Уравнение гиперповерхности второго порядка произвольной размерности

Уравнение гиперповерхности второго порядка произвольной размерности

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2018@protonmail.com
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Гиперквадрики Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

§ 7. Гиперповерхности второго порядка

В этом параграфе мы познакомимся с понятием и основными типами гиперповерхностей второго порядка. Кроме того, будут указаны способы исследования таких поверхностей.
1. Понятие гиперповерхности второго порядка. Пусть V — n-мерное вещественное евклидово пространство.
Ради геометрической наглядности будем называть векторы х этого пространства точками.
Гиперповерхностью S второго порядка будем называть геометрическое место точек х, удовлетворяющих уравнению вида

А(х, х) + 2В(х) + с = 0, (7.62)

где А(х, х) — не равная тождественно нулю квадратичная форма, В(х) — линейная форма, а с — вещественное число.
Уравнение (7.62) будем называть общим уравнением гиперповерхности второго порядка.
Выделим в пространстве V какой-либо ортонормированный базис <е_k >. Координаты вектора х (точки х) в этом базисе обозначим через (х₁, х₂. х _n ). Тогда (см. п.2 §1 этой главы) квадратичная форма А(х, х) может быть представлена в виде

и A(e_j, е _k ) — значение на векторах e_j и е _k симметричной билинейной формы А(х, у), полярной квадратичной форме А(х, х).
Линейная форма В(х) в указанном базисе <е_k > представляется в виде (согласно лемме п. 1 §4 гл.5 линейная форма В(х) может быть представлена в виде В(х) = (х, b ), где b — постоянный вектор. Обозначая b₁ , b ₂, . b_n координаты вектора b и учитывая ортонормированность базиса <е_k > мы получим представление В(х) в виде (7.65))

Таким образом, общее уравнение гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве V с выделенным базисом <е_k > может быть представлено в следующей форме:

Договоримся о следующей терминологии.
Слагаемое будем называть группой старших членов уравнения (7.62) или (7.66).
Группу слагаемых будем называть линейной частью уравнения (7.62) или (7.66).
Мы будем рассматривать в дальнейшем матрицы

и определители det А и det В этих матриц.
Исследование гиперповерхностей второго порядка мы будем проводить с помощью метода, сходного с методом, применяемым в аналитической геометрии при исследовании кривых и поверхностей второго порядка, заданных общими уравнениями.
Идея этого метода заключается в том, что путем выбора специальной декартовой системы координат на плоскости (для кривых второго порядка) или в пространстве (для поверхностей второго порядка) достигается максимальное упрощение уравнения кривой или поверхности. Затем путем исследования этого уравнения выясняются геометрические свойства кривой или поверхности. Кроме того, перечисление всех возможных типов простейших (канонических) уравнений кривых или поверхностей второго порядка позволяет дать их классификацию.
Чтобы использовать этот метод в многомерном случае, мы сначала должны изучить такие преобразования (отображения) n -мерного евклидова пространства, которые представляют собой аналоги преобразований декартовых прямоугольных координат в случае двух и трех измерений.
Такими преобразованиями в n-мерном случае будут параллельные переносы и такие преобразования базисов, при которых ортонормированный базис переходит в новый ортонормированый базис. Точные определения этих преобразований будут даны в следующем пункте.
Очевидно, гиперповерхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект пространства V, не изменяется, если производится преобразование указанного выше вида. Ниже мы убедимся, что для каждого уравнения вида (7.62) (или (7.66)) можно выбрать такое начало координат и выбрать такой ортонормированный базис в V, что это уравнение, записанное в координатах относительно нового базиса, будет максимально простого вида, и поэтому, как и в случае двух и трех измерений, можно будет указать геометрические характеристики таких поверхностей и дать им классификацию.
2. Параллельные переносы в евклидовом пространстве. Преобразования ортонормированных базисов в ортонормированные.
Параллельным переносом в евклидовом пространстве мы будем называть преобразование, задаваемое формулами

где — фиксированная точка, называемая новым началом координат.
Пусть точки х, х ‘ и имеют координаты, соответственно равные (х₁, х₂. х _n ), (х₁ ‘ , х₂ ‘ . х _n‘ ) и .
Тогда в координатах параллельный перенос определяется формулами

Отметим, что при параллельном переносе любой фиксированный базис не изменяется.
Перейдем теперь к выяснению характеристики преобразования ортонормированного базиса в ортонормированный.
Допустим, что ортонормированный базис <е_k > преобразуется в новый ортонормированный базис <е _k‘ >. Разложим каждый вектор е _k‘ по векторам <е _k >. Получим

Обозначим буквой Р матрицу преобразования (7.70):

Так как базисы <е _k > и <е _k‘ > ортонормированные, то из (7.70) путем скалярного умножения е _j‘ на е _k‘ получим

Рассмотрим теперь транспонированную матрицу Р ‘ т. е. матрицу, полученную из Р перестановкой строк и столбцов.
Очевидно, согласно (7.72),

где I — единичная матрица.
Равенства (7.73) показывают, что матрица Р’ является обратной для матрицы Р, т. е.

