Уравнение гюгонио для одномерного потока идеального газа

Лекция № 5. Характеристический анализ уравнений Эйлера. Инварианты Римана. Волны Римана.

Запись уравнений Эйлера в примитивных переменных. Характеристический анализ уравнений Эйлера. Собственные числа матрицы системы, их связь со структурой решения задачи Римана. Матрицы левых и правых собственных векторов. Условия совместности вдоль характеристик. Инварианты Римана, их физическая интерпретация. Понятие автомодельного решения. Построение автомодельных решений уравнений Эйлера. Волны Римана. Пример характеристического анализа течения за фронтом одномерной пульсирующей волны детонации.

Лекция № 6. Задача Римана для системы уравнений Эйлера.

Постановка задачи Римана для уравнений Эйлера. Структура решения. Соотношения на ударных волнах и волнах разрежения в переменных p и v. Поиск давления и скорости на контактном разрыве на (p-v)-диаграмме на примере задачи Сода [16]. Распределения плотности, скорости и давления в точном решении Сода.

Лекция № 7. Программа для решения задачи Римана. Численный поток С.К. Годунова. Метод Harten-Lax-Van Leer (HLL).

Обсуждаются детали устройства программы для построения точного решения задачи Римана. Основные элементы – цикл по значениям автомодельной переменной; функция расчета давления и скорости на контактном разрыве; функция определения начального приближения для давления в итерационном методе поиска давления на контактном разрыве; функция отбора области, куда попадает автомодельная переменная. Все следует книгам E.F. Тоrо [5, p. 152 – 162] и С.К. Годунова с соавторами [17, стр. 105 – 117]. Пример построения точного решения для задачи Сода [16]. Численный поток С.К. Годунова. Идея и построение численного потока HLL [5, p. 315 – 344; 18; 19]. Различные варианты выбора скоростей левой и правой волны, связь пока HLL с другими методами. Пример соотнесения результатов, полученных методом Годунова и HLL, на примере задачи о взаимодействии ударной волны с облаком частиц [20].

Лекция № 8. Метод Harten-Lax-Van Leer-Contact (HLLC).

Общепринятные тестовые задачи Римана для проверки разностных схем решения уравнений Эйлера [5, p. 334]. Интерпретация потока HLL через соотношения Ренкина-Гюгонио для правой и левой волн. Достоинства и недостатки численного потока HLL. Численный поток HLLC. Сравнение результатов решения некоторых тестовых задач методом Годунова, HLL и HLLC. Пример соотнесения результатов, полученных методом HLL и HLLC, на примере задачи о высокоскоростном соударении двух металлических пластин [21]. Задача Shu-Osher о взаимодействии ударной волны с синусоидальным возмущением плотности [12].

Лекция № 9. Метод конечных объемов для решения трехмерных уравнений Эйлера на неструктурированных сетках.

Краткая классификация типов расчетных сеток. Метод конечных объемов для решения трехмерных уравнений Эйлера на произвольных неструктурированных сеток. Применение теоремы Остроградского-Гаусса при конструировании метода. Инвариантность уравнений Эйлера относительно вращений. Лекция прерывается из-за технических сложностей.

Лекция № 10. Подходы к построению схем повышенного порядка точности для нелинейных систем уравнений гиперболического типа

Краткое повторение предыдущей лекции. Схема интегрирования по времени. Метод конечного объема для структурированных сеток. Пример расчета теста Сода в трехмерной области на неструктурированной сетке. Плюсы и минусы схем первого и второго порядка точности на примере уравнения переноса (напоминание). Понятие монотонности разностных схем (напоминание). Один из самых первых подходов к построению монотонных схем для решения уравнений Эйлера – гибридные схемы Р.П. Федоренко [22]. 1970-ые – история создания MUSCL-схем, восполнение сеточных функций по Колгану [23, 24].

Лекция № 11. Детонационная волна в газе.

Последние лекции по курсу затрагивают специфику моделирования течений с химическими реакциями. По какой-то причине записи лекции № 11 на youtube-канале МФТИ не появилось. Лекция во многом повторяла прошлогоднюю обзорную лекцию по курсу:

Лекция № 12. Моделирование течений с химическими реакциями.

Одномерная система уравнений Эйлера для многокомпонентной смеси с моделью кинетики химических реакций. Случай двухкомпонентной смеси с одностадийной моделью кинетики. Принцип расщепления по физическим процессам как конструктивный способ построения вычислительного алгоритма для расчета течений с химическими реакциями.

