Уравнение гидростатики в единицах давления

Гидростатическое давление: формула и свойства.

Гидростатическое давление – это давление, производимое на жидкость силой тяжести.

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкостей и рассматривается практическое приложение этих законов.

Для того, чтобы понять гидростатику необходимо определиться в некоторых понятиях и определениях.

В этой статье мы подготовили для Вас, всю необходимую информацию о гидростатическом давлении, начиная от закона Паскаля и определения формулы гидростатического давления и до свойств давления и применения законов гидростатики в повседневной жизни.

Содержание статьи

Закон Паскаля для гидростатики.

В 1653 году французским ученым Б. Паскалем был открыт закон, который принято называть основным законом гидростатики.

Давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается в жидкости одинаково во всех направлениях.

Закон Паскаля легко понимается если взглянуть на молекулярное строение вещества. В жидкостях и газах молекулы обладают относительной свободой, они способны перемещаться друг относительно друга, в отличии от твердых тел. В твердых телах молекулы собраны в кристаллические решетки.

Относительная свобода, которой обладают молекулы жидкостей и газов, позволяет передавать давление производимое на жидкость или газ не только в направлении действия силы, но и во всех других направлениях.

Закон Паскаля для гидростатики нашел широкое распространение в промышленности. На этом законе основана работа гидроавтоматики, управляющей станками с ЧПУ, автомобилями и самолетами и многих других гидравлических машин.

Определение и формула гидростатического давления

Из описанного выше закона Паскаля вытекает, что:

Величина гидростатического давления не зависит от формы сосуда, в котором находится жидкость и определяется произведением

ρ – плотность жидкости

g – ускорение свободного падения

h – глубина, на которой определяется давление.

Для иллюстрации этой формулы посмотрим на 3 сосуда разной формы.

Во всех трёх случаях давление жидкости на дно сосуда одинаково.

Полное давление жидкости в сосуде равно

P0 – давление на поверхности жидкости. В большинстве случаев принимается равным атмосферному.

Сила гидростатического давления

Выделим в жидкости, находящейся в равновесии, некоторый объем, затем рассечем его произвольной плоскостью АВ на две части и мысленно отбросим одну из этих частей, например верхнюю. При этом мы должны приложить к плоскости АВ силы, действие которых будет эквивалентно действию отброшенной верхней части объема на оставшуюся нижнюю его часть.

Рассмотрим в плоскости сечения АВ замкнутый контур площадью ΔF, включающий в себя некоторую произвольную точку a. Пусть на эту площадь воздействует сила ΔP.

Тогда гидростатическое давление формула которого выглядит как

представляет собой силу, действующую на единицу площади, будет называться средним гидростатическим давлением или средним напряжением гидростатического давления по площади ΔF.

Истинное давление в разных точках этой площади может быть разным: в одних точках оно может быть больше, в других – меньше среднего гидростатического давления. Очевидно, что в общем случае среднее давление Рср будет тем меньше отличаться от истинного давления в точке а, чем меньше будет площадь ΔF, и в пределе среднее давление совпадет с истинным давлением в точке а.

Для жидкостей, находящихся в равновесии, гидростатическое давление жидкости аналогично напряжению сжатия в твердых телах.

Единицей измерения давления в системе СИ является ньютон на квадратный метр (Н/м 2 ) – её называют паскалем (Па). Поскольку величина паскаля очень мала, часто применяют укрупненные единицы:

килоньютон на квадратный метр – 1кН/м 2 = 1*10 3 Н/м 2

меганьютон на квадратный метр – 1МН/м 2 = 1*10 6 Н/м 2

Давление равное 1*10 5 Н/м 2 называется баром (бар).

В физической системе единицей намерения давления является дина на квадратный сантиметр (дина/м 2 ), в технической системе – килограмм-сила на квадратный метр (кгс/м 2 ). Практически давление жидкости обычно измеряют в кгс/см 2 , а давление равное 1 кгс/см 2 называется технической атмосферой (ат).

