Уравнение и график равнопеременного движения

Равнопеременное прямолинейное движение

Равномерное прямолинейное движение – это частный случай неравномерного движения.

Неравномерное движение – это движение, при котором тело (материальная точка) за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения. Например, городской автобус движется неравномерно, так как его движение состоит в основном из разгонов и торможений.

Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).

Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

Равноускоренное движение – это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.

Равнозамедленное движение – это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.

В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.

Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости – м/с.

Мгновенная скорость – это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).

Ускорение – это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор ускорения равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:

Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:

Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.

Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения – это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).

Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.

Зависимость скорости от времени – это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.

График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что

При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:

Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:

В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «–» (минус).

Общая формула для определения проекции перемещения:

График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.

Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.

Скорость тела в данный момент времени t₁ равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:

Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:

Формула сокращённого умножения разности квадратов поможет нам вывести формулу для проекции перемещения:

Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, то уравнение движения тела будет выглядеть следующим образом:

Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При а_x

Прямолинейное равнопеременное движение

Содержание:

Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково. Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению.

На странице -> решение задач по физике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам физики.

Прямолинейное равнопеременное движение

Равнопеременное прямолинейное движение. Равнопеременным прямолинейным движением называется дви—жение, при котором за любые равные промежутки времени скорость те-ла изменяется на одинаковую величину и траектория – прямая линия.

Средняя скорость неравномерного движения

Большинство движений, наблюдаемых нами в природе и технике,— движения переменные, то есть неравномерные. Таковы, например, движения автомобиля, трактора, поезда, людей, животных и др.

Для характеристики неравномерного движения на каком-нибудь участке пути вводится понятие средней скорости движения.

Рассмотрим пример. Допустим, что расстояние от Москвы до Горького (440 км) поезд прошёл за 11 час. Движение поезда на всём пути было явно неравномерное: он то ускорял движение, то замедлял и даже останавливался на промежуточных станциях. Но если бы путь в 440 км поезд прошёл за 11 час., двигаясь равномерно, то его скорость была бы: Скорость 40 является средней скоростью неравномерного движения на участке Москва — Горький.

Средняя скорость неравномерного движения на данном участке пути измеряется отношением длины участка пути к промежутку времени, в течение которого этот путь пройден

Но так же рассчитывается и скорость равномерного движения. Следовательно, можно сказать, что средняя скорость неравномерного движения равна скорости такого равномерного движения, при котором тело проходит тот же путь и за такой же промежуток времени, как и при данном неравномерном движении.

Если известны время и средняя скорость неравномерного движения на некотором участке пути, то длину этого участка пути можно рассчитать по формуле:

Мгновенная скорость

В каждый момент времени тело движется с определённой скоростью, и каждому моменту времени соответствует определённая точка на траектории.

Рис. 32. К понятию мгновенной скорости.

Скорость, которую имеет тело в данный момент времени или в данной точке траектории, называется мгновенной скоростью.

При равномерном движении тела его скорость во всех точках траектории одинакова. Это и будет его мгновенная скорость. Сложнее дело обстоит е случае неравномерного движения.

Допустим, что тело, двигаясь неравномерно-прямолинейно, за t сек. прошло путь АВ — s (рис. 32). Средняя скорость этого движения Эта скорость, вообще говоря, не характеризует движения в какой-нибудь точке пути С и не-определяет величину скорости в этой точке. Чтобы определить скорость в точке С, поступим следующим образом.

Разобьём весь наш путь АВ на отдельные участки и определим среднюю скорость на участке пути меньшем АВ; затем на участке меньшем и т. д., всё ближе и ближе подходя к точке С. По мере уменьшения участка пути, включающего точку С, а следовательно, и по мере уменьшения промежутка времени, за который этот участок проходится, изменение скорости на нём будет всё меньше и меньше. Движение за такие малые промежутки времени практически будет равномерным; скорость этого движения и можно принять за мгновенную скорость неравномерного движения в заданной точке траектории.

