Уравнение и график плоской гармонической волны это

Лекция №9. Механические волны

6.1. Распространение колебаний в упругой среде

Механические колебания, распространяющиеся в упругой среде (твердой, жидкой или газообразной), называются механическими или упругими волнами .

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение. Они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества .

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.

Упругая волна называется продольной , если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Продольные волны связаны с объемной деформацией растяжения − сжатия среды, поэтому они могут распространяться как в твердых телах, так и в жидкостях и газообразных средах.

Упругая волна называется поперечной , если колебания частиц среды происходят в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны Поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т. е. способна сопротивляться деформации сдвига. Этим свойством обладают только твердые тела.

На рис. 6.1.1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся вдоль оси 0х . График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны . Длина волны также равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период колебаний

Колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси 0х , а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется фронтом волны . Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, а в сферической − множество концентрических сфер.

6.2. Уравнение плоской волны

Уравнением плоской волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x , y , z и времени t

Эта функция должна быть периодической как относительно времени t , так и относительно координат x , y , z . Периодичность по времени вытекает из того, что смещение S описывает колебания частицы с координатами x , y , z , а периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются одинаковым образом.

Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось 0х совпадает с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны оси 0х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение S будет зависеть только от координаты х и времени t

Рассмотрим некоторую частицу среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х . Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 имеют вид

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х . Для того, чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до плоскости х , волне требуется время τ = x/υ . Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х , будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0 и описываться уравнением

где А − амплитуда волны; ϕ₀ − начальная фаза волны (определяется выбором начал отсчета х и t ).

Зафиксируем какое-либо значение фазы ω(t-x/υ)+ϕ₀=const. Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х , в котором фаза имеет фиксированное значение. Продифференцировав данное выражение, получим

Таким образом, скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы, и называется фазовой скоростью .

При υ > 0 волна распространяется в сторону возрастания х . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

Придадим уравнению плоской волны симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину $$k = <2π \over λ>$$ , которая называется волновым числом , которое можно представить в виде

Тогда уравнение плоской волны будет иметь вид

Мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается, т. е. наблюдается затухание волны. В однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону A=A₀e −βx . Тогда уравнение плоской волны для поглощающей среды имеет вид

6.3. Волновое уравнение

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, будет иметь вид

где r − радиус-вектор, точки волны; r =k× n − волновой вектор ; n − единичный вектор нормали к волновой поверхности

Волновой вектор − это вектор, равный по модулю волновому числу k и имеющий направление нормали к волновой поверхности называется.

Перейдем от радиус-вектора точки к ее координатам x , y , z Тогда уравнение (6.3.2) примет вид

Установим вид волнового уравнения. Для этого найдем вторые частные производные по координатам и времени выражение (6.3.3)

Сложив производные по координатам, и с учетом производной по времени, получим

6.4. Скорость распространения волн в различных средах

Для определения скорости упругих волн в упругой среде рассмотрим продольную плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси 0х . Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S₀ и высотой d_x . Смещения S частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными. Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение S , то смещение основания с координатой x+dx будет S+dS . Тогда, рассматриваемый объем деформируется и получает удлинение dS или относительную деформацию ε=∂S/∂x (деформации растяжения). Наличие деформации свидетельствует о существовании нормального напряжения σ , которое при малых деформациях пропорционального величине деформации. По закону Гука для деформации растяжения − сжатия

где Е − модуль Юнга среды.

Из зависимости смещения от координаты x видно, что относительная деформация ∂S/∂x , а также, и напряжение σ в фиксированный момент времени зависят от х . В соответствии с этим, продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сжатий среды.

Теперь для цилиндрического объема запишем уравнение движения. Масса этого объема

где ρ − плотность недеформированной среды.

