, который является первым членом в правой части формулы (IV-28), но и выделение (поглощение) тепла в единице объема qv, которое мы рассмотрим ниже. Рассматривается задача о постоянном во времени и равномерно распределенном по всему источнику тепла. Теплопроводность бесконечной стенки с внутренним источником тепла плоскость YY и неограниченная стенка (рисунок IV-7) очищаются с обеих сторон при постоянной температуре жидкости Tf. Коэффициент теплопередачи .
A и выход равномерно распределены Объем qᵥ стенки источника тепла равен given. It необходимо найти распределение температуры по всей толщине стенки. Состояние поверхности стенки x = — I n x = I является постоянным, то есть, В зависимости от координат y и z температура будет функцией только от x, а уравнение (IV-28) будет иметь вид xs_ ⁼vv IV IV’2⁾.Однако, — 1 — = а(Тх ₌ / — г.) (IV-30) dx x = 1 * последний и В других случаях источник тепла может зависеть не только от координат, но и от температуры. Для аналогичных условий симметрия на поверхности x—I .
Температурное поле для плоскости x = 0 может быть заменено условием dx x-o (IV-31).От температуры очищающего раствора вводят Счетную температуру (IV-32)и затем кромку Задача (IV-29 напишите qydx2X dx x> = Q. интегрируйте уравнение (IV-33).d / \ _ _ _ _ _ Chu ’dx \ dx j X и IV-31) re — (IV-33) (IV) B 7 1 Tf X g *’ / 1 1 x рисунок IV-7.Теплопроводность плоской стенки с источником тепла после первого уплотнения приобретает вид (IV-35), а после второго уплотнения общий раствор (IV-33) получается в виде x 4-Cj. х 4-Cₜ. Граничное условие (IV-36) (IV-34) используется для определения констант /
Cx и C₂. Из (IV-35) и 2-го граничного условия (IV-34), C,= 0. dx (IV-37) в начале условия, где x = I (IV-34), получаем 2A. то есть, подставляя значение константы произведения С₂ в (IV-37), получаем решение вида (IV-38). Решение квадратично зависит от x (параболически).С другой стороны, если не было внутреннего источника, зависимость была линейной[ссылка(Iv-8)].Представьте себе решение(IV-38) Обобщенная координата. Если вы выбираете как раздел/2Liv, то все термины (IV-38), количество с размером температуры, и половина своей толщины / характерного размера стены.
- Левая сторона (IV-39) (IV-39) является безразмерной температурой поиска. А правая сторона содержит независимые переменные в виде безразмерных координат-y и комплексных параметров Виде био-стандартом. Следовательно, (IV-39)-это (P1-13a) * q.. l2(характеристическая температура Oo = — ^ y — |является специфической функцией вида, которая получается на основе анализа） Решите уравнение (IV-33) с граничным условием (IV-34).Теплопроводность цилиндрической стенки с источником тепла делают цилиндрическую стенку (рис. IV-8) однородной.
Распределенный по всей его толщине источник тепла охлаждается снаружи жидкостью с температурой Tf \коэффициентом теплопередачи a и прочностью источника тепла qᵥ.It требуется Найти распределение температуры= = T-Tf по толщине стенки. •В этом случае вводить параметрические критерии не требуется. Если полый цилиндр в вопросе можно рассматривать Для d (g) используется уравнение dr2g, поскольку если температура окружающей среды.
Есть рисунок 1В-8.Теплопроводность цилиндрической стенки с источником тепла chu g, Cx dr X 2. Людмила Фирмаль
Tf постоянна, то желаемое распределение температуры зависит только от радиальных координат. на внешней поверхности цилиндрической стенки dr X (IV-40) r = r, предполагая, что теплообмен происходит по закону Ньютона,=: ab |(IV-41)dr r =rₜ (Ив-42) рублей. df> dr тогда dr \ dr J X если записать формулу (IV-40) в виде интеграла, то получится 1 2. ′ g (IV-44) итерационно интегрируют и получают общее решение уравнения (IV-43) 0 =—+Cilⁿr+ C»- Используйте (IV-45) A 4 граничных условия (IV-41) и (IV-42) для определения любых констант Cx и C₂.