Подобные рассуждения можно провести относительно любой точки, взятой на траектории АВ.

Подкрепим теперь наши общие.рассуждения о мгновенной скорости числовыми данными. Допустим, что четыре наблюдателя определяют скорость автомобиля в момент его прохождения мимо какого-нибудь предмета у дороги. С момента прохождения автомобиля мимо этого предмета все наблюдатели одновременно измеряют пути, пройденные автомобилем от этого предмета за различные промежутки времени. Результаты их наблюдений следующие:
Какая же из полученных величин скорости ближе к мгновенной скорости, которую имел автомобиль, проезжая мимо указанного выше предмета?

Рис. 33. Определение мгновенной скорости на опыте.

Такой скоростью, очевидно, будет скорость, вычисленная из результата измерений четвёртого наблюдателя, так как за 3 сек. автомобиль меньше всего изменил свою скорость. Итак, чем меньше взять промежуток времени, тем точнее можно определить искомую скорость тела в заданный момент времени.

Мгновенную скорость можно определить на опыте. Обратимся к рисунку 33. С наклонной плоскости скатывается тележка с капельницей. По отметкам, оставляемым капельницей, легко установить, что тележка движется неравномерно. Допустим, нам нужно определить мгновенную скорость тележки в какой-либо точке наклонной плоскости, например у её основания С. Для этого к наклонной плоскости в точке С присоединим горизонтальный жёлоб СВ,

Пользуясь капельницей; так же как в опыте, описанном на странице 13, легко установить, что когда тележка проходит точку С, то дальше она на небольшом отрезке пути отточки С движется равномерно. Следовательно, скорость в точке Сбудет такой же, как на всём дальнейшем пути равномерного движения. Отмечая время равномерного движения какой-либо точки на тележке и измеряя пройденный ею путь, можно определить скорость равномерного движения; она и будет искомой мгновенной скоростью в точке С.

Для определения мгновенной скорости в какой-либо другой точке А нужно только поднять горизонтальную часть плоскости СВ на уровень точки А и произвести такие же измерения, как и для точки С.

Мгновенные скорости движения автомобиля отмечаются стрелкой на шкале спидометра.

Ускорение

Среди разнообразных переменных движений встречаются движения, в которых скорость непрерывно возрастает. Такие движения называются ускоренными.

Ускоренно, например, движется поезд, отходящий от станции и постепенно увеличивающий свою скорость, поднимающийся в воздух самолёт, пуля в канале ружья и т. д. В сущности начало всякого движения является движением ускоренным, так как всякое тело, начиная двигаться, не мгновенно „набирает“ свою скорость.

В разных ускоренных движениях скорость изменяется по-разному—в одних быстрее, в других медленнее. Сравним, например, движение поезда при отходе со станции с движением снаряда в стволе орудия при выстреле. Оба эти движения ускоренные. Но в то время как скорость поезда возрастает медленно, скорость снаряда за какие-нибудь сотые доли секунды увеличивается от нуля до сотен метров в секунду.

Таким образом, ускоренные движения отличаются одно от другого быстротой изменёния скорости.

Характеристикой быстроты изменения скорости является особая величина, называемая ускорением. Чем быстрее изменяется скорость движения, тем больше величина ускорения.

Обозначим начальную скорость переменного движения тела а скорость его через t сек. тогда изменение скорости за этот промежуток времени равно Допустим, что скорость движения изменяется равномерно; тогда изменение скорости за одну секунду будет равно:

Величина, измеряемая отношением изменения скорости к тому промежутку времени, за которое это изменение произошло, называется ускорением.

Обозначив ускорение буквой а, мы можем написать:

Пусть, например, в некоторый момент времени скорость пули в стволе винтовки была 100 , а через 0,0014 сек. стала 800 . Значит, за 0,0014 сек. скорость пули изменилась на

800 —100 = 700 .

Ускорение движения пули внутри ствола винтовки будет равно:

или за секунду.