Допустим теперь, что мы рассматриваем преобразование ортонормированного базиса <е _k > по формулам (7.70), причем матрица Р этого преобразования удовлетворяет условию (7.73) (или, что то же, (7.74)).
Тогда, очевидно, элементы р _jk матрицы Р удовлетворяют условию (7.72), что, согласно этим же соотношениям (7.72), эквивалентно условию ортонормированности базиса <е _k‘ >.
Напомним, что в §9 гл.5 матрицу Р, удовлетворяющую условию G.73), мы назвали ортогональной.
Итак, для того чтобы преобразование (7.70) было преобразованием ортонормированного базиса в ортонормированный, необходимо и достаточно, чтобы матрица Р этого преобразования была ортогональной.
Замечание. Обращаясь к формулам (5.14) преобразования координат вектора при преобразовании базиса (см. п. 1 §2 гл.5) и учитывая, что обратная матрица для ортогональной матрицы Р есть матрица Р ‘ , получим следующие формулы преобразования координат точки х при переходе от ортонормированого базиса к ортонормированному:

3. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при параллельном переносе. Рассмотрим параллельный перенос, который определяется как преобразование пространства V по формуле (7.68) (или в координатах по формуле (7.69)).
Левая часть (7.62) после подстановки вместо х его выражения по формуле (7.68) в силу линейности квадратичной формы по первому и второму аргументу (квадратичная форма А(х, х) связана с симметричной билинейной формой А(х, у), полярной к форме А(х, х). Билинейная форма А(х, у) линейна по аргументам х и у. Фигурирующее в дальнейшем тексте выражение А(х ‘ , ) представляет собой значение формы А(х, у) на векторах х’ и ) и свойств линейной формы примет следующий вид:

Итак, общее уравнение (7.62) гиперповерхности S при параллельном переносе (7.68) запишется в форме

А(х’, х’) + 2В ‘ (х ‘ ) + с’ = 0, (7.76)

где линейная форма В ‘ (х ‘ ) и постоянное число с’ определяются соотношениями

Запишем полученные формулы в координатах.
Пусть координаты точек х’ и равны соответственно (х₁ ‘ , х₂ ‘ . х _n‘ ) и . Так как при параллельном переносе базис <е _k > не меняется, то квадратичная форма А(х’, х’) запишется следующим образом:

(отметим, что коэффициенты a_jk = A(e_j, е _k ) не меняются, так как не меняются базисные векторы е _k ).
Следовательно, мы можем сделать важный вывод: при параллельном переносе группа старших членов сохраняет свой вид.
Займемся теперь формулами (7.77) и (7.78). Так как

то формула (7.77) примет вид

а формула (7.78) запишется следующим образом:

Таким образом, уравнение (7.76) в координатах будет иметь следующий вид:

Нам понадобится несколько иное, чем (7.81), выражение для с’. Запишем (7.81) в следующей форме:

Учитывая, что коэффициенты b_k‘ выражаются, как это следует из (7.80), по формулам

мы получим из (7.83) нужное нам выражение для с’ :

4. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированному. Пусть ортонормированный базис <е _k > преобразуется в новый ортонормированный базис <е _k‘ > по формулам (7.70) и Р — ортогональная матрица этого преобразования (см. (7.71)). Тогда, согласно замечанию в п. 2 этого параграфа, координаты х _k и х _k‘ точки в базисах <е _k > и <е _k‘ > связаны соотношениями (7.75). Подставляя выражение для х_k из (7.75) в левую часть уравнения (7.66) и учитывая, что вследствие однородности соотношений (7.75) группа старших членов и линейная часть уравнения (7.66) преобразуются автономно, получим следующее выражение для общего уравнения гиперповерхности второго порядка в координатах х _k‘ точек в преобразованном базисе< e_k‘ >:

Согласно отмеченной выше автономности преобразования группы старших членов, справедливы равенства

