Уравнение и неравенства первой степени это

Ключевые слова: основные понятия, неравенства первой степени, решение неравенств первой степени, примеры решения задач. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.2. Неравенство с одной переменной. Решение неравенства.

Неравенства с одной переменной решают почти так же, как и уравнения. Значение переменной, при подстановке которой в неравенство получается верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство – это значит найти все его решения или показать, что их нет.

Неравенства, у которых множества решений совпадают, называют равносильными. При решении неравенств пользуются следующими правилами, которые позволяют заменять одно неравенство другим, ему равносильным:

члены неравенства можно переносить из одной его части в другую с противоположным знаком;
обе части неравенства можно умножать или делить на одно и то же положительное число;
обе части неравенства можно умножать или делить на одно и то же отрицательное число и заменять при этом знак неравенства на противоположный.

Рассмотрим, например, неравенство 3х(х+2) – 20 > 6х+7. Заменим его более простым равносильным ему неравенством:
3х 2 + 6х – 20 > 6х + 7,
3х 2 + 6х – 20 – 6х – 7 > 0,
3х 2 – 27 > 0,
х 2 – 9 > 0.

Сначала мы раскрыли скобки в левой части неравенства, затем из правой части в левую перенесли слагаемые с противоположными знаками, после приведения подобных разделили обе части неравенства на одно и то же положительное число 3. Получили квадратное неравенство (способ решения таких неравенств в следующем параграфе).

Решение неравенств первой степени

Неравенства первой степени – это неравенства вида ах + b > 0 или ах + b ≥ 0, ах + b 0; 0,3x +1,2 > 0; 5 – 10x ≤ 0 являются неравенствами первой степени.

Решим, например, последнее из этих неравенств: 5 – 10x ≤ 0. Коэффициент при переменной х отрицательный, и всегда полезно сначала «избавиться» от отрицательного коэффициента при х. Для этого можно умножить обе части неравенства на –1 и не забыть заменить знак неравенства на противоположный. Получим: 10х – 5 ≥ 0. (Можно поступить и иначе – перенести –10х в правую часть с противоположным знаком: 5 ≤ 10х.) Далее: 10x ≥ 5, x ≥ 0,5. Последнее неравенство можно считать ответом, так как оно вполне ясно описывает множество всех значений x, являющихся его решениями. Можно также записать решение неравенства в виде числового промежутка: [0,5; +оо). На координатной прямой множество решений этого неравенства можно показать так:

Множеством решений неравенства первой степени всегда является числовой луч – или с принадлежащим ему началом, как в данном случае, или с непринадлежащим (в случае строгого неравенства).

Примеры решения задач

Пример 1. Определим, в каком случае на координатной прямой изображено множество решений неравенства 19 – 7x > 20 – 3(x – 5).

Самая правильная стратегия поиска ответа на вопрос состоит в том, чтобы просто решить неравенство.
19 – 7x > 20 – 3(x – 5),
19 – 7x > 20 – 3x +15,
–4x > 16,
4x √80, то 9 – 4√5 > 0. Разделив обе части неравенства на положительное число 9 – 4√5, получаем неравенство 6 + 2x

Это конспект по алгебре на тему «Решение неравенств первой степени». Выберите дальнейшие действия:

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

§ 1. Два свойства уравнений

ГЛАВА VII. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ
НЕИЗВЕСТНЫМ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Мой любимый школьный предмет математика,

Ши много раз/ пользовались уравнениями и знаем, что они очень
полезны для решения различных задач. Чтобы успешно, пользоваться
уравнениями, надо хорошо знать их свойства и изучить различные
приемы их решения. „

