Уравнение гамильтона через скобки пуассона

Название работы: Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Предметная область: Физика

Описание: Лекция 15. Уравнения Гамильтона канонические уравнения. Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства Одна из форм уравнения движения это уравнения Лагранжа когда задается функция Лагранжа как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей

Дата добавления: 2013-07-11

Размер файла: 750 KB

Работу скачали: 33 чел.

Лекция 15. Уравнения Гамильтона (канонические уравнения). Функция Гамильтона. Скобки Пуассона и их свойства

Одна из форм уравнения движения, это уравнения Лагранжа, когда задается функция Лагранжа , как функция независимых обобщенных координат и обобщенных скоростей , а затем составляется система уравнений Лагранжа

Однако такая форма описания механических систем не является единственно возможной. Ряд преимуществ, особенно при исследовании общих теоретических вопросов механики, представляет другая форма записи уравнений движения, когда в качестве независимых переменных выбираются обобщенные координаты и обобщенные импульсы: и .

Чтобы перейти от набора переменных к новому набору переменных нужно воспользоваться стандартным преобразованием Лежандра. Для этого нужно выразить полный дифференциал функции Лагранжа не через дифференциалы и , а через дифференциалы обобщенных координат и импульсов и . Тогда величины, стоящие при соответствующих дифференциалах будут частными производными по обобщенным координатам и импульсам от некоторой функции этих же переменных. В результате получим уравнения движения в переменных .

Рассмотрим сначала для простоты, механическую систему с одной степенью свободы , т.е. с одной обобщенной координатой . Тогда , и уравнение Лагранжа будет имеет вид:

В этом случае движение механической системы описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка, а независимые переменные и входят в него явно не симметричным образом. Время играет в уравнениях Лагранжа роль независимой переменной, т.е. параметра в том смысле, что в эти уравнения не входит производная . Уравнение (2) можно формально записать в виде

— обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате .

В рассматриваемом случае преобразование Лежандра сводится к следующему. Вычислим полный дифференциал от функции Лагранжа :

В полученном выражении нужно исключить дифференциал , выразив его через дифференциал . Для этого воспользуемся очевидным равенством

Подставляя это в соотношение (4) получим

Левая часть соотношения (6), есть дифференциал от энергии системы, т.к. по определению

Величина в уравнении (6) выражена через обобщенные координаты и импульсы, т.к. в правой части равенства (6), стоят дифференциалы именно этих величин. Величина

называется гамильтоновой функцией системы, или просто функцией Гамильтона. Из дифференциального равенства (6)

Это и есть искомые уравнения в переменных и — уравнения Гамильтона.

Видим, что для системы с одной степенью свободы, уравнения Гамильтона представляют собой два дифференциальных уравнения первого порядка, вместо одного дифференциального уравнения Лагранжа (2) второго порядка. В уравнения (10) переменные и входят симметричным образом. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называются каноническими уравнениями движения.

Наличие слагаемого с в дифференциальной форме (9), которое учитывает возможную явную зависимость функции Лагранжа (и, как следствие этого, функции Гамильтона) от времени не имеет отношения к выводу самих уравнений Гамильтона, поскольку, как и в уравнениях Лагранжа, время в рассматриваемом аспекте играет роль параметра. Из (9) следует, что

Все сказанное выше непосредственно обобщается на систему с любым числом степеней свободы . В этом случае будем иметь:

Рассмотрим несколько простых примеров.

1. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в декартовых координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a ). Функция и уравнения Лагранжа

b ). Функция и уравнения Гамильтона . Т.к. , то

Видим, что и те и другие уравнения фактически сводятся ко второму закону Ньютона.

2. Написать функцию Лагранжа и функцию Гамильтона, а так же уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах для частицы , движущейся в произвольном поле .

a ). Функция и уравнения Лагранжа

b ). Функция и уравнения Гамильтона

Сначала нужно записать функцию Гамильтона, т.е. выразить энергию системы

через обобщенные импульсы

Отсюда выражаем обобщенные скорости через обобщенные импульсы:

Подставляя это в формулу для энергии, получим выражение для функции Гамильтона:

Уравнения Гамильтона в цилиндрических координатах

3. Записать уравнения Гамильтона для линейного гармонического осциллятора, когда и .

Получили обычное уравнение для линейного осциллятора.

