Уравнение гомперца мейкема и его практическое применение

Гомперца-Мейкема формула

ГОМПЕРЦА-МЕЙКЕМА ФОРМУЛА, формула, устанавливающая связь между возрастом и интенсивностью смертности в данном возрасте. В качестве меры интенсивности обычно используется сила смертности μ(х).

Гомперца-Мейкема формула исходит из того, что

где а, b, с — параметры формулы.

Первый вариант формулы был предложен Б. Гомперцем в 1825 году:

Согласно Гомперцу, увеличение смертности с возрастом выступает как функция ослабления способности человека противостоять различного рода нарушениям. При этом предполагалось, что темп уменьшения этой способности характеризуется постоянной величиной с, а уровень смертности в каждом возрасте пропорционален (с коэффициентом пропорциональности b) такой ослабленной жизнеспособности человеческого организма. У. М. Мейкем в 1867 году расширил формулу (2), введя в нее компонент а — интенсивность смертности от причин, не зависящих от возраста.

Практика демографических расчетов свидетельствует о том, что Гомперца-Мейкема формула достаточно точно описывает рост силы смертности в возрастах старше 30-40 лет. Гомперца-Мейкема формула справедлива для многих биологических популяций.

Гомперца-Мейкема формула применяется в демографических расчетах для выравнивания и экстраполяции показателей таблиц смертности для старших возрастов, где в силу малой численности живущих и умерших прямой расчет показателей таблиц затруднен. При этом Гомперца-Мейкема формула преобразуется к виду:

ln px = A0 + B0cx (3)

где р — вероятность дожития (см. в ст. Таблицы смертности), т. е. вероятность для лица, достигшего некоторого возраста х, прожить еще один год. При этом А0 = — а, В0 = b*(1-c)/ln (c).

Параметры Гомперца-Мейкема формулы определяются на основе вероятностей р для возрастов, где они приняты достоверными, а в остальных возрастах рх рассчитываются по формуле (3). Простейший способ определения параметров Гомперца-Мейкема формулы — вычисление вероятности дожития px в трех равноотстоящих возрастах А, А + k, А + 2k, тогда

c = ((ln pA+2k — ln pA+k)/( ln pA+k — ln pA))1/k,

b0 = (ln pA+k — ln pA)/(cA * (ck — 1)),

Более совершенные методы определения параметров Гомперца-Мейкема формулы ориентированы на 5- или 10-летние вероятности дожития или на использование метода наименьших квадратов.

Другая область применения Гомперца-Мейкема формулы связана с попытками объяснения возрастных закономерностей смертности на основе содержательного толкования значений параметров а, b, с. Гипотеза исчерпания некоторого жизненного запаса прочности в качестве основного фактора старения и смерти существовала с древнейших времен, от первых попыток объяснить механизм старения. Современный анализ показал, что переход от этих гипотез к Гомперца-Мейкема формуле далеко не однозначен. Так, в основе теории старения Б. Стрелера и С. Милдвана лежит положение о том, что человеческий организм подвергается в течение жизни случайным внешним и внутренним воздействиям — стрессам, при этом смерть наступает в том случае, когда возможность и скорость приспособительной реакции организма для преодоления последствий стресса ниже требуемой. Скорость приспособительной реакции определяется жизненностью или приспособленностью организма, которая полагается линейно убывающей с возрастом. Последнее подтверждается фактами ослабления с возрастом физиологических характеристик организма (легочная вентиляция, сердечно-сосудистая деятельность, теплоотдача и т. д.), которое происходит в линейной зависимости от возраста. Теория Стрелера — Милдваиа не исчерпывает попыток содержат, интерпретации и уточнения Гомперца-Мейкема формулы.

Статистический анализ параметров Гомперца-Мейкема формулы для различных категорий населения позволил сделать ряд выводов о закономерностях изменения возрастной смертности. Так, показано, что с увеличением возраста смертность определяется главным образом старением и в меньшей степени — условиями жизни. В ходе наблюдавшегося в 20 веке снижения смертности наибольшие изменения претерпел параметр а Гомперца-Мейкема формулы, замедление снижения смертности в европейских странах приходится на период, когда значения параметра a приблизились к 0.

Ряд авторов подвергают сомнению справедливость Гомперца-Мейкема формулы для поздних старческих возрастов, где, по их мнению, на смену механизму старения приходят иные закономерности смертности, носящие скорее стохастический (случайный ) характер.

Демографический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор Д.И. Валентей. 1985.

