Квазилинейное уравнение. Разрывные решения
Рассматривая линейное уравнение переноса, мы предполагали, что точное решение задачи является гладкой функцией, причем при построении разностных схем требовалась еще ее дифференцируемость нужное число раз. Сейчас мы будем изучать разрывные решения. Такие решения линейное уравнение переноса может иметь лишь в тех случаях, когда разрывы «заложены» в начальных или граничных условиях.
Рассмотрим теперь квазилинейные уравнения, т.е. такие, которые линейны относительно производных искомой функции, однако сама функция может входить в коэффициенты уравнения. Одним из таких уравнений является простейшее квазилинейное уравнение переноса:
(2.44)
Это однородное уравнение, т.е. его правая часть равна нулю, что указывает на отсутствие поглощения или источников частиц (энергии). Пусть в начальный момент времени (t= 0) решение уравнения (2.44) задано в виде
(2.45)
В уравнении (2.44) роль скорости переноса играет само решение U(x,t). Знак этой функции может быть произвольным, в том числе разным в различных частях расчетной области. Для простоты будем считать, U(x,t) > 0.
Представим уравнение (2.44) в ином виде. Рассмотрим на плоскости (х, t) семейство кривых, определяемых соотношениями
Вдоль каждой такой кривой функция U(x, t) является сложной функцией одной переменной t: U = U(x(t),t). Полная производная этой функции по t с учетом (2.44), (2.46)
Таким образом, функция Uостается постоянной вдоль каждой кривой (2.46). Значение Uопределяется начальным условием (2.45), взятым в некоторой точке (х0,0), через которую проходит кривая:
(2.47)
Найдем теперь уравнение кривой (2.46), проходящей через точку (х0,0). С учетом (2.47) получаем уравнение 
, которое легко интегрируется:
(2.48)
Полученное соотношение определяет семейство прямых на плоскости. Функция Uне меняется вдоль каждой прямой этого семейства.
Прямые линии (2.48) называются характеристиками. Вдоль характеристик уравнения вырождаются в некоторые соотношения между дифференциалами функции, называемые соотношениями на характеристикахи имеющими в данном случае вид
Характеристики (2.48) квазилинейного уравнения (2.44), вообще говоря, не являются параллельными прямыми, как это было в случае линейного уравнения. Если переписать (2.48) в виде 
, то заметим, что тангенс угла наклона характеристик равен 1/U0(x0). Таким образом, наклон характеристик может меняться в разных точках при t= 0. Поэтому, если функция U0 (х) монотонно возрастает, то наклон характеристик слева направо монотонно убывает (веер характеристик). В этом случае решение задачи (2.44), (2.45) однозначно определено, поскольку через каждую точку полуплоскости t > 0 проходит одна характеристика, которая переносит в эту точку начальное значение. Такой случай показан на рис. 2.14.
Рис. 2.14. Характеристики квазилинейного уравнения при монотонном возрастании функции U0(x)
Рассмотрим теперь другой случай. Пусть функция U0(x) монотонно убывает (или является такой хотя бы на небольшом участке). Тогда наклон характеристик при движении слева направо увеличивается (рис. 2.15), что приведет к их пересечению. В точке пересечения решение не будет однозначным, поскольку каждая характеристика «принесет» в эту точку свое начальное значение. Поэтому в таких точках решение считается разрывным. Точки разрыва образуют линию разрыва в рассматриваемой области решения.
Рис. 2.15. Характеристики квазилинейного уравнения при монотонном убывании функции U0(x)
Различают два вида разрывов: слабые разрывы, когда терпят разрыв производные, и сильные разрывы – разрывы самого решения. Слабые разрывы в квазилинейном уравнении распространяются по характеристикам, сильные разрывы (в механике сплошных сред это обычно ударные волны) распространяются не по характеристикам. В точках разрыва производные не определены, поэтому уравнение теряет смысл. Следовательно, задачу нужно как-то доопределить, заменив в точках разрыва дифференциальные уравнения некоторыми конечными соотношениями.
Пусть x=φ(t) — уравнение линии разрыва, U– и U+ — значения решения соответственно слева и справа от точки разрыва, причем U– > U+(только в этом случае происходит пересечение характеристик). Тогда значения производной dx/dt=φ¢(t) на линии разрыва определяют по формуле
(2.49)
Это соотношение на линии разрыва заменяет дифференциальное уравнение. Таким образом, решение задачи (2.44), (2.45), (2.49) надо искать в классе разрывных функций.
Перейдем к рассмотрению численных методов решения данной задачи. Они подразделяются на две основные группы: методы с выделением разрывов и методы сквозного счета.
Методы с выделением разрывов являются модификациями рассмотренных выше методов. Различие состоит в том, что во всей области решение ищут обычным способом, а в окрестности линий разрыва счет проводят нестандартным образом. При этом обычно требуется найти сначала точки разрыва, которые к тому же не являются расчетными узлами. Такой естественный способ нахождения разрывных решений отпугивает многих пользователей сложностью алгоритма.
