Параметры гиперболы; связь между ними.
Числа а и b называют вещественной и мнимой полуосями соответственно. Числа 2а и 2b – вещественной и мнимой осями.
Из определения b 2 следует, что b 2 =c 2 -a 2 , c 2 =a 2 +b 2
Если b=a, то гипербола называется равносторонней, прямоугольник гиперболы становится квадратом и его диагонали, т.е. асимптоты гиперболы, перпендикулярны. В этом случае их можно принять за новые оси координат. В результате получится «школьная» гипербола.
Эксцентриситет гиперболы. Оптическое свойство гиперболы
Эксцентриситетом гиперболы называют величину, равную отношению расстояния между фокусами к большей оси гиперболы.
E=√(1+b 2 /a 2 ), E 2 =1+b 2 /a 2 , b 2 /a 2 =E 2 -1, b/a=√(E 2 -1)
Если Е=1, то это означает, что c=a, b=0. В этом случае гипербола вырождается в отрезок на прямой Ox (-∞,-a] и [a,+ ∞).
Если E=∞, b/aè∞. Гипербола превращается в две прямые, перпендикулярные оси Ox и проходящие через вершины действительной оси гиперболы.
Если E=√2, то a=b, гипербола называется равносторонней, прямоугольник гиперболы вырождается в квадрат, асимптоты взаимно перпендикулярны.
Оптическое свойство гиперболы: свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.
Параметрическое уравнение гиперболы
a 2 ch 2 (t)/a 2 -b 2 ch 2 (t)/b 2 =1, ch 2 (t)-sh 2 (t)=1 – основное гиперболическое тождество
В этой записи x≥a, поэтому эти параметрические уравнения описывают правую ветвь гиперболы. Левую ветвь описывает система:
Сопряженная гипербола; связь между параметрами
Уравнение сопряженной гиперболы:
-x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1
Фокусы гиперболы располагаются на мнимой оси. (рисунок)
E=c/b, E=√(1+(a/b) 2 ), a/b=√(E 2 -1)
y=±b/a *x – уравнение асимптот сопряженной гиперболы.
Определение и вывод канонического уравнения параболы. Параметры параболы
Параболой называют множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой фокусом и фиксированной прямой, называемой директрисой.
Для вывода канонического уравнения параболы нужно построить специальную систему координат:
1. построить прямую, проходящую через F перпендикулярно директрисе и направить её от директрисы к F.
2. OF=P/2. P — параметр параболы, O – начало координат.
Точка фокуса параболы имеет координаты F (p/2, 0).
Уравнение директрисы: x=-p/2.
Точка M (x, y) принадлежит параболе, если расстояние d1 от директрисы до точки M равно расстоянию d2 от фокуса до точки M.
d1=x+p/2, d2=√((x-p/2) 2 +y 2 )
(x+p/2) 2 =(x-p/2) 2 +y 2
x 2 -px+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4
y 2 =2px – каноническое уравнение параболы. Число 2P называют раствор параболы.
Очевидно, если (x0, y0) принадлежит параболе, то и (x0, -y0), симметричная ей относительно оси Ox, так же принадлежит параболе.
Поэтому парабола имеет одну ось симметрии (Ox), одну вершину – О, один фокус F (p/2, 0) и одну директрису — x=-p/2.
Параметрических уравнений у параболы нет.
Оптическое свойство параболы
Пусть из фокуса луч выпущен на параболу. Отраженный луч пройдет параллельно оси Ох.
Если из фокуса на параболу выпущен пучок лучей, то они отразятся и пройдут параллельно Ох. Если на параболу направить пучок лучей, то после отражения они попадут в точку фокуса.
Первый факт используется в осветительных приборах.
Параллельный перенос системы координат
Пусть в пространстве дана система координат XYZ и другая система координат X1Y1Z1 с соответственно параллельными и одинаково направленными осями. Пусть дана точка M (x, y, z) в данной системе координат и (x1, y1, z1) в новой. О (x0, y0, z0) – начало координат в старой системе.
Построим векторы ОМ, О1М и ОО1. Координаты точки М являются проекциями её радиус вектора, поэтому вектор ОМ совпадает с координатами в старой системе. ОО1 совпадает с координатами О1 в старой системе координат. Заметим, что проекции вектора на параллельные и одинаково направленные оси равны.
ОО1 + О1М=OM, значит это векторное равенство равносильно трем скалярным для одноименных координат:
Найдем старые координаты через новые:
Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Пусть уравнение кривой второго порядка не содержит, А 2 +С 2 >0
Ax 2 +Cy 2 +Dx+Ey+F=0
Выделяя полные квадраты, приведем его либо к уравнению одного из следующих видов:
(x-x0) 2 /a 2 +(y-y0) 2 /b 2 =1
(x-x0) 2 /a 2 -(y-y0) 2 /b 2 =1
-(x-x0) 2 /a 2 +(y-y0) 2 /b 2 =1
Или будет какой-нибудь частный случай.
Введем новую систему координат:
И получим систему с центром в точке O1. Тогда в новой системе координат уравнение кривой будет каноническим.
Гипербола: формулы, примеры решения задач
Определение гиперболы, решаем задачи вместе
Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
,
где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.
На чертеже ниже фокусы обозначены как 
и 
.
На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.
При a = b гипербола называется равносторонней.
Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.
Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:
.
Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.
Точки 
и 
, где
,
называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).
называется эксцентриситетом гиперболы.
Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.
Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.
Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,
Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.
То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.
Подставляем и вычисляем:
Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:
.
Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет 
.
Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:
.
Результат — каноническое уравнение гиперболы:
Если 
— произвольная точка левой ветви гиперболы (
) и 
— расстояния до этой точки от фокусов 
, то формулы для расстояний — следующие:
.
Если 
— произвольная точка правой ветви гиперболы (
) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:
.
На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.
Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
,
называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).
Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы
,
где 
— расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, 
— расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и 
и 
— расстояния этой точки до директрис 
и 
.
Пример 4. Дана гипербола 
. Составить уравнение её директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. 
. Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис гиперболы:
Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.
Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.
Асимптоты гиперболы определяются уравнениями
.
На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.
Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:
, где 
.
В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.
Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы 
и координаты точки 
, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.
Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения 
. Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.
.
Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:
Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.
Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)
2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8
3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы 
Гипербола: определение, функция, формула, примеры построения
В данной публикации мы рассмотрим, что такое гипербола, приведем формулу, с помощью которой задается ее функция, а также на практических примерах разберем алгоритм построения данного вида графика.
Определение и функция гиперболы
Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:
- x – независимая переменная;
- k ≠ 0;
- при k > 0 гипербола расположена в I и III четвертях координатной плоскости;
- при k 0)
- y = -x (при k Алгоритм построения гиперболы
Пример 1
Дана функция y = 4 /x. Построим ее график.
Решение
Так как k > 0, следовательно, гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях.
Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений x и y. То есть мы берем конкретное значение x, подставляем его в формулу функции и получаем y.
| 0,5 | 8 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 8 | 0,5 |  Чтобы построить ветвь в третьей четверти, вместо x в формулу подставляем -x. Так мы вычислим значения y.
|