4. Записать уравнения Гамильтона для математического маятника длиной , который совершает колебания в вертикальной плоскости. Ось направлена вниз, так, что . — угол отклонения от положения равновесия.

В цилиндрических координатах

Получили обычное уравнение колебания математического маятника.

Введем теперь понятие скобок Пуассона. Пусть имеется механическая система с одной степенью свободы: . Её обобщенные координата и импульс удовлетворяют уравнениям Гамильтона (10)

Пусть — некоторая функция величин , и времени . Составим её полную производную по времени, учитывая, что величины и тоже зависят от времени

Поскольку и , то выражение (28) принимает вид

Здесь введено обозначение

Выражение , определяемое формулой ( 30 ) называется скобкой Пуассона для величин и . Если число степеней свободы механической системы больше единицы, то скобка Пуассона функции Гамильтона и некоторой функции динамических переменных равна

где — число степеней свободы системы. Для любой пары функций динамических переменных скобка Пуассона определяется аналогично формуле (31)

Для скобок Пуассона справедливы очевидные равенства

2. где — постоянная

Поскольку для полной производной по времени функции динамических переменных справедливо соотношение

то величины независящие явно от времени являются интегралами движения, если их скобка Пуассона с функцией Гамильтона системы равна нулю.

Скобки Пуассона.

Рассмотрим некоторые свойства интегралов уравнений Гамильтона. Если для всех значений q_i и p_i канонических уравнений , (i = 1, …, n) какая-либо функция f(q_i, p_i, t) сохраняет постоянное значение, то f(q_i, p_i, t) = c называется интегралом канонических уравнений. Если функция Гамильтона не зависит явно от времени t , то при движении системы она сохраняет постоянное значение и, следовательно, H(q_i, p_i,) = h есть интеграл канонического уравнения.

Если обобщенная координата является циклической, то p_k = const является интегралом уравнений Гамильтона.

Очевидно, что если две функции являются интегралами уравнений движения, то произвольная функция от этих интегралов будет также интегралом. Поэтому в дальнейшем нас будут интересовать независимые интегралы.

Предположим, что нам известны 2n (n – число степеней свободы) независимых интегралов уравнений Гамильтона, т.е. f_k(p_i, p_i, t) =c_i (i = 1, …, 2n).

Разрешая систему относительно q_i и p_i , получим конечные уравнения движения, т.е. решение уравнений Гамильтона, содержащие 2n произвольных постоянных.

Таким образом, если известны все 2n независимых интегралов, то известны все движения системы. Поэтому мы всегда заинтересованы в нахождении возможно большего числа независимых интегралов.

Если число интегралов меньше 2n , то можно найти другие интегралы с помощью метода Якоби- Пуассона.

Введем некоторую комбинацию частных производных функции Гамильтона, которая носит название скобок Пуассона.

Пусть f(q_i, p_i, t) некоторая функция координат и времени (интеграл уравнений Гамильтона). Составим ее полную производную по времени

Подставим сюда и из уравнений Гамильтона:

или ,

где .

Это выражение называется скобками Пуассона для величин H и f .

Из соотношения видно, что условие того, чтобы величина f была интегралом движения

можно записать в виде: .

Это условие является необходимым и достаточным. Если же интеграл движения не зависит от времени явно, то (H,f) = 0, т.е. скобки Пуассона с функцией Гамильтона должны обращаться в нуль.

Верно и обратное утверждение, а именно, если для некоторой функции f(q_i, p_i, t) имеет место указанное тождество, то эта функция является интегралом канонических уравнений.

Аналогично определяются скобки Пуассона для любой пары величин решений уравнений Гамильтона f и g:

Можно показать, что если одна из функций f или g совпадает с одним из импульсов или с одной из координат, то скобки Пуассона сводятся к частной производной

Положив в этих формулах функцию f равной q_i и p_i, получим, в частности скобки от самих переменных (фундаментальные скобки Пуассона).

Скобки Пуассона можно использовать в качестве критерия каноничности преобразования.

Для того, чтобы преобразование было каноническим, необходимо и достаточно, чтобы скобки Пуассона и от переменных и удовлетворяли равенствам , , .

Скобки Пуассона обладают следующими свойствами:

Между скобками Пуассона, составленными из трех функций, существует соотношение, которое называется тождеством Якоби: (f,(g,h)) + (g,(h,f)) + (h,(f,g)) =0.

