Уравнение гидродинамики для процессов перемешивания

Перемешивание. Назначение процесса. Интенсивность и эффективность перемешивания

Перемешивание в жидких средах широко применяется в химической промышленности для приготовления эмульсий, суспензий и получения гомогенных систем (растворов), а также для интенсификации химических, тепловых и диффузионных процессов. В последнем случае перемешивание осуществляют непосредственно в предназначенных для проведения этих процессов аппаратах, снабженных перемешивающими устройствами.

Цель перемешивания определяется назначением процесса. При при­готовлении эмульсий для интенсивного дробления дисперсной фазы необ­ходимо создавать в перемешиваемой среде значительные срезающие усилия, зависящие от градиента скорости. В тех зонах аппарата, где градиент скорости жидкости имеет наибольшее значение, происходит наиболее интенсивное дробление диспергируемой фазы,

В случае гомогенизации, приготовления суспензий, нагревания или охлаждения перемериваемой гомогенной среды целью перемешивания является снижение концентрационных или температурных градиентов в объеме аппарата.

При использовании перемешивания для интенсификации химических, тепловых и диффузионных процессов в гетерогенных системах создаются лучшие условия для подвода вещества в зону реакции, к границе раз­дела фаз или к поверхности теплообмена.

Увеличение степени турбулентности системы, достигаемое при пере­мешивании, приводит к уменьшению толщины пограничного слоя, уве­личению и непрерывному обновлению поверхности взаимодействующих фаз. Это вызывает существенное ускорение процессов тепло- и массо­обмена.

Перемешивание применяют в процессах абсорбции, выпаривания, экстрагирования и других процессах химической технологии.

Способы перемешивания. Способы перемешивания и выбор аппарату­ры для его проведения определяются целью перемешивания и агрегатным состоянием перемешиваемых материалов. Широкое распространение в хи­мической промышленности получили процессы перемешивания в жидких средах.

Независимо от того, какая среда смешивается с жидкостью — газ, жидкость или твердое сыпучее вещество,— различают два основных спо­соба перемешивания в жидких средах: механический (с помощью мешалок различных конструкций) и пневматический (сжатым воздухом или инертным газом). Кроме того, применяют перемешивание в трубопроводах и перемешивание с помощью сопел и насосов.

Смешивание твердых сыпучих материалов является скорее механиче­ским, чем гидродинамическим процессом. Эффективность и интенсивность перемешивания. Наиболее важными характеристиками перемешивающих устройств, которые могут быть по­ложены в основу их сравнительной оценки, являются: 1) эффективность перемешивающего устройства; 2) интенсивность его действия.

Эффективность перемешивающего устройства характеризует качество проведения процесса перемешивания и может быть выражена по-разному в зависимости от цели перемешивания. Например, в про­цессах получения суспензий эффективность перемешивания характери­зуется степенью равномерности распределения твердой фазы в объеме аппарата; при интенсификации тепловых и диффузионных процессов — отношением коэффициентов тепло- или массоотдачи при перемешивании и без него. Эффективность перемешивания зависит не только от конструк­ции перемешивающего устройства и аппарата, но и от величины энергии, вводимой в перемешиваемую жидкость.

Интенсивность перемешивания определяется временем дости­жения заданного технологического результата или числом оборотов мешалки при фиксированной продолжительности процесса (для механиче­ских мешалок). Чем выше интенсивность перемешивания, тем меньше времени требуется для достижения заданного эффекта перемешивания. Интенсификация процессов перемешивания приводит к уменьшению раз­меров проектируемой аппаратуры и увеличению производительности действующей.

Для экономичного проведения процесса перемешивания желательно, чтобы требуемый эффект перемешивания достигался за наиболее короткое время. При оценке расхода энергии перемешивающим устройством сле­дует учитывать общий расход энергии за время, необходимое для обеспе­чения заданного результата перемешивания центробежных сил при вращательном движении мешалки, приводят к интенсивному перемешиванию содержимого аппарата

1. Механическое перемешивание. Конструкции и область применения перемешивающих устройств.