Решение уравнений — один из основных вопросов курса алгебры.
К этому вопросу мы будем возвращаться несколько раз. Сейчас рассмотрим
два основных свойства уравнений.
С в о й с т в о 1. Если к обеим частям уравнения прибавить
одно и то же число или один и тощ же многочлен относительно
неизвестного, то полученное в результате этого новое уравнение
имеет те же и только те же решенияу что и исходное уравнение.
Или, другими словами: уравнение не теряет и не приобретает
решения, когда к «обеим частям его прибавляется одно и то же
число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.
Разъясним сначала, почему уравнение не может потерять решение^
когда к обеим частям его прибавляется одно и то же число или один
и тот же многочлен относительно неизвестного.
Рассмотрим уравнение
l + i £ ^ _ l + 2x^ L = 2 ^ _ 4 _ (1)
Это уравнение имеет решение дг = 5. При х = 5 уравнение (1)
превращается в тождество 6 — 6. Прибавим теперь к каждой части
уравнения (1) по 20, получим новое уравнение’
( 1 + i £ z z l + ^ ± l j + 20 = ( 2Af- 4 ) + 20. (2)
После замены в уравнении (2) буквы лг числом б каждое из выражений,
заключенных в скобки, дает в результате опять 6, и таким
образом мы в каждой части получим 26. Разница между уравнением (1)
и уравнением (2) заключается лишь в том, что при х = 5 уравнение
(1) превращается в тождество 6 = 6, а уравнение (2) превращается
в тождество 26 = 26.

143 Мой любимый школьный предмет математика, УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Если бы к каждой части уравнения (1) прибавили не по 20,
а по — 200, новое уравнение опять при * = 5 превратилось бы в
тождество. Различие между этим уравнением и уравнением (1) заключалось
бы только в том, что в каждой части нового уравнения получилось
бы по — 194, а не по 6, как в уравнении (1).
Если бы мы к каждой части уравнения прибавили по многочлену
-f- х -j- 2, новое уравнение опять при * = 5 превратилось бы в
тождество 38 = 38 (многочлен 2 при * = 5 принимает значение
32).
Выходит, что решение лг = б не теряется, когда к каждой части
уравнения (1) прибавляется одно и то же число или один и тот ^ке
многочлен относительно неизвестного.
То, что мы показали на уравнении (1), можно также показать и
на каком угодно другом уравнений. Так как вычитание любого числа
и любого многочлена можно заменить сложением, уравнение не может
потерять решение и тогда, когда от каждой части его отнимается одно
и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.
Разъясним теперь, почему уравнение не может приобрести решение,
когда к обеим частям его прибавляется одно и то же число
или один и тот же многочлен относительно неизвестного. Рассмотрим
опять уравнение (1) и (2) и выясним, почему при переходе от уравнения
(1) к уравнению (2) мы не могли приобрести решения.
Для того чтобы от уравнения (2) перейти к уравнению (1), достаточно
от каждой части его отнять по 20 (или к каждой части прибавить
по —20). Значит, при переходе от уравнения (2) к уравнению
(1) мы не можем потерять решение.
Допустим теперь, что при переходе от уравнения (I) к уравнению
(2) мы приобрели какое-нибудь решение (скажем, дг=2,5).
Тогда при переходе от уравнения (2) назад к уравнению (1) мы
должны потерять это1 решение, а это невозможно.
З а м е ч а н и е . Так как буквы в алгебре обозначают числа, все сказанное
об уравнениях с числовыми коэффициентами относится также и к уравнениям
с буквенными коэффициентами.
Покажем, на примерах, как свойство 1 можно применять к решению
уравнений.
Пр име р . Решить-уравнение х — 7 = 11.
Р еше н и е . Прибавим к каждой части уравнения по 7, получим
х = 18.
Приме р . Решить уравнение х -(- 30 = 10.
Решение . Вычтем из каждой части уравнения по 30 (или прибавим
по —30). Получим х = — 20*
Приме р . Решить уравнение х — а= Ь .
Р еше н и е . Прибавим к каждой части уравнения а, получим
4 х = Ь-\- а *