Между всеми этими единицами существует следующее соотношение:

1ат = 1 кгс/см 2 = 0,98 бар = 0,98 * 10 5 Па = 0,98 * 10 6 дин = 10 4 кгс/м 2

Следует помнить что между технической атмосферой (ат) и атмосферой физической (Ат) существует разница. 1 Ат = 1,033 кгс/см 2 и представляет собой нормальное давление на уровне моря. Атмосферное давление зависит от высоты расположения места над уровнем моря.

Измерение гидростатического давления

На практике применяют различные способы учета величины гидростатического давления. Если при определении гидростатического давления принимается во внимание и атмосферное давление, действующее на свободную поверхность жидкости, его называют полным или абсолютным. В этом случае величина давления обычно измеряется в технических атмосферах, называемых абсолютными (ата).

Часто при учете давления атмосферное давление на свободной поверхности не принимают во внимание, определяя так называемое избыточное гидростатическое давление, или манометрическое давление, т.е. давление сверх атмосферного.

Манометрическое давление определяют как разность между абсолютным давлением в жидкости и давлением атмосферным.

Рман = Рабс – Ратм

и измеряют также в технических атмосферах, называемых в этом случае избыточными.

Случается, что гидростатическое давление в жидкости оказывается меньше атмосферного. В этом случае говорят, что в жидкости имеется вакуум. Величина вакуума равняется разнице между атмосферным и и абсолютным давлением в жидкости

Рвак = Ратм – Рабс

и измеряется в пределах от нуля до атмосферы.

Свойства гидростатического давления

Гидростатическое давление воды обладает двумя основными свойствами:
Оно направлено по внутренней нормали к площади, на которую действует;
Величина давления в данной точке не зависит от направления (т.е. от ориентированности в пространстве площадки, на которой находится точка).

Первое свойство является простым следствием того положения, что в покоящейся жидкости отсутствуют касательные и растягивающие усилия.

Предположим, что гидростатическое давление направлено не по нормали, т.е. не перпендикулярно, а под некоторым углом к площадке. Тогда его можно разложить на две составляющие – нормальную и касательную. Наличие касательной составляющей из-за отсутствия в покоящейся жидкости сил сопротивления сдвигающим усилиям неизбежно привело бы к движению жидкости вдоль площадки, т.е. нарушило бы её равновесие.

Поэтому единственным возможным направлением гидростатического давления является его направление по нормали к площадке.

Если предположить что гидростатическое давление направлено не по внутренней, а по внешней нормали, т.е. не внутрь рассматриваемого объекта а наружу от него, то вследствие того, что жидкость не оказывает сопротивления растягивающим усилиям – частицы жидкости пришли бы в движение и её равновесие было бы нарушено.

Следовательно, гидростатическое давление воды всегда направлено по внутренней нормали и представляет собой сжимающее давление.

Из этого же правило следует, что если измениться давление в какой-то точке, то на такую же величину измениться давление в любой другой точке этой жидкости. В этом заключается закон Паскаля, который формулируется следующим образом: Давление производимое на жидкость, передается внутри жидкости во все стороны с одинаковой силой.

На применение этого закона основываются действие машин, работающих под гидростатическим давлением.

Ещё одним фактором влияющим на величину давления является вязкость жидкости, которой до недавнего времени приято было пренебрегать. С появлением агрегатов работающих на высоком давлении вязкость пришлось так же учитывать. Оказалось, что при изменении давления, вязкость некоторых жидкостей, таких как масла, может изменяться в несколько раз. А это уже определяет возможность использовать такие жидкости в качестве рабочей среды.

Основы гидравлики

Гидростатика и ее законы

Гидростатика – раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкостей, находящихся в покое.