Мы узнали, что ускорение движения пули внутри ствола за секунду. Как это надо представлять себе? Это надо представлять так, что при равномерном нарастании скорость пули за 1 сек. увеличилась бы на . Конечно, это не значит, что пуля внутри ствола на самом деле будет двигаться 1 сек.

Единица ускорения

Установим теперь единицу ускорения. Положив ед. скорости и t=1 ед. времени в формуле получим а = 1 ед. ускорения.

Это значит, что единицей ускорения является ускорение такого движения, при котором за единицу времени скорость изменяется на единицу скорости.

Если измерять скорость в а время в секундах, то единицей ускорения будет ускорение такого движения, в котором за 1 сек. скорость изменяется на Наименование такой единицы ускорения:

Приняв за единицу скорости а за единицу времени 1 сек., мы получим единицу ускорения

Этими двумя единицами чаще всего и измеряют ускорение, но, вообще говоря, за единицу ускорения можно принимать и т.д.

Численное значение ускорения, как и любой другой физической величины, зависит от выбора единиц измерения.

П р и м е р. Ускорение некоторого движения равно Выразить это ускорение в

Равноускоренное движение

Познакомимся с ускоренным движением на опыте.

Рис. 34. Положения шарика через равные промежутки времени при его движении по наклонному жёлобу (отмечены флажками).

Установим наклонно жёлоб и предоставим шарику скатываться по нему. Определим пройденные шариком пути за одну, две, три и т. д. секунды. На рисунке 34 положения шарика на жёлобе в конце каждой из этих секунд обозначены флажками и помечены буквами Расстояние есть путь, пройденный шариком в течение первой секунды, —путь, пройденный шариком в течение второй секунды, —в течение третьей секунды и — в течение четвёртой секунды. Эти расстояния личиваются, следовательно, скорость шарика его движения по наклонному жёлобу возрастала.

Чтобы установить закон возрастания скорости, измерим мгновенные скорости, которые будет иметь центр шарика в конце первой,второй, третьей и т. д. секунды.

Рис. 35. К установлению закона изменения скорости при движении шарика по наклонному жёлобу.

Для этого от нижнего конца наклонного жёлоба вверх по нему (рис. 35) отложим расстояния и проходимые шариком за одну, две, три секунды, и будем скатывать шарик сначала от затем от и, наконец, от

Скатившись с наклонного жёлоба, шарик будет двигаться с разными скоростями, причём во всех случаях на некотором отрезке горизонтального пути движение шарика будет равномерным.

Измерив в каждом случае путь, пройденный шариком по горизонтальной плоскости за 1 сек., мы найдём скорость шарика на участке равномерного движения, т. е. его мгновенную скорость в точке о.

В одном из опытов были получены следующие численные значения мгновенных скоростей шарика:

В этом опыте скорость движения шарика по наклонному жёлобу увеличивалась за 1 сек. на одну и ту же величину (на 20 ), т. е. шарик двигался с ускорением 20

Движение, при котором в любые равные промежутки времени скорость увеличивается на одну и ту же величину, называется равноускоренным.

Движение шарика по наклонному жёлобу есть равноускоренное движение.

Равноускоренное движение является одним из простейших видов ускоренных движений. Для равноускоренного движения, как мы увидим, зависимость скорости и пути от времени можно выразить простыми математическими формулами.

Скорость равноускоренного движения

В равноускоренном движении ускорение на всём протяжении пути не меняется, поэтому равноускоренное движение есть движение с постоянным ускорением.

Скорость в равноускоренном движении каждую секунду увеличивается на одну и ту же величину, численно равную ускорению.

Рассмотрим, как можно рассчитать скорость равноускоренного движения в конце какого-нибудь промежутка времени, если известны начальная скорость и ускорение.

Пусть в начале наблюдения скорость тела, например поезда, равна и поезд движется с ускорением

Чему будет равна скорость поезда через t секунд?

