Уравнение фурье для трехмерного температурного поля

Последнее уравнение можно представить в другом виде:

. (2.16)

Итак, приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси z равно:

. (2.17)

Приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси y выразится аналогичным уравнением:

, (2.18)

а в направлении оси x :

. (2.19)

Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде:

. (2.20)

С другой стороны, согласно закону сохранения энергии:

, (2.21)

где — объем параллелепипеда;

— масса параллелепипеда;

c — удельная теплоемкость среды;

— плотность среды;

— изменение температуры в данной точке среды за время dt .

Левые части уравнения (2.20) и (2.21) равны, поэтому:

, (2.22)

. (2.23)

Величину называют оператором Лапласа и обычно обозначают сокращенно ; величину называют температуропроводностью и обозначают буквой a . При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид:

. (2.24)

Уравнение (2.24) называется дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменениям температуры в любой точке поля.

Температуропроводность является физическим параметром вещества и имеет единицу м 2 /c. В нестационарных тепловых процессах a характеризует скорость изменения температуры.

Из уравнения (2.24) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a . Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты внутри тела имеет вид:

, (2.25)

где q_V — удельная мощность источника, то есть количество выделяемой теплоты в единице объёма вещества в единицу времени.

Это уравнение записано в декартовых координатах. В других координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид уравнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренним источником теплоты таково:

, (2.26)

где r — радиус-вектор в цилиндрической системе координат;

— полярный угол.

2.5 Краевые условия

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле или начальные условия. Кроме того, должны быть известны:

· геометрическая форма и размеры тела,

· физические параметры среды и тела,

· граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой.

Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Обычно начальные условия распределения температуры задаются для момента времени t = 0.

Граничные условия могут быть заданы тремя способами.

Граничное условие первого рода задается распределением температуры на поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие второго рода задается поверхностной плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие третьего рода задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхность тела и окружающей средой.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при заданных условиях однозначности позволяет определить температурное поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти функцию .

2.6 Теплопроводность через шаровую стенку

С учётом описанной в разделах 2.1 — 2.5 терминологии задачу данной курсовой работы можно сформулировать так. Постоянный тепловой поток направлен через шаровую стенку, причем источником теплоты является внутренняя сфера радиусом R ₁ . Мощность источника P постоянна. Среда между граничными сферами изотропна, поэтому её теплопроводность c является функцией одной переменной — расстояния от центра сфер (радиуса) r . По условию задачи . Вследствие этого температура среды тоже является в данном случае функцией одной переменной — радиуса r : T = T (r ), а изотермические поверхности это концентрические сферы. Таким образом искомое температурное поле — стационарное и одномерное, а граничные условия являются условиями первого рода: T (R ₁ ) = T ₁ , T (R ₂ ) = T ₂ .

Из одномерности температурного поля следует, что плотность теплового потока j так же, как теплопроводность и температура, являются в данном случае функциями одной переменной — радиуса r . Неизвестные функции j (r ) и T (r ) можно определить одним из двух способов: или решать дифференциальное уравнение Фурье (2.25), или использовать закон Фурье (2.11). В данной работе избран второй способ. Закон Фурье для исследуемого одномерного сферически симметричного температурного поля имеет вид:

. (2.27)

В этом уравнении учтено, что вектор нормали к изотермической поверхности n параллелен радиус-вектору r . Поэтому производная может быть записана как .

Определим зависимость плотности теплового потока j от r . Для этого сначала вычислим тепловой поток q через сферу произвольного радиуса r > R .

. (2.28)

В частности, тепловой поток q ₁ через внутреннюю сферу радиусом R ₁ и тепловой поток q ₂ через наружную сферу радиусом R ₂ равны

(2.29)

Все эти три потока создаются одним и тем же источником мощностью P . Поэтому все они равны P и поэтому равны между собой.

. (2.30)

С учётом (2.28) и (2.29) это равенство можно записать в виде:

. (2.31)

,

получаем искомую зависимость плотности теплового потока j от радиуса r :

, (2.32)

где C ₁ — это константа, определяемая формулой

. (2.33)

Физический смысл полученного результата достаточно ясен: это известный закон обратных квадратов, характерный для задач со сферической симметрией.

Теперь, так как функция j (r ) известна, можно рассматривать уравнение (2.27) как дифференциальное уравнение относительно функции T (r ). Решение этого уравнение и даст искомое распределение температур. Подставив в (2.27) выражение (2.32) и заданную функцию , получим следующее дифференциальное уравнение:

. (2.34)

Данное уравнение решается методом разделения переменных:

.