Для ударных волн. Адиабата Гюгонио

Преобразуем полученные уравнения. Уравнение (1) можно представить в виде

(4)

Так как при сжатии газа > , то из уравнения (4) непосредственно следует, что D и u направлены в одну сторону, причем D

(3)

проходящую через начальную точку , причем квадрат скорости определяется тангенсом угла наклона этой прямой к оси абсцисс. Прямая эта известна под названием прямой Михельсона.

Уравнение Гюгонио принимает следующий вид:

, (4)

где − изменение внутренней энергии вследствие сжатия вещества ударной волной;

− избыток энергии за счет теплоты реакции.

Рисунок 14 – Кривая Гюгонио для детонационной волны

Кривая Гюгонио для детонационной волны (АС) построена для конечных продуктов реакции, обладающих повышенным содержанием энергии и поэтому лежит выше кривой Гюгонио для ударной волны.

Для процессов детонации реальное значение имеет лишь ветвь (CH) на кривой Гюгонио, так как вдоль этой ветви, как следует из уравнения (1) и (2) > 0 и > 0. Ветвь DE, где > 0 и > 0, соответствует процессам горения. Причем продукты горения направлены в сторону противоположную направлению распространения фронта пламени. Участок MD не отвечает никакому реальному стационарному процессу.

Проведем из точки A прямую AC под некоторым углом α. Она пересечет кривую Гюгонио в двух точках. Но при этом из условия вытекает, что одна и та же скорость детонации может быть реализована при двух различных состояниях разложившегося вещества во фронте волны, что является абсурдом с физической точки зрения.

Чепмен и Жуге обосновали следующее:

«Процессу детонации отвечает лишь одно единственное состояние продуктов взрыва, характеризуемое точной энтальпией, в которой прямая Михельсона касается адиабаты Гюгонио для продуктов детонации. В этой точке , а следовательно и скорость детонации, достигают своего минимального значения. Эта минимальная стационарная скорость называется нормальной скоростью детонации».

2.4 Механизм распространения детонации по

конденсированным взрывчатым веществам

Гидродинамическая теория детонации для газов применима и к конденсированным ВВ. Фронт детонационной волны также представляет собой ударную волну, в которой ВВ сжимается. При сжатии поглощается энергия, которая компенсируется энергией, выделяющейся в результате химической реакции. Таким образом, интенсивность ударной волны поддерживается, и её должно быть достаточно, чтобы вызвать детонацию в соседнем слое. Однако, ввиду малой сжимаемости конденсированных ВВ разогрев достаточный для достижения скорости реакции, может возникнуть только при скорости детонации порядка

В случае ВВ, детонирующих с меньшей скоростью, разогрев за счет гомогенного сжатия становится недостаточным для того, чтобы реакция разложения имела большую скорость.

По А.Я. Апину детонация порошкообразных ВВ представляет собой своеобразное «взрывное горение» отдельных частиц ВВ. Эти частицы воспламеняются в результате адиабатного сжатия газовых включений или струями горячих продуктов взрыва. Нагрев и воспламенение могут осуществляться также при трении частиц друг о друга при сжатии их во фронте детонационной волны.

2.5 Опытное определение скорости детонации

2.5.1 Метод Дотриша

Скорость детонации определяют с помощью специальных приборов – хронографов, причем существует несколько различных методов. Наиболее точным из них является метод детонирующего шнура (метод Дотриша).

Сущность метода в том, что неизвестная скорость детонации заряда сравнивается с известной скоростью детонации детонирующего шнура.

1 – электродетонатор (или капсюль-детонатор); 2 – заряд ВВ;

3 – отрезок детонирующего шнура; 4 – свинцовая пластина

О – середина отрезка шнура; В – метка на пластинке после взрыва

Рисунок 15 – Схема определения скорости детонации по Дотришу

Расстояние между концами шнура является базой для определения скорости детонации и должно быть точно измерено. В левом конце шнура детонация начинается раньше, чем в правом, поэтому место столкновения волн сдвинется вправо и будет находится в точке В, где находится метка от взрыва. В точке О середина шнура. Расстояние между точками О и В обозначим через Очевидно, что время распространения детонации по левой части шнура до момента столкновения равно времени распространения детонации по заряду на длине плюс время распространения детонации по правой части шнура до места столкновения:

(1)

где – время распространения детонации по левой части шнура;

– время распространения детонации по заряду;

– время распространения детонации по правой части шнура.

(2)

(3)

(4) где – длина шнура;

– скорость детонации шнура;

– скорость детонации заряда.

, (5)

, (6)

(7)

Для этого метода достаточно знать и Скорость детонации шнура можно определить фотографическим методом или осциллографическим методом. При определении скорости детонации обычно используют заряды общей длиной 30 – 40 см с длиной базы

= 20 — 25 см. При этих условиях ошибка однократного измерения составляет 3 – 5 %.