Beнецкий И. Г., Матем. методы в демографии, М. 1971, с, 267 — 73; Боярский А. Я., Нас. и методы его изучения, М. 1975, с. 143-49; Андреев Е. м и др., Алгоритм расчета показателей таблиц смертности и ср. продолжительности жизни, «Вестник статистики», 1975, № 3, с. 28- 35; Шукайло В. Ф., О принципах матем. отображения сущности процессов смертности, в сб.: Продолжительность жизни: анализ и моделирование, М. 1979, с. 104 — 23; Стрелер Б., Время, клетки и старение, пер. с англ., М. 1964; Гаврилов Л. А., Гаврилова Н. С., Исследование кинетических закономерностей смертности людей в историческом аспекте, «ДАН СССР», 1979, т. 245, № 4 с. 1017 — 20.

Понятие о гомеостазе. Здоровье и биологические ритмы. Хронобиология и хрономедицина. Биологический возраст. Факторы определяющие здоровье. Уравнение Гомперца-Мейкема.

Доказано, что у людей с 7-8 часовым сном, смертность минимальна. Если спят больше 10 часов, то она возрастает в 1,5-2 раза, а меньше 4 часа в 2,5 раза. Работоспособность также определяется биоритмами. Наивысшая работоспособность наблюдается в 10-12 и в 16-18 часов, наименьшая – в 14. Ночью происходит снижение мышечной силы, памяти, внимания, допускается больше ошибок. Но и ночью повышение работоспособности наблюдается в 24-1 и в 5-6 часов утра, понижение – в 1-3 часа. Но из правил есть исключения. Бывает, что время наибольшей продуктивности труда приходится на ночные или вечерние часы. Это – “совы”. “Жаворонки” же имеют наибольшую работоспособность в утренние и дневные часы. Они просыпаются рано, чувствуют себя бодрыми и работоспособными в первой половине дня. Вечером же у них появляется сонливость, они рано ложатся спать. “Совы” засыпают поздно ночью, встают поздно утром и работоспособны бывают во второй половине дня. Кроме “жаворонков” и “сов”, есть еще и “голуби”. Люди этого типа не любят рано вставать, но и ложиться поздно тоже не хотят. Это дневной тип.

В психологии здоровья выделяется три группы факторов, влияющих на здоровье: независимые (предшествующие), передающие и мотиваторы[11].

Независимые: корелляции со здоровьем и болезнью наиболее сильны

Факторы, предрасполагающие к здоровью или болезни

· Поведенческие паттерны; факторы поведения типа A (амбициозность, агрессивность, компетентность, раздражительность, мышечное напряжение, убыстренный тип деятельности; высокий риск сердечно-сосудистых заболеваний) и B (противоположный стиль)

· Поддерживающие диспозиции (напр., оптимизм и пессимизм)

· Эмоциональные паттерны (напр., алекситимия)

· Когнитивные факторы — представления о здоровье и болезни, о норме, установки, ценности, самооценка здоровья и т. п.

· Факторы социальной среды — социальная поддержка, семья, профессиональное окружение

· Демографические факторы — фактор пола, индивидуальные копинг-стратегии, этнические группы, социальные классы

· Совладание с разноуровневыми проблемами

· Употребление веществ и злоупотребления ими (алкоголь, никотин, пищевые расстройства)

· Виды поведения, способствующие здоровью (выбор экологической среды, физическая активность)

· Соблюдение правил здорового образа жизни

· Существование в болезни (процессы адаптации к острым эпизодам болезни).

· Факторы физического здоровья[12]:

· Уровень физического развития

· Уровень функциональной готовности к выполнению нагрузок

· Уровень мобилизации адаптационных резервов и способность к такой мобилизации, обеспечивающие приспособление к различным факторам среды обитания.

модель старения (Б.Гомперц). Смертность Гомперц рассматривал как величину, обратную жизнеспособности – «способности противостоять всей совокупности разрушительных процессов». Он предложил, что во времени жизнеспособность снижается пропорционально ей самой в каждый момент, что для смертности соответствует экспоненциальному нарастанию с возрастом.

Ритмы, задаваемые внутренними «часами» или водителями ритма, называются эндогенными, в отличие от экзогенных, которые регулируются внешними факторами. Большинство биологических ритмов являются смешанными, т. е. частично эндогенными и частично экзогенными.

Во многих случаях главным внешним фактором, регулирующим ритмическую активность, служит фотопериод, т. е. продолжительность светового дня. Это единственный фактор, который может быть надежным показателем времени, и он используется для установки «часов».

Конкретная природа «часов» неизвестна, но нет сомнений, что здесь действует физиологический механизм, который может включать как нервные, так и эндокринные компоненты.

Большинство ритмов формируются в процессе индивидуального развития (онтогенеза). Так, суточные колебания активности различных функций у ребенка наблюдаются до его рождения, их можно зарегистрировать уже во второй половине беременности.

