Уравнение главной нормали и бинормали

VMath

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Содержание

Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе

Краткие теоретические сведения

Кривая в пространстве

Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $\gamma$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

\begin \vec=\vec(t_0), \quad x_0=x(t_0),\, y_0=y(t_0), \, z_0=z(t_0). \end

Пусть в точке $M$ $ \vec(t_0)\neq\vec<0>$, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $\vec(t_0)$.

Пусть $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

Здесь $\lambda\in(-\infty,+\infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $\lambda$ будут соответствовать разные значения $\vec$).

Если $\vec=\$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

Нормальная плоскость

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $\vec-\vec(t_0)$ и $\vec(t_0)$:

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

\begin x'(t_0)\cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)\cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)\cdot(Z-z(t_0))=0. \end

Соприкасающаяся плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ параллельно векторам $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $\vec-\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$:

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

\begin \left| \begin X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \\ x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\\ x»(t_0) & y»(t_0) & z»(t_0) \\ \end \right|=0 \end

Бинормаль и главная нормаль

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ \vec(t_0)\times\vec(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

Как и раньше, $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $\vec(t_0) \times\left[\vec(t_0),\vec(t_0)\right]$:

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Спрямляющая плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $\vec-\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)\times\vec(t_0)$: \begin \left(\vec-\vec(t_0),\, \vec(t_0),\, \vec(t_0)\times\vec(t_0)\right)=0. \end Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Репер Френе

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ \vec<\tau>=\frac<\vec(t_0)><|\vec(t_0)|>. $$ Орт бинормали: $$ \vec<\beta>=\frac<\vec(t_0)\times\vec(t_0)><|\vec(t_0)\times\vec(t_0)|>. $$ Орт главной нормали: $$ \vec<\nu>=\frac<\vec(t_0) \times[\vec(t_0),\,\vec(t_0)]><|\vec(t_0) \times [\vec(t_0),\,\vec(t_0)]|>. $$

Правая тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ называется репером Френе.

Решение задач

Задача 1

Кривая $\gamma$ задана параметрически:

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Решение задачи 1

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

\begin 1\cdot X+0\cdot Y+1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X+Z=1. \end

\begin \left| \begin X-0 & Y-0 & Z-1 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1 \\ \end \right|=0 \end Раскрываем определитель, получаем уравнение: \begin -2X-Y+2Z-2=0 \end

\begin 1\cdot X-4\cdot Y-1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X-4Y-Z+1=0. \end

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $\vec<\tau>\times\vec<\beta>$ направлен так, что тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\beta>$, $\vec<\nu>=\vec<\tau>\times\vec<\beta>$

— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

Теперь тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\tilde<\beta>>$ образует репер Френе для кривой $\gamma$ в точке $M$.

Задача 2

Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,\,\, y=\frac<2>,\,\, z=\frac<3>, $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.

Решение задачи 2

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $\gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)\in\gamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, поэтому записываем определитель \begin \left| \begin X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \\ &&\\ 1 & t_0 & t^2_0 \\ &&\\ 0 & 1 & 2t_0 \end \right|=0 \quad \Rightarrow \end

\begin (X-t_0)\cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)\cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. \end Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: \begin 9-t_0^3/3=0 \quad \Rightarrow \quad t_0=3. \end Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Задача 3

Через точку $P\left(-\frac45,1,2\right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,\,\, y=1+t,\,\, z=2t. $$

Решение задачи 3

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $\vec(t_0)$ и $\vec(t_0)\times\vec(t_0)$.

Записываем уравнение спрямляющей плоскости: \begin \left| \begin X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \\ 2t_0 & 1 & 2\\ 0 & 4 & -2 \end \right|= 0 \end

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: \begin 5t_0^2-8t_0-4=0 \,\, \Rightarrow \,\, t_<01>=2,\, t_<02>=-\frac25. \end

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: \begin & 5X-4Y-8Z+24=0,\\ & 25X+4Y+8Z=0. \end

Нормальная плоскость и главная нормаль кривой

Нормальная плоскость.

Плоскость \(\mathcal

\), проходящую через точку $M_<0>$ кривой $\Gamma$ и перпендикулярную касательной к этой кривой в точке $M_<0>$, называют нормальной плоскостью кривой $\Gamma$ в точке $M_<0>$.