Нам уже известно, что ускорение равноускоренного движения показывает, на сколько возрастает скорость за каждую секунду.

В нашем примере ускорение равно Значит, скорость поезда ежесекундно возрастает на в течение t секунд скорость возрастёт на величину, в t раз большую, т. е. на

Так как в начале наблюдения скорость поезда была равна и через t сек она возросла на то в конце промежутка времени t она будет равна

Если обозначить скорость тела в конце промежутка времени t через то можно написать:

Что изменится, если начальная скорость будет равной, например, и ускорение или соответственно и

Рассуждая по-прежнему, мы получим:

или

Таким образом, алгебраическое выражение для конечной скорости остаётся без изменения. Изменяется только наименование скорости.

Следовательно, конечная скорость равноускоренного движения может быть рассчитана по формуле:

В этой формуле —начальная скорость, а — ускорение и t—время.

Тот же результат можем получить алгебраически из формулы:

о которой говорится в параграфе 19.

Эта формула представляет собой уравнение первой степени. Решим его относительно

Для равноускоренного движения, которое начинается из состояния покоя, поэтому из формулы (1) получим:

Значит, если начальная скорость равна нулю, то мгновенная скорость равноускоренного движения пропорциональна времени.

Пользуясь формулой (3), можно значение вычисленных в опыте § 21 скоростей представить в виде следующей таблицы:

Из этой таблицы видно, что скорость движения шарика по наклонному жёлобу в любой момент времени может быть рассчитана но формуле:

График скорости равноускоренного движения

Рис. 36. Оси координат (ось времён и ось скоростей).

Зависимость скорости равноускоренного движения от времени можно выразить не только алгебраически, но и графически. Для этого возьмём две взаимно перпендикулярные оси координат (рис. 36). Одну из них Ov назовём осью скоростей, а другую Ot— осью времён. Перпендикуляр, опущенный из любой какой-нибудь точки А на ось времён, отсекает на ней отрезок ОВ, численно равный (в выбранном масштабе) некоторому промежутку времени t, а перпендикуляр, опущенный из той же точки на ось скоростей, отсекает отрезок ОС, рав
ный по величине скорости в конце этого промежутка времени.

Из построения видно, что расстояние АВ определяет величину скорости в момент времени t.

Построим сначала график движения без начальной скорости. Пусть, например, ускорение По формуле рассчитаем скорость в конце первой секунды от начала движения, второй, третьей и т. д. и результаты запишем в таблицу.

Начертим оси координат Ov и Ot (рис. 37). На оси времён отложим равные отрезки 0—1. 1—2, 2—3 и т. д., каждый из которых соответствует 1 секунде.

Из концов этих отрезков по данным нашей таблицы (в масштабе 1 см—) отложим мгновенные скорости в конце первой секунды, второй и т. д. Верхние концы A, В, С полученных отрезков соединим. Получим прямую, проходящую через начало координат и наклонённую к осям. Эта прямая и будет представлять собой график скорости равноускоренного движения.

График скорости равноускоренного движения имеет такой же вид, как и полученный нами ранее график пути равномерного движения (рис. 37).

Рис. 37. График скорости равноускоренного движения с начальной скоростью, равной нулю.

Рис. 38. График скорости равноускоренного движения с начальной скоростью, не равной нулю.

В обоих случаях график представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Эго не случайное совпадение. Дело в том, что пройденный путь при равномерном движении и скорость при равноускоренном движении изменяются по одному и тому же закону—прямо пропорционально времени. Закон же прямой пропорциональности, как это доказывается в математике, графически изображается прямой линией.

Построим теперь график для случая, когда начальная скорость не равна нулю, например и Так же, как и в первом случае, но теперь по формуле рассчитаем скорость в конце первой секунды от начального момента отсчёта, в конце второй, третьей и т. д. Результаты запишем в таблицу.