Биологические ритмы реализуются в тесном взаимодействии с окружающей средой и отражают особенности приспособления организма к циклично изменяющимся факторам этой среды. Вращение Земли вокруг Солнца (с периодом около года), вращение Земли вокруг своей оси (с периодом около 24 ч), вращение Луны вокруг Земли (с периодом около 28 дней) приводят к колебаниям освещенности, температуры, влажности, напряженности электромагнитного поля и т. п., служат своеобразными указателями, или датчиками, времени для «биологических часов».

Биологические ритмы имеют большие различия по частотам или периодам. Выделяют группу так называемых высокочастотных биологических ритмов, периоды колебаний которых находятся в пределах от доли секунды до получаса. Примерами могут служить колебания биоэлектрической активности головного мозга, сердца, мышц, других органов и тканей. Регистрируя их с помощью специальной аппаратуры, получают ценную информацию о физиологических механизмах деятельности этих органов, которая используется также для диагностики заболеваний (электроэнцефалография, электромиография, электрокардиография и др.). К этой же группе можно отнести ритм дыхания.

Биологические ритмы с периодом 20-28 ч называются циркадианными (циркадными, или околосуточными), например, периодические колебания на протяжении суток температуры тела, частоты пульса, артериального давления, работоспособности человека и др.

Выделяют также группу биологических ритмов низкой частоты; это околонедельные, околомесячные, сезонные, окологодовые, многолетние ритмы.

У. Мейкем дополнил формулу Гомперца – добавил коэффициент, представляющий независимый от возраста компонент смертности, имеющий эколого-социальную природу и выражено меняющийся в истории человечества.

M(t)=A + R₀exp(at) M(t) – интенсивность (вероятность) смертности в возрасте t.

A – фоновая компонента Мейкема.

R₀exp(at) – возрастная экспонента компонента.

Анализируя среднюю продолжительность жизни человека, можно видеть, что эта величина непостоянная.

Биология продолжительности жизни (стр. 5 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Риссер предложил вместо квадратичной зависимости использовать
полином [см.: Le Bras, 1976]:

Сам Мейкем впоследствии дополнил формулу Гомперца—Мейкема
слагаемым, линейно зависящим от возраста [см.: Henderson, 1915]:

Другая модификация формулы Гомперца—Мейкема выглядит
следующим образом [см.: Henderson, 19151:

Иной путь усложнения функции Гомперца состоит в использовании так называемых логистических уравнений. Наиболее известным из них является уравнение Перкса [Perks, 1932]:

Интересно отметить, что данная формула может быть теоретически
выведена как один из частных случаев модели цепного лавинообразного разрушения организма при старении [Гаврилов, 1987; см.
также раздел 6.4 данной книги]. Бирд [Beard, 1959] предложил более
простой вариант формулы Перкса:

Принципиально иной тип распределения был предложен Вейбуллом для описания вариабельности по «срокам жизни» технических
систем [Weibull, 1951]. Это распределение, известное сейчас как закон
Вейбулла, широко используется в теории надежности. Интенсивность
отказов (аналог интенсивности смертности) в данном случае является степенной функцией возраста

В последнее время распределение Вейбулла стало применяться и
для описания вариабельности по срокам жизни организмов [Rosen-

berg et al., 1973; Slob, Janse, 1988].

В некоторых работах используется обобщенный закон Вейбулла

[см.: Гаврилов, 1980]

Нам представляется целесообразным дополнить список приведенных выше формул еще одной, которую мы назвали обобщенным

биномиальным законом смертности;

Эта формула при одних соотношениях параметров близка к формуле
Гомперца—Мейкема, а при других — к обобщенному закону Вейбулла,
объединяя, таким образом, два разных класса распределений. Действительно, если параметр Ь оказывается много меньше параметра с,
то обобщенный биномиальный закон смертности совпадает с обобщенным законом Вейбулла. Если, наоборот, параметр Ь оказывается
много больше параметра с, то обобщенный биномиальный закон
смертности совпадает с законом Гомперца—Мейкема, причем R = b», a
а = nJL. Мы обнаружили, что биномиальный закон смертности может

быть теоретически выведен из моделей, приводящих обычно к закону
Вейбулла, если только дополнительно учитывать неоднородность
популяции организмов по числу исходно имеющихся дефектов в
организме (см. разделы 6.7 и 6.8 данной книги).