144 Мой любимый школьный предмет математика, УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Сл е д с т в и е из с в о й с т в а 1 ур авн ений. Любой член уравнения
можно перенести из одной части в другую, изменив при
этом его знак на противоположный.
Это утверждение справедливо для любых уравнений. Чтобы упростить
изложение, мы проведем его на частном примере.
Дано уравнение
З х 1 == —2 х — 7. (3)
Покажем, что —2 х можно перенести с противоположным знаком в
левую часть, т. е. покажем, что при переходе от уравнения (3) к
уравнению
Злсг —(— 2лг —J— 1 = —7 (4)
ни одно решение не теряется и не приобретается.
К каждой части уравнения (3) прибавим 2х, получим уравнение (4).
На оснований свойства 1 уравнений переход от уравнения (3) к
уравнению (4) происходит без потери и приобретения решений.
Все сказанное относительно —2х можно повторить относительно
любого другого члена уравнения (3).
Этим свойством уравнений широка пользуются при решении уравнений.
Именно, решая уравнения, часто переносят члены, содержащие
неизвестные, в одну часть, а известные — в другую. Поясним это
примером.
Пример. Решить уравнение
З х 1 = —2х — 7.
Решение. Перенесем неизвестные члены в левую часть, а известные
в правую, получим
5 * = —8,
отсюда
Св о й с т в о 2. Если обе части уравнения умножить или
разделить на какое-нибудь число, отлинное от нуля, то получен*
те в результате этого новое уравнение имеет те же и только
те же решения, что и исходное уравнение.
Иными словами: уравнение не приобретает и не теряет решений
от того, что обе части его умножены или разделены на одно и
то же число, отличное от нуля.
Прежде чем разъяснить свойство 2, заметим, что его достаточно
разъяснить для умножения, так^ак деление можно всегда заменить
умножением на обратное число.
Мы и здесь, как и при разъяснении свойства 1, сначала расскажем,
почему при умножении (или делений) обеих частей уравнения на одно
и то же число, отличное от нуля, ни одно решение не может быть

145 Мой любимый школьный предмет математика, УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

потеряно. После этого разъяснится и то, что ни одно решение не
может быть при этом приобретено..
Возьмем какое-нибудь уравнение. Все, что будет показано на этом
уравнении, можно показать и на любом другом уравнении..
Уравнение
^ + ^ + 3 + £ ± 3 = 2 ^ _ 2 (5)
имеет решение х = 6 . Действительно, при х = 6 уравнение превращается
в тождество 10 = 10.
Умножим каждую часть уравнения (5) на 20, получим уравнение
1 4 6 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ [ГЛ. УЦ
20 (■* + ^ г г 1 + ) = 20 (2х — 2). (6)
При х==*6 уравнение (6) тоже превращается в тождество
20 -10 = 20- 10.
Если бы мы умножили обе части уравнения на —

д-,мы получили
бы уравнение, которое при х — б превращается в тождество
Т о ! ‘ 10= = Т о б » 10*
.Выходит, что решение х = б не теряется при умножении или
делении каждой части уравнения (б) на одно и то же число.
От уравнения (6) можно,перейти обратно к уравнению (5) посредством
умножения каждой части его на- i- .
Ясно поэтому, что при переходе от уравнения (6) к уравнению (5)
не может бить поУпери решения.
Отсюда вытекает, что при переходе от уравнения (5) к уравнению
(£) не могло быть и приобретения решения, Здесь опять, как
и при изучении свойства 1, важно понять, что решения, приобретен^
ные при переходе от уравнения (5) к уравнению (6), должны были бы
потеряться при обратном переходе, а потеря решения здесь невозможна.
З а м е ч а н и е 1. Рассмотрим уравнение
Зл: — 7 = 11. (7)
Оно имеет единственное решение х = 6. Умножим каждую часть его на
нуль. Получим уравнение
0(3* — 7) = 11 -0. (8)
Уравнению (8) удовлетворяет не только х = б, но и любое другое значение
х . (Например, положим х = 1 000, получим тождество 0*2993 = 0*11.)
Выходит, что при переходе от уравнения (7) к уравнению (8) мы приобрели
бесконечное множество решений. Вот почему в формулировке свой

146 Мой любимый школьный предмет математика, УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

ства 2 указано, что число, на которое умножаются обе части уравнения, должно
быть отлично от нуля.
З а м е ч а н и е 2. Так как буквы в алгебре обозначают числа, Все сказанное
об уравнениях с числовыми коэффициентами относится также и к уравнениям
с буквенными коэффициентами. При этом необходимо только следить,
за тем, чтобы при умножении обеих частей уравнения на буквенное выражение
не вкралось умножение на нуль^ (Дело в том, что буквенные выражения
могут при некоторых значениях входящих в них букв равняться нулю.)
Покажем на примерах, как свойство 2 можно применять к реше^-
иию уравнений.
Пример. Решить уравнение 2 х— —3.
Решение . Разделим обе части уравнения на 2, получим
Пример, Решить уравнение 15 — л: = 20.
Решение. Перенесем 15 в правую часть, получим
— jc = 5.
Умножим теперь обе части уравнения на —*1, получим
х = — 5,
Пример, Решить уравнение а х = Ь.
Решение . Если а Ф 0, то, разделив обе части уравнения на а,
получим ЛГ= —Ь .
Если же а = 0, то уравнение имеет вид 0 *х = Ь, и тогда, если
ЬфО, уравнение решений не имеет, если же Ъ = 0, уравнение есть
тождество, так как ему удовлетворяет любое значение х.
Пример. Решить уравнение ^ — Ь.
Р е ш е н и е. Здесь а Ф 0, так как иначе уравнение не имеет смысла.
Умножив обе части уравнения на а, Иолучим х = аЪ.