Обращаясь к первой из формул (7.87), мы видим, что для определения коэффициентов а’ _jk можно воспользоваться правилом преобразования коэффициентов квадратичной формы при переходе к новому базису. Именно, если обозначим буквой А’ матрицу квадратичной формы А(х, х) в базисе < e_k‘ >, то, согласно теореме 7.2 и соотношению Р’ = Р -1 получим следующую связь между матрицами А и А’ формы А(х, х) в базисах < e_k > и < e_k‘ >:

(напомним, что Р — матрица ортогонального преобразования).
Будем рассматривать теперь матрицу А’ как матрицу некоторого линейного оператора А в базисе < e_k‘ > (согласно теореме 5.5 (см. п. 1 §2 гл.5) любая квадратная матрица из n строк и n столбцов может рассматриваться как матрица некоторого линейного оператора, действующего в n-мерном пространстве), а матрицу Р -1 как матрицу перехода от базиса < e_k > к базису < e_k‘ >. Тогда, согласно теореме 5.7 (см. п. 2 §2 гл.5), матрицу А можно рассматривать как матрицу этого линейного оператора А в базисе < e_k >.
Иными словами, матрица квадратичной формы при преобразовании ортонормированного базиса в ортонормированный изменяется как матрица некоторого линейного оператора.
Этот вывод мы используем в следующем пункте.
Замечание. Отметим, что оператор А, матрица которого в ортонормированном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы А(х, х), самосопряженный.
Для доказательства проведем следующие рассуждения.
Пусть А(х, х) — квадратичная форма и А(х, у) — симметричная билинейная форма, полярная форме А(х, х). Согласно теореме 7.8 билинейная форма А(х, у) может быть представлена в виде

где А — самосопряженный оператор.
Поэтому квадратичная форма А(х, х) может быть представлена в виде

Докажем, что в ортонормированном базисе < e_k > матрицы оператора А и квадратичной формы совпадают. Этим будет доказано утверждение замечания.
Пусть а_jk — элементы матрицы формы А(х, х) и ã _jk — элементы матрицы оператора А в базисе < e_k >. Согласно п. 2 § 1 этой главы a_jk = A(e_j, е _k ), а элементы ã _jk, согласно п. 1 §2 гл.5, формуле (5.13), могут быть найдены из равенств
Умножим обе части последнего соотношения скалярно на е _k . Тогда, учитывая ортонормированность базиса <е_k >, получим (Аe_j, е _k ) = ã _jk. Так как A(e_j, е _k ) = (Ae_j, е _k ), то a_jk = ã _jk. Утверждение замечания доказано.
5. Инварианты общего уравнения гиперповерхности второго порядка. Назовем инвариантом общего уравнения (7.62) (или (7.66)) гиперповерхности второго порядка относительно параллельных переносов и преобразований ортогональных базисов в ортогональные такую функцию f (а₁₁, a₁₂. a_nn, b₁, b₂ , . b_n , с) коэффициентов этого уравнения, значение которой не меняется при указанных преобразованиях пространства.
Докажем следующее утверждение.
Теорема 7.11. Инвариантами общего уравнения (7.62) (или 7.66)) гиперповерхности второго порядка являются коэффициенты характеристического многочлена матрицы А квадратичной формы А(х, х) и определитель det В матрицы В в соотношении (7.67). В частности, инвариантами являются det А и след а₁₁ + a₂₂ + . + a_nn матрицы А.
Доказательство. Очевидно, инвариантность перечисленных в условии теоремы величин достаточно доказать отдельно для параллельного переноса и преобразования ортонормированного базиса в ортонормированный.
Рассмотрим сначала параллельный перенос. В п.3 этого параграфа мы установили, что при этом преобразовании группа старших членов сохраняет свой вид (см. формулу (7.79)). Поэтому не меняется матрица А, а следовательно, и характеристический многочлен этой матрицы.
Докажем инвариантность det В.
При параллельном переносе (7.68) (или (7.69)) матрица преобразуется в матрицу В’, определитель которой, согласно (7.82), имеет вид

где величины b_k‘ и с’ определяются по формулам (7.84) и (7.85).
Вычтем из элементов последней ( n + 1)-й строки определителя (7.89) элементы первой строки, умноженные на , затем элементы второй строки, умноженные на и т.д., и, наконец, элементы n -й строки, умноженные на . Так как при таких преобразованиях определитель не меняется, то, используя (7.84) и (7.85), получим соотношение