Значительно более сложную формулу, обобщающую законы Гомперца и Вейбулла, предложил Бриллингер [Brillinger, 1961]:

Иногда за основу берется не интенсивность смертности, а другие
показатели. Так, в исследованиях некоторых актуариев использовалась формула:

где q-ц — вероятность смерти, &.F(x) — полином нужной степени
Уравнение гомперца мейкема и его практическое применение предложили следующую
формулу для числа доживающих:

Экономос предлагает аппроксимировать зависимость смертности от
возраста двумя кривыми. Первая из них описывает увеличение доли
умерших в ранних возрастах:

где т(х) — доля умерших. Вторая зависимость описывает уменьшение
доли выживших в поздних возрастах:

где /Ос) — доля выживших, а 1р и Хр — соответственно число доживающих и возраст начала зависимости. Таким образом, в полулогарифмических координатах эти зависимости имеют вид двух прямых

линий — вначале восходящей для доли умерших, а затем нисходящей
для доли выживших.

Некоторые исследователи предпочитают использовать формулы,
описывающие изменение ожидаемой продолжительности жизни с
возрастом. Так, Харди предложил следующую формулу [см.: Keyfitz,

Стеффенсен использовал другую зависимость [см.: Le Bras, 1976]:

Большинство приведенных выше формул пригодны для описания
смертности лишь взрослых половозрелых особей. Существуют,
однако, попытки описать смертность на всем возрастном интервале.
Первой попыткой такого рода. по-видимому, следует считать
формулу Виттстейна [см.: Henderson, 19151:

Анализ этой формулы, приведенный в книге Хендерсона, показывает, что первый член описывает смертность взрослых людей, а
второй — «аддитивную смертность в раннем детстве».

В настоящее время из формул, описывающих смертность во всем
возрастном интервале, наиболее известна формула, предложенная
Хелигманом и Поллардом [Heligman, Pollard, 1979]:

где q^ — вероятность смерти в течение года. Первое слагаемое
описывает детскую и младенческую смертность, а последнее —
смертность стариков, второе же слагаемое аппроксимирует пик
смертности, наблюдаемый в районе 20 лет и связанный в основном с
несчастными случаями.

Перечень формул, предложенных для аппроксимации функции
распределения продолжительности жизни, можно было бы продолжить [Henderson, 1915; Le Bras, 1976; Keyfitz, 1982; Hsieh, 1985].
Однако и так видно, что в настоящее время нет недостатка в формулах, описывающих это распределение. Проблема заключается в том,
чтобы из всех возможных формул выбрать такую, которая бы
действительно отражала суть изучаемого явления и способствовала
бы пониманию механизмов вариабельности по срокам жизни. Вместе с
тем искать формулу распределения продолжительности жизни путем
простого перебора всех возможных вариантов — значит, выполнять
неблагодарную работу в надежде на счастливый случай. С тем же
успехом можно попытаться решать задачи, подставляя возможные
ответы. Поэтому прежде всего необходимо сформулировать методологические принципы, позволяющие прийти к необходимой формуле кратчайшим путем.

Методологические принципы выбора закона распределения
продолжительности жизни. Сформулируем общие принципы,
которыми обычно руководствуются исследователи* при решении
подобных задач.

1. Принцип теоретической обоснованности. Согласно этому
принципу, следует использовать лишь уравнения, имеющие теоретические обоснования. Тогда запись информации с помощью такого
уравнения является одновременно и первым шагом к ее расшифровке.
Исходя из данного принципа, особого внимания заслуживают не
эмпирические формулы, используемые при страховании жизни, а
зависимости, выведенные из различных теоретических представлений.

2. Принцип универсальности. Стремление выявить общие закономерности, справедливые для возможно более широкого круга явлений природы, отражает самую суть научного мировоззрения. В
соответствии с этим принципом особую ценность представляют
именно общие законы распределения длительности жизни, справедливые для самых разных организмов, включая человека.

3. Принцип достаточной аппроксимации при наименьшем числе
параметров. Формула, удовлетворяющая этому принципу, дает наиболее компактную запись информации, что позволяет восстанавливать распределение при минимальном числе наблюдений Уравнение гомперца мейкема и его практическое применение. Данный принцип является частным случаем идеи. известной
под названием «бритва Оккама»: «не следует умножать число сущностей сверх необходимости». Применительно к проблеме продолжительности жизни этот принцип ориентирует не на абсолютно точное
описание наблюдаемых распределений по срокам жизни с помощью
многопараметрических формул, а на использование моделей, отражающих наиболее яркие особенности таких распределений. В этой
связи особенно перспективным является факторный анализ смертности. позволяющий определить минимальное число параметров,
необходимое для ее описания.