Из условия (IV-42), M, C, ₀dr r ^rₜ2X q», то есть из условия (IV-41) определим С₂ отсюда (IV-45) и подставив значение и С₂ получим конкретное решение формулы(IV-40). Представьте себе решение (IV-46) с цилиндрической стенкой (IV-46) с обобщенными координатами(1V-46).Разделите все члены (IV-46) и выберите внешний (охлаждающий) радиус в качестве характерного размера С поверхности r2 цилиндрической стенки получаем O 4X. левая сторона (IV-47) является безразмерной искомой температурой, как и в(1V-39), а независимая переменная переходит в правую сторону. Джи! составной параметр в виде ссылки Biot, в виде g₂.
Как и в случае (IV-39), Формула (IV-47)является специфической функцией вида(1P-13a).Для цилиндрических стержень (r,= 0)обобщенная зависимость (IV-47) принимает вид (IV-48)§ 3. Теплопроводность тела с 2-мерным температурным полем 2-мерное температурное поле T-f (x, y) Получение аналитических решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям и граничным условиям, рекомендуется для объектов простой формы. Для тела сложной формы решением является.
Громоздкие, в некоторых случаях недоступные. Тогда для фактического расчета аналитическое решение либо упрощается одним из численных методов аппроксимации, либо ставится задача Решайте численно в электронных вычислительных машинах и тому подобное. Мы найдем аналитическое решение дифференциального уравнения для некоторых граничных условий, которые будут представлены ниже.
Для двумерного Формат температурного поля уравнения T = T (x, y) (P-54) имеет вид^ 4-^ = 0. в качестве решения dhadu1 (IV-49)мы применяем метод разделения переменных. Найти решение уравнения в виде Произведение 2 функций, то есть T = f(x, y)= X (x)Y (y), (IV-50), где X (x) — функция только переменной x. Y (y) является функцией только переменной y. Формула т из(IV-50) (1V-49), после деления на X и Y,\ _dtY__________ 1 вы получите d * XY dy * XX1 (IV-51).Поскольку левая сторона (IV-51) не зависит от x и равна значению (правая сторона), это если вы не зависите от y, общие (оба) значения не зависят от x или y. таким образом, общее значение (для обеих частей) уменьшается до постоянного значения. Это полезно для принятия формы k2.
Как и в (IV-56), напишите общее решение (IV-53) X = Cxeⁱkx+C₂e〜ⁱkx, (IV-59).Здесь (\и С₂-произвольные константы. Однако формулы e1x и е-1 actually на самом деле фактические значения х, кроме Х = 0.Используя Эйлера официальный e±ТТХ₌потому что£Х±З Син х (ИЖ-60) (ИЖ-59)* х — сов / экс-ЖБ грех КХ. (ИЖ-61） Можно написать общее решение Формулы (IV-59) на основе (IV-60) в виде T = x XU =(AcosЛх4-Bsin KX) (SEC>〜J-de-K>) (IV-62).
Применяйте его для решения конкретных задач. Теплопроводность плоских стенок с 2-мерным температурным полем рассмотрим конкретную задачу теплопроводности плоских стенок (рис. IV-9).Пусть T-форма температурного поля на стене = /(х,//), температуры в направлении оси Z во всех точках (вдоль стены толщина) X = СЈ е ’ * — r4C₂e -и KX = Ки(coskx + я грешу опций)-| −4- СГ (потому что / с GX-мне грех КХ)=(СЈ-Ф-C₂) потому что с KX + я (Cₜ-C₂） грех КХ — = а потому что КХ ^ — ПБ грех КХ -, (а = с ^ СГ, 5 = ^ −0.).
Тот же смысл. Избыточная температура(гл. Уравнение Лапласа (P-56) для этой задачи в 111,§ 2) имеет вид dx2du2. Граничное условие типа 1 O = T-Ta = 0 задается для x = 0 и x = L. где 0-искомая избыточная температура стенки. Ta-поддерживается температура боковой стенки Постоянный. (IV-63) (IV-64) 0 — > 0 как y — > — oo. (IV-66) (рисунок 1V-9) рисунок IV-9. Теплопроводность в 2D температурном поле, Т= / (*•У) где 7 \ — температура на нижнем конце (см. Рисунок). 1В-9) стены поддерживаются постоянными.