Рис. 22.5

Если кривая $\Gamma$ задана уравнением в векторной форме
$$
\Gamma=<\textbf=\textbf(t),\ \alpha\leq t\leq\beta>,\label
$$
где
$$
\textbf=(x,y,z),\quad \textbf(t)=(x(t),y(t),z(t)),\nonumber
$$
$t_<0>\in[\alpha,\beta]$, $\overrightarrow=\textbf(t_0)$ и $\textbf‘(t_0)\neq 0$, то вектор $\textbf‘(t_0)$ параллелен касательной к кривой $\Gamma$ в точке $M_<0>$. Пусть $M$ — произвольная точка нормальной плоскости \(\mathcal

\) (рис. 22.5), $\overrightarrow=\textbf$. Тогда вектор $\overrightarrow_<0>=\textbf-\textbf(t_0)$ перпендикулярен вектору $\textbf‘(t_<0>)$, и поэтому уравнение нормальной плоскости \(\mathcal

\) к кривой $\Gamma$ в точке $M_<0>$ можно записать в виде
$$
(\textbf-\textbf(t_<0>),\textbf‘(t_<0>))=0\nonumber
$$
или
$$
(x-x(t_<0>))x'(t_0)+(y-y(t_<0>))y'(t_<0>)+(z-z(t_0))z'(t_0)=0.\nonumber
$$

Главная нормаль.

Любую прямую, лежащую в нормальной плоскости \(\mathcal

\) к кривой $\Gamma$ в точке $M_<0>$, называют нормалью кривой $\Gamma$ в точке $M_<0>$. Среди всех нормалей выделяют одну — главную нормаль.

Понятие главной нормали требует введения дополнительных ограничений на вектор-функции, с помощью которых записываются уравнения кривых. Пусть $\Gamma$ — гладкая кривая, заданная уравнением \eqref, причем для всех $t\in[\alpha,\beta]$ существует $\textbf″(t)$. В этом случае говорят, $\Gamma$ — дважды дифференцируемая кривая без особых точек.

Если $\Gamma$ — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением \eqref, $s$ — переменная длина дуги кривой $\Gamma$, то существуют $\displaystyle \frac>$ и $\displaystyle \frac\textbf>>$ и справедливы равенства
$$
\frac>=\frac<\textbf‘(t)>,\label
$$
$$
\fracr\textbf<>>>=\frac″(t)-s″(t)\textbf‘(t)><(s(t))^<3>>.\label
$$

$\circ$ Применяя правило дифференцирования вектор-функции при замене переменного, получаем формулу \eqref:
$$
\frac>=\frac>

\frac

=\frac>

\frac<1>=\frac<\textbf‘(t)>.\nonumber
$$
Используя формулу \eqref и правило дифференцирования произведения векторной функции на скалярную, находим
$$
\frac\textbf>>=\frac

\left(\frac>\right)\frac

=\frac

\left(\frac<\textbf‘(t)>\right)\frac<1>=\left(\frac<\textbf″(t)>-\frac‘(t)><(s(t))^<2>>\right)\frac<1>,\nonumber
$$
откуда следует формула \eqref.

Перейдем к определению главной нормали. Будем считать, что $\Gamma$ — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением \eqref. Тогда существуют $\displaystyle \frac>$ и $\displaystyle\frac\textbf>>$, причем $\displaystyle \frac>$ — единичный вектор в силу данного утверждения. Обозначим этот вектор буквой $\tau$. Тогда
$$
\frac>=\tau,\quad |\tau|=1,\label
$$
и поэтому (см. данный пример) вектор $\displaystyle \frac=\frac\textbf>>$ ортогонален вектору $\tau$.

Пусть $\nu$ — единичный вектор, параллельный вектору $\displaystyle \frac$. Тогда
$$
\frac=k\nu,\quad|\nu|=1,\label
$$
причем вектор $\nu$ ортогонален вектору $\tau$.

Так как вектор $\tau=\displaystyle \frac>$ параллелен вектору касательной $r'(t)$ к кривой $\Gamma$ в силу равенства \eqref, то из \eqref следует, что вектор $\nu$ параллелен нормальной плоскости кривой $\Gamma$ в точке $M$ ($\overrightarrow=r(t)$). Поэтому вектор $\nu$ параллелен одной из нормалей кривой $\Gamma$ в точке $M$. Эту нормаль называют главной.

Итак, если в точке $M\in\Gamma$ выполняется условие \eqref, то нормаль к кривой $\Gamma$ в точке $M$, параллельная вектору $\nu$ (формула \eqref), называется главной нормалью.

Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Пусть 7 — регулярная кривая, Мо — точка кривой 7, П — плоскость, проходящая через касательную MoT кривой 7 в точке Мо. Пусть М — точка кривой 7, близкая к точке Мо, и Р — ортогональная проекция точки М на плоскость П (рис.31). Обозначим через h длину отрезка MP и через d — длину отрезка МоМ. Плоскость П называется соприкасающейся плоскостью кривой 7 в точке Мо, если отношение стремится к нулю при Геометрическое пояснение.