Ввиду малости dx можно считать ускорение всех точек цилиндра одинаковым и равным

Тогда этот участок объема будет растянут под влиянием сил F₁ и F₂ , приложенных к основаниям цилиндра в данный момент времени. Силы, действующие на левое и правое основание цилиндра равны, соответственно

После разложения силы F₂ в ряд, получим

и результирующая F₁ , F₂ сил, действующая на элемент объема равна

Используя основное уравнение динамики поступательного движения (2.1.2) и, подставив значения массы, ускорения и силы, получим

Из сравнения этого уравнения с волновым уравнением для плоской волны (6.3.6) $$<∂^2S \over ∂x^2>=<1 \over v^2><∂^2S \over ∂t^2>$$ , получим

где Е − модуль Юнга.

Полученное уравнение определяет фазовую скорость продольных упругих волн.

Если проделать аналогичные преобразования для поперечных упругих волн, то фазовая скорость поперечных упругих волн будет иметь следующий вид

Уравнение и график плоской гармонической волны это

отстоящие друг от друга на расстоянии λ, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции . в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Пусть колебание точек, лежащих в плоскости x = 0, имеет вид (при начальной фазе ф = 0)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время τ = х/v. Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0, т. е.

— это уравнение плоской волны (рис. 2.4.3). Таким образом, . есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания A = const. Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (2.4.5) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

Выражения (2.4.5) и (2.4.6) есть уравнения бегущей волны. Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число k = 2π/λ, или в векторной форме

где k — волновой вектор; n — нормаль к волновой поверхности.

Так как λ = vT , то k = 2π/vT = 2πν/v = ω/v. Отсюда v = ω/k.

Тогда уравнение плоской волны запишется так:

Гармоническая волна

Волна называется гармонической, если она описывается функцией,

ψ(t,х) = А cos(ωt-kx + a), (11.4)

где А — амплитуда волны; ω — частота; к — волновое число; а — начальная фаза;

— фаза волны. Функцию (11.4) можно привести к виду (11.2):

видно, что скорость гармонической волны связана с частотой и волновым числом соотношением

Для того чтобы получить зависимость величины ψ от времени t, кото­рая описывает ее изменения со временем в данной точке пространства, следует положить в формуле (11.4) х = const. Так как функция (11.4) при х = const описывает гармонические колебания, говорят, что гармони­ческая волна создает в произвольной точке пространства гармонические колебания.

T=2π/ω — период волны, а (11.7)

— длиной волны. Если фаза (11.5) волны получит приращение 2π, то, значение функции (11.4) останется прежним. Поэтому при х= const функция (11.4) принимает одно и то же значение для всех моментов вре­мени, которые отличаются одно от другого на пТ, где п — целое число; а при t = const значения функции (11.4) в различных точках пространства совпадают, если координаты этих точек отличаются друг от друга на пλ. График зависимости величины ψ(t,х) от координаты х при t = const для случая, когда вдоль оси х распространяется гармоническая волна, пока­зан на рис. 11.2.

Рис. 11.2. Гармоническая волна

11.3. Волны впространстве

Пусть физическая величина ψ распределена в пространстве, и это рас­пределение меняется со временем. Говорят, что функция ψ = ψ(t,r) описывает волну, распространяющуюся в пространстве, если она удо­влетворяет уравнению

Волна называется плоской, если существует такая система декартовых координат, в которой функция ψ зависит только от одной из координат. Если этой координатой является х, то уравнение (11.9) сводится к (11.1). В произвольной прямоугольной системе декартовых координат плоская гармоническая волна описывается функцией

ψ(t,r) = A cos(ωt-kr + a), (11.10

где вектор кназывается волновым. В том, что эта функция является решением уравнения (11.9), нетрудно убедиться непосредственной под­становкой.

Рис. 11.3. Фазовые поверхности и лучи, вдоль которых распространяется в пространстве плоская волна

φ(t, r) = ωt –kr+a

называется фазой плоской волны. Поверхность

φ(t = const, r) = const, или kr= const

постоянной фазы (11.11) является плоскостью, к которой вектор кпер­пендикулярен. Такие поверхности называют фазовыми, или волновыми, а линии, перпендикулярные к фазовым поверхностям, называют лучами. Для плоской волны лучами являются прямые, параллельные волновому вектору. Этот вектор указывает направление распространения волны, а его модуль (волновое число), частота и скорость волны связаны соотно­шением (11.6). На рис. 11.3 изображены фазовые поверхности и лучи плоской волны.

