Уравнение геометрического места точек от оси

Уравнение геометрического места точек от оси

Глава 10. Вывод уравнений заранее данных линий

В задачах предыдущего параграфа линия определялась при помощи данного уравнения. Здесь мы будем иметь задачи противоположного характера; в каждой из них линия определяется чисто геометрически, а уравнение ее требуется найти.

ПРИМЕР 1. В декартовой прямоугольной системе координат вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до двух данных точек (-а; 0) и (а; 0) есть величина постоянная, равная .

РЕШЕНИЕ. Обозначим буквой М произвольную точку линии, буквами х и у обозначим координаты этой точки. Так как точка М может занимать на линии любое положение то х и у являются переменными величинами; их называют текущими координатами.

Запишем геометрическое свойство линии символически:

(1).

В этом отношении при движении точки М могут меняться длины и . Выразим их через текущие координаты точки М:

, (2)

Подставив полученные выражения в равенство (1), найдем уравнение, связывающее координаты х, у точки М:

Это и есть уравнение данной линии.

Действительно, для каждой точки М, лежающей на этой инии, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты точки М будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки М, не лежащей на линии, не будет выполняться условие (1) и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравнению (2).

Таким образом, задача решена. Однако уравнение (2) можно упростить; раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение данной линии в виде:

Теперь легко понять, что данная линия есть окружность с центром в начале координат и радиусом, равным а.

ПРИМЕР 2. В полярной системе координат вывести уравнение окружности, которая имеет центр С( ; ) и радиус r (см. рис.).

РЕШЕНИЕ. Олозначим буквой М произвольную точку окружности, буквами и — ее полярные координаты. Так как точка М может занимать на окружности любое положение, то и являются переменными величинами. Как и в случае декартовой системы, их называют текущими координатами.

Все точки окружности отстоят от центра на расстоянии r ; запишем это условие символически:

(1).

Выразим СМ через текущие координаты точки М (воспользуемся теоремой косинусов):

Подставив полученное выражение в равенство (1), найдем уравнение, связывающее координаты , точки М:

(2)

Это и есть уравнение данной окружности.

Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной окружности, выполняется условие (1) и , следовательно, координаты точки М будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки М, не лежащей на данной окружности, не будет выполняться условие (1) и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравнению (2).

Таким образом, задача решена. Можно лишь несколько упростить полученное уравнение и представить его в виде, свободным от радикала:

.

Метод геометрических мест точек

Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест. Понятие геометрического места является одним из важнейших в геометрии. Термин «геометрическое место точек» был введен еще древнегреческим ученым и философом Аристотелем (384-222 гг. до новой эры), который представлял себе линию, как некоторое «место», где могут быть размещены точки. Понятие линии как следа движущей точки или совокупность точек, возникли значительно позже.

Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ), обладающих определенным свойством, называется множество всех точек, которые обладают этим свойством.

Сущность метода состоит в следующем. Пусть, решая задачу на построение, нам надо найти точку X , удовлетворяющую двум условиям. ГМТ, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура A, а ГМТ, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура B. Искомая точка X принадлежит A и B, т.е. является их точкой пересечения.

При решении задач этим методом надо знать основные геометрические места точек на плоскости:

1. ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.

2. ГМТ, находящихся на данном расстоянии oт данной точки.

3. ГМТ, удаленных на расстояние d oт данной прямой.

4. ГМТ, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

5. ГМТ, равноудаленных от сторон угла.

6. ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Некоторые геометрические места точек, часто используемые

Рассмотрим построение основных ГМТ, перечисленных в предыдущем пункте.

1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных

точек, является серединный перпендикуляр к отрезку с концами в этих

2. Геометрическим местом точек, находящихся на данном расстоянии

oт данной точки, является окружность с центром в данной точке и радиусом, равном данному отрезку.

3. Геометрическим местом точек, удаленных на расстояние d oт

данной прямой в выбранной полуплоскости, является прямая

параллельная данной и находящаяся на расстоянии d от нее.

А выбираем произвольно.

4. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных

параллельных прямых, является прямая, находящаяся на одинаковом

расстоянии от данных прямых (ось симметрии этих прямых).

5. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла,

является биссектриса этого угла. (См. построение 4).

6. Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под

данным углом, является дуга окружности, опирающейся на этот отрезок.

I случай:

— данный угол,

АВ – данный отрезок.

Действительно, ∟АМВ, как угол, вписанный в окружность, измеряется

половиной малой дуги АВ, так как центральный угол ∟АОВ = 2α, то

При этом заметим, что центр окружности О и вершина М угла лежат по

одну сторону от данного отрезка

II случай:

1. О – середина АВ.

Полуокружность

(Любой угол, опирающийся на диаметр –

прямой).

III случай:

Действительно, ∟АОВ = 2( 90 0 – (α — 90 0 )) = 2(180 0 — α). Тогда большая дуга

АВ равна 360 0 – 2(180 0 — α) = 2α и угол АМВ, опирающийся на большую дугу АВ, измеряется половиной этой дуги, т.е. равен α.

Составить уравнение геометрического места точек одинаково удаленных

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему нахождения геометрического места точек (ГМТ) по определенным условиям: удаленности от начала координат или произвольных точек, удаленности от кривых и прямых и т.п.

Геометрическое место точек: решения онлайн

Задача 1. Написать уравнение геометрического места точек, удаленных от прямой $х + 2у – 5 = 0$ на расстояние $sqrt $.

Задача 2. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от начала координат и от точки $(5;0)$ относятся как $2:1$.

Задача 3. Составить уравнение множества точек, для каждой из которых выполняется следующее условие: квадрат расстояния до точки $A(2,0)$ на 16 больше квадрата расстояния до оси ординат.

Задача 4. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки $A(0,1)$ вдвое меньше расстояния от прямой $y=4$.

Задача 5. Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до точек $A(-3,0)$ и $B(0,3)$ равна 26. Построить эту линию.

Задача 6. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки $A(2;0)$ и до данной прямой $x=4,5$ равно числу $2/3$. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой лежит в начале координат и которая проходит через точку F(2;-4); ox– ось симметрии.

Ответ: .

Задача 67.

Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2;0) и от прямой .

Ответ: .

Задача 68.

Составить каноническое уравнение параболы, если ее фокус находится в точке пересечения прямой с осью 0х.

Ответ: .

Задача 69.

На параболе найти точку, фокальный радиус которой равен 4.

Ответ: , .

Задача 70.

Написать уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения параболы с осями координат.

Ответ: .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома – страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8921 – | 7229 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(0,2) и от прямой y=4. Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить её

задан 23 Дек ’13 19:51

Надо приравнять квадраты расстояний от точки то точки, то есть $%x^2+(y-2)^2$%, и от точки до прямой, то есть $%(y-4)^2$%. После упрощений получится уравнение параболы. Остальное просто.

Здравствуйте

Математика – это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.