Вычтем теперь из элементов последнего ( n + 1)-го столбца определителя (7.90) элементы первого столбца, умноженные на , затем элементы второго столбца, умноженные на , и т.д., и, наконец, элементы n -го столбца, умноженные на . Так как при таких преобразованиях определитель не меняется, то, используя соотношение а _jk = a _{k j}, вытекающее из симметричности формы А(х, у), и формулу (7.84), мы получим в результате det В. Итак, равенство det В ‘ = det В доказано. Следовательно, det В инвариантен относительно параллельных переносов.
Рассмотрим теперь преобразование ортонормированного базиса в ортонормированный.
Во-первых, убедимся, что коэффициенты характеристического многочлена матрицы А квадратичной формы являются инвариантами рассматриваемого преобразования.
В предыдущем пункте мы установили, что при переходе к новому ортонормированному базису матрица А изменяется как матрица некоторого линейного оператора. Но в таком случае, как следует из замечания 1 п.3 §2 гл.5, коэффициенты характеристического многочлена этой матрицы не меняются при переходе к другому базису.
В частности, определитель det А и след а₁₁ + a₂₂ + . + a_nn матрицы А, как коэффициенты характеристического многочлена, являются инвариантами.
Нам остается доказать инвариантность определителя det В при преобразовании ортонормированного базиса в ортонормированный.
Приступим к этому доказательству.
Применим следующий прием. Введем обозначения b_k = а _{k, n+1}, k = 1, 2. n , с = a_{n+1 , n+1} . Тогда уравнение (7.66) гиперповерхности можно записать следующим образом:

где х _n+1 = 1.
Рассмотрим преобразование переменных х₁, х₂. х _n , х _n+1 в переменные х₁ ‘ , х₂ ‘ . х _n‘, х ‘_n+1 , при котором первые n переменных преобразуются по формулам (7.75), а переменная х _n+1 преобразуется по формуле х _n+1 = х ‘ _n+1 .
Ясно, что это преобразование переменных можно рассматривать как преобразование координат при преобразовании ортонормированного базиса e₁, е₂, . е _n , e_n+1 (n + 1)-мерного евклидова пространства, причем матрица этого преобразования имеет вид

Легко видеть, что матрица удовлетворяет условию и поэтому является ортогональной. Но тогда, согласно п. 2 этого параграфа, ортонормированный базис e₁, е₂, . е _n , e_n+1 преобразуется с помощью матрицы в ортонормированный базис. Выше было выяснено, что при таком преобразовании матрицы В квадратичной формы определитель det В этой матрицы представляет собой инвариант. Теорема доказана.
Замечание. Из рассуждений в доказательстве теоремы следует, что инвариантами общего уравнения гиперповерхности второго порядка будут также величины rang А и rang В.
6. Центр гиперповерхности второго порядка. Попытаемся найти такой параллельный перенос, при котором общее уравнение (7.76) не содержало бы слагаемого 2В'(х’) (или, если обратиться к уравнению (7.82), то слагаемых ).
Иными словами, будем искать параллельный перенос (т. е. координаты точки ), при котором обратятся в нуль все коэффициенты b_k‘ . Обращаясь к формулам (7.84), найдем, что искомые координаты точки представляют собой решение следующей системы линейных уравнений:

Уравнения (7.93) называются уравнениями центра гиперповерхности второго порядка, а точка с координатами (), где () — решение системы (7.93), называется центром этой поверхности.
Поясним наименование «центр» гиперповерхности. Пусть начало координат помещено в центр , т. е. произведен искомый параллельный перенос. Тогда уравнение поверхности S примет вид

Пусть точка х с координатами х₁ ‘ , х₂ ‘ . х _n‘ расположена на S. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению (7.94). Очевидно, точка -х с координатами -х₁ ‘ , -х₂ ‘ . -х _n‘ , симметричная точке х относительно точки , также расположена на S, ибо ее координаты тоже удовлетворяют уравнению (7.94).
Таким образом, если у гиперповерхности S есть центр, то относительно центра точки S располагаются симметрично парами.
Замечание 1. Если гиперповерхность S второго порядка имеет центр, то инварианты det A, det В и свободный член с’ в уравнении (7.94) связаны соотношением

det В = с’det А. (7.95)

