Уравнение гармонического колебания 11 класс

Гармонические колебания

О чем эта статья:

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

• сама колебательная система
• источник энергии
• устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо x max .

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

l — длина нити [м]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

На планете Земля g = 9,8 м/с 2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

• Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
• Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Урок физики по теме «Гармонические колебания». 11-й класс

Класс: 11

Презентация к уроку

Тип урока: урок формирования новых знаний

Технологии: фронтальный опрос, индивидуальная работа, работа в команде, объяснение, здоровьесберегающие технологии.

Методы: беседа, самостоятельная работа, аналитический метод, метод самоконтроля.

Приемы: использование ИКТ (для более продуктивной работы, концентрации внимания учащихся), игра (для разрядки, позитивного настроя на дальнейшую работу).

Цель урока: Освоение учащимися знаний о гармонических колебаний на основе межпредметных связей естественно-научного и математического циклов предметов.

Задачи урока:

• Формирование исследовательского умения через извлечение информации из графика и уравнений зависимостей координаты, скорости и ускорения от времени.
• Способствовать развитию умения анализировать, обобщать, делать выводы, развитию логического мышления;
• Продолжить формирование научного мировоззрения, способности к организации индивидуальной и коллективной учебной работы.

Дидактические материалы и средства обучения: презентация к уроку, компьютер, проектор и экран, карточки с заданиями для игры «Один за всех и все за одного» и карточки для выполнения практического домашнего задания-исследования.

Подготовка к уроку:

На предыдущем уроки физики «Свободные механические колебания» были даны определения колебательного процесса, амплитуды, периода, частоты и циклической частоты, фазы колебаний, рассмотрены основные колебательные системы. На дом было задано выучить эти определения, так как они лежат в основе материала урока «Гармонические колебания».

Накануне урока учитель математики провел урок, на котором были повторены формулы нахождения производных основных функций, физический смысл производной, построение косинусоиды и синусоиды, формулы приведения.

1. Организационные моменты (приветствие, мотивация, целеполагание)

2. Актуализация опорных знаний и их коррекция.

3. Формирование знаний и умений.

4. Закрепление знаний в форме игры.

5. Формирование знаний и умений.

6. Подведение итогов урока.

7. Домашнее задание.

Учитель напоминает о том, что на прошлом уроке были сформулированы основные определения по теме «Механические колебания», но не было аналитического и графического описания колебательного процесса. Поэтому формулируется цель урока: научиться получать уравнения зависимости проекций скорости и ускорения на ось Ох от времени и строить графики полученных функций.

Учитель обращает внимание на то, что каждый правильный ответ отмечается баллом, который будет учитываться при выставлении оценок за работу на уроке.Рисунок 1

2. Актуализация опорных знаний и их коррекция.

Учитель задает вопрос: «Что называется колебаниями?» После того, как один из учащихся отвечает, на экране появляется правильный ответ.

Учитель дает задание: «Приведите примеры колебательных процессов» и дает возможность высказаться разным учащимся. Затем на экране появляются несколько примеров колебательных система.Рисунок 2

Учитель задает вопрос: «Что называется амплитудой колебаний?» После того, как один из учащихся отвечает, на экране появляется правильный ответ.

Учитель дает задание: «Определите амплитуду колебаний по графику зависимости координаты от времени». После того, как один из учащихся отвечает, на экране появляется правильный ответ.Рисунок 3

Учитель задает вопрос: «Что называется периодом колебаний?» После того, как один из учащихся отвечает, на экране появляется правильный ответ.

Учитель дает задание: «Определите период колебаний по графику зависимости координаты от времени». После того, как один из учащихся отвечает, на экране появляется правильный ответРисунок 4

Учитель задает вопрос: «Что называется частой колебаний?» После того, как один из учащихся отвечает, на экране появляется правильный ответ.

Учитель дает задание: «Определите частоту колебаний по графику зависимости координаты от времени». После того, как один из учащихся отвечает, на экране появляется правильный ответ.Рисунок 5

Учитель задает вопрос: «Что называется циклической частой колебаний?» После того, как один из учащихся отвечает, на экране появляется правильный ответ.

Учитель дает задание: «Определите циклическую частоту колебаний по графику зависимости координаты от времени». После того, как один из учащихся отвечает, на экране появляется правильный ответ.Рисунок 6

Учитель дает задание: «Определите начальные фазы колебаний для каждого из четырех рисунков». После того, как один из учащихся отвечает, на экране появляется правильный ответ.Рисунок 7

3. Формирование знаний и умений.

Учитель

• формулирует определение гармонических колебаний;
• напоминает, что в природе не существует таких свободных колебаний;
• уточняет, что в тех случаях, когда трение мало, свободные колебания можно считать гармоническими;
• показывает уравнение гармонических колебаний;

4. Закрепление знаний в форме игры

Учащимся, сидящим за первой партой, выдается карточка с пустыми окошками для записи ответов. Каждый учащийся пишет ответ в первое окошко и передает карточку на вторую парту ученику, сидящему за ним. Учащийся, сидящий за второй партой, пишет ответ во второе окошко и передает карточку дальше и т.д. Если учащихся в ряду меньше шести человек, то ученик с первой парты переходит в конец ряда и пишет ответ в нужное окошко.

Карточки для учащихся находятся в приложении к уроку (Приложение 2).Рисунок 9

Тем учащимся, которые первые заканчивают заполнение карточки, дается дополнительный балл.Рисунок 10

5. Формирование знаний и умений.