Решением уравнения (IV-63) будет уравнение (1V-62). в последнем случае абсолютная переменная температуры T заменяется избыточной переменной F. Используя граничные условия (IV-64 и IV-66), определите постоянные коэффициенты A, B, C, D. Из первого условия(1V-64) выполните x-0 и A-0. x = 0 должен быть равен нулю, но cosx |z₌ ₀ = coso = 1, то есть если он не равен пуле, то коэффициент a должен быть равен нулю. Поскольку нас интересуют нетривиальные решения, а именно, они не равны нулю Аналогично коэффициент B равен нулю, поэтому если x = L, то требуется sinkL 0.Значение нетривиального решения, удовлетворяющего границе уравнения (IV-63) .
Условие (IV-64) называется собственным значением, а нетривиальное решение этой задачи называется собственной функцией, соответствующей заданному eigenvalue. So кл- ПЛ, вот н= 0、1、2、3、…в результате k>/ / L, k₂-2n / L,…kₙ= !! Си.,…Из условия (IV-66) следует, что коэффициент C = 0 (y — * oo, если e * y неограничен） Рост.) При A = 0, C-0 решение(1V-62) не может принимать вид^-BDe sin ^-^-x ^ =£e sin ^ — ^ ^ x ^ (IV-67) решение (IV-67) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1V-63). любое натуральное значение n. из полученного решения (IV-67) видно, что для 7 -Ta 0 условие (IV-65) не выполняется для выбора E-En. 0 после этого .
Единственным решением проблемы является тривиальное решение 0 = 0.С другой стороны, сумма любых 2 (и, следовательно, любого конечного числа) решений линейных однородных производных Уравнение также является решением. Если мы суммируем число решений типа (IV-67) до бесконечности, то увидим, что мы можем выбрать E = En так, чтобы условие (IV-65) было выполнено(или、 Условие (IV-66)] и бесконечная сумма d = 2£e_T «sin (- ^x’) (IV-68) сходятся, а краевые задачи (IV-63), (IV-64), (IV-65) и (IV-66) сходятся.
Как найти Ep Используйте граничное условие (IV-68) (IV-65). если y = 0, то форма выражения (IV-68) равна (IV-69). чтобы понять формулу (IV-69), вспомним следующее положение из математики. Функция является F (x)с периодом 2n дифференцируема или, по крайней мере, кусочно дифференцируема и может быть расширена рядом Фурье следующих форм: где a0, an и bn Величина, которая называется коэффициентом ряда Фурье и определяется по формуле: lnp-j /(x) cosnxJx (l = 1,2 t 3,…(IV-71) — — — l l°0 = ’ T (IV-713) — — — l l 6n = — J — (F (x) sin nxdx(n = l, 2, 3. ). л.(ИЖ-72) с / — — — Л. Если F (х) нечетная функция (χχ) потому что NX-это странно. Помнишь? В случае нечетной функции выполняется равенство f (- x)= — f (x).
Тогда об этом л§f (x) dx = 0-и, следовательно, в случае (IV-71) an = jf (x) cos nx dx = 0(n = 1, 2, 3,…). — Я имею в виду… Вид ряда Фурье нечетных функций (IV-70) имеет вид f(x)= S b sin px. Чтобы определить bn из (IV-73) n = I (IV-72), для четной функции используйте равенство f (- X) 0), то, изменив переменную, можно переписать Формулы (IV-73) и (IV-75) в виде ZW = BS&». грех (- ПХ） (IV-76) и L sino теперь возвращаются к Формуле (IV-69).