§ 2. Понятие о равносильности уравнений

имеет также единственное решение ‘х= 1 1 . Уравнение (1) и (2) равносильны.
Пример. Уравнение
Слг — 2) (аг — (3)
имеет два решения: x t — 2; дта = 3. Уравнение
10(лг— 2)(аг — (4)
имеет также два решения: x t— 2; дга = 3. Уравнение (3) и (4) равносильны.
Пример. Уравнения
(х — 2)(х — 3) = 0 (5)
и
( х— 1)(х — 2)(х — 3) = 0 (6)
не равносильны. Действительно, уравнение (5) имеет два решения:
^ = 2; ^2 = 3, а уравнение (6) имеет три решения: x t = l ; х% = 2;
х 9 = 3.v Такт образом, каждое решение уравнения (б) является решением
уравнения (6), но не каждое решение уравнения (6) является
решением уравнения (5).
Теперь основные свойства уравнений можно сформулировать так:
Св о й с т в о 1. Если к обеим частям уравнения прибавить
одно и то же число или один и тот же многочлен относительно
неизвестного, то полученное в результате этого новое уравнение
равносильно данному.
Св о й с т в о 2. Если обе части уравнения умножить или раз-
делить на какое-нибудь число, отличное от нуля, то полученное
в результате этого новое уравнение равносильно данному.

§ 3. О некоторых преобразованиях уравнения,
которые могут привести к потере
или приобретению решений

При внимательном рассмотрении свойств 1 и 2 уравнений (§ 1)
могут возникнуть два вопроса:
1. В § 1 говорится о прибавлении к обеим частям уравнения многочленов
относительно неизвестного. А что произойдет с решениями
уравнения, если к обеим частям его прибавить не многочлен
относительно неизвестного, а выражение, содержащее неизвестное
в знаменателе?
2. В § 1 говорится об умножении и делении обеих частей уравнения
на любое число. А что произойдет с решением уравнения, если
обе части его умножить или разделить на одно и то же выражение,
содержащее неизвестное?
Мы сейчас приведем примеры, которые и помогут нам ответить
на эти вопросы.

Приме р . Уравнение
лг — 3 = 5 (1)
имеет решение х = 8. Уравнение
(2)
полученное из уравнения (1) прибавлением к каждой части выраже-
равенство (2) не имеет смысла. При переходе от уравнения (1) к уравнению
(2) решение дг = 8 потеряно, при обратном переходе от уравнения
(2) к уравнению (1) решение х = 8 приобретается.
Теперь ясно, почему в § 1 шла речь о прибавлении многочленов
от неизвестного.
Пример. Уравнение
полученное из уравнения (3) умножением обеих частей на х — 2,
имеет два решения: x t — 3; х* = 2. При переходе от уравнения (3)
к уравнению (4) приобретено решение х = 2. От уравнения (4) мы
можем перейти к уравнению (3) делением обеих частей уравнения
на х — 2. При этом решение х = 2 будет потеряно.
Теперь ясно, почему, в § 1 говорится об умножении и делении
обеих частей уравнения на число, а не на выражения, которые содержат
неизвестное.
Дело в том, что, умножая обе части уравнения на х — 2, мы
умножаем их не на определенное число, а на выражение, которое
при разных значениях х имеет разные значения и среди этих значений
содержится нуль (при x z=2 выражение х — 2 равно нулю).
Мы же знаем, что умножение обеих частей уравнения на нуль приводит
к приобретению решений (см. § 1).
При делении на х — 2 мы теряем решение потому, что в выражении
х — 2 скрыты разные значения и среди них содержится О,
на который делить нельзя.
Все сказанное здесь приводит к следующим выводам:
1. Прибавление к обеим- частям уравнения выражения, содержащего
неизвестное в знаменателе, может привести к потере
и приобретению решений, При этом потерянными и приобретенными
решениями могут быть только те значения неизвестного,
при которых знаменатель этого выражения равен нулю.
2. Умножение обеих частей уравнения на многочлен от неизвестного
может привести к приобретению решений. При этом