Отмечая соответствующие точки на графике и соединяя их между собой линией, получим график скорости равноускоренного движения с начальной скоростью (рис. 38). Так как скорость увеличивается в каждую секунду на одну и ту же величину, то линия, соединяющая точки А, В, С, D,—прямая, но она не проходит через точку пересечения осей, так как в момент t = 0 скорость тела не равняется нулю.

Графический способ вывода формулы пути равноускоренного движения

В равномерном движении пройденный путь графически изображался площадью прямоугольника, построенного на графике скорости (§ 11).

Рис. 40. К выводу формулы пути, пройденного при равноускоренном движении.

В равноускоренном же движении с начальной скоростью пройденный путь изображается площадью трапеции. Это мы используем для вывода формулы пути равноускоренного движения.

На рисунке 40 график скорости равноускоренного движения изображён прямой АС. Путь, пройденный за время t, на том же рисунке изображается площадью ОАСВ; он численно равен площади ОАСВ. Эта площадь ограничена отрезком прямой АС, представляющим собой график скорости, отрезками

Из рисунка 40 видно, что если к площади прямоугольника ОАМВ прибавить площадь треугольника АСМ, то мы получим площадь S фигуры ОАСВ. Таким образом,

Но OB = AM = t, Отсюда для пройденного пути получим формулу:

или

Для движения без начальной скорости пройденный путь выразится формулой:

По формуле рассчитаем пройденные пути при равноускоренном движении за 1, 2, 3 и т. д. секунды для случая, когда ускорение равно и полученные данные запишем в таблицу.

Из этой таблицы видно, что за две секунды тело пройдёт путь, в 4 раза больший, чем за первую секунду, за три секунды—в 9 раз больший и т. д., т.е. при равноускоренном движении без начальной скорости пройденный путь пропорционален квадрату времени.

Из формулы и из приведенной таблицы следует, что путь, проходимый телом в первую секунду, численно равен половине ускорения. Если, например, поезд, двигаясь от станции, в первую секунду прошёл путь 1,5 м, то ускорение движения его

Средняя скорость равноускоренного движения

Из формулы пути равноускоренного движения легко вывести формулу средней скорости.

Из определения средней скорости следует (см. § 17), что или разделив каждое слагаемое числителя на t, получим:

а преобразуя правую часть написанного равенства, будем иметь:
или

Так как то получим:

Итак, средняя скорость равноускоренного движения за некоторый промежуток времени равна полусумме начальной и конечной скоростей.

Для случая, когда

В равноускоренном движении скорость движения изменяется равномерно от до Поэтому средняя скорость такого движения равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей:

Уравнения равноускоренного движения

называются уравнениями равноускоренного движения; они выражают зависимость скорости или пути в этом движении от времени.

Этих формул вполне достаточно для решения любой задачи на равноускоренное движение. Однако для упрощения расчётов в задачах, где не дано времени движения, целесообразно пользоваться ещё одной формулой.

Из формулы ускорения (§ 19) время Подставив его формулу получим:

Заменяя её значением и преобразуя полученное выражение, придём к формуле:

откуда

Если начальная скорость равна нулю: то полученная формула (4) примет вид:

Формулами (4) и (5) часто пользуются для решения задач, когда не дано времени движения.

Пути, проходимые в равноускоренном движении за равные последовательные промежутки времени

Воспользуемся таблицей пройденных путей, приведённой на странице 43, и определим пути, проходимые телом в равноускоренном движении без начальной скорости за каждую отдельную секунду.

Пройденный путь за первую секунду от начала движения равен Обозначим его

Чтобы вычислить путь за вторую секунду, надо из пути, пройденного за две секунды, вычесть путь, пройденный за первую секунду:

Пройденный путь за третью секунду найдём, вычитая из пути, пройденного за три секунды, путь, пройденный за две секунды:

Таким же образом найдём, что пути пройденные за четвёртую и пятую секунды, будут равны:

Составим отношение из числовых значений пройденных путей:

Преобразуя правую часть равенства, получим:

Из полученного нами равенства видно, что пути, проходимые в последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательный ряд нечётных чисел.