Положим Dx)=в этом случае Формулы (IV-69)и(IV-76) идентичны. Таким образом, выражение (IV-69) представляет собой ряд Фурье следующих констант: Интервал 10, ZJ(Z7 > 0).Константа En равна Ln и по формуле (IV-77) y-x)/ x, где n = 1,2,3……….(IV-77) 0 n = 1, 3, 5, cos pl—1 = n = 2, 4, 6, cos pl-4-1 и En = 0.Конкретные решения (IV-68) могут быть записаны в окончательном виде (IV-78).Здесь мы используем следующие результаты: если функция Dx) с периодом разлагается равномерно В случае сходящегося ряда последний должен быть ближе к Фурье. (Серия (IV-78) четко сходится равномерно.
Отметим, что согласно (IV-78), температура стенки в любой точке не зависит. Теплопроводность в случае учета отсутствия теплового потока на стене. Из полученного решения также ясно, что если = 0, то решение 0 = 0.§ 4. При передаче тепла от жидкости (а.) до падения теплопроводности в ребрах определенных пересечений через сплошную стенку к газу (А₂), общее тепловое сопротивление!K определяется. 4 -= по формуле (1-12)-+ 4-± ИЖ — ⁷⁹ > к-Аль — Xa₂ последний срок 1 /a₂ вносит наибольший вклад в общее тепловое сопротивление, 1, а в некоторых случаях и 2-х значное число больше, чем первых 2-х значное число членов 1 / aP обычно, a₂ не может быть увеличен.
Кроме того, для усиления теплопередачи поверхность стенки со стороны газа увеличена ребрами. Рассмотрим теплопроводность некоторой кромки Раздел 1112).Упростите фактический процесс и предположите следующее: 1)температура ребра T изменяется только вдоль оси Z. 2) тепло передается только в окружающую среду Верхняя (Lb) и нижняя (Lb) поверхности ребра. 3) коэффициент передачи тепла от края нервюры к окружающей среде a постоянн значение, и поток тепла Формула = a (T-T.), (IV-80), где Tf-температура окружающей среды.
Выведем дифференциальное уравнение теплопроводности для ribs. To для этого создадим уравнение теплового равновесия выделенного объема qz2hb-qz + bz2hb-a (2b & z) (T-Tj)= ребро в виде 0 (рисунок IV-10).Разделите все члены полученного уравнения на 2 hb и найдите ограничение Az O (IV-81) dz h. подставьте (IV-81) вместо q. Значение из уравнения закона Фурье (1-Za). в результате получаем искомое дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого ребра dza.
Дополнительные граничные условия: 1) t = Tda (IV-83) решение z = O, z-L обозначается обобщенной переменной (III-13a).Введение температурных безразмерных параметров (IV-84） ’W-координата 2 tf= -^ -. (IV-85) (IV-82) эталонный Bi = — y и параметрический эталонный P = — (для характерных размеров ребер、 Его длина L и половина толщины L). в этом случае наиболее удобное для решения сочетание критериев Bi и P принимает вид: условие задачи обобщенной переменной описывается следующим образом:.
Дифференциальные уравнения (IV-82) (IV-86) дополнительные граничные условия (IV-87) и решение системы br = o = 1 (IV-88) (IV-86, IV-87, IV-88) получены с помощью гиперболической функции в виде Или позвольте мне ввести характеристики эффективности реберной кости 8-NZ-(THN) sh NZ (IV-89) chN (l-Z) ch N (IV-90).Используйте отношение тепло которое на самом деле в качестве его меры Тепло, рассеиваемое поверхностью ребра, рассеивается, если температура всей поверхности ребра равна Tw. As в рассматриваемом случае и эффективность ребер Формула fOdZ-т — — — — — — — — — — — 5-L «1-г > I» (IV-91) о (IV-92) может быть определена.
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Закон Фурье – основной закон теплопроводности.
В 1807 году французский ученый Фурье доказал экспериментально, что во всякой точке тела (вещества) в процессе теплопроводности присуща однозначная взаимосвязь между тепловым потоком и градиентом температуры:
,
где Q – тепловой поток, выражается в Вт;
grad(T) – градиент температурного поля (совокупности числовых значений температуры в разнообразных местах системы в выбранный момент времени), единицы измерения К/м;
S – площадь поверхности теплообмена, м 2 ;
Градиент температуры получится характеризовать в виде векторной суммы составляющих по осям декартовых координат:
,
где i, j, k – ортогональные между собой единичные векторы, нацеленные по координатным осям.