4. Принцип локального описания Поскольку в развитии многих
систем бывают критические периоды, когда они качественно меняют
свои свойства и поведение [Жирмунский, Кузьмин, 1980], не следует
пытаться описывать процесс сразу во всем диапазоне. История науки
показывает, что более эффективен путь локального описания процесса с последующей «стыковкой» научных подходов в рамках нового,
более общего представления. Следовательно, если предполагаемый
закон распределения продолжительности жизни справедлив лишь на
ограниченном возрастном интервале, это еще не является основанием для критического к нему отношения. Ограниченная приложимость закона указывает не на его ошибочность, а только на то. что он
является лишь частным случаем другого, более общего и неизвестного пока закона.

* Эти принципы, к сожалению, редко используются одновременно в одном и том же
исследовании

Если руководствоваться приведенными выше принципами и
обработать достаточно большой массив фактических данных, то
окажется, что закон Гомперца—Мейкема до сих пор во многих
отношениях лучше большинства других известных формул. Поэтому
следует более подробно остановиться на данном законе и аргументах в его пользу.

2.5. ЗАКОН ГОМПЕРЦА-МЕЙКЕМА

Начнем рассмотрение вопроса с анализа данных по продолжительности жизни традиционного объекта генетики — плодовой
мушки Drosophila melanogaster. Если обработать данные по выживаемости большой группы одновременно родившихся генетически
идентичных особей, которые содержатся в стандартных лабораторных условиях, то выявляется интересная закономерность. Оказывается. что на значительном возрастном интервале интенсивность
смертности растет с возрастом по закону геометрической
прогрессии (экспоненциально, в соответствии с формулой Гомперца)
На рис. 2 приведена зависимость логарифма интенсивности
смертности от возраста дрозофил, которая с точностью калибровочного графика ложится на прямую линию. Действительно.
коэффициент корреляции между логарифмом интенсивности смертности и возрастом достигает 0,999 при 11 точках в зависимости. Та же
самая закономерность справедлива и для самцов крыс линии Вистар
(рис 3)

Иногда приходится слышать возражения, что подобная линейность
ничего удивительного не представляет, поскольку многие зависимости в логарифмическом масштабе выглядят как прямые. Рис. 4 содержит ответ на это замечание. На нем приведена зависимость
логарифма риска гибели от возраста самок крыс линии Вистар. На том
же графике пунктиром приведена теоретическая зависимость, рассчитанная для случая, если бы распределение по срокам жизни
лабораторных крыс следовало нормальному закону с той средней и
дисперсией, которые наблюдаются в эксперименте. Видно, что
экспериментальные точки гораздо лучше ложатся на прямую линию,
чем на теоретическую зависимость, проведенную пунктиром, что еще
раз подтверждает необоснованность использования нормального
закона для описания распределения по срокам жизни.

Приведенные выше примеры экспоненциального роста интенсивности смертности с возрастом являются далеко не единственными.
Так, для тех же лабораторных дрозофил было найдено восемь таблиц
смертности, построенных для популяций с исходной численностью
свыше 1000 особей [Hall, 1969; Pearl, Parker, 1921]. При обработке этих
таблиц оказалось, что во всех случаях наблюдается линейный рост
логарифма интенсивности смертности с возрастом, о чем можно, в
частности, судить по высоким значениям коэффициента корреляции
между переменными (г = 0,97—0,99, табл. 4).

Рис. г. Зависимость логарифма интенсивности смертности от возраста дрозофнл

Рассчитано и построено на основании таблицы выживания 2400 самок Drosophila
melanogasler линии Canton-^, опубликованной в работе [Hall, 1969]. При расчете
интенсивности смертности был выбран трехдневный возрастной интервал

Рис 3. Зависимость логарифма интенсивности смертности от возраста лабораторных
крыс

Рассчитано и построено на основании таблицы выживания 2113 самцов крыс линии
Wistar, опубликованной в работе [Schlettwein-Gsell, 1970]. При расчете интенсивности
смертности был выбран 50-дневный возрастной интервал

Рис. 4. Зависимость логарифма интенсивности смертности от возраста лабораторных
крыс; теоретическая зависимость для случая нормального распределения продолжительности жизни (пунктир)

Рассчитано и построено на основании таблицы выживания 2050 самок крыс линии
Вистар. опубликованной в работе [Schleitwein-GseU, 1970]. При расчете интенсивности
смертности был выбран 50-дневный возрастной интервал

Разумеется, коэффициент корреляции является не самой лучшей
мерой линейности изучаемой зависимости, поскольку его отличие от
единицы может быть связано как со случайным разбросом данных,
так и с систематическими отклонениями от линейности. Для большинства таблиц выживания лабораторных животных характерны низкая исходная численность популяций (менее 1000 особей) и, как
следствие, большой статистический разброс данных. В этих условиях
коэффициент корреляции между логарифмом интенсивности смертности и возрастом будет небольшим даже при чисто случайном
характере отклонений от закона Гомперца. Следовательно, для
проверки законов смертности на данных с большим статистическим
разбросом необходимо использовать другие методы и показатели.

