VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе
Краткие теоретические сведения
Кривая в пространстве
Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $\gamma$.
Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:
\begin
Пусть в точке $M$ $ \vec
Касательная к кривой
Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $\vec
Пусть $\vec
Здесь $\lambda\in(-\infty,+\infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $\lambda$ будут соответствовать разные значения $\vec
Если $\vec
Нормальная плоскость
Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.
Пусть $\vec
Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:
\begin
Соприкасающаяся плоскость
Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ параллельно векторам $\vec
Если $\vec
Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:
\begin
Бинормаль и главная нормаль
Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.
Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.
Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.
Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.
Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ \vec
Как и раньше, $\vec
Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $\vec
Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.
Спрямляющая плоскость
Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.
Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.
Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $\vec
Репер Френе
Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ \vec<\tau>=\frac<\vec
Правая тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ называется репером Френе.
Решение задач
Задача 1
Кривая $\gamma$ задана параметрически:
Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.
Решение задачи 1
Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.
Начнем с производных.
\begin
\begin
\begin
Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $\vec<\tau>\times\vec<\beta>$ направлен так, что тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\beta>$, $\vec<\nu>=\vec<\tau>\times\vec<\beta>$
— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть
Теперь тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\tilde<\beta>>$ образует репер Френе для кривой $\gamma$ в точке $M$.
Задача 2
Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,\,\, y=\frac
Решение задачи 2
Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $\gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)\in\gamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.
Найдем значение параметра $t_0$.
Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.
Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $\vec
\begin
Задача 3
Через точку $P\left(-\frac45,1,2\right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,\,\, y=1+t,\,\, z=2t. $$
Решение задачи 3
Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.
Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $\vec
Записываем уравнение спрямляющей плоскости: \begin
Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: \begin
Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: \begin
Нормальная плоскость и главная нормаль кривой
Нормальная плоскость.
Плоскость \(\mathcal
\), проходящую через точку \(M_<0>\) кривой \(\Gamma\) и перпендикулярную касательной к этой кривой в точке \(M_<0>\), называют нормальной плоскостью кривой \(\Gamma\) в точке \(M_<0>\).
Рис. 22.5
Если кривая \(\Gamma\) задана уравнением в векторной форме \) (рис. 22.5), \(\overrightarrow \) к кривой \(\Gamma\) в точке \(M_<0>\) можно записать в виде Любую прямую, лежащую в нормальной плоскости \(\mathcal \) к кривой \(\Gamma\) в точке \(M_<0>\), называют нормалью кривой \(\Gamma\) в точке \(M_<0>\). Среди всех нормалей выделяют одну — главную нормаль. Понятие главной нормали требует введения дополнительных ограничений на вектор-функции, с помощью которых записываются уравнения кривых. Пусть \(\Gamma\) — гладкая кривая, заданная уравнением \eqref Если \(\Gamma\) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением \eqref \(\circ\) Применяя правило дифференцирования вектор-функции при замене переменного, получаем формулу \eqref Перейдем к определению главной нормали. Будем считать, что \(\Gamma\) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением \eqref Пусть \(\nu\) — единичный вектор, параллельный вектору \(\displaystyle \frac Так как вектор \(\tau=\displaystyle \frac Итак, если в точке \(M\in\Gamma\) выполняется условие \eqref Вы будете перенаправлены на Автор24 Касательная — прямая которая совпадает и проходит через точку кривой с точностью до первого порядка. Нормаль к кривой — прямая перпендикулярно проходящая через точку касания. Рисунок 1. Нормаль и касательная к кривой Для кривой вида y = f(x) уравнение касательной в точке М(x0,y0): Для кривой вида y = f(x) уравнение касательной в точке М(x0,y0): Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой $x_0=1$: Угол между двумя кривыми в точке М(x0,y0) является наименьшим из возможных углов между касательными. Пусть уравнения касательных имеют вид: Тогда тангенс угла между двумя кривыми находится по формуле: Найти тангенс угла между кривыми, в точке имеющей большую абсциссу. Значит, кривые пересекаются в точках 0,5 и 2. Максимальной, из которых, является точка x = 2. Длина отрезка от пересечения касательной оси ОХ до пересечения с нормалью или кривой называется длиной касательной. Проекция отрезка от пересечения касательной оси ОХ до пересечения с нормалью или кривой на ось Ох называется подкасательной (ST). Длина отрезка от пересечения нормали с касательной или кривой до точки соприкосновения с осью Ох называется длиной нормали, а проекция отрезка на ось — поднормалью (SN). Найти длину подкасательной и поднормали для эллипса x = acost, y = bsint Рисунок 2. Эллипс Получи деньги за свои студенческие работы Курсовые, рефераты или другие работы Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 12 2021 http://univerlib.com/mathematical_analysis/derivative/normal_plane/ http://spravochnick.ru/matematika/proizvodnaya_i_differencial/geometricheskoe_primenenie_proizvodnoy/
$$
\Gamma=<\textbf
$$
где
$$
\textbf
$$
\(t_<0>\in[\alpha,\beta]\), \(\overrightarrow
$$
(\textbf
$$
или
$$
(x-x(t_<0>))x'(t_0)+(y-y(t_<0>))y'(t_<0>)+(z-z(t_0))z'(t_0)=0.\nonumber
$$Главная нормаль.
$$
\frac,\label
$$
$$
\frac″(t)-s″(t)\textbf
$$
$$
\frac=\frac<\textbf.\nonumber
$$
Используя формулу \eqref
$$
\frac\right)\frac<1>=\left(\frac<\textbf-\frac‘(t)><(s(t))^<2>>\right)\frac<1>,\nonumber
$$
откуда следует формула \eqref
$$
\frac
$$
и поэтому (см. данный пример) вектор \(\displaystyle \frac
$$
\frac
$$
причем вектор \(\nu\) ортогонален вектору \(\tau\).Геометрическое применение производной
Что такое касательная и нормаль к кривой
Для того чтобы определить точки пересечения кривых необходимо решить систему уравнений: \[\left\<\begin
Готовые работы на аналогичную тему
Что такое длина касательной и нормали, подкасательная и поднормаль