Среди всех плоскостей, проходяших через касательную к кривой в точке Мо, соприкасающаяся плоскость наиболее? есно прим ыкает к кривой в некоторой (малой) окрестности это Й точки. Пусть кривая 7 задана векторным уравнением и точка М0 кривой 7 отвечает значению to параметра. Если векторы неколлинеарны, то в точке Мо существует и притом ровно одна соприкасающаяся плоскость (рис. 32). Вектор г»(/о) Рис.32 второй производной вектора r(t) кривой лежит в соприкасающейся плоскости.

Поэтому соприкасающуюся плоскость кривой называют также плоскостью ускорений. Если кривая 7 задана в координатной форме Кривизна и кручение пространственной кривой Формулы Френе понятие гладкой поверхности Способы задания то уравнение соприкасающейся плоскости записывается в виде Нормаль кривой 7 в точке Мо, лежащая в соприкасающейся плоскости По кривой в этой точке, называется главной нормалью кривой в точке Мо, а нормаль кривой 7, перпендикулярная соприкасающейся плоскости По. называется бинормалью кривой 7 в точке Мо.

Плоскость, проходящая через касательную и бинормаль кривой 7 в точке Мо, называется спрямляющей плоскостью кривой 7 в точке Мо. Лрииар 1. Найти главную нормаль и бинормаль, соприкасающуюся и спрямляют ую плоскости аинтояой линии . Начнем с ураанаиия сопри касающейся плоскости. И МММ Так мак бинормаль перпендикулярна соприкасающейся плоскости , то ее каноничесяиа уравнения записываются следующим обр ааом:

Вычисли м теперь направляющий аактор главной нормали. Имеем Заменяя найден иый вектор на коллинеариый получаем канонические уравнения главной нормали : Наконец, — уравнение спрВмлющай плоосости , перпендикулярной главной нормали. (Первой) кривизной fcj кривой 7 в точке Мо называется предел отношения при М -» Мо, где ДА — наименьший угол между ка-сательн ыми к кривой 7 в ее точках Мо И М, а Да — длина дуги ^М0М (рис. 33).

Кривизна кривой измеряет скорость ее отклонения от касательн ой. Кривизна прямой равна нулю в каждой ее точке. /» Если — естественная параметризация кривой 7, то ее кривизна к\ вычисляется по формуле Вектор г»(«) называется вектором кривизны кривой. Он ортогонален единичному вектору касательной г'(«), а его длина равна кривизне кривой. .

В случае произвольной параметризации и кривизна2-регулярной кривой находится по формуле Пример 2. вектор кривизны винтовой линии Поэтому кривим винтов ой линии постол ни»: Пусть Мо — точка кривой у, отвечающая значению to естественного параметра, и — единичный вектор касательной кривой у в этой то же. Если точка Мо не является точкой распрямления кривой у» fciM/О.то формулой определен единичный вектор главной нормали кривой в этой точке.

Векторное произведение является единичным вектором бинормали кривой у (рис. 34).

В случае произвольнойпараметризаци и векторы t, п и b вычисляются по формулам Три луча, исходящие из точки М0 и имеющие направления, задаваемые векторами to, по и bo, образуют сопровождающий триэдр кривой у в точке Мо (рис. 34). Пример 3. Для винтовой линии b(,)= Обозначим через Д в наименьший угол между соприкасающимися плоскостями По и П кривой 7 в точке Мо и близкой ей точке М соответственно (этот угол совпадает с наименьшим углом ме.жду бинормалями кривой в точках А/о и М), а через Дз — длину дуги ^MqM кривой 7 (рис. 35).

Кручением к2 кривой 7 в точке М0 называется предел отношения ^ при , снабженный знаком в соответствии со следующим правилом выбора знаков: если векторы сонаправлены (они всегда коллинеарны), то выбирается знак (вращение соприкасающейся плоскости происходит от вектора п к вектору если векторы ип противоположно направлены, то выбирается знак « + » (вращение соприкасающейся плоскости происходит от вектора b к вектору п) (рис. 36).

Кручение кривой определено в любой точке 3-регулярной кривой, не являющейся точкой распрямления, и измеряет скорость отклонения кривой от соприкасающейся плоскости. Кручение плоской кривой равно нулю в каждой точке. Если Кривизна и кручение пространственной кривой Формулы Френе понятие гладкой поверхности Способы задания — естественная параметризация кривой, то ее кручение вычисляется по формуле В случае произвольной параметризации имеем Пример 4.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Кручение винтовой линии постоянно

Вектор Дарбу является вектором мгновенной угловой скорости сопровождающего трехгранника при движении точки по кривой с единичной скоростью. Пример 8. Вектор Дарбу винтовой линии •параллелен оси винтовой линии (рис. 37). Единичные векторы касательной главной нормали п(«) и бинормали b(e) кривой 7 и ее кривизна к\(в) и кручение ki(a) в каждой точке связаны соотно шениями называемыми уравнениями Френе. «