В 1979—1980 гг. был предложен метод проверки адекватности
законов смертности по неточным данным [Гаврилов, 1980; Гаврилова
и др., 19791. Применительно к формуле Гомперца метод состоит в
следующем. Если распределение продолжительности жизни действительно описывается данной формулой, то зависимость логарифма
интенсивности смертности от возраста должна быть линейной. В этом

Характеристики распределения продолжительности жизни
Drosophila melanogasler*

Число точек в
зависимости

* Рассчитано на основании таблиц выживаемости [Pearl, Parker, 1921; 1924a; Hall, 1969].
Значения параметров Гомперца (R и а) определены методом наименьших квадратов
в координатах 1п(р. д) -•-х. Для расчета интенсивности смертности был выбран шестидневный интервал. Возрастной диапазон линеаризации составлял 28—55 дней, г —
коэффициент корреляции между логарифмом интенсивности смертности и возрастом лабораторных дрозофил.

случае отношение тангенса угла наклона в начальном участке
изучаемой зависимости к тангенсу угла наклона в ее конечном
участке равно единице. Такое отношение тангенсов было названо
^-критерием [Гаврилов, 19801. Для каждой отдельно взятой зависимости величина ^-критерия может существенно отличаться от
единицы, однако если такое отклонение от формулы Гомперца не
является систематическим, а носит случайный характер, то центр
распределения J^-критерия стремится к единице при увеличении
числа наблюдений.

Таким образом, проверка формулы Гомперца этим методом сводится к определению центра распределения величин J^-критерия (медианы, моды или среднего арифметического), рассчитанных для возможно большего числа таблиц смертности.

Авторами данной работы совместно с канд. биол. наук была проведена обработка 129 таблиц выживания дрозофил,
опубликованных ранее [см.: Гаврилов. 19801. Оказалось, что центр
распределения J^-критерия, рассчитанный как среднее арифметическое распределения, усеченного по выбросам, составил 1,03±0,19,
т. е. точно совпал с теоретическим значением (1.0), ожидаемым в
случае справедливости закона Гомперца.

Разумеется, данный подход, как и любой другой статистический
метод, не позволяет, строго говоря, доказать справедливость того
или иного закона и тем более его единственность. В лучшем случае
можно говорить о том, что предлагаемая формула не противоречит
фактическим данным. Однако использование ^-критерия позволяет
легко и просто проверить адекватность других конкурирующих
формул и обоснованно отвергнуть многие из них. В качестве примера
приведем результаты проверки адекватности уже упоминавшегося
закона Вейбулла.

Нами было доказано, что при любых положительных значениях
параметров формулы Вейбулла теоретически ожидаемое значение
/^-критерия равно обратному отношению возрастов, для которых
рассчитывались тангенсы [Гаврилов, 1980; Гаврилова и др., 1979]. В
описанном выше случае это теоретически ожидаемое отношение
составляет 1,89—2,25 (разброс связан с тем, что в 129 таблицах
смертности дрозофил возрастные интервалы не всегда совпадали).
Нетрудно заметить, что наблюдаемое значение центра распределения
/^-критерия (1,03±0,19) достоверно и сильно отличается от теоретических величин (1,89—2,25), ожидаемых в случае справедливости
закона Вейбулла. Таким образом, закон Вейбулла, в отличие от закона
Гомперца, не согласуется с наблюдаемыми данными по продолжительности жизни дрозофил. Подобным же образом можно довольно
просто и быстро провести проверку других формул на соответствие
с реальными данными.

Приведенный пример показывает, что объем накопленных в
научной литературе данных уже достаточен для строгой проверки
конкурирующих формул и соответствующих им представлений о
механизмах, определяющих продолжительность жизни. При этом в
свете новых данных «старый» закон Гомперца не только не утратил
своего значения, но и оказался значительно более конкурентноспособным, чем целый ряд более «молодых» и модных формул.
Справедливость закона Гомперца отмечена не только для дрозофил и
крыс, но также и для нематод [Johnson, 1987], головной вши [Гаврилов,
19846] (рис. 5), комаров [Гаврилов, 1980]. мышей [Kunstyr, Leuenberger,
1975], лошадей [Strehler, 1962] и горных баранов [Гаврилов, 1980].