11.4. Плоские электромагнитные волны *

Рассмотрим электромагнитное поле в пространстве, заполненном однородным диэлектриком, в котором отсутствуют свободные заряды и электрические токи, т.е. объемная плотность связанных зарядов и плотность тока равны нулю:

ρ=0, j=0

В таком случае уравнения Максвелла (10.1) — (10.4) принимают вид

(11.12)

D =εE, В =μH. (10.13)

Для однородной среды абсолютные диэлектрическая и магнитная про­ницаемости вещества постоянны: ε = const и μ = const. При помощи

соотношений (11.13) векторы D и В удобно исключить из системы урав­нений (11.12):

→ divE=0

→

→

→divH=0

Пусть векторы Е и Н зависят только от t и у:

Покажем, что эти функции могут быть решениями уравнений (11.14), а также, что среди решений уравнений (11.14) такого вида есть функции, описывающие плоские электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль оси у.

Вычислим ротор и дивергенцию вектора E(t, у)

rot E = = +

div =

С учетом этих формул подстановка векторов (11.15) в равенства (11.14) приводит к системе уравнений

= (11.16)

0= (11.17)

— = (11.18)

=0 (11.19)

= (11.20)

0= (11.21)

= (11.22)

=0 (11.23)

Из уравнений (11.19) и (11.21) следует, что Е_y = const. Очевидно, что постоянное электрическое поле в электромагнитной волне отсутствует. Поэтому положим

Аналогично, уравнения (11.17) и (11.23) приводят к равенству

Оставшиеся неиспользованными уравнения можно разделить на две независимые системы. Первая состоит из уравнений (11.16) и (11.22) для функций E_z и Н_х, а вторая — из уравнений (11.18) и (11.20) для функций Е_х и Н_г. Выпишем уравнения первой системы:

=

=

Исключим Н_х из этой системы. Для этого продифференцируем уравне­ние (11.16) по у, а уравнение (11.22) — по i. После несложных преобразо­ваний придем к уравнению

= ; (16.26)

v= (11.27)

Уравнение (11.26) есть волновое уравнение. Одно из его решений, опи­сывающих гармоническую волну, имеет вид

где E_m — амплитуда волны. Эта волна распространяется вдоль оси у в сторону возрастания у.

также является решением волнового уравнения (11.26). Эта функция есть плоская гармоническая волна, распространяющаяся вдоль оси у в сторону убывания у.

Найдем функцию H_x(t,y), соответствующую функции (11.28). Для этого подставим выражение (11.28) в уравнения (11.16) и (11.22). Полу­чим:

= -( кЕ_m/μ)sin(ωt- к у + а),

= ωεE_m sin(ωt- ky +a)

Отсюда с учетом соотношений (11.6) и (11.27) найдем, что

Н_т = Е_т (11.30)

В частном случае система уравнений (11.18) и (11.20) имеют нулевое

Нетрудно проверить, что функции

при условии (11.30) также являются решениями системы уравнений (11.18) и (11.20).

Итак, найдены решения уравнений Максвелла в виде плоских гармо­нических волн, распространяющихся вдоль оси у. Решениями уравнений Максвелла могут быть не только плоские гармонические волны. Вдоль оси у могут распространяться электромагнитные волны более сложной формы. Например, это может быть произвольная суперпозиция плос­ких гармонических волн. Для всех этих волн справедливы равенства (11.24) и (11.25). Вообще все электромагнитные волны обладают таким свойством. Проекции векторов Е и H на направление, вдоль которо­го распространяется электромагнитная волна всегда равны нулю. Это свойство называют поперечностъю электромагнитных волн.

Дата добавления: 2015-06-12 ; просмотров: 3856 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