Понятие покоя или равновесного состояния по отношению к жидкости можно отождествлять с аналогичным понятием в одном из разделов технической механики — статике. Любое тело, материальная точка или обособленный объем вещества (в т. ч. жидкости) считается покоящимся, если все силы (внешние и реактивные), действующие на этот материально существующий субъект (т. е. имеющий массу), уравновешивают друг друга.

Тем не менее, жидкость по своим свойствам и «способностям» уникальна, поэтому гидростатика призвана пояснить некоторые особенности поведения жидкого вещества в тех или иных условиях.

Гидростатическое давление

На жидкость, находящуюся в покое действуют массовые и поверхностные силы. Массовыми являются силы, действующие на все частицы рассматриваемого объема жидкости. Это силы тяжести и силы инерции (силы инерции проявляются в движущейся жидкости, поэтому их учитывает раздел гидродинамика) .
Массовые силы пропорциональны массе жидкости, а для однородной жидкости, плотность которой одинакова во всех точках, — объему. Поэтому массовые силы называют еще объемными.

К поверхностным относятся силы, действующие на поверхности жидкости. Это, например, атмосферное давление, действующее на жидкость в открытом сосуде, или силы трения, возникающие в движущейся жидкости между отдельными слоями и стенками сосуда (в покоящейся жидкости силы трения отсутствуют) .

Жидкость, находящаяся в состоянии покоя, может находиться только под действием силы тяжести и поверхностных сил, вызванных внешним давлением (например, атмосферным) . Внешние силы давления являются нормальными сжимающими поверхностными силами (считается, что жидкость не сопротивляется растяжению) . Все эти силы создают в неподвижной жидкости некоторую равнодействующую (результирующую) силу, которая называется гидростатической силой .

Покоящаяся жидкость под воздействием гидростатической силы находится в напряженном состоянии, характеризуемом гидростатическим давлением.

Выделим в покоящейся жидкости произвольный объем (см. рис. 1) . Мысленно разделим этот объем произвольной плоскостью П . Выделим на полученном сечении точку А и некоторую площадку ΔS вокруг этой точки.
Через поверхность П давление передается со стороны отсеченной части I на часть II . Сила ΔP , действующая на рассматриваемую площадку ΔS и есть гидростатическая сила.

Отношение гидростатической силы к площади поверхности (выделенного сечения) жидкости называют средним гидростатическим давлением. Истинное гидростатическое давление в данной точке жидкости может быть определено, как предел, к которому стремится среднее гидростатическое давление при бесконечном уменьшении рассматриваемой площадки ΔS :

p = lim ΔP/ΔS при ΔS стремящемся к нулю.

Гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали к площадке, на которую оно действует, и величина его в произвольной точке не зависит от ориентации этой площадки в пространстве.

Это утверждение вытекает из условий:
— неподвижности жидкости, поскольку при любом перемещении жидкости неизбежно возникают касательные напряжения;
— равновесия рассматриваемого элементарного (бесконечно малого) объема, поскольку равновесие может быть достигнуто лишь при равенстве всех действующих на рассматриваемый элементарный объем внешних сил (предполагается, что весом бесконечно малого объема жидкости можно пренебречь) .
При этом выделенный объем может иметь любую произвольную форму – куба, правильной пирамиды и т. д. – в любом случае легко доказать, что силы, действующие на грани этого объема будут одинаковы во всех направлениях.

Основное уравнение гидростатики. Закон Паскаля.

Выделим в однородной жидкости, находящейся в покое, элементарный объем ΔV в виде прямоугольного параллелепипеда с площадью горизонтального основания ΔS и высотой H (см. рис. 2) .
Рассмотри условия равновесия выделенного элементарного объема.

Пусть давление на плоскость верхнего основания равно р₁ , а на плоскость нижнего основания – р .
Силы давления действующие на вертикальные грани выделенного параллелепипеда взаимно уравновешиваются как равные по величине и противоположно направленные.
На горизонтальные грани действуют силы давления, направленные вертикально: на верхнюю грань эта сила будет равна р₁ΔS (направлена вниз) , на нижнюю – pΔS (направлена вверх) .