Свободное падение тел

Одним из интересных и важных видов движения является движение падающих тел. Изучим это движение на опыте.

Рис. 43. Тело, подвешенное на нити, натягивает нить по вертикали.

Подвесим на нити какое-нибудь тяжёлое тело (рис. 43), нить натянется вдоль определённого направления. Это направление, как известно, называется вертикальным или отвесным, а нить с грузом—отвесом.

Если пережечь нить, тело будет падать по вертикальному направлению.

Выпустим из рук с одинаковой высоты одновременно плашмя металлический кружок и такого же диаметра лёгкий картонный кружок. Мы увидим, что скорее упадёт металлический кружок. Почему? Не является ли причиной этого различие в весе падающих тел?

Такой вывод легко опровергается следующим опытом. Возьмём два одинаковых листа бумаги и, скомкав один из них, уроним оба листа с одинаковой высоты. Мы увидим, что скомканный лист упадёт быстрее. Следовательно, причиной различной скорости падения тел является не только различие в весе тел.

Положим картонный кружок на металлический и выпустим их из рук. Оба кружка упадут в одно и то же время. Этот опыт отличается от первого тем, что условия падения кружков здесь неодинаковы. Металлический кружок, падая, встречает сопротивление воздуха, между тем как для картонного кружка этого препятствия нет: оно устраняется металлическим кружком, падающим впереди картонного. Следовательно, на скорость падения тел влияет сопротивление воздуха.

Рассмотрим теперь, как будут падать тела в отсутствие сопротивления воздуха, в безвоздушном пространстве.

Возьмём стеклянную трубку длиной примерно 1,5 м с одним закрытым концом и с краном на другом конце (рис. 44). В трубку вложены: монета, птичье пёрышко, кусочек пробки, дробинка, т. е. тела разной формы и разного веса. Пока в трубке имеется воздух, упомянутые тела при перевёртывании трубки движутся с разными скоростями. Но стоит только откачать воздух из трубки, и те же тела будут двигаться с одинаковыми скоростями.

Падение тел в безвоздушном пространстве называется свободным падением.

Галилео Галилей (1564— 1642)—великий итальянский учёный, основатель опытной физики.

Галилей открыл законы падения тел и качания маятника, ему принадлежит идея закона инерции, включённого Ньютоном в число основных законов механики. Галилей изобрёл термометр, первый применил телескоп для астрономических исследований, открыл спутников Юпитера, солнечные пятна и фазы Венеры.

Галилей был ревностным пропагандистом взглядов Коперника, за что был судим судом папской инквизиции и под угрозой пыток вынужден был подписать отказ от своих убеждений. Однако на деле он остался верен им и до конца жизни продолжал развивать учение о гелиоцентрической системе мира.

Падение тел опытным путём впервые изучал в конце XVI в. Галилей, роняя тяжёлые тела с башни (рис. 45). Эти опыты показали, что все тела, независимо от их веса, достигали поверхности земли почти в одно и то же время.

Рис. 45. Наклонная башня, которой пользовался Галилей для изучения законов падения тел.

Законы падения Галилей открыл, изучая движение шарика по наклонному жёлобу. Это движение является тоже падением, только протекающим медленнее, чем падение по вертикали.

Исследования Галилея показали, что свободное падение есть движение равноускоренное.

Особенностью свободного падения является то, что все тела в данном месте падают с одинаковым ускорением. Это ускорение называется ускорением свободного падения,

Ускорение свободного падения обозначается буквой (первая буква латинского слова гравитас, что значит тяжесть).

Так как движение свободно падающего тела есть равноускоренное движение без начальной скорости, то расчёты пути и скорости в этом движении производятся по формулам, выведенным в § 22 и 24.