Действительно, для уравнения (7.94) получим

Из последней формулы и вытекает (7.95).
Наличие центра у гиперповерхности второго порядка связано с разрешимостью уравнений центра (7.93).
Если уравнения центра имеют единственное решение, то гиперповерхность S будем называть центральной.
Так как определитель системы (7.93) равен det А, а необходимым и достаточным условием существования единственного решения этой системы является отличие от нуля ее определителя, то мы можем сделать следующий вывод: для того чтобы гиперповерхность S была центральной, необходимо и достаточно, чтобы det А ≠ 0 .
Замечание 2. Если начало координат перенесено в центр центральной гиперповерхности S, то уравнение этой гиперповерхности будет иметь вид

Действительно, после переноса начала в центр уравнение гиперповерхности примет вид G.94). Так как для центральной гиперповерхности det А ф 0, то из формулы G.95) найдем с ‘ = det В/ det A.
Подставляя это выражение для с’ в формулу (7.94), мы и получим уравнение (7.96).
7. Стандартное упрощение любого уравнения гиперповерхности второго порядка путем преобразования ортонормированного базиса. По теореме 7.8 существует такой ортонормированный базис, в котором квадратичная форма А(х, х) записывается в виде суммы квадратов. Обозначим этот базис через < e_k >, а координаты точки х в этом базисе обозначим через х₁ ‘ , х₂ ‘ . х _n‘ . Кроме того, буквами λ₁, λ ₂. λ _n обозначим собственные значения самосопряженного оператора А, матрица которого в ортонормированном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы А(х, х) (см. замечание в п. 4 этого параграфа).
Используя теперь выводы теоремы 7.8, запишем квадратичную форму А(х, х) в координатах (х₁ ‘ , х₂ ‘ . х _n‘ ) точки х в базисе следующим образом:

Итак, перейдем от базиса < e_k > к базису < e_k‘ >. Так как формулы преобразования координат точек при таком преобразовании линейны и однородны (см. замечание п. 2 этого параграфа, формулы (7.75)), то группа старших членов и линейная часть уравнения гиперповерхности S преобразуются автономно. На основании этого и в силу (7.97) уравнение гиперповерхности S в базисе < e_k‘ > будет иметь следующий вид (напомним, что при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированному свободный член с в уравнении поверхности S не меняется (см. третью из формул (7.87))):

Приведение любого уравнения гиперповерхности S второго порядка к виду G.98) будем называть стандартным упрощением этого уравнения (путем преобразования ортонормированного базиса).
8. Упрощение уравнения центральной гиперповерхности второго порядка. Классификация центральных гиперповерхностей. Выводы, сделанные в предыдущих двух пунктах, позволяют решить вопрос о классификации всех центральных гиперповерхностей второго порядка. Решение этого вопроса мы проведем по следующей схеме. Во-первых, путем переноса начала координат в центр гиперповерхности (7.66) мы приведем ее уравнение к виду (7.96). После этого произведем стандартное упрощение уравнения (7.96). В результате, очевидно, мы получим, согласно (7.98), следующее уравнение центральной поверхности второго порядка:

в котором λ _k — собственные числа матрицы А квадратичной формы А(х, х) в уравнении (7.62), а х »_k — координаты точки х в окончательном ортонормированном базисе < e_k‘ >.
Отметим, во-первых, что все собственные числа λ _k , k = 1, 2, . n , отличны от нуля.
Действительно, подсчитывая det А для уравнения (7.99), получим det А = λ₁λ ₂. λ _n , а так как для центральной поверхности det А ≠ 0 , то очевидно, что все λ _k ≠ 0.
Договоримся далее все положительные собственные числа матрицы А нумеровать первыми индексами, а отрицательные — последующими. Таким образом, найдется такой номер р, что

Уравнение (7.102) называется каноническим уравнением центральной гиперповерхности второго порядка.
Величины а _k , k = 1, 2. n , называются полуосями центральной гиперповерхности второго порядка. Они могут быть вычислены по формулам (7.100) и (7.101).
С помощью канонического уравнения (7.102) дадим следующую классификацию центральных гиперповерхностей.
1°. р = n , = -1. В этом случае гиперповерхность S называется ( n -1)-мерным эллипсоидом.
Канонические уравнение такого эллипсоида обычно записывают в виде