Естественно, возникает вопрос, с чем связана такая широкая
применимость закона Гомперца для столь разных видов, как
дрозофила и лошадь? Может быть, для этого закона существуют
аналогии и в неживой природе? Оказывается, что такие аналогии
действительно существуют. В частности, японский исследователь
Касе [Kase, 1953] изучал «выживаемость» двухсот образцов резины при
увеличивающихся нагрузках. Оказалось, что интенсивность разрывов
резины экспоненциально растет с увеличением нагрузки, выраженной
в кГ/см2. Эта же закономерность наблюдается при исследовании
электрического пробоя масла в условиях повышающейся напряженности электрического поля [см.: Гумбель, 1965]. Таким образом.

Рис 5 Зависимость логарифма интенсивности смертности от возраста головной вши

Рассчитано и построено на основании таблицы выживания 400 самцов головной
вши Pediculus hwnanus L.. опубликованной в работе [Evans, Smith, 1952]. При расчете
интенсивности смертности был выбран четырехдневный возрастной интервал

Рис 6. Зависимость логарифма интенсивности смертности (J) и логарифма приращения
интенсивности смертности (2) от возраста мучных жуков

Рассчитано и построено на основании таблицы выживания 400 самок малого мучного хрущака Triboltum confusum Duval, опубликованной в работе [Pearl, Miner, 1941].
При расчете интенсивности смертности был выбран 5-дневный возрастной интервал
При дальнейшем расчете приращений интенсивности смертности был выбран возрастной интервал в 30 дней

выявленная закономерность настолько широко распространена, что
следует искать какое-то самое общее ее теоретическое обоснование.

Такое обоснование, оказывается, уже существует и дано в статистике экстремальных значений. В э. том разделе теории вероятностей
распределение с экспоненциально растущей интенсивностью отказов
(в частном случае — интенсивностью смертности) выводится как
предельное распределение и называется первой асимптотической
функцией распределения наименьших значений [Гумбель, 1965] Таким
образом, данная закономерность имеет столь же строгое теоретическое обоснование, как, например, всем хорошо известный нормальный закон распределения Следовательно, эта закономерность по широте своей применимости и строгости теоретического обоснования,
несомненно, может быть признана фундаментальной

В тех случаях, когда наблюдается отклонение от закона Гомперца,
необходимо иметь в виду следующее. Наряду с факторами смертности, действие которых зависит от возраста, существуют ситуации,
летальный исход в которых неизбежен для любого, даже самого
здорового организма (например, катастрофы, несчастные случаи,
острые инфекции и отравления). Иначе говоря, наряду с экспоненциально растущей компонентой смертности, обусловленной старением, должна существовать не зависящая от возраста компонента,
связанная с экстремальными ситуациями.

Формально-математически это представление можно сформулировать как принцип суммы двух типов смертности. Согласно этому
принципу, общая интенсивность смертности от всех причин является
суммой двух неотрицательных слагаемых, одно из которых от
возраста не зависит:

•где ц(х) — интенсивность смертности в возрасте х (имеющая смысл
относительной или удельной скорости гибели); А — не зависящая от
возраста компонента смертности, названная нами фоновой компонентой смертности; f(x) — зависящая от возраста компонента смертности. Как видно из предыдущего, возрастная-компонента смертности
является экспонентой. В частном случае, когда фоновой смертностью
можно пренебречь (например, в хороших условиях лаборатории),
общая интенсивность смертности экспоненциально растет с возрастом, т. е. по закону Гомперца.

Для тех случаев, когда фоновой компонентой смертности пренебрегать нельзя, был предложен метод линеаризации данных, основанный на их предварительном численном дифференцировании [Гаврилова, Гаврилов, 1983; Гаврилов и др., 1978]. Действительно, при
дифференцировании постоянное слагаемое (фоновая компонента
смертности) исчезает, и тогда логарифм приращения интенсивности
смертности должен быть линейной функцией возраста:

На рис. 6 приведен пример использования предложенного метода.
Видно, что логарифм интенсивности смертности самок малого мучного хрущака Tribolium confusum является не линейной, а вогнутой
функцией возраста (зависимость 1). Можно, однако, показать, что
такое отклонение от закона Гомперца связано с недоучетом фоновой
компоненты смертности. Действительно, на этом же рисунке видно,
что логарифм приращения риска гибели строго линейно растет с
возрастом (зависимость 2). Это означает, что закон смертности
представляет собой сумму экспоненты и постоянного слагаемого
(т. е. закон Гомперца—Мейкема), причем данное слагаемое больше
нуля, о чем свидетельствует вогнутость зависимости 1 на рисунке.
Таким образом, учет фоновой компоненты смертности позволяет
объяснить наблюдаемые отклонения от закона Гомперца и дополнить
наши представления о закономерностях распределения продолжительности жизни организмов.