Интегрирование этого выражения даёт:

Итак, функция T (r ) имеет вид:

. (2.35)

Константы C ₁ и C ₂ можно определить из граничных условий T (R ₁ ) = T ₁ ,
T (R ₂ ) = T ₂ . Подстановка этих условий в (2.35) даёт линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными C ₁ и C ₂ :

. (2.36)

Вычитая из первого уравнения второе, получим уравнение относительно C ₁ :

,

. (2.37)

С учётом этого выражение (2.35) можно записать в виде:

. (2.38)

Теперь первое граничное условие T (R ₁ ) = T ₁ даёт:

, (2.39)

откуда следует выражение для константы C ₂ :

. (2.40)

Подстановка (2.40) в (2.39) даёт окончательное выражение для искомой функции T (r ):

. (2.41)

Зная функцию T (r ), можно из закона Фурье

определить и окончательное выражение для плотности теплового потока j как функции от радиуса r :

. (2.42)

Интересно отметить, что распределение температур не зависит от коэффициента b , но зато плотность потока пропорциональна b .

В результате проделанной работы выведено дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к данным конкретным условиям задачи и получено решение этого уравнения в виде функции T (r ). Разработана программа TSO , рассчитывающая функцию T (r ) и строящая её график для различных задаваемых пользователем параметров задачи . Листинг программы приведен в Приложении А.

Список используемых источников

Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., испр. и доп. — М: Высш. школа, 1980. — 469 с.

Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики: М.: Наука, 1969. — 288 стр.

Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика: Учеб. пособие для студентов втузов. — М.: Наука, 1982. — 432с.

Зельдович Б.И., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. — М.: Наука, 1973. — 352с.

Листинг программы TSO

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

Лекция 4. Кондуктивный теплообмен

Лекция 4. КОНДУКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН.

4.1 Уравнение Фурье для трехмерного нестационарного

4.2 Коэффициент температуропроводности. Физический смысл

4.3 Условия однозначности – краевые условия

4.1 Уравнение Фурье для трехмерного нестационарного

Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами его характеризующими. Для установления такой зависимости при изучении довольно сложного процесса теплопроводности использованы методы математической физики, суть которых заключается в рассмотрении процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением — уравнением Фурье для трехмерного нестационарного температурного поля.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения:

— внутренние источники теплоты отсутствуют;

— тело однородно и изотропно;

— используется закон сохранения энергии – разность между количеством теплоты, вошедшей вследствие теплопроводности в элементарный объем за время dτ и вышедшей из него за то же время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема.

В теле выделяется элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в направлениях осей x, y, z.

Рисунок 4.1 К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Через площадку dx·dy за время dτ, согласно гипотезе Фурье, проходит следующее количество теплоты:

. (4.1)

Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество теплоты:

(4.2)

где — температура второй грани, а величина определяет изменение температуры в направлении z.

После математических преобразований уравнение (4.2) запишется:

Приращение внутренней энергии в параллелепипеде в направлении оси z равно:

, после сокращения:

. (4.3)

Приращения энергии в параллелепипеде в направлениях осей x и y выразятся аналогичными уравнениями:

(4.4)

(4.5)

Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде равно:

(4.6)

С другой стороны, согласно закону сохранения энергии:

(4.7)

где — объем параллелепипеда; ρ – плотность вещества; с – массовая теплоемкость; — изменение температуры во времени.

Левые части уравнений (4.6) и (4.7) равны, поэтому:

. (4.8)

Величина называется коэффициентом температуропроводности и уравнение (4.8) записывают в виде:

(4.9)

Уравнение (4.9) называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным уравнением при изучении процессов теплопроводности и устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке температурного поля.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками теплоты внутри тела:

, (4.10)

qv – плотность теплового потока внутренних источников теплоты.

4.2 Коэффициент температуропроводности. Физический смысл

Из дифференциального уравнения теплопроводности или уравнения Фурье для трехмерного нестационарного температурного поля:

Следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине а.

Величина называется коэффициентом температуропроводности, является физическим параметром вещества и имеет единицу измерения . При одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет больший коэффициент температуропроводности. Так газы имеют малый, а металлы большой коэффициент температуропроводности.

В нестационарных тепловых процессах а характеризует скорость изменения температуры.