Если a₁ = а₂ = . = а _n = R, то ( n- 1)-мерный эллипсоид представляет собой сферу радиуса R в n-мерном пространстве.
Замечание 1. В случае р = 0, = 1 мы также получаем ( n- 1)-мерный эллипсоид. Очевидно, в этом случае уравнение (7.102) может быть записано в виде (7.103).
2°. р = n , = 1. Гиперповерхность является мнимой и называется мнимым эллипсоидом.
Замечание 2. Очевидно, в случае р = 0, = -1 мы также получаем мнимый эллипсоид.
3°. 0 n , ≠ 0. Центральные гиперповерхности называются в этом случае гиперболоидами.
Геометрические характеристики гиперболоида зависят от соотношения чисел р и n и значения .
4°. = 0. Центральные гиперповерхности называются в этом случае вырожденными. Среди вырожденных гиперповерхностей отметим так называемый вырожденный эллипсоид, отвечающий значениям р = 0 и р = n .
9. Упрощение уравнения нецентральной гиперповерхности второго порядка. Классификация нецентральных гиперповерхностей. Пусть гиперповерхность S, заданная уравнением (7.62), не является центральной, т. е.

Произведем стандартное упрощение уравнения (7.62). В результате это уравнение примет вид (7.98). Подсчитаем det А, используя (7.98) (это возможно, так как det А — инвариант). Получим, учитывая (7.104),

Таким образом, по крайней мере одно собственное значение λ _k матрицы А равно нулю. Подчеркнем, что не все собственные значения равны нулю, ибо иначе квадратичная форма А(х, х) была бы тождественно равной нулю, мы же предполагаем (см. п. 1 § 1 этой главы), что эта форма ненулевая.
Оставим в выражении (7.98) лишь те слагаемые в первой сумме, которые отвечают ненулевым собственным значениям, а затем произведем такую перенумерацию базисных векторов, чтобы первым р базисным векторам е₁ ‘ . е_р‘ отвечали все ненулевые собственные значения λ₁, λ ₂. λ_р (отметим, что р = rang А). Очевидно, после этого уравнение (7.98) может быть переписано следующим образом:

(здесь 0 n , λ₁ ≠ 0, . λ_р ≠ 0; кроме того, мы специально выделили первые р слагаемых второй суммы в уравнении (7.98)).
Проведем теперь следующие преобразования.
1°. Для каждого номера k , 1 ≤ k ≤ р, объединим слагаемые с этим номером из первой и второй суммы в (7.105) и затем проделаем следующие преобразования (при этом мы учитываем, что λ _k ≠ 0):

Очевидно, после этих преобразований (7.105) запишется следующим образом:

где постоянная с’ определяется равенством

Осуществим теперь параллельный перенос по формулам

В результате уравнение (7.106) перейдет в уравнение

причем с’ определяется по формуле (7.107).
2°. Будем искать теперь такое преобразование ортонормированного базиса < e_k‘ >, при котором первые р базисных векторов е₁ ‘ . е_р‘ не меняются, за счет же изменения базисных векторов е_р+1 ‘ . е _n ‘ попытаемся преобразовать слагаемое к виду 2 μх »’_n , где х »’_n — n -я координата в новом базисе. Отметим, что при такого вида преобразованиях свободный член с ‘ не меняется.
Заметим, во-первых, что если все коэффициенты b_k‘ в (7.108) равны нулю, то цель преобразования п. 2° достигнута — слагаемое имеет вид 2 μх »’_n , где μ = 0.
Итак, будем считать, что по крайней мере один из коэффициентов b_k‘ в сумме отличен от нуля. Тогда мы можем рассматривать эту сумму как некоторую линейную форму В»(х), заданную в подпространстве V», которое представляет собой линейную оболочку векторов е ‘ _р+1. е ‘ _n . Согласно лемме п. 1 §4 гл.5 эта форма в указанном подпространстве может быть представлена в виде В»(х) = (h, x), где h — некоторый вектор подпространства V». Если мы теперь в подпространстве V» направим единичный вектор е» _n по вектору h, так что h = μ е» _n , а векторы е » _р+1. е »_n-1 выберем так, чтобы система е » _р+1. е »_n-1 , е» _n была базисом в V » , то, очевидно, в этом базисе В»(х) = (h, x) = μ (е» _n , x) = х »’_n , поскольку (е» _n , х) = х »’_n . Таким образом, выбирая в V» базис описанным выше способом, мы преобразуем к виду μх »’_n .
Итак, можно указать такое преобразование базиса е ‘ ₁. е’ _n в ортонормированный базис е » ₁. е ‘ ‘ _n (при этом преобразовании векторы е ‘ ₁. е’_р остаются неизменными), что уравнение (7.108) примет следующий вид (при этом мы заменим обозначение координат х »’_k на х_k):