Важное свойство скобок Пуассона состоит в том, что если f и g два интеграла движения, то составленные из них скобки тоже являются интегралом движения.

Теорема Якоби – Пуассона. Если f и g — интегралы движения, то (f,g) -также есть интеграл этих уравнений.

Доказательство: Пусть f=c₁ и g=c₂ — интегралы движения. Для них имеем следующие тождества: , .

Требуется доказать, что соотношение равно нулю, т.е. также является интегралом движения.

На основании свойства 4) скобок Пуассона .

Значит, выражение может быть представлено в виде

Последнее тождество равно нулю в силу тождества Якоби. Таким образом доказано, что

выражение = 0, т.е. (f,g)=c₃ является интегралом канонических уравнений.

Эта теорема дает правило, по которому их двух интегралов f и g при помощи алгебраических операций и дифференцирования можно получить третий интеграл (f,g).

Но не во всех случаях этот интеграл может быть независимым.

Задача. Показать, что для системы с гамильтонианом функции являются первыми интегралами.

Решение. Пусть , тогда .

Задача. Показать, что уравнения Гамильтона могут быть записаны в виде

, .

Решение. Условие . , . Заменим f на и

и получаем , .

Уравнения Гамильтона , .

Задача. Показать, что функция является интегралом движения свободной материальной точки.

Решение. Покажем, что функция удовлетворяет условию .

, в отсутствии внешних сил .

Задача. Проекции моментов количества движения на оси декартовой системы координат:

, , .

Покажем, что .

Решение. .

Задача. Показать, что для функции канонических переменных имеют место соотношения , .

Дата добавления: 2015-09-12 ; просмотров: 60 | Нарушение авторских прав

Реферат: Теоретическая физика: механика

Название: Теоретическая физика: механика
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат Добавлен 04:51:41 04 августа 2005 Похожие работы
Просмотров: 2635 Комментариев: 23 Оценило: 4 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать

Преподаватель Джежеря Ю.И . ___________

“Согласовано”	“Утверждено”
Методист ____________________

План-конспект занятия

По теоретической физике

Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61

Филатова Александра Сергеевича

Дата проведения занятия: 20.12.2000

Тема: «Канонические преобразования. Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных»

Цели : Развить навык использования канонических преобразований. Закрепить умение осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых переменных. Научить использовать метод Гамильтона-Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность.

Тип занятия : практическое.

Ход занятия

Краткие теоретические сведения

Канонические преобразования

Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом:

Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем соответствующий вид канонических преобразований. Заметим, что если частная производная будет браться по «малым» , то будем получать малое , если же по «большим» , то и получать будем соответственно .

Функция Гамильтона-Якоби

При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса:

Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби:

Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: .

Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби , находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией s координат, времени, и s +1 постоянных ( s – число степеней свободы). Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид:

Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби.

Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом уравнения Г.-Я. и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции.

Константы будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые координаты

тоже будут константы, поскольку

Выражая из уравнения координаты в виде функций от , мы и получим закон движения:

Решение задачи на нахождение зависимости существенно упрощается в случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом и не связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических переменных.

Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему:

составить функцию Гамильтона;

записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные разделяются;

Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла ;

Составить систему s уравнений, и получить закон движения ;

По необходимости найти закон изменения импульсов: . Для чего продифференцировать полный интеграл по координатам , а потом подставить их явный вид, полученный в пункте 4.

Примеры решения задач

№ 11.14 [] Как известно, замена функции Лагранжа на

где – произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа. Показать, что это преобразование является каноническим, и найти его производящую функцию.

Перепишем штрихованную функцию Лагранжа, представив полную производную функции через частные:

Функции Гамильтона, соответствующие штрихованной и не штрихованной функциям Лагранжа, определяются следующим образом:

Распишем , используя представление штрихованной функции Лагранжа :

Подставляя формулы и в выражение для штрихованной функции Гамильтона , получим:

Взаимно сократив второе слагаемое с последним, учитывая зависимость , получим:

Но согласно каноническим преобразованием с производящей функцией Ф :

Полученное соотношение определяет условие на временную часть производящей функции канонического преобразования, соответствующего преобразованию функции Лагранжа .

