Уравнение годографа скорости в декартовой системе координат

Уравнение годографа вектора скорости

Уравнение годографа вектора скорости

• Уравнение движения декартовой точки известно. Получить уравнение годографа вектора скорости. На фиг. 9а показана траектория в момент времени и несколько векторов скорости в различные моменты времени в выбранном масштабе.

Регулярная прецессия гироскопа характеризуется собственным вращением и постоянной угловой скоростью прецессии, причем прецессия образуется вокруг оси в определенном направлении и под определенным углом. Людмила Фирмаль

На рисунке 9б показан годограф этого вектора скорости движения. Точка M (x, y, z) на траектории соответствует точке M (…, zj) на годографе вектора скорости. Согласно определению годографа, координаты точки Л / представляются проекцией вектора скорости на координатную ось OjXjjjjZi по формуле.

• Если ось координат годографа вектора скорости параллельна оси относительных координат с учетом точечного уравнения движения, Z T М / х, у, зл Рисунок 9 rX) = vx = x; v „t = vy = y; vZt = vz = z. Параметрическое уравнение годографа вектора скорости имеет вид: Xj = x; yt = y; zr = z. Удаление параметра t из этих уравнений дает уравнение годографа для вектора скорости в координатной форме.

При получении постоянной вращающейся траектории вместо вертикального приближения Asym, как описано выше, получается наклонная асимптота в том или ином направлении в зависимости от направления вращения. Людмила Фирмаль

Годограф вектора скорости обеспечивает визуальное представление скорости движущейся точки в различные моменты времени. Кроме того, ускорение параллельно касательной к годографу вектора скорости, поэтому можно определить направление вектора ускорения.

Если вам потребуется помощь по теоретической механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Годограф скорости

ГОДОГРАФ СКОРОСТИ. Пусть точка перемещается по некоторой траектории АВ. В каждый момент времени вектор скорости (v) направлен по касательной к траектории в соответствующем положении точки, причем v = dr/dt, где r — радиус-вектор, определяющий положение точки на кривой по отношению к некоторой системе отсчета с произвольным началом О (фиг. 1). Вектор ускорения (а) равен производной вектора (v) по времени (t) а = dv/dt. Если от некоторой произвольной точки О₁ откладывать векторы h = v, то, при перемещении точки по своей траектории, вектор (h) будет менять в общем как свою абсолютную величину, так и направление, имея одно и то же начало О₁. Конец вектора (h) будет описывать кривую, называемую годографом скорости. Так как вектор (h) для кривой А₁В₁ играет ту же роль, что вектор (r) для кривой АВ, то скорость конечной точки вектора (h), при ее перемещении по А₁В₁, равна

Таким образом, видно, что вектор ускорения точки, движущейся по некоторой траектории, равняется в каждый момент соответствующему вектору скорости конца вектора, описывающего годограф скорости. Плоскость, касательная к годографу скорости и проходящая через (h), будет, очевидно, параллельна плоскости, проходящей через (а) и (v), т. е. она будет параллельна соприкасающейся плоскости кривой АВ.

При прямолинейном равномерном движении (v = Const) годограф скорости стягивается в одну точку. Если точка перемещается по кривой, имея одну и туже линейную скорость (v = Const), то годограф скорости представляет собой кривую, описанную на шаровой поверхности радиуса (v).

При плоском движении, годограф скорости — плоская кривая. Для свободной материальной точки, брошенной под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью v₀, имеем: v = v₀ + gt, где v — вектор скорости точки по истечении времени (t), а g = Const — вектор ускорения силы тяжести. Так как h₀ = v₀ = Const, а вектор (gt) сохраняет постоянно вертикальное направление, то конец вектора (h = v) постоянно лежит на вертикали, т. е. годограф скорости для рассматриваемого случая представляет собой вертикальную прямую (фиг. 2).

Если точка описывает конического сечение с постоянной секториальной скоростью относительно фокуса конического сечения, то годограф скорости представляет собой окружность. Годограф скорости впервые был рассмотрен Гамильтоном, а затем Мёбиусом.

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 5 — 1929 г.