Вметодах сквозного счетаразрыв не выделяется, и весь расчет проводится по единой схеме, что весьма выгодно при организации вычислений на компьютере. Разностные схемы, используемые для таких расчетов, называются однородными. Однако в этих схемах разрыв перестает быть разрывом при изменении решения в одной точке. Он растягивается на несколько расчетных узлов, «размазывается». Рассмотрим этот вопрос подробнее.
На рис. 2.16 изображено точное решение Uв некоторый момент времени (сплошная линия). В точке х0 имеется разрыв, причем для простоты значения функции слева (U–) и справа (U+) приняты постоянными. При использовании метода сквозного счета получили значения сеточной функции, отмеченные точками. Мы видим, что сеточная функция является монотонной (в данном случае она не возрастает).
Рис. 2.16. Разрывное решение
Схемы, которые сохраняют монотонность решения разностной задачи, называются монотонными разностными схемами. В теории разностных схем доказывается следующий необходимый и достаточный признак монотонности линейной схемы.
Теорема. Явная двухслойная разностная схема вида
(2.50)
монотонна тогда и только тогда, когда 
неотрицательные числа.
Можно также показать, что для линейного уравнения переноса такие схемы могут иметь только первый порядок точности. Схемы высших порядков точности не являются монотонными. На рис. 2.16 штриховой линией отмечено решение, которое может быть получено сквозным счетом с использованием схемы второго порядка. Здесь наблюдается нарушение монотонности сеточной функции.
«Размазывание» разрывов решения при переходе от дифференциальной задачи к аппроксимирующей ее разностной схеме объясняется наличием в схеме так называемой аппроксимационной вязкости. В частности, схемы (2.28), (2.35) первого порядка точности обладают аппроксимационной вязкостью, а схема второго порядка (2.37) ею не обладает. Понятие аппроксимационной вязкости применимо только для линейных разностных схем вида (2.50).
Одним из приемов, используемых для расчета разрывных решений в рамках нелинейных уравнений (в частности, квазилинейных), является введение понятия искусственной вязкости (или псевдовязкости).Этот прием позволяет превратить разрывные решения в непрерывные и при этом достаточно гладкие. С этой целью в исходное уравнение вводят малую добавку (возмущение), и разрывное решение может быть получено как предел введенного гладкого решения при стремлении к нулю параметра возмущения.
Итак, вместо исходного квазилинейного уравнения (2.44) рассмотрим уравнение
(2.51)
Последний член в левой части, описывающий искусственную вязкость, при этом параметре, мал. Ясно, что при малом значении ε решения уравнений (2.44) и (2.51) при одинаковых начальных условиях будут близкими, если эти решения достаточно гладкие (вторая производная ограничена). Рассмотрим теперь разрывное решение исходной задачи (2.44), (2.45). Пусть это решение представляет собой ступенчатую функцию (см. рис. 2.16):
(2.52)
(2.53)
Это решение можно трактовать как ударную волну, движущуюся со скоростью а. При этом 
— некоторые постоянные. Легко убедиться, в том, что функция (2.52) удовлетворяет как квазилинейному уравнению (2.44), так и соотношению (2.49), заменяющему на линии разрыва х = atдифференциальное уравнение.
Построим решение уравнения (2.51). Будем искать его в виде
(2.54)
На это решение можно наложить асимптотическое условие, которое состоит в том, что вдали от разрыва решение 
уравнения (2.51) и решение U(x,t) уравнения (2.44), являющиеся гладкими функциями, близки, т.е.
Подставим решение (2.54) в уравнение (2.51). При этом учтем, что функция f(x—at) является сложной функцией одного аргумента z= х — at. Ее производные
Подставив эти выражения в уравнение (2.51), получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение относительно искомой функции f(x — at):
Приравнивая к нулю каждый из сомножителей, получаем два значения функции f:
(2.55)
Из значений (2.55) с учетом (2.52), (2.53) можно построить решение, напоминающее «размазанную» ударную волну (рис. 2.17), которое имеет вид
Рис. 2.17. Решение с искусственной вязкостью (t=0)
Получим гладкое решение, оно имеет даже кусочно непрерывную вторую производную. При малом ε зона перехода от U—кU+мала и решение близко к разрывному.
Таким образом, вместо нахождения разрывного решения задачи (2.44), (2.45), (2.49) можно искать непрерывное решение уравнения (2.51) при малых значениях ε. А это уравнение решается с помощью однородных разностных схем. В процессе решения следует обратить внимание на выбор шага h(а для неявных схем также τ), с тем, чтобы в области разрыва располагалось хотя бы несколько узлов.
Примером разностной схемы для уравнения (2.51) с искусственной вязкостью может быть следующая схема:
Упростив это выражение и разрешив его относительно неизвестного значения сеточной функции на (j + 1)-ом слое, получим
(2.56)
Эта явная схема условно устойчива при выполнении неравенства
в котором роль скорости распространения возмущения а (для линейного уравнения) играет сама функция U. Разностная схема (2.56) пригодна для решения задач при наличии движущихся разрывов.