Значит, данный закон устанавливает величину теплового потока при переносе тепла посредством теплопроводности.
Закон Фурье для поверхностной плотности теплового потока принимает вид:
.
Знак « минус» обозначает, что векторы теплового потока и градиента температуры разнонаправленные. Следует понимать, что теплота передается в направлении спада температуры.
И все же не лишним будет указать, что закон Фурье не принимает в расчет инерционность процесса теплопроводности, иначе говоря, в представленной модели колебание температуры в любой точке мгновенно распространяется на всё тело. Закон Фурье некорректно применять для характеристики высокочастотных процессов таких как, к примеру, распространение ультразвука, ударной волны.
Основы теории теплообмена
Теория теплообмена, основные понятия и определения. Теплопроводность. Предмет и методы теории теплообмена. Основные виды переноса теплоты. Понятия теплоотдачи и теплопередачи. Температурное поле, температурный градиент. Закон Фурье. Расчетные формулы стационарной теплопроводности для плоской и цилиндрической стенок при граничных условиях 1 и 3 рода (теплопередача).
Основы теории теплообмена
Теплопередача — это процесс переноса теплоты от одного теплоносителя к другому через разделяющую стенку. Теплопередача связана с весьма сложными процессами и при ее изучении необходимо знать законы теории теплообмена и методы анализа, применяемые в физике, термодинамике, гидродинамике и химии.
Сложный процесс переноса теплоты разбивают на ряд более простых. Такой прием упрощает его изучение. Кроме того, каждый простой процесс переноса теплоты подчиняется своим законам. Существует три простейших способа передачи теплоты: теплопроводность, конвекция, излучение.
Явление теплопроводности состоит в переносе теплоты микрочастицами (молекулами, атомами, электронами и т. п.). Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур.
Конвективный теплоперенос (конвекция) наблюдается лишь в жидкостях и газах. Конвекция — это перенос теплоты вместе с макроскопическими объемами вещества. Следует иметь в виду, что одновременно с конвекцией всегда существует и теплопроводность. Однако конвекция обычно является определяющей, т. к. она интенсивнее теплопроводности.
Конвекцией можно передавать теплоту на очень большие расстояния (например, при движении газа по трубам). Движущаяся среда (жидкость или газ), используемая для переноса теплоты, называется теплоносителем.
Третьим способом переноса теплоты является излучение. За счет излучения теплота передается во всех лучепрозрачных средах, в том числе и в вакууме. Носителями энергии при теплообмене излучением являются фотоны, излучаемые и поглощаемые телами, участвующими в теплообмене.
В большинстве случаев перенос тепла осуществляется несколькими способами одновременно. Например, конвективная теплопередача от газа к стенке практически всегда сопровождается параллельным переносом теплоты излучением.
Основные понятия и определения
Интенсивность переноса теплоты характеризуется плотностью теплового потока. Плотность теплового потока — это количество теплоты, передаваемое в единицу времени через единичную плотность поверхности, q [Вт/м2].
Мощность теплового потока или просто тепловой поток — это количество теплоты, передаваемое в единицу времени через произвольную поверхность F, [Вт].
поверхность теплообмена F — это поверхность, через которую происходит передача тепла. Например, при остывании теплоносителя в трубе диаметром d и длиной l, тепло передается от горячего теплоносителя к окружающей среде через цилиндрическую поверхность трубы. В этом случае 
.
Перенос теплоты зависит от распределения температуры по объему тела или пространства. Температурным полем называется совокупность мгновенных значений температуры во всех точках тела или системы тел в данный момент времени. Математическое описание температурного поля имеет вид:
где t — температура;
x, y,z — пространственные координаты;
— время.
Температурное поле, описываемое приведенным уравнением, называется нестационарным. В этом случае температуры зависят от времени.