На верхнюю и нижнюю грани рассматриваемого параллелепипеда действуют силы, обусловленные давлением на жидкость со стороны внешней среды (например, атмосферного давления) и вес (сила тяжести) элементарного столбика жидкости над каждой из горизонтальных граней параллелепипеда.
Очевидно, что разность сил тяжести, действующих на верхнюю и нижнюю площадку, будет равна весу жидкости, заключенной в объеме рассматриваемого параллелепипеда, который равен ρgΔV ,
где ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, ΔV – объем параллелепипеда: ΔV = HΔS .

Исходя из условия равновесия выделенного элементарного параллелепипеда объемом ΔV , можно утверждать, что сумма всех внешних сил, действующих на параллелепипед равна нулю, т. е.:

pΔS – p₁ΔS – ρgΔV = pΔS – p₁ΔS – ρgΔSH = 0 .

Преобразовав эту формулу, получим величину гидростатического давления на нижнюю горизонтальную площадку:

Если верхняя грань параллелепипеда граничит с внешней средой (например, атмосферой) , оказывающей давление р₀ на жидкость, то формула может быть переписана в виде:

Это выражение является основным уравнением гидростатики .

Итак, гидростатическое давление в любой точке внутри покоящейся жидкости равно сумме давления на свободную поверхность со стороны внешней среды и давления столба жидкости высотой, равной глубине погружения точки (т. е. ее расстоянию от свободной поверхности жидкости) .

На основании основного уравнения гидростатики может быть сформулирован закон Паскаля: внешнее давление, производимое на свободную поверхность покоящейся жидкости, передается одинаково всем ее точкам по всем направлениям.

Блез Паскаль (Blaise Pascal, 1623 — 1662) — выдающийся французский ученый — математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

Любопытны цитаты из популярного сборника высказываний Паскаля, не потерявшие актуальность и в наши дни.
Вот некоторые из них:

• Искание истины совершается не с весельем, а с волнением и беспокойством; но все таки надо искать ее потому, что, не найдя истины и не полюбив ее, ты погибнешь.
• Прошлое и настоящее — наши средства, только будущее — наша цель.
• Нас утешает любой пустяк, потому что любой пустяк приводит нас в уныние.
• Когда человек пытается довести свои добродетели до крайних пределов, его начинают обступать пороки.
• Справедливость должна быть сильной, а сила должна быть справедливой.
• Истина так нежна, что чуть только отступил от нее, впадаешь в заблуждение, но и заблуждение это так тонко, что стоит только немного отклониться от него, и оказываешься в истине.
• Величие не в том, чтобы впадать в крайность, но в том, чтобы касаться одновременно двух крайностей и заполнять промежуток между ними.
• Изучая истину, можно иметь троякую цель: открыть истину, когда ищем ее; доказать ее, когда нашли; наконец, отличить от лжи, когда ее рассматриваем.
• Сила добродетели человека должна измеряться не его усилиями, а его повседневной жизнью.
• Лишь в конце работы мы обычно узнаём, с чего нужно было её начать.
• Существует достаточно света для тех, кто хочет видеть, и достаточно мрака для тех, кто не хочет.
• Человек — это приговорённый к смерти, казнь которого откладывается на время его жизни.

Умер Паскаль после тяжелой и продолжительной болезни в возрасте 39 лет, оставив после себя яркий след в науке.
Имя этого ученого увековечено в названиях одной из единиц международной системы СИ, языка программирования Paskal и лунного кратера.

Пример решения задачи с использованием закона Паскаля

Водолазы при подъеме затонувшего судна работали на глубине 50 м. Определить давление p воды на этой глубине и силу P давления на скафандр водолаза, если площадь его поверхности S равна 1 м 2 .
Атмосферное давление считать равным 1013 МПа (0,1013×106 Па), плотность воды – 1000 кг/м 3 .