Выберем в пространстве прямоугольную декартову координ етную систему Охух так, чтобы начало координат — точка О — совпадало с точкой Мо кривой 7, отвечающей энрч ению «о = 0 естественного параметра, а ортами координатных осей Ох, Оу и Ох были единичные векторы Раскладывая векторную функцию г(в) в окрестности точки «о = 0 по степеням * и сохраняя лишь главные члены, получимуравнения кривойблизкой кривой 7:

Где Записывая последние соотношения в координатной форме и предполагая , убеждаемся в том, что проекции кривой общий вид которой показан на.рис.38, на координатные плоскости имеют следующий вид (рис. 39): на соприкасающуюся плоскость (рис. 39 а); на спрямляющую плоскость (рис. 39 б); на нормальную плоскость (рис. 39в). §5. Понятие гладкой поверхности.

Способы задания Пусть I? — ограниченная плоская область, 0D — ее граница и I) = D U 6D — оамыка ние области Д, Введем на плоскости координатную систему (u, v) и зададим на множестве Ъ три непрерывные функции с Пусть ж прямоугольные декартовы координаты точек в трехмерном евклидовом пространстве R3.

Предположим, что функции (1)

обладают следующим свойством: Сюйстю А. Если — различные точки множества!?» тоточки пространства R1, координаты которых вычисляются по формулам также различны. Определение. Множество 5 точек Af, координаты у и * которых определяются соотношениями (1) и функции ) обладают свойством А, называется простой поверхностью (рис. Множество точек М с координатами , — образ границы QD области D — называется границей простой поверхности 5.

Овоаиечение:

Соотношения (1) называются параметрическими уравнениями простой поверхно- сти. . Пример 1. График непрерывной функции является примером простой поверхности (рис. 41). Ее параметрические уравнения имеют вид одеФяап ып яктеодг — Пусть I, J и к — орты координатных осей. Тогда задание поверхности 5 при помощи фунхиий (1) равносильно заданию одной векторной функции — В этом случае говорят, что поверхность S задана векторным уравнением.

Простая поверхность 5 называется гладкой в точке Мо, отвечающей значениям и параметров, если функции имеют д точке («о, ^ непрерывныепроизводные. v Точка Ма гладкой поверхности 5 называется обыкновенной, или регулярной, если В противном случае точк!» А/о называется особой. , Поверхность называется регулярной, если условие (3) выполняется в каждой ее точке. Часто условие (3) удобнее записывать в равносильной форме Пример 2.

График гладкой функции является регулярной поверхностью, так как всегда Пример 3. У конической поверхности, задаваемой уравнениями все точки, кроме точки 0(0,0,0) (при и = 0, v — 0), регулярна (рис.42). В точке О имеем Другим распространенным способом задания поверхности является неявный способ задания поверхности какмножества 5 точек М .координаты х,уиг которых обращают в тождество уравнение Кривизна и кручение пространственной кривой Формулы Френе понятие гладкой поверхности Способы задания

Если гладкая фунщия своих аргументов, причем , то поверхность 5 будет регулярной. Пример 4. Сфера является регулярной поверхностью: в каждой точке. Пусть 5 — простая поверхность, Мо и М — различные ее точки. Плоскость П, проходящая через точку Мо, называется касательной к поверхности 5 в точке Мо, если при стремлении переменной точки М к точке Мо (по произвольному закону) угол между прямой МоМ и плоскостью П сгремится к нулю (рис. 43).

Пусть — векторное уравнение регулярной поверхности 5 и М0 — точка поверхности 5, отвечающая значениях! ио и v0 параметров и и v. Вычислим векторы ru(uo, vo) и г„(и0, vo), отложим их от точен Мо и проведем через точку Мо плоскость П, содержащую эти векторы. Построенная плоскость П будет касательной плоскостью поверхности в точке М0 (рис. 44), В каждой точке регулярной поверхности существует и притом ровно одна касательная плоскость.

Прямая, проходящая через точку Мо регулярной поверхности 5 и пер-пендакулярная касательной плоскости поверхности в этой точке, называется нормалью к поверхности 5 в точке М0; — вектор нормали. Рнс. 44 Пример S. Написать уравнения касательной плоскости и нормали поверхности, заданной уравнением Вычислим вектор нормали в точке Л/о- Имеем равнение касательной плоскости поверхности в точке (х

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

источники:

http://univerlib.com/mathematical_analysis/derivative/normal_plane/

http://natalibrilenova.ru/krivizna-i-kruchenie-prostranstvennoj-krivoj-formulyi-frene-/