Отметим, что в уравнении (7.109) не исключается случай μ = 0.
Уравнение (7.109) называется каноническим уравнением нецентральной гиперповерхности второго порядка.
С помощью канонического уравнения (7.109) дадим следующую классификацию нецентральных гиперповерхностей. Возможны следующие случаи.
1°. μ ≠ 0, р = rang А = n — 1.
В этом случае последние два слагаемых в уравнении (7.109) запишем в виде и сделаем параллельный перенос по направлению оси х _n на величину -с ‘/2 μ . Чтобы не осложнять запись, не будем при этом менять обозначение координат. В результате каноническое уравнение (7.109) примет вид

Гиперповерхности второго порядка, каноническое уравнение которых имеет вид (7.110), называются параболоидами.
2°. μ = 0, р = rang А n .
В этом случае каноническое уравнение G.109) перепишется так:

Очевидно, в подпространстве, являющемся линейной оболочкой векторов е ‘ ₁. е’_р, уравнение (7.111) представляет собой каноническое уравнение центральной поверхности S ‘ второго порядка. Чтобы получить представление о гиперповерхности S во всем пространстве, нужно в каждой точке поверхности S ‘ поместить плоскость, параллельную плоскости V» (линейная оболочка векторов е ‘ _р+1 . е ‘_n ). Геометрическое место таких плоскостей образует поверхность S.
Таким образом, поверхность S представляет собой центральный цилиндр с направляющей поверхностью S ‘ , определяемой уравнением (7.111), и образующими плоскостями, параллельными плоскости V».
3°. μ ≠ 0 , р = rang А n — 1.
Поступая так же, как и в случае 1°, мы приведем каноническое уравнение (7.109) к виду

Очевидно, что в подпространстве, представляющем собой линейную оболочку векторов е ‘ ₁. е’_р . е’ _n , уравнение (7.112) определяет параболоид S’ (см. случай 1°). Чтобы получить представление о строении гиперповерхности S во всем пространстве, нужно в каждой точке S’ поместить плоскость, параллельную плоскости V» (линейная оболочка векторов е ‘ _р+1 . е ‘_{n -1}). Геометрическое место таких плоскостей образует поверхность S.
Таким образом, поверхность S представляет собой параболоидалъный цилиндр с направляющей поверхностью S’, определяемой уравнением (7.112), и образующими плоскостями, параллельными плоскости V».

Понятие гиперповерхности второго порядка

Понятие гиперповерхности второго порядка

• Понятие квадратичной гиперповерхности. Пусть V- n-мерное вещественное евклидово пространство. Назовите этот вектор х для геометрической ясности Космическая точка Квадратичная гиперповерхность S называется геометрией Локус точки x, удовлетворяющий уравнению вида A (x, x) + 2H (x) + c = 0, G.62)

• Где A (x, x) — квадратичная форма, которая не равна нулю. B (x) имеет линейную форму, а c — действительное число. Уравнение G.62) называется общим уравнением гиперповерхности Вторичный. В пространстве V выберите ортонормированный ZIS . Координаты этого базового вектора x (точка x) К (xi, x2, …, xn). Тогда см. Подраздел 2 § 1 этой главы.

Форма А (х, х) N A (x, x) = ^ 2 ajkXjXk, G.63) где ajk = A (e, ek) G.64) A (ej, e /,) — значение симметричного билинейного вектора e ^ и e & Форма A (x, y), полярная вторичная форма A (x, x). Людмила Фирмаль

Линейная форма B (x) указанного базиса имеет вид Вид 8) N фк = л Поэтому общее квадратное уравнение гиперповерхности Выдающаяся база евклидова пространства V Он представлен в следующем формате: ^ 2 ajkXjXk + 2 ^ 2 bk% k + С = 0. G.66) j, k = l k = 1 Я согласен со следующими условиями: Член A (x, x) = Yl ^ k = iajkxjxk называется группой Расширенный термин в уравнении G.62) или G.66).

Термин группа B (x) + c = Y7k = ibkxk + c называется Линейная часть уравнения G.62) или G.66). Далее рассмотрим матрицу \ / ai … a1n b \ \ a1n \ / ( А Б = ap \ … app op V bi ••• bn c) G.67) … приложение оп ••• бн в) Детерминанты det A и detB этих матриц. 8) гл. По лемме 1§4. 5 может представлять линейную форму B (x) Лена в виде B (x) = (x, b). Где b постоянный вектор.

