Уравнение и графики синусоидальной эдс векторные диаграммы

Уравнение и графики синусоидальной эдс векторные диаграммы

Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, — периодом Т. Для периодического тока имеем

,

(1)

Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):

,

(2)

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01 ¸ 10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц .

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

i — мгновенное значение тока ;

u – мгновенное значение напряжения ;

е — мгновенное значение ЭДС ;

р — мгновенное значение мощности .

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m ) .

— амплитуда тока;

— амплитуда напряжения;

— амплитуда ЭДС.

Действующее значение переменного тока

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

,

(3)

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

Синусоидально изменяющийся ток

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е₁ и е₂ соответствуют уравнения:

.

Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени ( t =0): и — начальной фазой ( ).

Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть , где f– частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

Для синусоидальных ЭДС е₁ и е₂ угол сдвига фаз:

.

Векторное изображение синусоидально
изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w . Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е₁ и е₂ (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени ( t =0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w . Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токов и двух ветвей:

.

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

и .

Результирующий ток также будет синусоидален:

.

Определение амплитуды и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t =0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

.

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения путем формального учета угловой частоты: .

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной

тригонометрической или

алгебраической — формах.

Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

.

Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

.

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

,

(4)

Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

,

(5)

Параметр , соответствующий положению вектора для t =0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр — комплексом мгновенного значения.

Параметр является оператором поворота вектора на угол w t относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ± a .

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :

.

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

,

(6)

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

,

— то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу , т.е. угол, который образует вектор с положительной полуосью +1:

.

Тогда мгновенное значение напряжения:

,

где .

При записи выражения для определенности было принято, что , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если , то при (второй квадрант)

,

(7)

а при (третий квадрант)

(8)

(9)

Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

.

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока по рис. 5 получим:

_где ;

.

Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

.

Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в раз:

.

(10)

Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения

.

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?

2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?

3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?

4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.

5. На рис. 5 , а . Определить .

Ответ: .

Синусоидальные Э.Д.С. и ток

Содержание:

Синусоидальные э.д.с. и ток:

Получение, передача и использование электрической энергии осуществляются в основном с помощью устройств и сооружений переменного тока. Для этого применяют генераторы, трансформаторы, линии передачи и распределительные сети переменного тока. Наиболее широко применяют приемники электрической энергии, работающие на переменном токе.
Переменным электрическим током называется электрический ток, изменяющийся с течением времени (см. рис. 2.1, кривые 2, 3).

Периодический электрический ток, являющийся синусоидальной функцией времени, называется синусоидальным электрическим током.

Такой ток в практике обычно имеют в виду, когда говорят о переменном токе. В некоторых случаях ток изменяется по периодическому несинусоидальному закону.

В линейных электрических цепях переменный синусоидальный ток возникает под действием э. д. с. такой же формы. Поэтому для изучения электрических устройств и цепей переменного тока необходимо прежде рассмотреть способы получения синусоидальной э. д. с. и основные понятия, относящиеся к величинам, которые изменяются по синусоидальному закону.

Получение синусоидальной э.д.с.

Для получения э. д. с. синусоидальной формы генератор переменного тока промышленного типа имеет определенные конструктивные особенности. Однако принципиально синусоидальную зависимость э. д. с. от времени можно получить, вращая с постоянной частотой в равномерном магнитном поле проводник в виде прямоугольной рамки (рис. 12.1).

Рис. 12.1. Прямоугольная рамка в магнитном поле

Вращение витка в равномерном магнитном поле

Согласно формуле (10.5), э. д. с. в рамке, имеющей два активных проводника длиной l,

При равномерном вращении рамки линейная скорость проводника не изменяется:

а угол между направлением скорости и направлением магнитного поля изменяется пропорционально времени:

Угол β определяет положение вращающейся рамки относительно плоскости, перпендикулярной направлению магнитной индукции. (Положение рамки в момент начала отсчета времени t = 0 характеризуется углом β = 0.) Поэтому э. д. с. в рамке является синусоидальной функцией времени

Наибольшей величины э. д. с. достигает при угле


В рассмотренном случае синусоидальное изменение э. д. с. достигается за счет непрерывного изменения угла, под которым проводники пересекают линии магнитной индукции. Однако такой способ получения э. д. с. в практике не применяется, так как трудно создать равномерное поле в достаточно большом объеме.

Генератор переменного тока

В электромашинных генераторах переменного тока промышленного типа синусоидальная э. д. с. получается при постоянном угле, но в неравномерном магнитном поле.

Магнитное поле генератора (радиальное) в воздушном зазоре между статором и ротором направлено по радиусам окружности ротора (рис. 12.2, а). Магнитная индукция вдоль воздушного зазора распределена по закону, близкому к синусоидальному. Такое распределение достигается соответствующей формой полюсных наконечников. Синусоидальный закон распределения магнитной индукции вдоль воздушного зазора показан на рис. 12.2, б в развернутом виде.

Рис. 12.2. Схема генератора переменного тока. Распределение магнитной индукции вдоль воздушного зазора

Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока с двумя парами полюсов на роторе

Рис. 12.4. Схема генератора с тремя витками (обмотками)

В любой точке воздушного зазора, положение которой определяется углом β, отсчитанным от нейтральной плоскости (нейтрали) против движения часовой стрелки, магнитная индукция выражается уравнением

Нейтральная плоскость перпендикулярна оси полюсов и делит магнитную систему на симметричные части, из которых одна относится к северному полюсу, а другая — к южному.

Наибольшую величину магнитная индукция имеет под серединой полюсов, т. е. при углах и
На нейтрали (при β = 0 и β = 180°) магнитная индукция равна нулю (В = 0).
На рис. 12.3 показана конструктивная схема генератора переменного тока с двумя парами полюсов, расположенных на роторе, а проводники обмотки, где наводится э. д. с., помещены в пазах сердечника статора.

Отметим еще одну разновидность генераторов переменного тока — генератор с тремя обмотками (трехфазный генератор), которые на схеме рис. 12.4 представлены тремя витками на роторе (у турбогенераторов и гидрогенераторов эти обмотки находятся на статоре). Плоскости витков находятся под углом 120° друг к другу.

Э.Д.С. в обмотке генератора

При равномерном вращении ротора в его обмотке (на рис. 12.2, а — в витке) наводится э. д. с., определяемая формулой (10.4),

Подставляя выражение магнитной индукции (12.3), получим

При β = 90°, т. е. в положении проводника под серединой полюса, наводится наибольшая э. д. с.

Уравнение э. д. с. можно записать так:

Учитывая формулу (12.1), получим такую же зависимость э.д.с. от времени, как при вращении рамки (см. рис. 12.1), считая начальным положение витка (t = 0), когда его плоскость совпадает с нейтралью:

Таким образом, и в данном случае э. д. с. является синусоидальной функцией времени (рис. 12.5). Такой же результат получается, если вращать полюса, а проводники оставить неподвижными.

Рис. 12.5. График синусоидальной э. д. с.

В прямоугольной системе координат э. д. с. можно изобразить в функции угла или в функции времени t. Зависимость и можно изобразить одной кривой, но при разных масштабах по оси абсцисс, отличающихся в ω раз.
Если обмотку генератора замкнуть через сопротивление, то в образовавшейся цепи возникает синусоидальный ток, повторяющий по форме кривую э. д. с.
Полагая сопротивление цепи линейным, равным R, получим для тока такое выражение:

где — наибольшая величина тока.
Напряжение и ток синусоидальной формы можно получить при помощи генераторов, не имеющих вращающихся частей и магнитных полюсов, например ламповых генераторов.

Задача 12.1.

Э. д. с. электромашинного генератора выражается уравнением .
Определить число пар полюсов этого генератора, если известна частота вращения ротора n = 75 об/мин.
На какой угол в пространстве поворачивается ротор генератора за 1/4 периода?
Решение. Период э. д. с., наводимой в обмотке генератора (см. рис. 12.2), имеющего одну пару полюсов, равен времени полного оборота ротора. Угловую скорость вращения ротора можно определить отношением полного угла, соответствующего одному обороту ротора, к периоду:

Однако генератор может иметь не одну, а p пар полюсов (на рис. 12.3 p = 2). Полный цикл изменения э. д. с. в этом случае совершается при движении проводника мимо одной пары полюсов (как за полный оборот ротора в генераторе с p = 1), поэтому при одинаковой частоте вращения ротора период э.д. с. будет в p раз короче, а частота в р раз больше.
Уменьшение периода и соответствующее увеличение частоты при данном числе пар полюсов можно получить, увеличивая частоту вращения ротора.
Частота синусоидальной э. д.с. при р = 1 равна числу оборотов ротора в секунду, а при р > 1

где n — частота вращения ротора, об/мин.
Из уравнения э. д. с. известна угловая частота ω = 314 рад/с; при этом

При частоте вращения ротора n = 75 об/мин

При р = 1 за 1/4 периода ротор повернется на 1/4 окружности, т. е. в угловой мере на 90º. При р = 40 угол поворота ротора за 1/4 периода будет в р раз меньше:

Уравнения и графики синусоидальных величин

Анализ электрических цепей переменного тока невозможно проводить без выражения э. д. с. токов, напряжений их уравнениями. Для наглядности применяются графики этих величин в прямоугольной системе координат. Поэтому рассмотрим уравнения и графики синусоидальных величин более подробно.

Уравнения и графики

Уравнение (12.4) записано для случая, когда начало отсчета времени (t = 0) совпадает с моментом прохождения витка через нейтраль (на рис. 12.2, а положение 1, в котором плоскость витка совпадает с нейтралью).

На рис. 12.4 положение витков тоже соответствует началу отсчета времени (t = 0) и определяется для каждого из них углом, отсчитанным от нейтрали до плоскости витка: для первого витка этот угол для второго — и третьего —
При вращении ротора э. д. с. будет наводиться во всех витках, но уравнения э.д.с. не будут одинаковыми. Действительно, при = 0 э. д. с. в витках:



Эта зависимость э. д. с. от начального положения витка учитывается введением в уравнение начального угла.
С учетом начального угла э. д. с. витка С выражается уравнением

Таким образом, в общем виде, уравнение э. д. с. должно быть записано так:

Из этого уравнения можно определить величину э. д. с. в любой момент при произвольном начальном положении витка.
На рис. 12.6 в соответствии с уравнением (12.6) построены графики э.д.с.трех витков, отличающихся в момент начала отсчета времени расположением относительно нейтральной плоскости (e_A при e_C при e_B при ).

Рис. 12.6. Графики э. д. с., сдвинутых по фазе

Характеристики синусоидальных величин

Уравнением и графиком задаются все характеристики синусоидально изменяющейся величины: амплитуда, угловая частота, начальная фаза, период, частота и для любого момента времени мгновенная величина.

Далее приведены определения этих характеристик, и они показаны на рис. 12.7 применительно к синусоидальной э. д. с. Определения распространяются на все величины, изменяющиеся по синусоидальному закону (ток, напряжение и др.).

Рис. 12.7. К вопросу о характеристиках периодической э. д. с.

Мгновенная величина (или мгновенное значение) э. д. с. е — величина э. д. с. в рассматриваемый момент времени. Мгновенная э. д. с. определяется уравнением (12.6) при подстановке в него времени t, прошедшего от начала отсчета до данного момента.

Период Т — наименьший интервал времени, по истечении которого мгновенные величины периодической э. д. с.. повторяются. Если аргумент синусоидальной функции выражается в углах, то период выражается постоянной величиной 2π.
Частота f — величина, обратная периоду:

т. е. частота равна числу периодов переменной э. д. с. в секунду. Частота выражается в герцах (Гц): 1 Гц = 1/с.
Амплитуда Е_m — наибольшая величина, которую принимает э. д. с. в течение периода. Амплитуда является одной из мгновенных величин, которая соответствует аргументу равному , где k — любое целое число или нуль.
Фаза (фазовый угол ) — аргумент синусоидальной э.д.с., отсчитываемый от ближайшей предшествующей точки перехода э. д. с. через нуль к положительному значению. Фаза в любой момент времени определяет стадию гармонического изменения синусоидальной э. д. с.
Начальная фаза ψ — фаза синусоидальной э.д.с. в начальный момент времени.
Две синусоидальные величины, имеющие разные начальные фазы, называются сдвинутыми по фазе.
Угловая частота ω — скорость изменения фазы. За время одного периода Т фазовый угол равномерно изменяется на 2π, поэтому

Задача 12.4.

Переменный электрический ток задан уравнением

Определить период, частоту этого тока и мгновенные величины его при t = 0; t₁ = 0,152 с. Построить график тока.
Решение. Уравнение синусоидального тока в общем случае имеет вид

Сопоставляя это уравнение с заданным частным уравнением тока, устанавливаем, что амплитуда I_m = 100 А, угловая частота ω = 628 рад/с, начальная фаза ψ = —60°. Период

Частота

Рис. 12.8. К задаче 12.4

Мгновенные величины тока найдем, подставив в уравнение тока заданные значения времени:

при t = 0

при t₁ = 0,152 с

Синусоидальная величина через 360° повторяется, поэтому мгновенный ток при угле будет таким же, как и при угле :

Для построения графика нужно определить ряд мгновенных токов, соответствующих различным моментам времени (рис. 12.8).

Векторные диаграммы

До сих пор величины, изменяющиеся по синусоидальному закону, задавали уравнениями и изображали графиками в прямоугольной системе координат. При расчете электрических цепей переменного тока пользуются весьма простым и наглядным способом графического изображения синусоидальных величин при помощи вращающихся векторов.

Обоснование векторной диаграммы

Предположим, что ток задан уравнением

Проведем две взаимно перпендикулярные оси и из точки пересечения осей проведем вектор I_m, длина которого в определённом масштабе M_i выражает амплитуду тока I_m:

Рис. 12.10. К вопросу о векторной диаграмме

Направление вектора выберем так, чтобы с положительным направлением горизонтальной оси вектор составлял угол, равный начальной фазе ψ (рис. 12.10).

Проекция этого вектора на вертикальную ось определяет мгновенный ток в начальный момент времени:
Представим себе, что вектор I_m вращается против движения часовой стрелки с угловой скоростью, равной угловой частоте ω. Его положение в любой момент времени определяется углом
Тогда мгновенный ток для произвольного момента времени t можно определить проекцией вектора I_m на вертикальную ось в этот момент времени.
Например, для t = t₁

в общем случае

Получили такое же уравнение, каким был задан переменный ток, что свидетельствует о возможности изображения тока вращающимся вектором при нанесении его на чертеж: в начальном положении.

Построение векторной диаграммы

Вращая вектор I_m‘ против движения часовой стрелки, в прямоугольной системе координат построим график изменения проекции его на вертикальную ось в пределах одного оборота (одного периода). Получим известный уже график синусоидальной функции, соответствующий заданному уравнению.

При построении векторов положительные углы отсчитывают от положительного направления горизонтальной оси против вращения часовой стрелки, а отрицательные — по ее движению.

В процессе расчета электрической цепи определяется ряд синусоидальных величин. Все их можно изобразить на одном чертеже при помощи вращающихся векторов, привязав к одной паре взаимно перпендикулярных осей.

Совокупность векторов, изображающих на одном чертеже несколько синусоидальных величин одинаковой частоты в начальный момент времени, называется векторной диаграммой. Например, напряжение и ток в электрической цепи выражаются уравнениями

Векторная диаграмма такой цепи изображена на рис. 12.11. Если выбрать масштабы напряжения и тока

то

Рис. 12.11. Векторная диаграмма тока и напряжения

Векторная диаграмма содержит векторы синусоидальных величин одинаковой частоты, поэтому они вращаются с одинаковой частотой и их взаимное расположение не меняется.

Начало отсчета времени выбирают произвольно, поэтому один из векторов диаграммы можно направить произвольно; остальные же нужно располагать с учетом сдвига фаз по отношению к первому или предыдущему вектору.

Сложение и вычитание векторов

Простота и наглядность векторных диаграмм — не единственное и не главное достоинство способа изображения синусоидальных величин. Требуется сложить, например, два тока, заданных уравнениями

Выражение суммы

оказывается громоздким, из него не видны амплитуда и начальная фаза результирующего тока.

Можно графически сложить два заданных тока, построив их в одной системе координат и для ряда аргументов, найдя сумму двух ординат. Через полученные точки проведем кривую суммы, увидим, что эта кривая тоже синусоида с таким же периодом, как и слагаемые. По кривой общего тока можно найти амплитуду и начальную фазу. Громоздкость и неудобство такого сложения очевидны.

Очень просто сложение и вычитание синусоидальных величин осуществляется по правилам сложения и вычитания векторов.

Рис. 12.12. Сложение векторов

Сложим два заданных тока i₁ и i₁ по известному правилу сложения векторов (рис. 12.12, а). Для этого изобразим токи в виде векторов из общего начала 0. Результирующий вектор найдем как диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых векторах:

Сложение векторов, особенно трех и более, удобнее вести в таком порядке: один вектор остается на месте, другие переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало последующего вектора совпало с концом предыдущего.
Вектор I_m, проведенный из начала первого вектора в конец последнего, представляет собой сумму всех векторов (рис. 12.12, б).

Вычитание одного вектора из другого выполняют сложением прямого вектора — уменьшаемого и обратного — вычитаемого (рис. 12.13):

Рис. 12.13. Вычитание векторов

Рис. 12.14. Частные случаи сложения векторов

При сложении синусоидальных величин в отдельных случаях можно применить аналитическое решение: применительно к рис. 12.12, а — по теореме косинусов; к рис. 12.14, а — сложение модулей векторов; б — вычитание модулей векторов, в — по теореме Пифагора.

Задача 12.7. Два тока заданы уравнениями

Найти уравнения токов:

Решение. Решение задачи проще всего выполнять графически в векторной форме. Для этого изобразим векторы заданных токов. Масштаб тока выбираем так, чтобы наибольший вектор поместился на имеющемся листе бумаги, одновременно учитывая возможность отчетливого изображения наименьшего вектора.
При разборе решения рекомендуется провести построения по рис. 12.15 на листе миллиметровой бумаги в масштабе В этом масштабе длина векторов

Длину вектора суммы определяют графически (рис. 12.15, а):

Рис. 12.15. К задаче 12.7

Начальная фаза этого вектора по чертежу
Уравнение суммы токов

В таком же порядке найдены векторы разностей токов (рис. 12.15, б, в). Вычитаемые векторы взяты в противофазе с заданными.
После измерения длин векторов и начальных фаз напишем уравнения разностей токов:

Действующая и средняя величины переменного тока

О переменном токе все известно, если задано его уравнение или график. Однако в практике пользоваться уравнениями или графиками токов затруднительно.
Переменный ток обычно характеризуется его действующей величиной I. При изучении выпрямительных устройств и электрических машин пользуются средними величинами э. д. с., тока, напряжения.

Действующая величина переменного тока

При определении действующей величины переменного тока можно исходить из какого-либо его действия в электрической цепи (теплового, механического взаимодействия проводов с токами).

На рис. 12.18 изображены графики двух токов: постоянного 1 и переменного 2, причем величина постоянного тока равна амплитуде переменного.
Постоянный ток, равный амплитуде переменного, выделит больше тепла в одном и том же элементе цепи за однj и то же время, так как переменный ток в течение полупериода меньше постоянного, и лишь одно мгновение эти токи равны.

Действующая величина переменного тока I численно равна величине постоянного тока, который в одном и том же элементе цепи за время периода Т выделяет столько же тепла, сколько при тех же условиях выделяет переменный ток.

Действующая величина переменного тока I меньше амплитуды (прямая 3 на рис. 12.18).

Рис. 12.18. К определению действующей величины переменного тока

Определим количество тепла, выделяемого за период Т постоянным током, равным I, и переменным током (см. рис. 12.18) в элементе цепи с сопротивлением R:

Приравнивая найдем

Действующая величина периодического тока является его средней квадратичной за период.

Ее можно найти из уравнения (12.9), но для наглядности воспользуемся графическим решением поставленной задачи.

Среднеквадратичную величину переменного тока за период можно представить в виде квадратного корня из суммы очень большого числа ординат кривой i 2 (t), разделенной на число ординат n:

где в числителе подкоренного выражения представлена сумма квадратов ряда мгновенных токов в течение периода, n — число этих значений, стремящееся к ∞.
На рис. 12.19 показаны ряд положений вращающегося с угловой скоростью ω вектора тока I_m и соответствующие им мгновенные токи i. Эти положения отмечены точками 0, 1, 2 и т. д. на окружности, которую описывает конец вектора I_m.

Рассмотрим два положения вектора I_m (отмечены точками 2 и 8), отстоящие по окружности на 90°, т. е. находящиеся соответственно в первой и второй четвертях окружности. Прямоугольные треугольники 6′-2-2′ и 6′-8-8′ равны, так как равны их стороны: 2-2′ = 6′-8′ и 2′-6′ = 8-8′. Из этих треугольников следует:

Рис. 12.19. К определению действующей и средней величины синусоидального тока

Каждому положению вектора I_m в первой четверти соответствует другое его положение во второй, для которых можно написать аналогичное выражение. Такие рассуждения можно провести для другой полуокружности, т. е. распространить их на второй полупериод тока, причем квадраты отрицательных мгновенных токов будут положительны, поэтому

Подставляя это выражение в (12.10), получим

Таким образом, действующая величина синусоидального тока меньше его амплитуды в раза.

Понятие о действующей величине можно распространить на все синусоидальные функции и, следовательно, говорить о действующей величине напряжения, э. д. с.

Действующие величины тока, напряжения измеряются электроизмерительными приборами. Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств выражаются действующими величинами. Введя понятие о действующей величине, в дальнейшем векторные диаграммы будем строить для действующих величин напряжений и токов.

Отношение амплитуды к действующей величине называется коэффициентом амплитуды К_а. Для синусоидальной функции этот коэффициент равен ; если кривая тока или напряжения имеет более острую форму, чем синусоида, то К_а > , в противном случае К_а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Курс лекций по дисциплине ;Теоретические основы электротехники

Страницы: 1 2 3 4 5

Тема 4. Электрические цепи переменного тока

Занятие 33. Переменная ЭДС.

а) Вращение витка в равномерном магнитном поле

ЭДС в рамке, имеющей два активных проводника длиной l (см. рис.32.1) ,при ее вращении в поле постоянного магнита возникает ЭДС, равная

(в дальнейшем все изменяющиеся во времени величины: токи, напряжения, ЭДС и т. д.—будем обозначать малыми буквами в отличие от постоянных значений для тех же величин, которые обозначаютбольшими буквами).

При равномерном вращении рамки линейная скорость проводника не изменяется и будет равна:

Где: D – диаметр рамки.(м)

ω – угловая скорость вращения рамки, ( градус/с)

Рис.33.1. Генератор для получения переменного тока.

Угол между направлением скорости и направлением магнитного поля изменяется пропорционально времени:

Угол β определяет положение вращающейся рамки относительна плоскости, перпендикулярной направлению магнитной индукции. (см.рис.32.2)

Положение рамки в момент начала отсчета времени t = 0 характеризуется углом β = 0. Поэтому ЭДС в рамке является синусоидальной функцией времени :

Наибольшей величины ЭДС достигает при угле β= ωt = 90°

тогда мгновенное значение ЭДС при любом угле поворота рамки β определится выражением:

В рассмотренном случае синусоидальное изменение ЭДС достигается за счет непрерывного изменения угла, под которым проводники пересекают линии магнитной индукции.

Рис.33.2. Вращение рамки в магнитном поле

График, полученной при вращении витка в поле постоянного магнита, переменной ЭДС показан на рисунке 32.3. Положения 1 и 3 соответствуют угу поворота β=0 и β=180°, положения 2 и 4 соответствуют углу поворота β=90° и β=270°.

Рис.33.3. График переменной ЭДС

Занятие 34 Параметры переменного тока

а) Уравнение и график синусоидально изменяющихся величин

Уравнение любой синусоидально изменяющейся величины имеет вид:

График синусоидально изменяющейся величины приведен на рисунке 33. 1.

Уравнением и графиком задаются все характеристики синусоидально изменяющейся величины:

– угловая частота ω ,

– началь­ная фаза ψ ,

– мгновенная величина для любого момента времени e.

Рис.34.1. График синусоидально изменяющейся величины.

б) Параметры переменной величины.

Приведенные ниже определения распространяются на все величины, изменяющиеся по синусоидальному закону (ЭДС, ток, напряжение и др.). Для краткости изложения излагаем определения только для электродвижущей силы.

· Мгновенная величина (или мгновенное значение) е — величина ЭДС в рассматриваемый момент времени.

· Период Т — наименьший интервал времени, по истечении которого мгновенные величины периодической ЭДС повторяются. Если аргумент синусоидальной функции выражается в углах, то период выражается постоянной величиной 2π.

· Частота f — величина, об­ратная периоду: т. е. частота равна числу периодов переменной ЭДС в секунду. Час­тота выражается в герцах (Гц): 1 Гц = 1/с.

· Амплитуда Е m — наибольшая величина, которую принимает ЭДС в течение периода.

· Фаза (фазовый угол ωt ±ψ)— аргумент синусоидальной ЭДС, отсчитываемый от ближайшей предшествующей точки перехода ЭДС через нуль к положительному значению. Фаза в любой момент времени определяет стадию гармонического изменения синусоидальной э. д. с.

Начальная фаза ψ —фаза синусоидальной ЭДС в началь­ный момент времени. Если синусойда начинается с нулевого положения, то начальная фаза равна нулю. (см. рис.1) Синусойда тока (см. рис.33.2 ) опережает синусойду напряжения на угол 90° (π/2), следовательно начальная фаза тока будет равна π/2.

Уравнения для напряжения и тока будут выглядеть:

· Две синусоидальные величины, имеющие разные начальные фазы, называются сдвинутыми по фазе.

· Угловая частота ω — скорость изменения фазы. За время одного периода Т фазовый угол равномерно изменяется на 2π, поэтому

Рис.34.2. Графики тока и напряжения, сдвинутых по фазе на π/2

в) Действующая величина переменного тока

При определении действующей величины переменного тока можно исходить из какого-либо его действия в электрической цепи (теплового, механического взаимодействия проводов с токами и т. д. ). Будем исходить из теплового действия тока.

Рис. 34.3. Тепловое действие переменного и постоянного тока.

Если за один и тот же промежуток времени измерить количество тепла, выделенное на активном элементе электрической цепи, постоянным и переменным током, то окажется, что постоянный ток выделит тепла больше, чем переменный.

Чтобы постоянный и переменный ток выделили одинаковое количество тепла, необходимо уменьшить амплитуду постоянного тока.

Рассчитано, что при выполнении этого условия амплитуда постоянного тока будет составлять 0,707 от амплитуды переменного тока.

Действующая величина переменного тока I численно равна величине постоянного тока, который в одном и том же элементе цепи за время периода Т вы­деляет столько же тепла, сколько при тех же условиях выделяет переменный ток.

Где: I, U, E – действующие значения тока, напряжения и ЭДС.

Занятие 35 Сложение и вычитание синусоидальных величин.

а) Сложение синусоидальных величин, выраженных в виде графиков

На рисунке 35.1.показаны две синусоидальных величины (графики 1 и 2) . Для того, чтобы получить суммарный график (график 3) необходимо сложить значения ординат в одноименных временных значениях графиков 1 и 2.

Рис.35.1. Графическое сложение синусоидальных величин

Например, для получения ординаты точки а₃ в момент времени t ₁ суммировали ординаты точек а₁ и а₂ в этот же момент времени.

Аналогично получают и график разности синусоидальных величин.

Этот способ неудобен и применяется редко. Для проведения математических операций с синусоидальными величинами их представляют в виде векторов.

б) Изображения синусоидальных величин в векторной форме

Известно, что проекция отрезка, вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью, на любую линию, проведенную в плоскости вращения, изменяется по синусоидальному закону.

Пусть отрезок прямой длиной I_m начинает вращаться вокруг оси 0 из положения, когда он образует с горизонтальной осью угол φ, и вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω.

Проекция отрезка на вертикальную ось в начальный момент времени .

Когда отрезок повернется на угол α₁, проекция его .

на горизонтальной оси, а проекции отрезка прямой – на вертикальной оси, получим ряд точек синусоиды (рис. 35.2).

Рис.35.2. Представление синусоидальной величины в векторной форме

Пусть даны два синусоидальных тока:

Нужно сложить эти токи и получить результирующий ток:

Рис.35.3.Сложение векторов двух величин

Представим синусоидальные токи i₁ и i₂ в виде двух радиус – векторов, длина которых равна в соответствующем масштабе I_1m и I_2m. Эти векторы расположены в начальный момент времени под углами φ₁ и φ₂ относительно горизонтальной оси.

Сложим геометрически отрезки I_1m и I_2m. Получим отрезок, длина которого равна амплитудному значению результирующего тока I_3m. Отрезок расположен под углом φ₃ относительно горизонтальной оси. Все три отрезка вращаются вокруг оси 0 с постоянной угловой скоростью ω. Проекции отрезков на вертикальную ось изменяются по синусоидальному закону. Будучи остановленными для рассмотрения, данные отрезки образуют векторную диаграмму (рис. 35.3).

Занятие 36 Векторная диаграмма.

Векторная диаграмма – это совокупность векторов, изображающих синусоидальные напряжения, токи и ЭДС одинаковой частоты.

а) Представление синусоидальных величин неподвиж­ными векторами.

«Остановим» вращение векторов, пред­ставляющих токи и напряжения в момент t = 0. Тогда мгновенному значению синусоиды i (0) =I_msin φ соответствует вектор длиной I_m, повернутый на угол φ от горизон­тали против часовой стрелки . Этот вектор пред­ставляет или отображает синусоиду i(t)_ = I_msin (ωt+φ), т. е. дает информацию о ее двух отличительных парамет­рах: амплитуде I_m и начальной фазе -φ.

Рис.36.1. Представление синусоидальной величины с помощью неподвижного вектора

б) Сложение векторных величин.

Представление сину­соидальных величин неподвижными векторами значительно упрощает операции сложения и вычитания синусоидальных токов и напряжений.

Как известно из курса математики, сложение векторов на плоскости выполняется по правилу параллелограмма (см.рис.36.2):

результирующий вектор есть диагональ парал­лелограмма, сторонами которого являются слагаемые векторы.

В целях упрощения рисунка сложение рекомендуется проводить другим способом: путем переноса второго сла­гаемого вектора параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом первого слагаемого вектора.

Тогда вектор, равный сумме двух векторов, Ī _рез = Ī _m1 + Ī _m2проводится из начала первого вектора в конец второ­го. Этот способ суммирования предусматривает меньшее число построений и не затемняет чертеж параллельными сторонами параллелограмма. Поэтому в дальнейшем будет использоваться преимущественно именно этот спо­соб: последовательное построение векторов так, чтобы на­чало второго вектора совпадало с концом первого и т. д. Графическое сложение векторов значительно про­ще и наглядней, чем операции с мгновенными токами .

Рис.36.2 Сложение векторов.

Занятие 37 Контрольная работа ЭТ У37

1. Объясните явление получения переменной эдс на концах вращающейся в магнитном поле рамки.
2. Напишите и объясните уравнение синусоидально изменяющихся величин.
3. Начертите график синусоидально изменяющейся величины и покажите на нем амплитуда Е_m , период T, мгновенная величина для любого момента времени e.
4. Напишите и объясните формулу угловой частоты ω.
5. Напишите и объясните формулу частоты f .
6. Приведите параметры переменной величины.
7. Дайте формулировку периода переменной величины.
8. Дайте формулировку мгновенного значения переменной величины.
9. Дайте формулировку частоты переменной величины.
10. Дайте формулировку амплитуды переменной величины.
11. Дайте формулировку начальной переменной величины.
12. Дайте формулировку действующего значения переменной величины.
13. Покажите порядок сложения синусоидальных величин, выраженных в виде графиков.
14. Покажите порядок изображения синусоидальных величин в векторной форме.
15. Что такое векторная диаграмма. Приведите пример.
16. Объясните порядок сложение векторных величин.
17. Напишите уравнения двух синусоидальных величин, сдвинутых относительно друг друга по фазе.
18. Начертите на одном графике две синусойды и найдите результирующую кривую
19. Начертите график синусойды и вектор одной ее точки.
20. Напишите уравнение синусоидальной эдс и объясните обозначение входящих в уравнение величин

Тема 5. Элементы и параметры цепей переменного тока (22 часа)

Занятие 38 . Активное сопротивление в цепи переменного тока.

Электрические лампы накаливания, печи сопротивления, быто­вые нагревательные приборы, реостаты и другие приемники, где элект­рическая энергия преобразуется в тепловую, на схемах замещения обычно представлены только сопротивлением R.

Рис.38.1. а) цепь с активным сопротивлением. б) графики тока и напряжения.

в) векторные диаграммы

Для схемы, изображенной на рис38.1, заданы сопротивление R и напряжение, изменяющееся по закону u = U_m sin ωt.

Требуется определить ток I в цепи.

Выражение для мгновенного тока найдем по закону Ома:

где — амплитуда тока.

Из уравнений напряжения и тока видно, что начальные фазы обеих кривых одинаковы, т. е. напряжение и ток в цепи с сопротивлением R совпадают по фазе.

Это показано на графиках и векторной диаграмме (см.рис.38. 1 б,в.).

Активное сопротивление не реагирует на изменение частоты тока в цепи.

Занятие 39 Цепь переменного тока с индуктивностью:

а) Индуктивное сопротивление

Катушка из тонкого провода, намотанная на сердечник (или без сердечника), включенная в цепь переменного тока, обладает индуктивным сопротивлением.

Величина индуктивного сопротивления определяется выражением:

ω – циклическая частота, рад/с

L – индуктивность катушки, Гн “генри”

f – частота тока в цепи, Гц.

Из формулы видно, что при повышении частоты тока индуктивное сопротивление увеличивается, а при снижении частоты тока – уменьшается. То есть индуктивное сопротивление реагирует на частоту тока в цепи, поэтому его еще называют реактивным.

Для постоянного тока f=0, поэтому для постоянного тока катушка не имеет индуктивного сопротивления.

Индуктивность катушки L зависит от конструкции катушки (числа витков, наличия сердечника и его материала, конфигурации катушки и других факторов)

Цепь, содержащая индуктивность, является искусственной, так как реальная катушка кроме индуктивности L содержит активное сопротивление R.

Но мы рассмотрим идеальную катушку, в которой активное сопротивление R=0. В отдельных случаях активным сопротивлением реальной катушки можно пренебречь из-за его малости.

б) Ток и напряжение в цепи переменного тока с катушкой индуктивности.

а) Схема цепи с индуктивностью

б) Векторная диаграмма цепи с индуктивностью.

в) Графики тока и напряжения в цепи с индуктивностью

Рис.39. 1. Электрическая цепь с индуктивностью.

При прохождении синусоидального тока

напряжение на катушке будет равно

то есть напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол 90° (π /2).

Занятие 40 . Цепь переменного тока с емкостью

а) Емкостное сопротивление

Две металлических пластины, разделенные диэлектриком, называются электрическим конденсатором и обладают емкостным сопротивлением

Величина емкостного сопротивления определяется выражением:

ω – циклическая частота, рад/с

С – емкость конденсатора , Ф “фарад”

f – частота тока в цепи, Гц.

Из формулы видно, что при повышении частоты тока емкостное сопротивление уменьшается, а при снижении частоты тока – увеличивается. То есть емкостное сопротивление реагирует на частоту тока в цепи, поэтому его еще называют реактивным. Для постоянного тока f =0, поэтому для постоянного тока конденсатор имеет бесконечно большое сопротивление.

Емкость конденсатора зависит от площади пластин, толщины диэлектрика и его диэлектрической проницаемости.

Цепь, содержащая емкость, является искусственной, так как реальный конденсатор кроме емкостного сопротивления содержит активное сопротивление R.

Но мы рассмотрим идеальный конденсатор, в котором активное сопротивление R=0. В отдельных случаях активным сопротивлением реального конденсатора можно пренебречь из-за его малости.

б) Ток и напряжение в цепи переменного тока с конденсатором.

а) Схема цепи с конденсатором б) Векторная диаграмма.

в) Графики тока и напряжения в цепи с емкостью

Рис.40 1. Электрическая цепь с конденсатором.

При прохождении синусоидального тока

напряжение на катушке будет равно

то есть напряжение на конденсаторе отстает от тока по фазе на угол 90° (π /2).

Занятие 41 Цепь с последовательным соединением RL и RC

а) Последовательное соединение индуктивности и активного сопротивления

Реальная катушка имеет активное и индуктивное сопротивле­ния.

Рис.41.1 Электрическая цепь реальной катушки индуктивности

Построим векторную диаграмму и гра­фики для этого случая.

Рис.41.2. Векторная диаграмма для цепи с последовательным соединением R и L.

На рис.41.2 вектор I обозначает переменный ток катушки.

Часть напряжения сети, падающая в сопротивлении R изображена век­тором U_R , совпадающим по фазе с током. Напряжение на индуктивности показано вектором U_L , который опережает ток на угол 90 о .

Напряжение сети U должно быть равно геометрической сумме активного U_{R t} и индуктивного U_L падений напряжения. Для получения геометрической суммы необхо­димо на векторах U_R и U_L построить параллелограмм. Его диа­гональ (равнодействующая) даст напряжение сети U.

Ток в цепи с последовательно соединенными активным сопротивлением и индуктивностью будет иметь одно и то же значение. Поэтому, разделив величины векторов напряжений на одно и то же значение тока, мы получим значения сопротивлений цепи. Они образуют треугольник сопротивлений

Рис.41.3. Треугольник сопротивлений

Из треугольника сопротивлений следует, что

Где: Z — полное сопротивление цепи (Ом)

R — активное сопротивление цепи (Ом)

X_L— индуктивное сопротивление цепи (Ом)

б) Последовательное соединение емкости и активного сопротивления

Реальный конденсатор имеет активное и емкостное сопротивле­ния.

Рис.41.4. Электрическая цепь реального конденсатора

Построим векторную диаграмму и гра­фики для этого случая.

На рис.41.5 вектор I обозначает переменный ток катушки.

Часть напряжения сети, падающая в сопротивлении R изображена век­тором U_R , совпадающим по фазе с током. Напряжение на индуктивности показано вектором U_С , который отстает от тока на угол 90 о .

Напряжение сети U должно быть равно геометрической сумме активного U_{R t} и емкостного U_С падений напряжения. Для получения геометрической суммы необхо­димо на векторах U_R и U_С построить параллелограмм. Его диа­гональ (равнодействующая) даст напряжение сети U.

Рис.41.5. Векторная диаграмма для цепи с последовательным соединением R и С.

Ток в цепи с последовательно соединенными активным сопротивлением и емкостью будет иметь одно и то же значение. Поэтому, разделив величины векторов напряжений на одно и то же значение тока, мы получим значения сопротивлений цепи. Они образуют треугольник сопротивлений

Рис.41.6. Треугольник сопротивлений

Из треугольника сопротивлений следует, что

Где: Z — полное сопротивление цепи (Ом)

R — активное сопротивление цепи (Ом)

X_С— емкостное сопротивление цепи (Ом)

Занятие 42 . Комплексный метод расчета цепей переменного тока.

а) Понятие о комплексных числах

Векторное представление синусоидальных величин позволяет заменить сложные математические операции с синусоидальными величинами простыми операциями с векторами. Однако геометрические операции с векторами не обладают высокой точностью. Поэтому геометрические операции с векторами заменяют алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Векторы можно изображать не только на плоскости хОу, но и на комплексной плоскости в виде комплексного числа.

Комплек­сное число состоит из вещественной (действительной) (X) и мнимой частей.(Yj)

Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид: z= x + yi,

На графиках по оси абсцисс откладывают действительную часть, а по оси ординат — мнимую часть комплексного числа.

Действитель­ную ось обозначают +1 и -1, а мнимую ось + j и – j

Буквой j обозначается в электротехнике мнимая единица

Каждой точке (x , y) координатной плоскости, изображающей комплексное число
z = x + yi, соответствует единственный вектор, отложенный от начала системы координат и обратно (рис.42.1).

При этом двум различным точкам координатной плоскости будут соответствовать два таких различных вектора.

Таким образом, может быть установлено однозначное соответствие между множеством точек координатной плоскости (комплексными числами) и множеством векторов, отложенных от начала системы координат.

Рис.42.1. Геометрическое представление комплексного числа на плоскости

На рис. 42.2 изображена координатная плоскость.

Числу 2 + 3i соответствует точка A(2, 3) плоскости;

числу 2 – 3i – точка B(2, – 3);

числу – 2 + 3i – точка C(– 2, 3);

числу – 2 – 3i – точка D(– 2; – 3).

Числу 3i соответствует точка E(0, 3);

а числу – 3i – точка F(0, – 3).

рис. 42.2 координатная плоскость

Итак, каждому комплексному числу соответствует единственная точка координатной плоскости и, обратно, каждой точке координатной плоскости соответствует единственное комплексное число, при этом двум различным комплексным числам соответствуют две различные точки координатной плоскости.

Ясно, что действительным числам x + 0i соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам 0 + yi, где y = 0 – точки оси ординат.

Поэтому ось Oy называют мнимой, а ось Ox – действительной

б) Формы записи комплексных чисел.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной

тригонометрической

алгебраической формах.

Пусть дано число которое на комплексной плоскости изображено

вращающимся вектором (см. рис. 42.3)

Рис.42.3. Представление числа на координатной плоскости

Тогда в показательной форме это число будет выглядеть как

в тригонометрической

в алгебраической

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP (см. рис.42.4) , изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен

Рис.42.4. Представление комплексных чисел на плоскости

Аргумент комплексного числа – это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tg φ = b / a .

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент φ:

Занятие 43 Комплексные сопротивления и проводимости

В общем случае цепи переменного тока характеризуются несколькими сопротивлениями:

Комплексное полное сопротивление цепи определяется выражениями:

Где: Z – полное сопротивление цепи (модуль комплексного сопротивления)

R – активное сопротивление цепи

X_L – индуктивное сопротивление цепи

X_C – емкостное сопротивление цепи

X = X_L — X_C — реактивное сопротивление цепи

φ – аргумент комплексного сопротивления

Полное сопротивление цепи (модуль комплексного сопротивления) определяется по формуле:

Аргумент комплексного сопротивления определяется по формуле:

Величина, обратная полному сопротивлению называется комплексной проводимостью.

Где: Y – полная проводимость цепи, (1/Ом)

G – активная проводимость цепи, (1/Ом)

B – реактивная проводимость, (1/Ом)

Активная проводимость определяется

Реактивная проводимость определяется

Занятие 44 Резонанс напряжений

Схема последовательного соединения активного сопротивления, катушки индуктивности и конденсатора приведена на рис.44.1.

Рис. 44.1. Схема последовательного соединения активного сопротивления, катушки индуктивности и конденсатора

При последовательном соединении трех элементов R, L, C векторная диаграмма выглядит следующим образом: вектор тока в цепи Iотложен горизонтально, с ним совпадает вектор напряжения на активном сопротивлении U_{R ,} вектор напряжения на индуктивности U _L направлен вверх, а вектор напряжения на емкости U_C направлен вниз.

Рис.44.2. Векторная диаграмма напряжений при последовательном соединении активного сопротивления, катушки индуктивности и конденсатора.

Если падение напряжения на индуктивном сопротивлении больше, чем на емкостном, то результирующий вектор будет опережать вектор тока на какой-то угол φ. В этом случае говорят, что цепь имеет индуктивный характер. (см.рис.44.3.)

Рис.44.3. Векторная диаграмма цепи с индуктивным характером.

Если падение напряжения на емкостном сопротивлении больше, чем на индуктивном, то вектор результирующего напряжения будет отставать от вектора тока на какой –то угол φ. В этом случае говорят, что цепь носит емкостный характер. (см. рис.44. 4.)

Рис.44.4. Векторная диаграмма цепи с емкостным характером.

В общем случае уравнение напряжений в цепи будет равно:

а уравнение сопротивлений :

Особенностью последовательного соединения активного сопротивления, емкости и индуктивности является возможность возникновения резонанса напряжений.

Представим, что в цепи с последовательно соединенными активным сопротивлением, емкостью и индуктивностью, частота тока увеличивается от частоты f₁ до частотыf_2. (см. рис. 44.5.)

Рис.44.5. Изменение реактивных сопротивлений при изменении частоты тока.

При увеличении частоты тока в цепи емкостное сопротивление уменьшается, а индуктивное увеличивается. При каком – то значении частоты тока емкостное сопротивление становится равным индуктивному сопротивлению. Эта частота называется резонансной. Явления, происходящие в цепи с последовательно соединенными R,L,C при резонансной частоте называются резонансом напряжения.

При резонансе напряжение на емкости U_Cравно напряжению на индуктивности U _L . Но так как они находятся в противофазе друг другу сумма их равна нулю.

Условием резонанса является равенство реактивных сопротивлений X_L = X_Cили

Отсюда значение резонансной частоты определиться

Когда цепь не настроена в резонанс , ее полное сопротивление определяется соотношением:

, при резонансе, когда X_L = X_C, полное сопротивление цепи будет равно :

или Z = R

Таким образом полное сопротивление цепи при резонансе оказывается равным активному сопротивлению.

Уменьшение полного сопротивления цепи приводит к тому, что сила тока в ней возрастает.

.На векторной диаграмме при резонансе (см.рис.44. 6) векторы напряжений на реактивных элементах равны друг другу и направлены в противоположные стороны. т. е. сдвинуты по фазе относительно друг друга на угол 180 градусов. Угол сдвига фаз между током и напряжением в сети равен нулю.

Рис.44.6. Векторная диаграмма при резонансе напряжений.

Рис.44.7. Изменение тока в цепи при резонансе.

Занятие 45 Параллельное соединение L и C. Резонанс токов.

В цепи переменного тока, в которой индуктивность и емкость соединены параллельно (см.рис.45.1.) может возникнуть резонанс токов.

Рис.45.1. Схема цепи с параллельно соединенными емкостью и индуктивностью.

В результате резонанса токов общий ток в цепи может быть относительно мал, а в контуре индуктивности и емкости, где происходят электрические колебания, протекает переменный ток , значительно больше общего. Для понимания сущности резонанса токов выясним, как получаются электрические колебания в цепи, состоящей из параллельно соединенных индуктивности и емкости.

Рассмотрим работу схемы.

При подаче напряжения в схему конденсатор заряжается до напряжения источника электрической энергии. Разорвем внешнюю цепь заряда конденсатора. Так как конденсатор остался соединенным с катушкой и является источником электрической энергии, то он начинает разряжаться через витки катушки индуктивности. По катушке протекает ток разряда, в результате которого появляется магнитное поле. Ток будет возрастать постепенно и достигнет наибольшей величины в тот момент, когда конденсатор разрядится. К этому моменту времени энергия электрического поля конденсатора превратится в энергию магнитного поля катушки индуктивности. Далее запасенная в катушке энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля конденсатора, перезаряжая его через замкнутую цепь. Так этот процесс будет повторяться периодически. Таким образом, в контуре с параллельно соединенными емкостью и индуктивностью возникнут свободные электрические колебания. Поэтому такой контур называют колебательным.

Для возникновения колебаний необходимо первоначально зарядить конденсатор от внешнего источника электрической энергии. В идеальном колебательном контуре R=0.

Или Отсюда :

Это значение частоты в контуре называется резонансной частотой. При этой частоте в контуре будут протекать токи значительно бо̀льшие по величине, чем во внешней цепи. Из формулы следует, что изменяя величину емкости или индуктивности можно изменять (настраивать) контур на определенную частоту колебаний . В реальном колебательном контуре колебания всегда затухающие. Это объясняется тем, что проводники реального контура всегда имеют активное сопротивление, поэтому часть энергии колебаний превращается в тепловую энергию и уходит в пространство уменьшая тем самым величину электрической энергии колебаний. Для поддержания колебаний в контуре его соединяют с генератором колебаний. тогда колебания в контуре называются вынужденными.