Так, если тело падает с высоты h в течение времени t, то

При этом тело достигает скорости

v = gt или

Величину g можно определить опытным путём, например заставляя стальной шарик падать с определённой высоты и измеряя время падения. Сопротивление воздуха, которое испытывает при этом шарик, незначительно.

При проведении одного такого опыта в пролёте школьной лестницы с высоты 17,6 м падал стальной шарик. Секундомер показал время падения 1,9 сек. По формуле нашли, что

Существуют, конечно, способы, позволяющие определить величину g значительно точнее, чем мы это делали в школе.

Численное значение g на разных широтах земного шара различно и колеблется между на полюсах и на экваторе; для Москвы

Ускорение свободного падения называют нормальным.

Причины, вызывающие различие в ускорениях свободного падения тел, будут рассмотрены далее.

В расчётах, если не требуется особой точности, пользуются значением g, равным или или даже

Равнозамедленное движение

На рисунке 47 изображено движение шарика от толчка вверх по наклонному жёлобу.

Рис. 47. Движение шарика вверх по наклонному жёлобу.

Флажками отмечены положения шарика через одну, две, три секунды от начала движения. Расстояние между флажками, а следовательно, и пути, проходимые шариком за равные промежутки времени, уменьшаются. Значит, движение шарика замедленное.

Простейшим видом замедленного движения является движение равнозамедленное.

В равнозамедленном движении скорость за любые равные промежутки времени уменьшается на одну и ту же величину.

При этом ускорение, вычисляемое по формуле:

окажется отрицательной величиной, так как меньше Пусть, например, скорость поезда при равнозамедленном движении за t= 10 сек. уменьшилась с до в таком случае ускорение

Равнозамедленное движение есть движение с постоянным отрицательным ускорением.

Чтобы получить формулы скорости и пути для равнозамедленного движения, достаточно в аналогичных формулах равноускоренного движения заменить а на — а.

Тогда формула скорости будет:

для пройденного же пути получим:

Равноускоренное и равнозамедленное движения часто называют равнопеременными движениями, так как в обоих этих движениях скорость изменяется равномерно.

Многие движения весьма близки к равнопеременным и при различных расчётах могут быть приняты за равнопеременные. Так, движения поездов и автомобилей при отходе их от остановки и при торможении, движение пули внутри ствола и многие другие могут рассматриваться как равнопеременные.

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Примером замедленного движения (очень близкого к равнозамедленному) может служить движение тела, брошенного вертикально вверх.

Действительно всякое тело свободно падает с ускорением g, направленным вертикально вниз. Вследствие этого при движении тела вертикально вверх его скорость ежесекундно уменьшается на величину, численно равную ускорению свободного падения. Брошенное вертикально вверх тело движется равнозамедленно до тех пор, пока скорость его не станет равной нулю. В этот момент тело достигает наибольшей высоты и с этой высоты начинает свободно падать, двигаясь обратно вниз.

Формулы для подсчёта скорости и пути движения тела, брошенного вертикально вверх, для любого момента времени будут:

где h—высота, на которую поднимается тело за время t.

Формулу для расчёта высоты h можно также получить, рассматривая движение тела, брошенного вертикально вверх, как сложное движение, состоящее из двух движений: из движения равномерного, направленного вертикально вверх с некоторой начальной скоростью, и из свободного падения. Оба движения происходят по одной прямой; поэтому пройденный телом путь за некоторый промежуток времени будет равен алгебраической сумме путей, пройденных в каждом отдельном движении.

