Уравнение гельмгольца в цилиндрических координатах

Решение однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных в цилиндрической системе координат

В цилиндрической системе координат (r,φ,z) однородное уравнение Гельмгольца примет вид

Будем искать решение этого уравнения в виде произведения трех функций

где R(r) – функция только координаты r, Φ(φ) – функция только координаты φ, Z(z) – функция только координаты z. В результате подстановки в исходное уравнение и деления на w=R . Φ . Z получаем:

Поступая аналогично случаю решения в декартовой системе координат, получаем систему следующих обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентную уравнению Гельмгольца:

,

, k 2 = γ 2 + γ 2 _z.

,

Общие решения этих уравнений известны, причем каждое можно записать в двух формах: с использованием функций Бесселя и Неймана или Ханкеля для первого уравнения и с использованием тригонометрических или экспоненциальных – для двух последних уравнений. Таким образом, находим следующее выражение w=R . Φ . Z

.

Форма записи имеет тот же смысл, что и для декартовой системы; аналогично также значение входящих в выражение постоянных.

[1] Подробно уравнения Максвелла рассматриваются в курсе «Электромагнитные поля и волны».

* Говоря точнее колебания синфазны в каждой области постоянного знака w = 2Pcoskz, а при изменении знака w имеет место скачок фазы на 180 0

Дата добавления: 2016-03-27 ; просмотров: 1351 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Дата добавления: 2014-10-13 ; просмотров: 1852 ; Нарушение авторских прав

6.1. Цилиндрические функции

В дальнейшем нам понадобится решать уравнение Гельмгольца в цилиндрических координатах. В ре­зультате разделения переменных появится обыкновенное диффе­ренциальное уравнение:

(6.1)

Оно называется уравнением цилиндрических функций, или уравнением Бесселя порядка n. Общее решение уравнения (6.1) записывают в следующей форме:

(6.2)

Оба варианта решений эквивалентны. Здесь:

· J_п(х) — функции Бесселя порядка п,

· N_n(x) — функции Неймана порядка п,

· Н (1) _n(х) — функ­ции Ханкеля (Ганкеля) первого рода порядка п,

· Н (2) _n(х) — функ­ции Ханкеля второго рода порядка п.

Это различные виды цилиндрических функций.

Функции Бесселя, Неймана и Ханкеля связаны соотношением:

(6.3)

Цилиндрические функции не являются периодическими, но они «осциллируют». Функции Бесселя и Неймана с ростом х принима­ют значения, колеблющиеся около нуля с монотонно убывающей амплитудой и приближающиеся к тригонометрическим при х → ∞. Существенно то, что J₀(0) = 1, а J_n(0) = 0 при n ≠ 0 и N_n(0) = -∞. Графики цилиндрических функций приведены на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Графики цилиндрических функций

В справочной литературе имеются таблицы цилиндрических функций. Программы для их расчета включены в библиотеки языков программирования с физико-техническим уклоном, например, в СИ++.

Нам понадобятся значения аргументов х, при которых функции Бесселя и их первые производные обращаются в нуль, т. е. корни х = υ_nm уравнения J_n(x) = 0 и корни х = μ_nm уравнения J’_n (х) = 0. Они приведены в таблицах 6.1 и 6.2.

Ниже приведены некоторые формулы, часто используемые при операциях с цилиндрическими функциями. Цилиндрические функции обозначены Z_n(x). При этом подразумеваются функция Бесселя, Неймана или Ханкеля целого порядка.

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Далее из (6.6) следует:

	(6.7)
	(6.8)
	(6.9)

(6.10)

	(6.11)
	(6.12)

	(6.13)
	(6.14)
	(6.15)

	(6.16)
	(6.17)
	(6.18)
	(6.19)

Запишем степенной ряд:

(6.20)

6.2. Задачи в цилиндрических координатах

Двумерное уравне­ние Гельмгольца в цилиндрических координатах имеет следующий вид:

(6.24)

Решение этого уравнения будем искать как произведения T(r,α) = R(r)A(α).

Рядом не слишком сложных и логичных операций соотношение (6.24) можно разбить на два отдельных уравнения:

	(6.25)
	(6.26)

Первое уравнение (6.25) — это уравне­ние Бесселя при у = R, х = χr. Его общее решение запишем в следующей форме:

(6.27)

Решение второго уравнения, (6.26), также известно:

(6.28)

Таким образом, найден общий вид решения Т = RA уравнения в ци­линдрических координатах, содержащий ряд неопределенных кон­стант.

Для анализа распространения поля в круглом волноводе необходимо решить две краевые задачи (5.8) и (5.9) в цилиндрических координатах для кругового контура диаметром R. Собственные функции и собственные значения решения первой краевой задачи (5.8) имеют следующий вид:

	(6.29)

Решения второй краевой задачи (5.9) записываются так:

	(6.30)

В заключение рассмотрим кольцевую область. Она имеет два контура в виде окружности на расстоянии R₁ и R₂ от центра.

Начнем с решения первой краевой задачи (5.8). Уравнение для собственных значений запишем в следующем виде:

(6.31)

Для получения полных собственных функций воспользуемся следующим выражением:

(6.32)

Его надо подставить в первую строчку (6.29) вместо . Таблицы для χ_nm имеются в различ­ных справочниках.