2.5.2 Фотографический метод

Для фотографирования применяются приборы, называемые фоторегистрами. Существует два типа фоторегистров:

Одномерное установившееся течение газа вдоль трубы переменного сечения

Одномерное установившееся течение газа вдоль трубы переменного сечения

• Одномерный стационарный газовый поток вдоль трубы с переменным сечением основан на предположении, что параметры газового потока, такие как скорость потока, давление, плотность и т. Д., Являются одинаковыми во всех точках в каждом сечении, перпендикулярном оси трубы. Немного ближе к реальности. Это предположение хорошо соответствует реальности элементарных токовых трубок, но также используется для труб конечных размеров, в которых используется среднее значение сечения трубы.

Сначала мы получим следствия формы уравнения Бернулли из частного случая стационарного невращающегося движения из газового уравнения движения (45). По этой причине левая часть этих трех уравнений (45) выражена в формате Лам Громеча. Игнорируя силу тела, NN о Предполагая, что движение является стационарным А без вихря (OX = O (, = f) z = 0) мы получим из этих уравнений: Умножьте эти уравнения на dx первый, второй dy и третий dz, чтобы получить или. Это уравнение Бернулли в дифференциальной форме. = 1>.

Следует различать чистое качение, когда точка соприкосновения А катка не скользит по неподвижной плоскости, и качение со скольжением, когда наряду с вращением катка есть и скольжение, т. Людмила Фирмаль

Интегрирование (58) из состояния газа, где 0, p = p0; p = p0, каждый с параметром v. p; p, то получается интегральное уравнение Бернулли. (59) Интеграл уравнения (59) зависит от характеристического уравнения. Тип зависимости и уравнение Бернулли Это вызывает баротропный процесс. То есть несжимаемая жидкость p = const принимает вид: или Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости широко используется при рассмотрении многих технических вопросов, связанных с движением жидкости. В этом случае оно обычно обобщается с учетом потенциальных объемных сил, особенно действия силы тяжести жидкости.

Для газа уравнение Бернулли (59) имеет вид p p0 = (p p0) n Переведите уравнение Бернулли в дифференциальную форму газа, чтобы можно было ввести число M. udv + ^^ O; pda + 2 = 0, дп р р Потому что дп дп = а2. Если вы разделите обе части на a2, или Другим уравнением, необходимым для анализа потока газа в трубе с переменным сечением, является уравнение неразрывности или сохранения массы. Получите проблему непосредственно в наиболее удобном формате (рис. 179). Для одномерного потока газовая масса проходит через каждый участок трубы за 1 секунду. м = свп. Где S поперечное сечение трубы. v поток газа; p плотность газа.

• При устойчивом движении одна и та же масса газа должна проходить через все поперечные сечения. То есть m = Svp = const. Давайте логарифмируем это уравнение сохранения массы. получить In u = In S + In g + In p = const Рассмотрим переменную величину S. И; p, возьмите полную разницу с обеих сторон. У нас есть + = 0,1601 Это уравнение неразрывности, необходимое для стабильного одномерного потока идеального газа в трубах различного сечения. Исключите величину dp p из уравнения неразрывности (60) и уравнения Бернулли (58 ). получить S.t (M i). молодежи.

Это уравнение (61) называется уравнением Гюгонио. Используйте уравнение Гюгонио для анализа характера потока газа в трубе с переменным сечением. Из уравнения (61): При M 1 и dS и de имеют одинаковый знак. Другими словами, сверхзвуковой поток распространяется в направлении, противоположном дозвуковому потоку. Чтобы увеличить скорость, нужно расширить трубу. Если M = 1, dS = 0. То есть в этом случае S достигает максимума или минимума.

Вектор углового ускорения е при ускоренном вращении фигуры совпадает с направлением вектора угловой скорости го, а при замедленном вращении эти векторы имеют противоположные направления. Людмила Фирмаль

Можно использовать, чтобы показать, что M = 1 может существовать только в самом узком участке трубы (S = Smin). Выводы, касающиеся характера газового потока в трубе переменного сечения, были применены к конструкции современных реактивных двигателей и сопел высокоскоростной аэродинамической трубы. Увеличить сверхзвуковую скорость Направляющая форсунка от RNS газовая.

Узкая часть сопла должна быть сужена для получения скорости звука в газе, а затем сопло должно быть расширено для дальнейшего увеличения скорости газа из него (рис. 180). Максимальная скорость, которая может быть получена на выходе из сопла, зависит от площади выходного сечения и должна обеспечивать давление, необходимое для каждой скорости на входе в сопло.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института