Обозначим скорость, с которой тело брошено вертикально вверх, через Двигаясь только с этой скоростью равномерно, тело за t сек. могло бы подняться на высоту Но оно одновременно, свободно падая, в течение того же времени t опускается вниз на расстояние Действительная высота h, на которую поднимается тело вверх за t сек., будет равна или:

Рассмотрим следующий пример. Пусть тело брошено вертикально вверх со скоростью Для упрощения расчётов положим Определим, на какой высоте будет находиться тело через 3 сек. от начала движения. По формуле (2):

Так как в момент времени, когда тело достигает наибольшей высоты, то время полёта определится из уравнения (1):

отсюда

Чтобы определить наибольшую высоту, на которую поднимается тело, подставим найденную величину t в уравнение (2), определяющее h:

Найдём теперь, с какой скоростью тело, падая с этой высоты, вернётся к начальному своему положению. Так как тело, падая, будет двигаться равноускоренно без начальной скорости и пройдёт расстояние h, то скорость его будет равна:

т. е. скорость, с которой тело вернётся в то же место, откуда оно было брошено, равна первоначальной скорости (если не учитывать сопротивления воздуха).

Услуги по физике:

Лекции по физике:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Прямолинейное равнопеременное движение

Прямолинейное равнопеременное движение — движение тела вдоль прямой, характеризующееся постоянным по модулю и направлению линейным ускорением.

Траектория такого движения — прямая, поэтому в задачах равнозначными являются понятия пути и модуля перемещения. Такое движение может быть описано несколькими соотношениями:

• вектор скорости тела при равнопеременном движении

• где
  • — вектор конечной скорости движения
  • — вектор начальной скорости движения
  • — вектор ускорения
  • — время движения
• вектор перемещения тела при равнопеременном движении

Однако это векторные уравнения, с которыми работать достаточно сложно, а иногда, просто не хочется. Попробуем, анализируя условия задачи, составить уравнения скалярного вида, спроецировав вектора на некую ось.

Рис. 1. Равноускоренное движение 1

Пример 1. Тело движется прямо с начальной скоростью и ускоряется. По задаче выставляем вектора на ось OX (движение прямолинейное) (рис. 1). Сказано, что тело движется вдоль оси (вектор направлен по оси) и ускоряется (вектор также направлен вдоль оси). Осталось зафиксированные вектора спроецировать:

• Для уравнения (1):
• Для уравнения (2):

В общем случае, мы не можем предугадать направления векторов и , соответственно, мы не можем указать точный знак проекции этих векторов на выбранную ось. Но не заморачиваемся: в результате решения задачи мы получим одно и то же по модулю число, даже если ошибёмся. Т.е. выбираем направления как хотим, а потом анализируем ответ.

Рис. 2. Равноускоренное движение-2

Пример 2. Тело движется в положительном направлении оси и затормаживает. По задаче тело движется вдоль оси (вектор направлен по оси), а торможение говорит о том, что вектор ускорения ( ) направлен против оси OX (рис. 2). Проецируем:

• Для уравнения (1):
• Для уравнения (2):

Рис. 3. Равноускоренное движение-3

Пример 3. Тело движется в отрицательном направлении оси и затормаживает. По задаче тело движется в обратную сторону оси OX (вектор направлен против оси), а торможение говорит о том, что вектор ускорения ( ) направлен против движения, а значит, по оси OX (рис. 3). Проецируем:

• Для уравнения (1):
• Для уравнения (2):

Рис. 4. Равноускоренное движение-4

Пример 4. Тело движется в отрицательном направлении оси и ускоряется. По задаче тело движется в обратную сторону оси OX (вектор направлен против оси), а ускорение говорит о том, что вектор ускорения ( ) направлен в сторону движения, а значит, против оси OX (рис. 4). Проецируем:

• Для уравнения (1):
• Для уравнения (2):

Вывод: только что мы получили восемь различных формул, применимых для решения задач. Очень не хотелось бы их помнить. К счастью, есть выход: запомнить и понять векторный вид этих уравнений (1) и (2), а далее, применительно к данной вам задаче, просто адаптировать их, используя проекции.

Кроме формул (1) и (2), имеется ещё одна расчётная формула, которая чаще всего используется, когда в задаче на нужно найти время или его не дано. Воспользуемся уже имеющимися (1) и (2), считая движение тела равноускоренным. Выделим из (1) время:

Подставим (3) в (2) при условии :

Таким образом, мы получили формулу, в которой нет параметра времени.