Итак, вариабельность организмов по срокам жизни во многих
случаях может быть достаточно точно описана с помощью формулы
Гомперца—Мейкема:

Можно показать, что данная формула удовлетворяет также всем

сформулированным ранее принципам поиска и отбора конкурирующих законов распределения продолжительности жизни.

Так, формула Гомперца—Мейкема удовлетворяет принципу теоретической обоснованности, поскольку она может быть выведена из
целого ряда математических моделей [Гаврилов, 1978; Гаврилов и др.,
1978; Skumick, Kemeny, 1978а; 1978Ь; см. также гл. 6 данной книги] и
является асимптотическим распределением в статистике экстремальных значений [Гумбель, 1965].

Этот закон согласуется также с принципом суммы двух типов
смертности, так как в него входят два слагаемых, одно из которых от
возраста не зависит (параметр А). Более того, непосредственный
расчет показал, что оба слагаемых в формуле Гомперца—Мейкема
действительно, как правило, неотрицательны (Гаврилова, 1982; Gavrilov et al., 1983]. Следовательно, этим слагаемым на самом деле можно
приписывать смысл составляющих компонент смертности.

Закон Гомперца—Мейкема удовлетворяет принципу универсальности, поскольку он описывает распределения продолжительности
жизни самых разных биологических видов (дрозофил, комаров.
мучных хрущаков, мышей, крыс, лошадей и горных баранов), включая
человека (см. гл. 3).

В соответствии с принципом локального описания отметим, что
данный закон справедлив лишь для взрослых половозрелых организмов и не описывает особенности смертности на ранних этапах
онтогенеза и в предельно старческом возрасте [Гаврилов, 19846;

Наконец, следует отметить, что закон Гомперца—Мейкема отвечает
принципу достаточной аппроксимации при наименьшем числе
параметров. Оказалось, что среди семейства трехпараметрических
формул, включающего обобщенный закон Вейбулла, а также обобщенный нормальный и логнормальный законы распределения
длительности жизни, формула Гомперца—Мейкема дает наилучшую
аппроксимацию [Гаврилов, 1980]. Более того, установлено, что
трехпараметрическое уравнение Гомперца—Мейкема аппроксимирует кривую выживания лабораторных дрозофил гораздо лучше, чем
полином четвертой степени, содержащий пять параметров.

Разумеется, приведенные факты и аргументы вовсе не являются
доказательством ни всеобщей приложимости закона Гомперца—
Мейкема, ни тем более его единственности как фундаментального
закона смертности. Вместе с тем есть все основания говорить о
правомерности использования данного закона в качестве инструмента исследования в тех случаях, когда он действительно
хорошо согласуется с наблюдаемым распределением по продолжительности жизни.

2.6. НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ И ПРОБЛЕМЫ

Обсуждение проблемы вариабельности организмов по срокам жизни будет неполным, если обойти молчанием те препятствия, которые
стоят на пути дальнейших исследований.

Прежде всего следует признать, что закон распределения продолжительности жизни организмов до сих пор. к сожалению, не
установлен. Несмотря на все достоинства формулы Гомперца—
Мейкема, она (справедливая в ограниченном возрастном интервале)
может рассматриваться лишь как частный случай более общего и пока
неизвестного нам закона распределения. Отсюда вытекает целый ряд
проблем и органичений для дальнейших исследований.

Во-первых, компактная запись данных о продолжительности
жизни организмов в виде показателей типа средней, медианной и
максимальной продолжительности жизни является неполноценной,
поскольку она не позволяет восстановить исходное распределение
Поэтому результаты экспериментов по выживаемости должны публиковаться в максимально полной форме в виде подробных таблиц
дожития. В этом отношении образцом могут служить работы Р. Пирла
[Pearl, Parker, 1921; 1922а; 1922Ь; 1922с; 1922d; 1924a; 1924b; Pearl et al„
1923; Pearl et al„ 1927; Pearl, Miner, 1935; 1936; 1941], данные которого
до сих пор используются в современных исследованиях [Гаврилов,
1984а). Всякая попытка сократить объем публикуемой информации о
выживаемости может привести к необратимой потере ее ценности
для дальнейших исследований. В качестве крайней меры можно
ограничиться публикацией параметров многопараметрической
эмпирической формулы, если показано, что расхождение между расчетной и наблюдаемой зависимостью можно считать случайным.
Подобный прием использовался Р. Пирлом [Pearl, Parker, 1924a] и
иногда встречается в современных исследованиях [Kunstyr, Leuenberger, 1975].