Тело массой m = 2 кг совершает гармонические колебания с амплитудой А = 5 см. Записать дифференциальное уравнение колебаний
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,299
- гуманитарные 33,622
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,247
- разное 16,834
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Примеры решения задач. Пример 5.1 . Тело массой m=2 кг подвешено к упругой пружине, совершает гармонические колебания
Пример 5.1 . Тело массой m=2 кг подвешено к упругой пружине, совершает гармонические колебания. Определите жёсткость k пружины, если за время t=1,5мин число N полных колебаний равно 60.
Дано: m=2кг; t=1,5мин=90с; N=60.
Найти: k.
Решение: Период гармонических колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),
,
где m- масса тела; k- жёсткость пружины.
С другой стороны, период колебаний
,
где t – время, за которое совершается N полных колебаний.
Приравняв оба выражения
Найдём искомую жёсткость пружины
Ответ: k=35,1 Н/м.
Пример 5.2 . При подвешивании грузов массами m1 и m2=2 m1 к свободным пружинам пружины удлинились одинаково (Δх=15см). Пренебрегая массой пружин, определите: 1) периоды колебаний грузов; 2) какой из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энергией и во сколько раз?
Найти: 1) Т1; Т2 ; 2) 
.
Решение. Из условия равновесия грузов на пружине следует, что
(удлинение в обоих случаях одинаково), где k1 и k2 – соответственно жёсткость первой и второй пружин. Тогда
и 
(1)
Периоды колебаний грузов на пружинах соответственно
и 
(2)
Подставив выражения (1) в формулу (2), найдём
и 
т.е. периоды колебаний равны:
.
Механическая энергия груза, колеблющегося на пружине,
(3)
где А – амплитуда колебаний; 
— циклическая частота.
Поскольку по условию задачи А1=А2=А и нашли, что Т1=Т2, поэтому искомое отношение энергий, согласно формуле (3),
.
Следовательно, Е1 в два раза меньше, чем Е2.
Пример 5.3 . Один из математических маятников совершил N1=20 колебаний, другой за то же время совершил N2=12 колебаний. Определите длины обоих маятников, если разность их длин Δℓ=16см.
Решение. Период колебаний
,
где t – время, за которое совершилось полных колебаний.
По условию задачи,
где периоды колебаний первого и второго математических маятников
и 
(2)
(где g – ускорение свободного падения).
Из выражения (1) и (2) следует, что
(3)
И решая уравнения (3) и (4), найдём искомые длины математических маятников:
; 
.
Пример 5.4 . Материальная точка массой m=10г совершает гармонические колебания с амплитудой А=40см и периодом Т=4с. В начальный момент времени t0=0 смещение x0 достигает максимально возможного значения. Запишите уравнение колебаний точки.
Дано: m=10г=10 -2 кг; А= 40см; Т=4с.
Найти: x(t).
Решение : Уравнение гармонических колебаний
где циклическая частота 
(учли условие задачи); φ0 — начальная фаза колебаний.
Согласно условию задачи, в момент времени t0=0 смещение x0=А (А- амплитуда колебаний). Тогда уравнение (1) можно записать в виде
откуда cos φ0 =1. Следовательно, начальная фаза φ0=0.
Используя найденные значения ω0, φ0 и заданное А, искомое уравнение колебаний точки:
,м
Пример 5.5. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с
частотой ν=1Гц, в момент времени t=0 проходит положение, определяемое координатой x0=4см, со скоростью υ0=-16см/с. Определите амплитуду колебаний.
Дано: ν=1Гц; t=0; x0=4см (4∙10 -2 м); υ0=-16см/с (-16∙10 -2 м/с).
Найти: А
Решение :Уравнение гармонических колебаний материальной точки
Скорость точки, совершающей гармонические колебания,
(2)
В начальный момент времени (t=0) смещение и скорость материальной точки, согласно (1) и (2)
Поделив (4) на (3), получим
откуда 
Из формулы (3) амплитуда колебаний равна
Учитывая, что cosφ0=0, 843, получаем А=4,74 см.
Ответ: А=4,74 см.
Пример 5.6. Материальная точка массой m=10г совершает гармонические колебания с частотой ν=0,2 Гц. Амплитуда колебаний равна 5 см. Определите: 1) максимальную силу, действующую на точку; 2) полную энергию колеблющейся точки.
Дано: m=10г=10 -2 кг; ν=0,2 Гц; А=5см=5∙10 -2 м
Найти: 1) Fmax; 2) E
Решение : Уравнение гармонических колебаний материальной точки
Тогда скорость и ускорение колеблющейся точки
Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на точку,
F=Fmax при cos(ω0t+φ0)= ±1, поэтому искомое максимальное значение силы
Полная энергия колеблющейся точки
Подставив сюда ω0, найдём искомую полную энергию:
Ответ: 1) Fmax=0,8мН; 2) Е=19,7мкДж.
Пример 5.7. Материальная точка массой m= 5г совершает гармонические колебания с амплитудой А=10см и частотой ν =1Гц. В начальный момент времени t0=0 смещение x0=А. Определите кинетическую и потенциальную энергии в момент времени t = 2,2с
Дано: m=5г=5∙10 -3 кг; А=10см=10∙10 -2 м; ν=1Гц; t0=0; x0=А; t = 2,2с.
Найти: Т; П.
Решение : Кинетическая и потенциальная энергии материальной точки, совершающей гармонические колебания,
; (1)
; (2)
где циклическая частота ω0=2π ν =2π с -1 (учли условие задачи); φ0— начальная фаза.
Уравнение гармонических колебаний:
которое для условий задачи запишется в виде
Для определения начальной фазы учтём, что при t0=0 смещение x0=А. Тогда можем, согласно (3), записать
т.е. cosφ0=1 и φ0=0. Таким образом, фаза колебаний равна 2πt c -1 .
При заданной фазе колебаний уравнения (1) и (2) примут вид:
; 
Ответ: Т=892мкДж; П=94,2мкДж.
КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. 1.Уравнение гармонического колебания тела массой 2 кг имеет вид виде х = sin (π t/6),см
Читайте также:
|
1.Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде x = A cos (wt+j0).