Решение:

Определим давление, оказываемое столбом воды на глубине 50 м (в Па) :

ρgH = 1000×9,81×50 = 4,9×105 Па.

Применив основное уравнение гидростатики, с учетом атмосферного давления, найдем давление на глубине 50 м:

p = p₀ + ρgH = 1,013×105 + 4,9×105 = 5,91×105 Па ≈ 0,59 МПа.

Силу давления столба воды на скафандр водолаза определим по формуле:

P = pS = 5,91×105×1 = 591000 Н = 591 кН.

Основное уравнение гидростатики и закон Паскаля широко применяются при решении многих инженерных задач. Свойства жидкости передавать производимое на нее давление без изменения используется при конструировании гидравлических прессов, домкратов, гидроаккумуляторов, гидроприводов и других механизмов. Основной принцип работы этих устройств основа на пропорциональной разности сил, приложенных к поршням гидроцилиндров, имеющих разный диаметр: P₁S₂ = P₂S₁ .

Гидростатика. Гидростатическое давление. Поверхности равного давления. Приборы для измерения давления. Давление жидкости на плоские поверхности, центр давления. Давление жидкости на криволинейные поверхности. Закон Архимеда

Гидростатическое давление. Поверхности равного давления. Приборы для измерения давления. Давление жидкости на плоские поверхности, центр давления. Давление жидкости на криволинейные поверхности. Закон Архимеда.

Гидростатика — это раздел гидравлики (механики жидкости), изучающий покоящиеся жидкости. Она изучает законы равновесия жидкости и распределения в ней давления. Основные величины, используемые в гид­ростатике, —это давление p и напор H.

Гидростатическое давление p — это скалярная величина, хара­к­теризую­щая напряжённое состояние жидкости. Давление равно модулю нормального напряжения в точке: p = /s /.

Давление в системе СИ измеряется в паскалях: Па = Н / м2 .

Связь единиц давления в различных системах измерения такая:

100000 Па = 0,1 МПа = 1 кгс/см2 = 1 ат = 10 м вод. ст.

Два свойства гидростатического давления:

1. Давление в покоящейся жидкости на контакте с твёрдым телом вы­зывает напряжения, направленные перпендикулярно к поверхности раздела.

2. Давление в любой точке жидкости действует одинаково по всем на­правлениям. Это свойство отражает скалярность давления.

Основное уравнение гидростатики

Основное уравнение гидростатики гласит, что полное давление в жидко­сти p равно сумме внешнего давления на жидкость po и давления веса столба жидкости pж, то есть

,

где h — высота столба жидкости над точкой (глубина её погружения), в которой определяется давление (рис. 1). Из уравнения следует, что давление в жидкости увеличивается с глубиной и зависимость является линейной.

В частном случае для открытых резервуаров, сообщающихся с атмо­сфе­рой (рис. 2), внешнее давление на жидкость равно атмосферному да­влению po = pатм = 101325 Па 1 ат. Тогда основное уравнение гидро­стати­ки принимает вид

.

Открытые резервуары — это не только баки, ёмкости, сооб­щающиеся с ат­мосферой, но также любые канавы с водой, озёра, водоёмы и т. д.

Избыточное давление (манометрическое) есть ра­з­ность между полным и атмосферным давлением. Из последнего урав­нения получаем, что для откры­тых резервуаров избыточное давление равно да­влению столба жидкости

.

Приборы для измерения давления

Давление в жидкости измеряется приборами:

Пьезометры и манометры измеряют избыточное (манометрическое) дав­ление, то есть они работают, если полное давление в жидкости превышает ве­личину, равную одной атмосфере p = 1 кгс/см2 = 0,1 МПа. Эти при­боры показывают долю давления сверх атмосферного. Для измерения в жи­д­кости полного давления p необходимо к манометрическому давлению pман прибавить атмосферное давление pатм, снятое с барометра. Прак­тически же в гид­рав­лике атмосферное давление считается величиной посто­янной pатм= =101325 » 100000 Па.