Указывает на би, 62, •••, млрд Учитывая ортонормированность координат вектора b и базиса , B (x) представление в формате G.65). Исследование квадратичных гиперповерхностей, которые будут реализованы Запустите, используя метод, аналогичный тому, который использовался в анализе.

• Геометрия в исследовании вторых кривых и поверхностей Порядок определяется общим уравнением. Идея этого метода Декартова система координат на плоскости (для второй кривой) Порядок) или в пространстве (для квадрических поверхностей) Максимальное упрощение кривых или поверхностных уравнений STI Далее, изучая это уравнение, геометрия Кривая или поверхностная ричность.

Кроме того, список Возможны все типы простых (канонических) кривых уравнений Или вы можете отсортировать по квадратной поверхности. Чтобы использовать этот метод в многомерном случае, сначала Я должен изучить такое n-мерное преобразование (отображение) Евклидово пространство Декартовы.

Декартовы координаты для 2 и 3 Измерение. Людмила Фирмаль

Такие преобразования для n измерений параллельны Ортогональная базовая передача и такие преобразования База переведена на новую ортонормированную основу. точный Определения этих преобразований описаны в следующем разделе. Очевидно, квадратичная гиперповерхность Как геометрический объект в пространстве V.

Вышеуказанное преобразование формы выполняется. Отображается ниже G.62) (или G.66)) для каждого уравнения вида Выберите ортонормированную основу, которая является источником В U это уравнение, записанное в координатах относительно новых координат База максимально проста, так Можно показать 2D и 3D геометрические свойства Хроники таких поверхностей и дать им классификацию.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Линии и поверхности уровня

Содержание:

Линии и поверхности уровня

Понятие линии и поверхности уровня:

Для характеристики функций двух переменных вводится понятие линий уровня.

Определение 2. Линией уровня функции z = f (x, y) называется совокупность всех точек на плоскости Oxy, для которых выполняется условие f (x, y) = C.

Линии уровня можно получить, пересекая поверхность z = f (x, y) плоскостями z = C, где С = соnst.

Пример 1. Найти линии уровня функции z = x 2 + y 2 .

Решение.
Пусть z = C. x 2 + y 2 = C (C ≥ 0),

В этом случае линиями уровня является множество концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С (рис. 2) .Аналогично вводится понятие поверхности уровня для функции трех переменных u = f (x, y, z), (f (x, y, z) = C).

Пример 2. Найти поверхности уровня функции u = x 2 + y 2 + z 2 .

Решение. Пусть u = C. Тогда x 2 + y 2 + z 2 = C (C ≥ 0) — это множество сфер с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом C.

Поверхности второго порядка

Наиболее изучены поверхности в курсе аналитической геометрии — поверхности второго порядка. В общем случае уравнение такой поверхности имеет вид:
a₁₁ x 2 + 2a₁₂ xy + a₂₂ y 2 + 2a₁₃ xz + 2a₂₃ yz + a₃₃ z 2 + 2a₁₄ x + 2a₂₄ y + 2a₃₄ z + a₄₄ = 0.

В зависимости от значений коэффициентов получают различные поверхности второго порядка.

Например:
1) — конус;

2) — полусфера;

Рис. 4.

3) — эллиптический параболоид;

Рис. 5.

4) — гиперболический параболоид;

рис.6

5) — трехосный эллипсоид.

Рис. 7.

Для изучения поверхностей в трехмерном пространстве применяется метод сечений. Суть этого метода такова: пересекаем заданную поверхность плоскостями x = C₁, y = C₂, z = C₃. В результате получим некоторые кривые, характеризующие поверхность.

Пример 3. z = x 2 + y 2 . Пусть z = C₁ (C₁ ≥ 0). Получим уравнение x 2 + y 2 = C₁ (уравнение окружности). Положим y = C₂ , тогда — уравнение параболы в плоскости Оxz, которая смещена на единиц вверх по оси Oz. Положим x = C₃ , получим уравнение
Получили уравнение параболы в плоскости Оyz, которая смещена на единиц вверх по оси Оz. Из этих исследований вытекает, что графиком функции z = x 2 + y 2 является параболоид вращения вокруг оси Оz.

Гиперповерхности уровня

Пусть задана функция от n переменных u = f (x₁, x₂, . x_n) . Если положить u = C, то получим уравнение f (x₁, x₂, . x_n) = C, которое называется уравнением гиперповерхности уровня в пространстве R n . Например: Если u = C, то уравнение является уравнением гиперсферы в R n с центром в точке O (0,0, . 0) и радиусом .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.