4.3 Условия однозначности – краевые условия

Дифференциальное уравнение теплопроводности (или система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена) описывают эти процессы в самом общем виде. Для изучения конкретного явления или группы явлений переноса теплоты теплопроводностью или конвекцией, необходимо знать: распределение температур в теле в начальный момент, температуру окружающей среды, геометрическую форму и размеры тела, физические параметры среды и тела, граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела или условия теплового взаимодействия тела с окружающей средой.

Все эти частные особенности объединяют в так называемые условия однозначности или краевые условия, которые включают:

1) Начальные условия. Задают условия распределения температур в теле и температуру окружающей среды в начальный момент времени τ = 0.

2) Геометрические условия. Задают форму, геометрические размеры тела и его положение в пространстве.

3) Физические условия. Задают физические параметры среды и тела.

4) Граничные условия могут быть заданы тремя способами.

Граничное условие I рода: задается распределение температуры на поверхности тела для любого момента времени;

Граничное условие II рода: Задается плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие III рода: задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой.

Законы конвективного теплообмена между поверхностью твердого тела и окружающей средой отличаются большой сложностью. В основу теории конвективного теплообмена положено уравнение Ньютона-Рихмана, устанавливающего связь между плотностью теплового потока на поверхности тела q и температурным напором (tcт – tж), под воздействием которого и происходит теплоотдача на поверхности тела:

q = α·(tcт – tж), Вт/м2 (4.11)

В этом уравнении α – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/м2·град.

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Он численно равен количеству теплоты отдаваемой (или воспринимаемой) единицей поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в 1 градус. Коэффициент теплоотдачи зависит от очень многих факторов и его определение весьма затруднительно. При решении задач теплопроводности его значение, как правило, принимают постоянным.

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела окружающей среде в единицу времени вследствие теплоотдачи должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времен со стороны внутренних частей тела:

, (4.12)

где — проекция градиента температуры на направление нормали к площадке dF.

Приведенное равенство является математической формулировкой граничного условия III рода.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности (или системы уравнений для процессов конвективного теплообмена) при заданных условиях однозначности позволяет определить температурное поле во всем теле для любого момента времени, т. е. найти функцию вида: t = f(x, y, z, τ).

Уравнения теплопроводности и температурного поля

Количество тепла Q₁ (в ккал), распространяющееся путем теплопроводности в направлении х, в течение единицы времени составит:

Минус в выражении (1.4) означает, что для получения положительной величины Q₁ температура в направлении х должна уменьшаться, а не возрастать. Величина dt/dx, называемая градиентом температуры, выражается в град/м; λ — представляет коэффициент теплопроводности материала в ккал/м·ч·град.

При неустановившихся условиях количество тепла Q₁, распространяющееся в направлении х, изменяется, что связано с поглощением или отдачей тепла частицами материальной среды при изменении их температуры с течением времени т (т. е. наличии величины dt/dx≠0.

Изменение потока тепла dQ₁/dx пропорционально теплоемкости материала сγ (с — удельная теплоемкость в ккал/кг·град; γ — объемный вес материала в кг/мг); тогда

Знак минус в правой части уравнения означает, что повышение температуры материала связано с поглощением им тепла и соответствующим уменьшением теплового потока Q₁.

Величина изменения потока тепла Q₁ в направлении х может быть получена также дифференцированием уравнения (1.4), т. е.

При отсутствии внутренних источников или стоков тепла, изменение величины теплового потока связано только с поглощением тепла материалом, и выражения (1,5) и (1.6) должны быть равны. Из этого равенства выводится дифференциальное уравнение теплопроводности при одномерном распространении тепла в направлении х, а именно:

Это выражение известно как дифференциальное уравнение Фурье. Величина λ/cγ называется коэффициентом температуропроводности материала, имеет кинематическую размерность, в которую не входят измерители массы и энергии, и характеризует скорость перераспределения температуры, выражаемую обычно в м 2 /ч или см 2 /сут при нагреве или охлаждении материальной среды.

Материалы и конструкции с высоким коэффициентом температуропроводности быстро нагреваются или охлаждаются до температуры, соответствующей равновесному состоянию с окружающей средой.

В самом общем виде, при неустановившемся распространении тепла по всем трем осям координат, дифференциальное уравнение теплопроводности приобретает трехмерный вид:

Путемч интегрирования одномерного (1.7), двухмерного или трехмерного уравнения теплопроводности могут быть получены любые конкретные решения, раскрывающие закономерности распространения тепла в материальных средах, в частности, ограждающих конструкциях зданий.