Уравнение относительно χ во второй краевой задаче (5.9) для той же кольце­вой области записывается в виде:

(6.33)

(6.34)

где χ_nm — корни (6.33); они приводятся в справочниках.

Для получения полных собственных функций надо внести R(r) (6.34) вместо в (6.30), отбросив А.

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

Алгоритм решения уравнения Гельмгольца в цилиндрической области с импедансными граничными условиями Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Моденов В.П., Иванов С.А.

Построена и математически обоснована схема неполного метода Галеркина, предназначенная для исследования распространения аксиально-симметричных электромагнитных волн в цилиндрической области с граничными условиями 3-го рода с малым по модулю комплексным импедансом.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Моденов В.П., Иванов С.А.

Текст научной работы на тему «Алгоритм решения уравнения Гельмгольца в цилиндрической области с импедансными граничными условиями»

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ С ИМПЕДАНСНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

В. П. Моденов, С. А. Иванов

Построена и математически обоснована схема неполного метода Галеркина, предназначенная для исследования распространения аксиально-симметричных электромагнитных волн в цилиндрической области с граничными условиями 3-го рода с малым по модулю комплексным импедансом.

При расчете базовых элементов электродинамических многофункциональных систем сверхбыстрой обработки информации, использующих ОИС СВЧ, КВЧ и оптического диапазона частот, достаточно эффективна так называемая импедансная модель. Эта модель основана на применении эквивалентных граничных условий. К ним относятся импедане-ные условия Щукина-Леонтовича, двухсторонние импеданеные условия, импеданеные анизотропные граничные условия, граничные условия Вайнштейна и др. 1.

Цель данной работы — сформулировать и математически обосновать алгоритм решения уравнения Гельмгольца, аналогичный описанным в работах 6, для цилиндрической области на примере решения задачи дифракции оеееимметричных поперечно-электрических и поперечно-магнитных волн круглого волновода с поверхностным импедансом на конечном участке длины волновода.

Математическая постановка задачи заключается в решении уравнения Гельмгольца

в цилиндрической области О = <(г,г): 0 1

и (г, г) = ^2Бп(г)срп(г).

Существование и единственность решения задачи

Вначале заметим, что из (5), (8) следуют парциальные условия излучения вида

+ Лп$п(г) = 2лпА5п,п0 ехрСгЬ^), г 1. (9)

Применяя вторую формулу Грина в цилиндрической области О для точного решения задачи (1)-(8) и функции, комплексно сопряженной с ним, получим энергетические соотношения

(А) 1тк2 $г\и\2 йгйг +К$1та о о

= Ке 7„о |7п0-4|2 II ‘РпО II2 + Ке 7т0 ЬтоВ |21| 1рт01

(Б) 1шк2 ¡г\и\2йгйг^я>1шк\и\2\ йг

1 0 (1тН „(г)> — полная на отрезке [0, Щ система собственных функций соответствующей задачи (7). Потребуем, чтобы для приближенного решения 17м выполнялись условия непрерывности потока энергии (4) в сечениях г = 0 и г = 1 и приведенные выше парциальные условия излучения (9), которые запишем в виде

ск(+ ЛпСп(г) = 2^пА6п,п0 ехр(мпг), г 1. (12)

Применяя вторую формулу Грина для приближенного решения 17м и функции, комплексно сопряженной с ним, и учитывая, что функции Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, приближенное решение задачи (1)-(8), построенное согласно (5), (11), (12), (14), (15), существует и единственно. Рассматривая функцию SN = U — UN и сводя соответствующую ей задачу к аналогичному энергетическому соотношению, можно показать сходимость в L2 приближенного решения к точному при N ^ оо, как это сделано в работе [5].

Для нахождения коэффициентов отражения и прохождения нормальных волн Rn и Тп при известных амплитудах падающих нормальных волн А и В требуется решить краевую задачу с граничными условиями (12) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, получаемой из (14)—(15) относительно функций C’n(z). После чего по найденным коэффициентам С„(0) и Сп<1) определяются искомые коэффициенты Rn и Тп.

В настоящей работе решена краевая задача для уравнения Гельмгольца в цилиндрической области с импеданеными (в общем случае несамосопряженными) граничными условиями. Доказано существование и единственность решения этой задачи. Изложен алгоритм построения приближенного решения и доказана сходимость приближенного решения к точному. Построенное приближенное решение удовлетворяет условию непрерывности потока энергии и условию Мейкснера в особых точках. Результаты данной работы могут найти применение в задачах волноводной электродинамики с импеданеными граничными условиями при математическом моделировании на основе импедансной модели.

1. Pelozi G., Ufimtsev P.Ya. 11 IEEE Trans. AP. 1996. 38, N 1. P. 31.

2. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М., 1983.

3. Кравченко В.Ф., Казаров A.B. // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1997. № И. С. 59.

4. Свешников А.Г., Ильинский A.C. // Вычислительные методы и программирование. 1969. № 13. С. 27.

5. Конюшенко В.В., Моденов В.П. // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптического диапазона. 2002. №1. С. 21.

6. Свешников А.Г. // ЖВМ и МФ. 1963. 3, №1. С. 170.

7. Моденов В.П. // Радиотехника и электроника. 2005. 50, №2. С. 1.