наибольшее распространение в химиеской промышленности поучило перемеивание с введением в перемешиваемую среду механической энергии из внешнего источника. Механическое перемешивание осуществлется с помощью мешалок, которым сообщается вращательное движение либо непосредственно от электродвигаеля, либо через редуктор или клиноременную передачу. Известны так же меалки с возвратно-поступательным движением, имеющие привод от механиеского или электроманиного вибратора. Процесс перемешивания механическими мешалками свдиться к внешней задаче гидроднмики-обтеканию потом жидкости. При увеличении скорости движения происходит отрв пограничного слоя от поверхнсти тела в точах, где скорость жидкости является наибольшей. Начало отрыва пограничногослоя характеризуется резким возрастанием сопротивления среды дижению тела. Окружная скорость имеет наибольшее значение переферии мешалки так как эта еличина пропорцианальна диаметру меали. У переферии мешалки, как следут из уравненя Бернулли, образуетя зона пожженного давления, куда устремляется жидкость,находящаяся в аппарате. Это течение, а так же радиальные потоки,возникающие под действием центробежных сил при вращательном движении мешалки, приводят к интенсивному перемешиванию содержимого аппарата.

1. Расчет мощности на перемешивание.

Мощность, потребляемая механическими мешалками. Как следует из обобщенного уравнения гидродинамики [уравнение (11,85г) ], вынужден­ное стационарное движение жидко­сти в условиях, когда действием силы тяжести пренебрегать нельзя, описывается критериальным урав­нением

где Гг, Г _? , . . ., — симплексы геометриче­ского подобия.

Для описания процесса перемс шивания применяют модифицирован­ные критерии Эйлера (Еи _м ), Рей нольдса ( ReJ и Фруда ( FrJ , кото­рые могут быть получены путем пре­образования обычных выражений этих критериев. Вместо линейной скорости жидкости, среднее значение которой при перемешивании установить практически невозможно, в мо­дифицированные критерии подставляется величина nd , пропорциональ­ная окружной скорости мешалки w окр=п dn

где п — число оборотов мешалки в единицу времени; d — диаметр мешалки.

В качестве определяющего линейного размера во всех упомянутых

критериях используется диаметр d мешалки.

Подставляя эти величины в соответствующие критерии, получим сле­дующие выражения для модифицированных критериев подобия: Re м= nd * dp / u = nd ^2 p / u . Fr м= n ^2 d ^2/ gd = n ^2 d /закарючка Eu м=дельта p / p ( nd )^2/. В критерий Эйлера входит разность давлений Ар между передней (со стороны набегания потока) и заднеГ плоскостями лопасти мешалки. Этот перепад давлений, преодолеваемый усилием Р, приложенным к валу мешалки выражают через полезную мощность N , сообщаемую жидкости. Величина — N пропорциональна произведению усилия на валу и окружной скорости, т. е.

N бнечностьP(nd). Тода перепад давления можно зить пропорциональной величиной:дельтаp=P/SбеечностьN/(nd)SбесконечностьN/nd^3. где S ( s > d 2 — площадь, на которой распределено усилие Р. Подтавим дельтар в выражение для Eu м получим: Eu м= N / pn ^3 d ^5= KN . Критерий Eu _M , выраженный в таком виде, называют критерием мощности и обозначают через Кы-

Соответственно обобщенное уравнение гидродинамики для процессов перемешивания принимает вид

Kx = f(Re- _A , Fr _M , i\. Г, ). Влияние силы тяжести сказывается на /разовании воронки и волн на свободной поверхности перемешивае\ й жидкости. При наличии в аппарате отражательных перегородок или при эксцентричном расположении вала мешалки относительно оси

аппарата влиянием силы тяжести можно пренебречь. В этом случае из уравнения (VI, 1а) исключается модифицированный критерий Фруда:

Кы = Ф ( Re _M . П, Г ₂ , . . .). Уравнения (VI, 1) и (VI,2) применяют для расчета мощности N -, потреб­ляемой мешалкой.

Значения коэффициентов Л и Л’ и показатели степеней определяют из опыта; они зависят от типа мешалки, конструкции аппарата и режима перемешивания.

Для упрощения расчетов опытные данные о величинах мощности, за­трачиваемой на перемешивание, представляют в виде графической зави­симости критерия мощности K _N от модифицированного критерия Рей­нольдса Re _M с геометрическими симплексами Г _х , Г ₂ , . и критерием Фруда Fr _M в качестве параметров. Для геометрически подобных мешалок и аппаратов в случае соблюдения подобия условий на входе жидкости в ап­парат и выходе из него (при отсутствии воронки и волнообразования на поверхности жидкости) критерий мощности Кы и, следовательно, мощ­ность, затрачиваемая на перемешивание, зависят только от критерия Рейнольдса Re _M .