Пьезометр обычно представляет собой вертикальную стеклянную тру­б­ку, нижняя часть которой сообщается с исследуемой точкой в жидкости, где нужно измерить давление (например, точка А на рис. 2), а верхняя её часть открыта в атмосферу. Высота столба жидкости в пьезометре hp является по­казанием этого прибора и позволяет измерять избыточное (манометрическое) давление в точке по соотношению

,

где hp — пьезометрический напор (высота), м.

Упомянутые пьезометры применяются главным образом для лабораторных исследований. Их верхний предел измерения ограничен высотой до 5 м, однако их преимущество перед манометрами состоит в непосредственном измерении давления с помощью пьезометрической высоты столба жидкости без промежуточных передаточных механизмов.

В качестве пьезометра может быть использован любой колодец, кот­лован, скважина с водой или даже любое измерение глубины воды в от­крытом резервуаре, так как оно даёт нам величину hp .

Манометры чаще всего применяются механические, реже — жид­костные. Все манометры измеряют не полное давление, а избыточное

.

Преимуществами их перед пьезометрами являются более широкие пределы измерения, однако есть и недостаток: они требуют контроля их показаний. Манометры, выпускаемые в последнее время, градуируются в единицах СИ: МПа или кПа (см. на с. 54). Однако ещё продолжают применяться и старые манометры со шкалой в кгс/см2, они удобны тем, что эта единица равна одной атмосфере (см. с. 8). Нулевое показание любого манометра соответствует полному давлению p, равному одной атмосфере.

Вакуумметр по своему внешнему виду напоминает манометр, а показы­вает он ту долю давления, которая дополняет полное давление в жидкости до величины одной атмосферы. Вакуум в жидкости — это не пустота, а такое состояние жидкости, когда полное давление в ней меньше атмосферного на ве­личину pв, которая измеряется вакуумметром. Вакуумметрическое давление pв, показываемое прибором, связано с полным и атмосферным так:

.

Величина вакуума pв не может быть быть больше 1 ат, то есть предельное зна­чение pв » 100000 Па, так как полное давление не может быть меньше аб­солютного нуля.

Приведём примеры снятия показаний с приборов:

— пьезометр, показывающий hp=160 см вод. ст., соответ­ствует в единицах СИ давлениям pизб=16000 Па и p= 100000+16000=116000 Па;

— манометр с показаниями pман = 2,5 кгс/см2 соответствует водяному столбу hp=25 м и полному давлению в СИ p = 0,35 МПа;

— вакуумметр, показывающий pв=0,04 МПа, соответствует полному дав­лению p=0=60000 Па, что составляет 60 % от атмо­сферно­го.

Эпюры давления жидкости

Эпюра давления жидкости ¾ это графическое изображение рас­пре­деле­ния давления жидкости по твёрдой поверхности, соприкасающейся с ней. Примеры эпюр для плоских и кри­волинейных поверхностей при­ведены на рис. 3 и 4. Стрелками на эпюре по­казывают направление дей­ствия давления (вернее, направление нор­мальных напряжений, возни­кающих от действия давления, так как по 2-му свойству давление скалярно). Величина стрелки (ордината) откладывается в масштабе и количественно по­казывает величину давления.

Эпюры давления служат исходными данными для проведения расчётов на прочность и устойчивость конструкций, взаимодействующих с жидко­стями: стенок пла­ва­тельных бассейнов, баков, резервуаров, цистерн. Рас­чёты ведутся мето­дами сопротивления материалов и строительной меха­ники.

В большинстве случаев строят эпюры избыточного давления вместо по­л­ного,, а атмосферное не учитывают из-за его взаимного погашения с той и другой стороны ограждающей конструкции. При построении таких эпюр для плоских и криволинейных поверхностей (см. рис. 3 и 4) используют линейную за­висимость давления от глубины pизб = gh и 1-е свойство гидростатического давления (см. с. 8).