приобретенными решениями могут быть только те значения
неизвестного, при которых этот многочлен равен нулю.
3, Деление обеих частей уравнения на^многочлен от неизвестного
может привести к потере решений. При этом потерянными
решениями могут быть только те значения неизвестного,
при которых этот многочлен равен нулю.
З а д а ч а. Обе части уравнения умножены на х — 3.. Могло ли
уравнение при этом приобрести решение. х = 5?
Ответ. Нет, так как при * = 5 выражение
—г- 3 отлично от нуля.
За дач а . Какие решения может потерять уравнение, когда обе
части его делят на (.х — 2 ) (*— 7)?
Ответ. Уравнение может потерять реше^
ния х = 2 и * = 7, так как только при этих
значениях

* выражение (х — 2 ) (*—- 7) равно
нулю.

§ 4* Решение уравнений

При решений уравнений можно поступать по следующему правилу:
1. Освободить уравнение от дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Перенести все члены, содержащие неизвестные, в одну часть
уравнения (в левую), а известные в другую.
4. Сделать приведение подобных членов. В случае, если неизвестное
входит в несколько членов с буквенными коэффициентами,
вынести неизвестное за скобки.
5. Если в результате этих преобразований получится уравнение
вида а х

Ь , то разделить обе части этого уравненця на
коэффициент при неизвестном (а), не допуская деления на нуль.
Пример . Решить уравнение
x j x

» + + * .
Решен ие . , Умножим обе части уравнения на ; 20 (20 — общее
наименьшее кратное знаменателей)
2 0 * (лг — 1) + 25(2* — 1) + 36 (х — 1) » 10*(2* — 1) + 75.
Раскрыв скобки, имеем
20** — 20* — f 50* — 25 + 36* — 36 = 20** — 10* + 75.
Приведем подобные члены в каждой части уравнения
20** + &§х — 6 1 = 20** — 10* 4

Перенесем 20л;*— Юл; в левую, а — 61 в правую часть. Получим.
7 6 *— 136,
Пример. Решить уравнение*
х , Ь х , а
a — b ^ a + b а + Ь

Вынесем х за скобки, получим
х (ab + #с + са) = abc.
Предположим, что
ab be + са ф О,
тогда
abc
a b b e са*
Случай, когда ab-\-bc-^-ca = 0, представляет некоторые трудности
для исследования, и потому мы оставим его без рассмотрения.
Ответ. Если аЪ-\-Ъс-\-саф 0, то х — ‘ а^ ^ : ^

§ 5. О числе решений уравнения первой степени с одним
неизвестным

Опр е д е л ение . Уравнением первой степени с одним неизвестным
называется такое уравнение, которое после освобождения его
от дробей, раскрытия скобок, перенесения всех членов в одну часть
и приведения подобных членов принимает вид
а х +• b = О,
где а и Ь — известные числа, а — называется коэффициентом при
неизвестном, Ъ — свободным членом.
Пример. Уравнения, рассмотренные в § 4, — уравнения первой
степени с одним неизвестным.
Уравнение первой степени с одним неизвестным либо имеет единственное
решение, либо совсем не имеет решения, либо имеет бесконечное
множество решений.
1. Если коэффициент при неизвестном в уравнении первой степени
с одним неизвестным отличен от нуля, уравнение имеет
решение и притом единственное.
Пример. Уравнение З х + 2 = 0 имеет единственное решение.
х 2 — 3 .
Пример. Уравнение 2 х = 0 имеет единственное решение х = 0 .
2. Если коэффициент при неизвестном в уравнении первой
степени с одним неизвестным равен нулю, а свободный член не
равен нулю, уравнение не имеет решения.
Пример. Уравнение 0 * .* + 1 = 0 не имеет решения, так как
при любом значении х произведение 0 — лг равно 0 и 0 + 1 — 1.
3. Если коэффициент при неизвестном и свободный член в
уравнении первой степени с одним неизвестным равны нулю, уравнение
имеет бесконечное множество решений. Всякое число является
решением такого уравнения.
В самом деле, уравнению 0*дг + 0 = 0 удовлетворяет любое
число, так как произведение любого числа и нуля равно нулю и
0 + 0 = 0.