1. Тепловые процессы. Механизм переноса теплоты.

Перенос энергии в форме тепла, происходящий между телами, име­ющими различную температуру, называется теплообменом. Дви­жущей силой любого процесса теплообмена является разность температур более нагретого’и менее нагретого тел, при наличии которой тепло само­произвольно, в соответствии со вторым законом термодинамики, перехо­дит от более нагретого к менее нагретому телу. Теплообмен между телами представляет собой обмен энергией между молекулами, атомами и сво­бодными электронами; в результате теплообмена интенсивность движения частиц более нагретого тела снижается, а менее нагретого -г возрастает.

Тела, участвующие в теплообмене, называются теплоносите­лями.

Теплопередача — наука о процессах распространения тепла. Законы теплопередачи лежат в основе тепловых процессов — нагревания, охлаждения, конденсации паров, выпаривания — и имеют большое значение для проведения многих массообменных (процессы перегонки, сушки и др.), а также химических процессов, протекающих с подводом или отводом тепла.

Различают три принципиально различных элементарных способа распространения тепла: теплопроводность, конвекцию и тепловое излу­чение.

Теплопроводность представляет собой перенос тепла вслед­ствие беспорядочного (теплового) движения микрочастиц, непосредственно соприкасающихся друг с другом. Это движение может быть либо дви­жением самих молекул (газы, капельные жидкости), либо колебанием атомов (в кристаллической решетке твердых тел), или диффузией свобод­ных электронов (в металлах). В твердых телах теплопроводность является обычно основным видом распространения тепла.

Конвекцией называется перенос тепла вследствие движения и перемешивания макроскопических объемов 1 газа или жидкости.

Перенос тепла возможен в условиях е с т е с-т венной, или сво­бодной, конвекции, обусловленной разностью плотностей в различ­ных точках объема жидкости (газа), возникающей вследствие разности температур в этих точках или в условиях вынужденной конвек­ции при принудительном движении всего объема жидкости, например в случае перемешивания ее мешалкой.

Тепловое излучение — это процесс распространения элек­тромагнитных колебаний с различной длиной волн, обусловленный тепло­вым движением атомов или молекул излучающего тела. Все тела способны излучать энергию, которая поглощается другими телами и снова превра­щается в тепло. Таким образом, осуществляется лучистый теплообмен; он складывается из процессов лучеиспускания и луче- поглощения.

В реальных условиях тепло передается не каким-либо одним из ука­занных выше способов, а комбинированным путем. Например, при тепло­обмене между твердой стенкой и газовой средой тепло передается одно­временно конвекцией, теплопроводностью и излучением. Перенос тепла от стенки к газообразной (жидкой) среде или в обратном направлении назы­вается теплоотдачей.

Еще более сложным является процесс передачи тепла от более нагре­той к менее нагретой жидкости (газу) через разделяющую их поверхность или твердую стенку. Этот процесс носит название теплопередачи.

В прЬцессе теплопередачи переносу тепла конвекцией сопутствуют теплопроводность и теплообмен излучением. Однако для конкретных условий преобладающим обычно является один из видов распростране­ния тепла.

В непрерывно действующих аппаратах температуры в различных точках не изменяются во времени и протекающие процессы теплообмена являются установившимися (стационарными). В периодически действующих аппаратах, где температуры меняются во времени (при на­гревании или охлаждении), осуществляются неустановившиеся, или нестационарные, процессы теплообмена.

Расчет теплообменной аппаратуры включает:

1. Определение теплового потока (тепловой нагрузки аппа­рата), т. е. количества тепла Q, которое должно быть передано за опре­деленное время (в непрерывно действующих аппаратах за 1 сек или за 1 ч, в периодически действующих — за одну операцию) от одного теплоно­сителя к другому. Тепловой поток вычисляется путем составления и реше­ния тепловых балансов.
2. Определение поверхности теплообмена F аппарата обеспечивающей передачу требуемого количества тепла в заданное время. Величина поверхности теплообмена определяется скоростью теплопере­дачи, зависящей от механизма передачи тепла — теплопроводностью, конвекцией, излучением и их сочетанием друг с другом. Поверхность теплообмена находят из основного уравнения тепло­передачи.

Тепло, отдаваемое более нагретым теплоносителем ( Q 1), затрачивается на нагрев более холодного теплоносителя ( Q ₂ ), и некоторая относительно небольшая часть тепла расходуется на компенсацию потерь тепла аппа­ратом в окружающую среду ( Q _n ). Величина Q _n в теплообменных аппара­тах, покрытых тепловой изоляцией, не превышает —3— 5% полезно используемого тепла. Поэтому в расчетах ею можно пренебречь. Тогда тепловой баланс выразится равенством

где Q — тепловая нагрузка аппарата.

Пусть массовый расход более нагретого теплоносителя составляет G ₁ , его энтальпия на входе в аппарат I _1н и на выходе из аппарата I _1к . Соответственно расход более холодного теплоносителя — G ₂ , его начальная энтальпия I _2н и конечная энтальпия I _2к . Тогда уравнение теплового баланса

Q = G 1( I 1н- I 1 k )= G 2( I 2 k — I 2н)

Величины с _1н и с _1к представляют собой средние удельные тепло­емкости более нагретого теплоносителя в пределах изменения температур от 0 до t _lH (па входе в аппарат) и до t _lK (на выходе из аппарата) соответ­ственно. Величины с _2н и с _2к — средние удельные теплоемкости более холодного теплоносителя в пределах О— t _{2 H} и 0 — t _2к соответственно. В пер­вом приближении вместо средних удельных теплоемкостей в выражения энтальпий могут быть подставлены истинные удельные теплоемкости, отвечающие среднеарифметической температуре, например tl 2 , при изме­нении температур от 0 до t .

В технических расчетах энтальпии часто не рассчитывают, а находят их значения при данной температуре из тепловых и энтропийных диаграмм или из справочных таблиц.

Если теплообмен протекает при изменении агрегатного состояния теплоносителя (конденсация пара, испарение жидкости и др.) или в про­цессе теплообмена протекают химические реакции, сопровождаемые тепловыми эффектами, то в тепловом балансе должно быть учтено тепло, выделяющееся при физическом или химическом превращении. Так, при,, конденсации насыщенного пара, являющегося греющим агентом, вели­чина I _1н в уравнении Q = G 1( I 1н- I 1 k )= G 2( I 2 k — I 2н)

представляет собой энтальпию поступающего в аппарат пара, а I _1к — энтальпию удаляемого парового конденсата.

В случае использования перегретого пара его энтальпия I _1н скла­дывается из тепла, отдаваемого паром при охлаждении от температуры t _n до температуры насыщения t _mc , тепла конденсации пара и тепла, выде­ляющегося при охлаждении конденсата:

где г — удельная теплота конденсации, дж/кг; с _п и с _к — удельные теплоемкости пара и конденсата, дж/(кг ■ град); / _к — температура конденсата на выходе из аппарата.

При обогреве насыщенным паром, если конденсат не охлаждается, т. е. t _K = t _n = t _нас , первый и третий члены правой части уравнения Q = G ( I 1п — I 1 k ) = G с _П ( tn — t нас) + Gr + Gck ( t нас — t к) из теплового баланса исключаются.

Произведение расхода теплоносителя G на его среднюю удельную теплоемкость с условно называется водяным эквивалентом W . Численное значение W определяет массу воды, которая по своей тепло­вой емкости эквивалентно количеству тепла, необходимому для нагрева­ния данного теплоносителя -на 1 °С, при заданном его расходе. Поэтому если теплоемкости обменивающихся теплом жидкостей (с _г и с ₂ ) можно считать не зависящими от температуры, то уравнение теплового баланса Q = G 1( I 1н- I 1 k )= G 2( I 2 k — I 2н)

Q = G 1 c 1( I 1н- I 1 k )= G 2 c 2( I 2 k — I 2н)

Q = W1(I1 н -I1k)=W2(I2k-I2 н )

где W _x и IV ₂ — водяные эквиваленты нагретого и холодного теплоносителя соответственно.

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

• конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
• давления окружающих элементов жидкости
• просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.