Учитель на доске показывает, как найти производную х(t) и получает уравнение зависимости проекции скорости на ось ОХ от времени.

Урок по физике на тему «Гармонические колебания»(11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

а) образовательн ая : проверить усвоение физических формул и умений брать первую и

вторую производную от тригонометрических функций, формировать умения решать

расчетные и качественные задачи, анализировать графики и физические закономерности.

б) развивающая : развивать творческое мышление, развивать умение применять знания в

новой нестандартной ситуации, развивать умение анализировать, делать выводы.

в) воспитательная : воспитывать доброжелательное отношение друг к другу,

взаимопонимание и взаимопомощь.

Урок в 11 классе

Тема урока «Решение задач по теме: Гармонические колебания».

образовательная : проверить усвоение физических формул и умений брать первую и

вторую производную от тригонометрических функций, формировать умения решать

расчетные и качественные задачи, анализировать графики и физические закономерности.

развивающая: развивать творческое мышление, развивать умение применять знания в

новой нестандартной ситуации, развивать умение анализировать, делать выводы.

воспитательная: воспитывать доброжелательное отношение друг к другу,

взаимопонимание и взаимопомощь.

Оборудование: проектор, экран, компьютер, презентация.

Оборудование для учащихся: пружинный маятник, штатив, лапка, пружина,

металлический цилиндр, весы, гирьки

Организационный момент урока.

Организация внимания учащихся.

Тема нашего урока: Решение задач «Гармонические колебания». Сегодня мы вспомним понятия периода, частоты, амплитуды колебаний и научимся применять эти понятия при решении задач.

Повторение пройденного материала

Прежде чем перейти к решению задач, предлагаю проверить как вы к этому готовы.

Греческая буква, обозначающая частоту колебаний

Отклонение точки от положения равновесия

4. Величина, от которой зависит состояние колеблющейся точки

6. Частота колебаний.

7. Время одного полного колебания.

8. Величина пропорциональная смещению

Колебания, совершаемые по закону синуса

5. Вид механической энергии

9. Вид механической энергии.

10. Величина, от которой зависит кинетическая энергия колеблющейся точки

11. Максимальное положение смещения точки от положения равновесия.

12. Единица измерения смещения

13. Единица измерения частоты

Алгоритм решения задач (есть у каждого)

Внимательно прочитать условие задачи и увидеть мысленным взором конкретную ситуацию, представленную в задаче.

Записать кратко условие задачи, перейти, если необходимо в систему СИ.

(А вот теперь!) Проанализировать условие задачи на предмет, что известно в задаче и что надо найти.

Составить систему уравнений и решить ее относительно неизвестных.

Вывести размерность в полученных формулах, сделать расчет ответов.

Проанализировать ответы (эта часть решения задачи хоть и заключительная, но не самая легкая: необходимо рассмотреть, для каких случаев работает полученная формула, когда ответ не имеет физического смысла и реален ли полученный численный ответ).

Работа с текстом.

Рассмотрите график и заполните пропущенные записи в тексте.

График колебания: t – время в секундах; X –смещение в метрах.

По графику колебаний определяют амплитуду смещения и период

Частоту колебаний рассчитывают по формуле: ( v =; v = = 1 Гц) (1 колебание за 1 секунду).

По графикам определить амплитуду смещения, период. Рассчитать по формуле частоту. Решение оформить следующим образом, графики не рисовать:

Напишите уравнение гармонических колебаний, если частота равна 0,5 Гц, амплитуда 80 см. Начальная фаза колебаний равна нулю.

Напишите уравнение гармонических колебаний, если амплитуда равна 7 см и за 2 мин совершается 240 колебаний. Начальная фаза колебаний равна π /2 рад.

Ай да Фуко (данная презентация готовится учащимся класса)

— Как использовался математический маятник для доказательства вращения Земли?

Одно из самых наглядных доказательств было найдено французским физиком Фуко. В 1850 году он подвесил огромный маятник в парижском Пантеоне-зале с очень высоким куполом. Длина подвеса была равна 67 м. Масса шара 28 кг. Маятник качался несколько часов подряд. Снизу шар имел острие, а на полу насыпали кольцом грядочку из песка. Маятник раскачивали. Острие стало оставлять на песке бороздки. Через несколько часов он чертил бороздки в другой части грядочки. Плоскость колебаний маятника словно поворачивалась по часовой стрелке. На самом деле плоскость

колебаний маятника сохранялась. Вращалась планета, увлекая за собой Пантеон с его куполом и песочной грядкой (на экране фото маятника Фуко).

— Был ли в России повторен опыт Фуко?

Опыт Фуко был повторен в Исаакиевском соборе в Петербурге.

Маятник совершал 3 колебания за минуту. Исходя из этих данных

вы можете оценить длину маятника, следовательно, и высоту

Первый маятник Фуко (1891, Париж) имел период колебаний 16 с. Определите длину маятника. Примите g =9,8 м/с 2 .

Определение жёсткости пружины» (мини-лабораторная работа)

Оборудование: штатив с лапкой, пружина, металлический цилиндр, часы, весы, гирьки.

1. Определяем время 20 колебаний. t =_____ c
2. Находим период по формуле __________.
3. Находим массу груза m =______кг.
4. Из формулы периода маятника на пружине __________ находим жёсткость __________.
5. Результаты измерений и расчётов заносим в таблицу.

Частота колебаний источника (маятника),
Гц

Период колебаний источника,
с