§ 6. Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе

К уравнениям первой степени с одним неизвестным приводятся и
некоторые уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе. Они
решаются по тому же правилу, что и уравнения, не содержащие неизвестное
в знаменателе.
Нужно только иметь в виду, что при освобождении такого уравнения
от дробей приходится обе части его умножать на многочлен
от неизвестного, и потому возможно приобретение решений или, как
говорят, возможно появление посторонних решений.
Пример. Решить уравнение
_ 6 _____* + 2 , _ п
x -jr2 х — 2 * х2—4
Решение. Умножим обе части уравнения на х % — 4.
Получим
6 (л; — 2) — (* + 2)* + = 0.
Раскрываем скобки
блг— 12 — лг2 — 4 х — 4 -f- лг2 = 0.
Отсюда
2лг= 16, л г= 8 .
Так как при умножении на лг2 — 4 мы могли ввести посторонние
решения, мы обязаны проверить полученный ответ. Подставим 8 вместо
х в исходное уравнение. Имеем
б 10 , 6 4 3 5 , 16 __ 9 — 2 5 + 1 6 _ Л
10 6 + 60

5 3 + 1 5 — 15 *
Проверка показала, что х = 8 есть решение уравнения. Таким образом,
мы посторонних решений не ввели. Впрочем, это можно было
установить и проще: при х = 8 выражение лг2 — 4 отлично от нуля,
и потому лг==8 не может быть посторонним решением.
Ответ. лг = 8.
Пример. Решить уравнение
4 7 4
лг + 2 + х + 3 *5 (л; + 2)(л: + 3) *
Решение . Умножим обе части уравнения на (лг-|-2)(лг

>-3).
Получим
4 ( * + 3 ) + 7 ( * + 2 ) = 4 /
4лг + 7лг = 4— 12— 14, лг = — 2.
При лг = —2 уравнение не имеет смысла. Таким образом, х = —2
ecib посюроннее решение.
Ответ. Уравнение решений не имеет.

§ 7. Решение задач .при помощи уравнений.
Понятие об исследовании задачи

Задачи, которые . приходится решать при помощи уравнений,
весьма разнообразны и весьма разнообразны способы их решения.,
Поэтому нельзя дать общее правило, руководствуясь которым можно
быдо бы, не задумываясь, решить . любую задачу при. помощи уравнений.
Часто бывает так, что способ, который с успехом применялся
Э решении одной задачи, непригоден для решения другой. Каждая
задача требует для ее решения сообразительности* изобретательности.
Научиться решать задачи можно только на практике. Чем больше
мы будем решать задач, чем больше будем думать над их решением,
чем больше будем стараться изобретать различные способы их решения,
тем больше мы разовьем свою сообразительность, тем лучше
будем решать задачи.
Мы сейчас для примера рассмотрим несколько задачки расскажем,
как эти задачи решаются.
Рекомендуем внимательно рассмотреть эти решения, и на них
учиться самостоятельному решению задач.
З адач а . Определить расстояние между пунктами А и В, если
велосипедист, делающий по 15 км в час, проезжал это расстояние
на 2 мин. скорее, чем другой велосипедист, проезжающий по 12 км
в час?
Решение . Обозначим буквой х расстояние между А и В (в километрах).
Первый велосипедист проехал это расстояние в ^ час.,
второй в час. По условию, на

меньше, чем Значит,
X . 1____х_
15 30

12-
Уравнение составлено. Из него имеем
4аг 2 = блг, х — 2.
Проверка. Первый велосипедист 2 км проезжает в 2 часа, т. е* в
8 мин. Второй велосипедист 2 км проезжает в 2 часа, т. е. в 10 мин.
Значит, первый велосипедист на 2 мин. скорее проходит это расстояние,
чем второй. Задача решена правильно.
Ответ. 2 км.
З а м е ч а н и е . Рекомендуем обратить внимание на следующее:
1. Буквой х в рассмотренной задаче мы обозначили искомую величину.
Так можно поступать при решении многих задач. В дальнейшем, мы покажем,
что иногда лучше поступать иначе и обозначать буквой л; другую величину,
которая не является искомой.