Чтобы получить из множества возможных конкретное решение, соответствующее определенному рассматриваемому процессу распространения тепла, необходимо располагать дополнительными условиями, не содержащимися в исходном дифференциальном уравнении. Эти дополнительные условия, которые вместе с исходным уравнением однозначно определяют все особенности рассматриваемого процесса, называются условиями однозначности 1 .

Условия однозначности разделяются на временные (характеризующие рассматриваемый физический процесс во времени) и пространственные, относящиеся к поверхностям, ограничивающим изучаемый объект или конструкцию, и особенностям физического процесса, происходящего на этих граничных поверхностях.

Различают три вида граничных условий:

• 1) граничное условие I рода, устанавливающее распределение температуры на поверхности и ее изменения во времени;
• 2) граничное условие II рода, устанавливающее величину потока тепла, проходящего через поверхность, и его изменения во времени;
• 3) граничное условие III рода, определяющее температуру окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью и этой средой.

В строительной теплофизике обычно задаются граничные условия III рода, устанавливаемые значениями температуры среды t и коэффициентов теплообмена α 2 .

При рассмотрении теплопередачи в однородной среде и в установившихся условиях (когда dt/dτ=0), временные условия исключаются и значение имеют только пространственные.

В этих случаях, поскольку а≠0, уравнение (1.7а) приобретает вид:

Уравнение относится к температурному полю в установившихся условиях. Выражение (1.8) известно как уравнение Лапласа. Физический смысл этого уравнения состоит в том, что сумма изменений количеств тепла, поступающего к любой рассматриваемой точке конструкции, равна нулю. Следовательно, температуры ее неизменны и имеют установившиеся значения, отвечающие постоянным условиям воздействий внешней среды, окружающей конструкцию. При практических расчетах температурного поля проектируемых конструкций на основе уравнения (1.8) расчетные температуры внешней среды принимаются соответствующими возможности завершения процесса предельного охлаждения рассматриваемой конструкции. Этот процесс происходит постепенно и требует определенного времени: незначительного для легких конструкций и длительного — для массивных, поэтому расчетные значения температуры наружного воздуха в наиболее холодные зимние периоды зависят от степени массивности конструкции и связаны с возможностью более или менее длительной стабилизации теплового состояния во времени.

Для многих практических случаев достаточно исследования плоского температурного поля (в плане или разрезе конструкции). Для двумерных условий уравнение (1.8) имеет вид:

Исследование на основе уравнения (1.8а) температурных полей неоднородных в теплофизическом отношении облегченных конструкций (панелей с контурными ребрами, сопряжений крупных элементов ограждающих конструкций и т. д.) имеет весьма важное значение при проектировании индустриальных конструкций зданий, особенно в достаточно суровых климатических условиях, когда низкие температуры наружного воздуха длительны во времени и вызывают полное охлаждение, для которого характерно неизменное установившееся распределение предельно низких температур.

Порядок проведения подобных практических расчетов и применение для этих целей счетно-решающих устройств типа электроинтегратора, изложены далее в гл. IV.

Дифференциальное уравнение Фурье (1.7) в обобщающем смысле является уравнением нестационарного поля любого потенциала переноса (в данном случае — поля потенциала переноса тепла, т. е. температуры). С определенными ограничениями это уравнение может быть использовано и для изучения процессов влагообмена, происходящих в материальных системах при неизменной температуре.

Если рассматривать какую-либо материальную систему, например, ограждающую конструкцию, выполненную из влажного капиллярно-пористого материала и находящуюся в изотермической воздушной среде 3 , то за потенциал переноса влаги может быть принято влагосодержание материала (со, г/кг). Уравнение (1.7), записанное применительно к исследованию одномерного поля потенциала переноса влаги называют уравнением влагопроводности. Оно имеет вид:

где ω — влагосодержание материала (часто выражаемое через весовую влажность материала); а_m — коэффициент нестационарной влагопроводности 4 , зависящий от природы материала и его влажностного состояния.

Уравнение влагопроводности, в частности, используется для обоснования простейших приближенных сравнительных расчетов длительности естественной сушки ограждающих конструкций из капиллярно-пористых материалов.

Примечания

1. Иногда условия однозначности называют краевыми условиями.

2. В теплотехнической литературе эти коэффициенты часто называют коэффициентами теплоотдачи, имея в виду особенности теплообмена материальных систем нагретых выше температуры окружающей среды.

3. То есть в среде с неизменной постоянной температурой.

4. Аналог коэффициента температуропроводности: