ПРОГРАММА элективного курса по математике «Неравенства: шаг за шагом от простого к сложному» для учащихся 10 – 11 классов
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Новолодская Лариса Владимировна, учитель математики
Муниципального автономного общеобразовательного учреждения
«Средняя общеобразовательная школа № 7» города Когалыма
ПРОГРАММА элективного курса
«Неравенства: шаг за шагом от простого к сложному» для учащихся 10 – 11 классов
«Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому,
что она красива»
Неравенства представлены во многих темах программного материала: «Тригонометрические неравенства», в задачах на оптимизацию, «Показательные неравенства», «Иррациональные неравенства», «Логарифмические неравенства», «Неравенства с модулем», традиционно предлагаемые на государственной аттестации по математике. Это одна из самых сложных тем на экзамене и вызывает трудности у многих учащихся. Отчасти это происходит от недостаточного внимания, малого количества часов и большого объёма различных заданий. В рамках элективного курса попытаемся восполнить данный пробел.
Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно-позновательный процесс и максимально проявить себя.
Занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.
Неравенства являются важным средством обучения математике. Прежде всего необходимо усвоить способы решения типовых задач: способы решения линейных, квадратных, рациональных, дробно-рациональных и других неравенств, тождественные преобразования алгебраических и неалгебраических выражений, построение графиков элементарных функций и многое другое.
Решение неравенств – это деятельность сложная для обучающихся. Сложность её определяется, прежде всего, комплексным характером: определить вид неравенства, получить аналитическую модель, изобразить графически и выполнить символическую запись.
Приступая к решению задачи, необходимо научиться внимательно, читать её
условие и вопрос. Например, задача «Решите неравенство» может быть
сформулирована так: «Найдите наибольшее целое решение неравенства:
». В итоге получается промежуток 
. Ответ же в этой
задаче – число 6, так как в ней требовалось из всех решений выбрать наибольшее
целое. Каждый этап из этих – самостоятельная и часто труднодостижимая для
Для решения сложных задач нужно иметь не только прочные навыки в решении типовых задач, но и знания специальных приёмов.
Так неравенства включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы ЕГЭ, олимпиадные задачи.
Как известно, одной из центральных линий математической подготовки обучающихся являются линии «Уравнения» и «Неравенства», методы их решения, решение задач с помощью неравенств и систем неравенств.
Данная программа составлена для работы с обучающимися десятых, одиннадцатых классов, которые желают овладеть эффективными способами решения неравенств.
Условия задачи (нахождение в некоторых из них ОДЗ) позволяет ученику устанавливать различные связи (объединение или пересечение промежутков), осознать идею решения, его логику, увидеть и понять способы решения.
Решение неравенств становится для школьников увлекательным занятием и значительно повышает интерес к изучению темы курса алгебры и начала математического анализа в перечисленных ранее темах.
Деятельность обучающихся приобретает более целенаправленный характер и, что самое важное, появляется самостоятельность на этапе поиска путей решения неравенств, который, как известно, вызывает всегда большие затруднения.
Элективный курс «Неравенства: через тернии к успеху» рассчитан на 70 часов.
10 класс – 35 часов; 11 класс – 35 часов. Количество часов – 1 час в течение двух лет обучения.
систематизация и развитие знаний обучающихся о методах, приёмах, способах решения неравенств, их видах;
развитие математических знаний, необходимых для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.
научить решать неравенства более высокой сложности, по сравнению с обязательным уровнем;
научить детей решать задачи различными способами и методами, что способствует развитию логического мышления у учеников, развивает сообразительность, интуицию учащихся;
научить обосновывать правильность решения неравенств, проводить проверку, самопроверку, взаимопроверку, формировать умение пользоваться различными методами и способами для поиска правильного его решения;
приобрести определённую математическую культуру;
помочь оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы;
приобщить учащихся к работе с математической литературой.
Требования к уровню подготовки учащихся
После изучения курса учащиеся должны иметь следующие результаты обучения:
основные виды неравенств;
способы решения неравенств различных видов.
определять тип неравенства, особенности методики его решения, используя
при этом разные способы решения;
уметь использовать дополнительную математическую литературу;
использовать математические средства наглядности (справочники, таблицы,
схемы, и т.д.) для определения грамотного решения неравенства;
составлять область допустимых значений;
обосновывать правильность решения неравенства;
уметь формировать искомый ответ.
Использовать на практике:
применять полученные математические знания в решении жизненных задач.
Тема 1. Введение. Линейные и квадратные
неравенства 8 ч
Введение. Общие теоретические
положения решений неравенств.
Решение задач ОГЭ по теме «Неравенства», «Системы неравенств»
способы их решения.
способы их решения
Тема 2. Решение неравенств методом интервалов 7 ч
Решение рациональных неравенств
методом интервалов.
Решение неравенств методом
Конспект, практическая работа
Обобщённый метод замены интервалов на примере
.
Тема 3. Решение дробно-рациональных неравенств
методом интервалов 6 ч
неравенств 
методом интервалов.
Тема 4. Неравенства, содержащие знаки модуля 12 ч
Определение модуля и его
свойства. Модуль функции.
Конспект, практическая работа
Раскрытие знака модуля числа,
Раскрытие знака модуля элементарных функций.
содержащих более одного знака
Решение неравенств вида 
.
Графический метод решения
неравенств 
, .
Неравенства, содержащие более
одного знака модуля.
Тема 5. Решение избранных задач ЕГЭ 2 ч
Тестовые задания по материалам
ЕГЭ по теме «Неравенства».
Тема 6. Обобщённый метод интервалов 11 ч
Решение рациональных неравенств
методом интервалов.
неравенств методом интервалов.
Область определение функции.
Обобщённый метод интервалов .
Тема 7. Показательные неравенства 6 ч
неравенств 
.
Тема 8. Логарифмические неравенства 6 ч
неравенств 
.
Тема 9. Тригонометрические неравенства 4 ч
Тема 10. Решение неравенств по материалам ЕГЭ 6 ч
Тестовые задания по материалам
ЕГЭ по теме «Неравенства».
Тема 11. Итоговое занятие по защите проектов 2 ч
Использование ИКТ и ЦОР на занятиях элективного курса
Другие обучающиеся программы
Квадратные неравенства и способы их решения.
Решение рациональных неравенств
методом интервалов.
неравенств методом интервалов.
Решение неравенств методом
Обобщённый метод замены интервалов на примере
.
Раскрытие знака модуля числа,
Графический метод решения
неравенств , .
Неравенства, содержащие более
одного знака модуля.
Тестовые задания по материалам
ЕГЭ по теме «Неравенства».
Область определение функции.
неравенств .
неравенств .
Тестовые задания по материалам
ЕГЭ по теме «Неравенства».
Тема 1 ( 8ч ) Введение. Линейные и квадратные неравенства
Повторение алгоритма решения линейных неравенств и квадратных неравенств, систем неравенств. Рассматриваются решения демонстрационных материалов ОГЭ. Привить навыки решения неравенств «от начала к концу», формировать ответ в виде числовых промежутков.
Тема 2 ( 7ч ) Решение неравенств методом интервалов
Повторение алгоритма решения неравенств методом интервалов.
Рассматривается решение демонстрационных примеров. Решение заданий.
Выполняется практическая работа, состоящая из 8-12 неравенств, систем неравенств.
Тема 3 ( 6ч ) Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов
Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Рассматриваются
неравенства вида 
v 0, где f ( x )˅ g ( x ) представлены в виде множителей и так же
описывается метод интервалов, как способ быстрого решения таких неравенств. Область определения функции. Рассматриваются решения демонстрационных примеров, 4 вида неравенств, в зависимости от знака сравнения. Практическое занятие по теме состоит из 10 неравенств.
Тема 4 ( 12ч ) Неравенства, содержащие знаки модуля
Повторение понятия модуля числа и функции. Рассматриваются 4 вида равносильных
замен, которые применяются при решении неравенств и на каждый вид замен приводится пример. Приводятся примеры раскрытия знака модуля числа и числового выражения, раскрытие знака модуля элементарных функций, упрощение выражений, содержащих более одного знака модуля. Рассматривается 8 видов неравенств, содержащих модули. Рассматриваются задания разной степени сложности, которые могут быть использованы для дифференцированной работы различного уровня подготовки. Тренировочные упражнения состоят из 8 примеров по теме на каждый вид неравенств. Приводится 10 заданий повышенной сложности, предлагаемых на ЕГЭ.
Тема 5 ( 2ч ) Решение избранных задач ЕГЭ
Тема 6 ( 11ч) Обобщённый метод интервалов
c использованием метода интервалов. Решение неравенств вида 
способом замены эквивалентной системой условий: 
Предполагается отработка алгоритмов на примерах продвинутого уровня.
Тема 7 ( 6ч ) Показательные неравенства
Решение показательных неравенств рассматривается на примерах, проводятся равносильные преобразования. Тренировочные упражнения берутся из заданий ЕГЭ. Решение неравенств по пройденной теме «Показательные неравенства»
Самостоятельная работа по теме «Показательные неравенства».
Тема 8 (6ч) Логарифмические неравенства
Решение логарифмических неравенств вида .
Рассматриваются различные схемы равносильных преобразований неравенств
логарифмического вида с числовым основанием. Тренировочные задания состоят из
заданий ЕГЭ. Решение неравенств по пройденной теме «Логарифмические неравенства». Самостоятельная работа по теме «Логарифмические неравенства».
Тема 9 ( 4ч ) Тригонометрические неравенства
Рассматривается решение тригонометрических неравенств: метод разложения на множители, метод введения новой переменной, метод введения дополнительного угла, приводимых к сравнению тригонометрических функций с нулём методом интервалов и отбор корней через двойное неравенство.
Тема 10 ( 6ч ) Решение неравенств по материалам ЕГЭ
Предлагаемые задания различны по уровню сложности: от простых неравенств на
применение изученных приёмов до достаточно трудных неравенств, предлагаемых на
вступительных экзаменах в технические университеты.
Тема 11 ( 2ч ) Итоговое занятие по защите проектов учащихся
Курс является открытым, в него можно добавлять новые методические приёмы,
развивать тематику или заменять, какие – либо разделы другими. Главное, чтобы они были небольшими по объёму, интересными для учащихся, соответствовали их возможностям. Программа мобильна, т.е. даёт возможность уменьшить количество задач при установлении степени достижения результатов. Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.
Критерии оценки и система оценивания знаний,
умений и навыков обучающихся
По окончании изучения каждой темы предусмотрена самостоятельная работа по решению неравенств на данную тему. По итогам года осуществляется защита проектов, выполненных учащимися. Темы проектов учащиеся выбирают самостоятельно, защита проектов осуществляется в два этапа:
защита презентации (теоретическая часть);
решение задач по теме проекта (практическая часть).
По итогам полугодия учащимся выставляется «зачёт/незачёт», по итогам года
оценка. Зачёт получают учащиеся, посетившие не менее 75% занятий и имеющие оценку не ниже «3» за самостоятельные и практические работы.
Нормы оценок знаний, умений и навыков учащихся при выполнении письменных работ.
При оценке работ, состоящих только из задач, ставятся следующие отметки:
«4» – допущены 1 -2 недочёта;
«3» – допущены 1 грубая и 3 недочёта;
«2» – допущены 2 и более грубых ошибок.
Оценивание решения одного неравенства.
Решение неравенства состоит из нескольких этапов:
определить вид неравенства;
наметить пути его решения;
решить неравенство, учитывая его свойства;
изобразить аналитическую модель на числовой прямой;
выполнить символическую запись;
сформировать правильно ответ.
Оценивая выполненную работу, естественно учитывать результаты деятельности
учащегося на каждом этапе; правильность выбранного метода, выполнение последовательных действий, а так же степень осуществления этого плана при выставлении оценки нужно считать решающими. Т.о. при оценке учитывается весь алгоритм решения неравенства, какие навыки и умения были показаны, какие использовались методы.
При устном ответе по теоретическому материалу решающим является умение формулировать свойства неравенств, правильно определять его вид, видеть связи между понятиями, уметь грамотно и стройно излагать свои мысли.
Методическое обеспечение программы курса
Дидактический и раздаточный материал
Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Неравенства
- Линейные неравенства
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
≥ больше или равно,
≤ меньше или равно,
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
- Если знак неравенства строгий > , , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой .
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
- Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной .
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
- Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.
Таблица числовых промежутков
| Неравенство | Графическое решение | Форма записи ответа |
|---|---|---|
| x c | x ∈ ( − ∞ ; c ) | |
| x ≤ c | x ∈ ( − ∞ ; c ] | |
| x > c | x ∈ ( c ; + ∞ ) | |
| x ≥ c | Алгоритм решения линейного неравенства
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
Примеры решения линейных неравенств: №1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18. Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. − 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 ) Делим обе части неравенства на ( -3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как − 3 0 , знак неравенства поменяется на противоположный . x 12 − 3 ⇒ x − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков). Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) №2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14. Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. 6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14 6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4 3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Делим обе части неравенства на ( 3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как 3 > 0, знак неравенства после деления меняться не будет. x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков). Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно). №1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ). Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. 6 x − 6 x ≤ − 1 + 1 Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x . Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x , чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа. Ответ:
№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ). Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. x + 6 − 9 x > − 8 x + 48 − 8 x + 8 x > 48 − 6 Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x . Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ. Квадратные неравенства Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, x — переменная. Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет. Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4). Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов
Если знак неравенства строгий > , , точки будут выколотые. Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).
Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться. Точки выколотые, если знак неравенства строгий. Точки жирные, если знак неравенства нестрогий. Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться. Точки выколотые, если знак неравенства строгий. Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +. Если знак неравенства или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -. Примеры решения квадратных неравенств: №1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12. Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = 1, b = − 1, c = − 12 D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ . Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ ) №2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 . Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = − 1, b = − 3, c = − 2 D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1 x 1 = − 2, x 2 = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение: − x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − . Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +. Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ] №3. Решить неравенство 4 x 2 + 3 x . Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = − 1, b = − 3, c = 4 D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение: − x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 , будет -. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервалы со знаком − . Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) №4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6. Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = 1, b = − 5, c = − 6 D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком -. Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 ) №5. Решить неравенство x 2 4. Решение: Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения. ( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком − . Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 ) №6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0. Решение: Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0. x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ ) Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже. Дробно рациональные неравенства Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов: f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0 Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю). Примеры дробно рациональных неравенств: x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3 Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов. Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.
Вне зависимости от знака неравенства Если знак неравенства строгий , Если знак неравенства нестрогий ,
Примеры решения дробно рациональных неравенств: №1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
x = 1 — это ноль числителя . Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.
x = − 3 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства) .
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) №2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0 3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0 3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0 3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0 − 5 x − 37 x + 8 ≤ 0
x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4 x = − 7,4 — ноль числителя . Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.
x = − 8 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : − 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -. В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ ) №3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1 x 1 = 1, x 2 = − 1 — нули числителя . Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.
x = 0 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) Системы неравенств Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой. Пример системы неравенств: Алгоритм решения системы неравенств
Примеры решений систем неравенств: №1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный. Графическая интерпретация решения: Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4 . Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные. №2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
3 x − 3 | ÷ 3 , поскольку 3 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Графическая интерпретация решения: Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.
Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ) №3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения:
2 x > 12 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Графическая интерпретация решения:
Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений. №4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения первого неравенства:
Решаем методом интервалов. a = − 1, b = 2, c = 3 D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16 D > 0 — два различных действительных корня. x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1 Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными. Графическая интерпретация решения второго неравенства:
Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪ . Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные. Показательные неравенства
О чем эта статья: 10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Определение показательных неравенствПоказательными считаются неравенства, которые включают в себя показательную функцию. Другими словами, это неравенства с переменной в показателе степени: a f(x) > a g(x) , a f(x) g(x) . Из них показательно-степенными неравенствами являются те, в которых есть переменные и в показателе степени, и в основании. Для изучения этой темы стоит повторить: И, конечно, для решения тригонометрических и логарифмических показательных неравенств также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры. Если все это еще свежо в памяти, давайте приступим. Как и к показательным уравнениям, к неравенствам стоит подходить, помня о свойствах показательной функции. Напомним, что она выглядит так: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. Два графика ниже дают представление о том, на что похожа такая функция, когда основание степени а больше и меньше единицы. Наверняка вы уже догадались, каково главное свойство этой функции. Да, она монотонна. При этом заметьте — значения а всегда больше нуля. На практике в этом несложно убедиться, если возводить какое-либо число во всевозможные степени, включая отрицательные. Например: 2 -2 = 4, 2 -4 = 1/16 и т. д. Значение функции будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля. Для любых а и х верно неравенство a x > 0, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений. Запишем следствие монотонности показательной функции в виде формул:
Как решать показательные неравенстваКак мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости. Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство: Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию: Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим: Проверим, верно ли в таком случае х > 2. 0,5 3 = 0, 125 и т. д. Как видите, на самом деле в этом случае х |