Поскольку вид обобщенных импульсов и координат при преобразовании функции Лагранжа не изменился, координатно-импульсная часть производящей функции должна соответствовать тождественному каноническому преобразованию. Как было показано в задаче №9.32 [] (д/з пред. занятия), производящая функция определяющая тождественное каноническое преобразование с неизменным гамильтонианом, имеет вид:

Учитывая условие на временную часть производящей функции, окончательно получим:

Полученная производящая функция определяет тождественное каноническое преобразование с заменой функции Гамильтона соответствующей замене функции Лагранжа .

Задача. Система, состоящая из двух шариков массами , соединенных невесомой пружиной, расположенной вертикально, начинает двигаться в поле сил тяжести. Длина пружины — . Произвести каноническое преобразование и записать новую функцию Гамильтона, соответствующие производящей функции

Составим функцию Гамильтона системы:

Здесь потенциальная энергия состоит из энергии гармонических колебаний и потенциальной энергии шариков в поле сил земного тяготения. По определению потенциального поля:

Мы имеем дело с одномерным движением, поэтому градиент в формуле заменяется производной по х . В то же время сила, является суммарной силой тяжести. Принимая во внимание принцип суперпозиции гравитационного поля, проинтегрируем последнее уравнение:

Значение смещения пружины от положения равновесия будет определяться следующим образом:

Подставив выражения и в формулу , получим вид функции Гамильтона, выраженной через импульсы и координаты явно:

Переход к новым каноническим переменным производится в случае, когда возможно упростить вид функции Гамильтона, а соответственно и исходящих из нее уравнений движения.

В данной ситуации удобно выбрать новые координаты так, чтобы одна описывала движение центра масс системы, а вторая колебания пружины в собственной системе отсчета. Убедимся, что заданная в условии производящая функция отвечает именно такому преобразованию.

Новая координата совпадает со значением смещения пружины от положения равновесия.

Новая координата совпадает со значением положения центра масс системы.

Сложив оба уравнения, получим:

Запишем функцию Гамильтона в новых переменных:

– суммарная масса системы.

Действительно, функция Гамильтона в новых переменных распалась на две части, что соответствует двум парам канонических уравнений. Одна часть описывает колебания шариков в собственной системе отсчета, другая – движение системы как целого в поле сил тяжести.

№ 9.21 [] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. и закон свободного движения материальной точки.

1. Составим функцию Гамильтона свободной частицы:

2. Запишем уравнение Г.-Я.:

3. Произведем разделение переменных и проинтегрируем по времени.

Используем начальное условие:

Тогда подставляя вид функции S в уравнение Г.-Я. , последнее примет вид:

Следовательно, полный интеграл уравнения Г.-Я.:

4. Закон движения определяется из канонического преобразования:

Откуда сам закон движения:

5. Импульс свободно движущейся материальной точки определяется следующим образом:

Действительно, частица в отсутствии внешнего поля движется с постоянным импульсом.

Домашнее задание:

№ 11.2 [] Найти производящую функцию вида , приводящую к тому же каноническому преобразованию, что и .

№ 9.38 [] Найти уравнение, которому удовлетворяет производящая функция , порождающая каноническое преобразование к постоянным импульсам и координатам.

№ 9.23 [] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для тела, движущегося по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол  с горизонтом.

№ 12.1 a) [] Найти траекторию и закон движения частицы в поле

Литература:

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», — М.: «Наука», 1969 г., — 272 с.

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», — М.: «Наука», 1965 г., — 204 с.

И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», — М.: 1977 г., — 389 с.

Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», — М.: «Наука», 1977 г., — 320 с.

И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», — М.: «Наука», 1986 г., — 448 с.

Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», — М.: «Высшая школа» 1984 г., — 319 с.

Студент-практикант: Филатов А.С.

“Согласовано”

“Утверждено”

Преподаватель Джежеря Ю.И . ___________

Методист ____________________

План-конспект занятия

По теоретической физике

Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61

Филатова Александра Сергеевича

Дата проведения занятия: 06.12.2000

Тема: «Функция Гамильтона. Функция Рауса. Канонические уравнения»

Цели : Развить у учащихся навык решения задач на составление и использование функции Гамильтона и функции Рауса. Сформировать понимание взаимосвязи между функцией Гамильтона, Рауса и функцией Лагранжа. Закрепить знание свойств функции Лагранжа. Воспитывать трудолюбие, прилежность.

Тип занятия : практическое.