В том случае, когда распределение температуры в теле не изменяется со временем, температурное поле называется стационарным
если температура изменяется только по одной или двум пространственным координатам, то температурное поле называется соответственно одно— и двухмерным:
Температурные поля (1.2) и (1.3) называются трехмерными.
Поверхность, во всех точках которой температура одинакова, называется изотермической. Изотермические поверхности могут быть замкнутыми, но не могут пересекаться. Быстрее всего температура изменяется при движении в направлении, перпендикулярном изотермической поверхности. Скорость изменения температуры по нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры.
Градиент температуры
(grad t) — есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности и численно равный производной пот температуры по этому направлению:
,
Рисунок 1 — Расположение градиента температуры и вектора теплового потока относительно изотермы t2=Const температурного поля
где 
— единичный вектор, направленный в сторону возрастания температур нормально к изотермической поверхности.
Теория теплопроводности рассматривает тело как непрерывную среду. Согласно основному закону теплопроводности — закону Фурье — вектор плотности теплового потока, передаваемого теплопроводностью, пропорционален вектору градиента температуры:
,
где 
— коэффициент теплопроводности, Вт/(м×К). Он характеризует способность вещества, из которого состоит рассматриваемое тело, проводить теплоту.
Знак «-» указывает на противоположное направление вектора теплового потока и вектора градиента температуры. Вектор плотности теплового потока q всегда направлен в сторону наибольшего уменьшения температуры.
скалярная величина вектора плотности теплового потока:
,
Из формулы следует, что коэффициент теплопроводности 
определяет плотность теплового потока при градиенте температуры 1 К/м.
Коэффициент теплопроводности является физическим параметром и зависит от химической природы вещества и его физического состояния (плотности, влажности, давления, температуры). Диапазоны изменения для различных материалов приведены на рисунке 2.
 |
Рисунок 2 — Теплопроводность при стационарном режиме
Однослойная плоская стенка
Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной d, на поверхностях которой поддерживаются температуры tс1 и tс2, причем tс1>tс2 (рис.3). температура изменяется только по толщине стенки — по одной координате х, коэффициент теплопроводности 
. Теплового потока в этом случае, в соответствии с законом Фурье, определяется по формуле:
,
Рисунок 3 — Изменение температур по толщине однородной плоской стенки
,
где 
, причем tс1>tс2;
— внутреннее термическое сопротивление теплопроводности стенки, (м2×К)/Вт.
Распределение температур в плоской однородной стенке — линейное.
В большинстве практических задач приближенно предполагается, что коэффициент теплопроводности не зависит от температуры и одинаков по всей толщине стенки. значение находят в справочниках при средней температуре 
.
Тепловой поток (мощность теплового потока) определяется по формуле:
,
Многослойная плоская стенка
Рассмотрим для тех же условий многослойную плоскую стенку с толщиной слоев d1, d2,…, dn с соответствующими коэффициентами теплопроводности l1, l2,…, ln (рисунок 4). Здесь слои плотно прилегают друг к другу.
В этом случае плотность теплового потока определяется по формуле:
Рисунок 4 — Распределение температур по толщине многослойной плоской стенки
,
где n — число слоев многослойной стенки;
tc1 и tc(n+1) — температуры на внешних границах многослойной стенки;
— полное термическое сопротивление многослойной плоской стенки.
Плотность теплового потока, проходящего через все слои, в стационарном режиме одинакова. А так как коэффициент теплопроводности l различен, то для плоской многослойной стенки распределение температур — ломаная линия.
Рассчитав тепловой поток через многослойную стенку, можно найти температуру на границе любого слоя. Для к-го слоя можно записать:
,
Однородная цилиндрическая стенка
Задача о распространении тепла в цилиндрической стенке также одномерная, если ее рассматривать в цилиндрических координатах. температура изменяется только вдоль радиуса r, а по длине и по ее периметру остается неизменной.
В соответствии с законом Фурье, тепловой поток через однородную цилиндрическую стенку длиной l определяется по формуле:
,
Тепловой поток Q через цилиндрическую стенку можно отнести к единице длины l:
,
где ql — линейная плотность теплового потока, Вт/м;
— линейное термическое сопротивление теплопроводности трубы.
 |