Ускорение

Вы будете перенаправлены на Автор24

Средним ускорением $\left\langle a\right\rangle $ называется отношение приращения скорости $\triangle v=v\left(t+\triangle t\right)-v\left(t\right)\ $ к длительности промежутка времени $\triangle t$, в течение которого оно произошло: $\left\langle a\right\rangle =\frac<\triangle v><\triangle t>$

В декартовых координатах это уравнение эквивалентно системе трёх уравнений:

Модуль вектора ускорения

Конец вектора скорости $\overrightarrow$ при движении материальной точки описывает кривую, называемую годографом скорости (рис.2).

Рисунок 1. Годограф скорости

Ускорение в каждой точке годографа скорости направлено по касательной к годографу в этой точке. Следовательно, направление вектора ускорения $\overrightarrow$ в случае криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости $\overrightarrow$.

Рисунок 2. Касательное и нормальное ускорения

Касательное ускорение $\overrightarrow>$ указывает, насколько быстро изменяется скорость тела по модулю, а нормальное ускорение $\overrightarrow$ указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.

Из рис. 2 видно, что модуль полного ускорения $a=\sqrt+a^2_n>$

Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей (рис. 1.1.6).

Рисунок 3. Движение по дугам окружностей

Нормальное ускорение $\overrightarrow$ зависит от модуля скорости $\upsilon $ и от радиуса R окружности, по дуге которой тело движется в данный момент: $a_n= \frac$. Вектор $\overrightarrow$ всегда направлен к центру окружности.

Определить скорость, ускорение и координату x точки в момент времени, равный 10 c, если уравнение движения материальной точки имеет вид $x=A+Bt+Ct^2$ , где А= 8 м, В = 5 м/c, С = 2 м/c2.

А = 8 м; В = 5 м/с; С = 2 м/с2; t = 10 c. Найти: v — ?, a — ?, x — ?

Определяем координату x в заданный момент времени, подставив в уравнение движения материальной точки значения коэффициентов:

\[x=A+Bt+Ct^2=8+3\times 10+2\times <10>^2=238\ м\ \]

Определяем мгновенную скорость v материальной точки, как первую производную координаты по времени, и находим скорость материальной точки в заданный момент времени: $v=\dot=B+2Ct=5+2\times 2\times 10=45\ м/с$

Определяем ускорение a материальной точки, как первую производную от скорости по времени и находим ускорение материальной точки в заданный момент времени:

\[a=\dot=2C=2\times 10=20\ м/с^2\]

Ответ: В момент времени t = 10 c координата материальной точки х = 238 м, скорость материальной точки v = $45\ м/с$ , ускорение материальной точки а = $20\ м/с^2$

Готовые работы на аналогичную тему

Космический корабль движется в открытом космосе со скоростью $\overrightarrow$. Требуется изменить направление скорости на 90 градусов, оставив величину скорости неизменной. Найдите минимальное время, необходимое для такого манёвра, если двигатель может сообщать кораблю в любом направлении ускорение, не превышающее $a$. По какой траектории будет при этом двигаться корабль?

Перейдём в инерциальную систему отсчёта, движущуюся с постоянной скоростью $\overrightarrow$. Так как во всех инерциальных системах отсчёта при одинаковых начальных условиях все механические явления протекают одинаково (принцип относительности Галилея), то ограничение, наложенное в условии задачи на ускорение корабля, не изменится. В новой системе отсчёта начальная скорость космического корабля равна нулю, а конечная скорость по модулю равна $v\sqrt<2>$ и направлена под углом к первоначальному направлению движения.

Теперь ясно, что для совершения манёвра нужно включить двигатели так, чтобы при развороте корабля его ускорение было всё время направлено в сторону конечной скорости корабля, то есть под углом 45 градусов к первоначальному направлению движения. Тогда минимальное время манёвра будет равно $\tau =\frac<\triangle v>=\frac>$.

Выясним, по какой траектории будет двигаться корабль при манёвре. Для этого вернёмся в исходную систему отсчёта и направим координатную ось декартовой системы координат в направлении, обратном ускорению, а ось $X$ — перпендикулярно к ней, так, как показано на рисунке. Тогда закон движения в проекциях на эти оси примет вид:

Выражая из первого уравнения время и подставляя его во второе, получим уравнение траектории корабля: $y=x-\frac$ , то есть корабль будет двигаться по параболе, аналогично телу, брошенному по углом к горизонту.