2. В рассмотренной задаче мы имели дело с двумя величинами, из которых
(-jXg — на -g1g — меньше, чем X \
При составлении уравнения мы к меньшей из величин добавили соответствующее
количество и полученную сумму приравняли большей. Вместо этого
мы могли бы из большей величины вычесть соответствующее количество и
полученную разность лриравнять меньшей.
Задач а . Самолет летел сначала со скоростью 180 км в час.
Когда ему осталось пролететь на 320 км меньше, чем он пролетел, он
стал лететь со скоростью 250 км в час. Средняя скорость на всем
пути оказалась равной 200 км в час. Сколько всего километров пролетел
самолет?
Решение . Обозначим буквой * расстояние (в километрах), которое
самолет пролетел со скоростью 180 км в час. Тогда ему осталось
после этого пролететь( *— 320) км. Всего самолет пролетел
* —|— ( *— 320) = (2 *— 320) км.
Так как средняя скорость оказалась равной 200 км в час, самолет на
весь путь потратил
час. 2х —320 200
На первую часть пути он потратил час., а на вторую часть пу-
х — 320 л 0 ти — — час* Значит, на весь путь он потратил
х , х — 320 час. 180 1 250
Мы получили два различных выражения для времени (в часах), которое*
самолет потратил на весь путь. Выходит, что
Ъс — 320 х * х — 320
200

180 * 250 *
Уравнение составлено. Имеем
дг— 160/ х . х — 320
100 “ 180 ‘ 250 •
Умножим обе части уравнения на 4500, получим
45(* — 160) = 2 5 *-|- 18(* — 320),
45* — 7200 = 25* -J- 18* — 5760*
Отсюда
2 * = 1440; * = 720,
Итак, первая, часть пути составляет 720 км, вторая 400 км^
(720 — 320 = 400 км). Значит, весь путы составляет 1120 км.

Проверка. На первую часть пути самолет потратил 4 часа
([ w720 = 4 j\ . На вторую часть пути он йотратил 1,6 часа (400 = \
На весь путь самолет потратил 5,6 часа. Средняя скорость выходит
равной = 200 (км в час). Задача решена правильно.
Ответ. 1120 км.
З а м е ч а н и е . Рекомендуем обратить внимание на следующее: буквой х мы
обозначили здесь не искомую величину (все расстояние, которое пролетел самолет),
а другую величину (первую часть этого расстояния). Мы поступили так
потому, что при таком обозначении проще составить уравнение и, кроме
того, потому, что, зная первую часть расстояния, нетрудно найти и все расстояние.
Впрочем, можно обозначить буквой л: и все расстояние в километрах. Тогда
для определения первой и второй части расстояния надо х разделить на 2 части
так, • чтобы одна была на 320 больше другой. Делается это так: от х отнима-
* — 320
ется 320 и полученная разность делится на 2, получается g > 9X0 мень“
шая из частей. Для отыскания большей части надо к х сначала прибавить 320,
* + 320
а потом полученную сумму разделить на 2, получим ——^ —— ♦
х + 320
‘ 2 * 180

есть количество часов, потраченных на первую часть пути,
лг —320
■ 2 ,’25о

есть количество часов, потраченных на вторую часть пути.
х
-2 QQ есть количество часов, потраченных на весь путь, т. е;
* — х + 320 . * — 320
200

360 + 500 •
Решив это уравнение, получим * = 1120, т. е. тот же ответ, что и раньше.
Из этого примера видно, что простота решения задачи зависит от того,
насколько удачно выбрана величина, обозначаемая буквой *.
За!дача. Ученики собрали 3 кг 200 г семян белой акации, желтой
акации, клена и липы. Сколька семян каждого вида в отдельности
собрали ученики, если семян белой акации они собрали в 3 раза
больше, чем семян липы; семян клена собрано в 2 раза больше, чем
семян белой акации и лйпы вместе, а семян желтой акации на 1 кг 200 г
больше, чем семян клена?
Решение . Мы должны определить четыре неизвестных величины:
количество семян белой акации, желтой акации, клена и липы. При
внимательном рассмотрении условия задачи видно, что, если бы мы
узнали количество семян липы, нам нетрудно было бы узнать и остальные
неизвестные величины.
Предположим, что семян липы собрано * г. Тогда семян белой
акации собрано 3* г. Семян клена собрано 2(х Здт) = 8* г. Семян
желтой акации собрано *200)г.

Теперь нетрудно подсчитать, сколько собрано всех семян. Для
этого достаточно сложить [лг — 3jc —f— Sлгг -f- (8л: — 1200)] г. Но, по
условию, всех семян собрано 3200 г. Значит,
* —j— 3* — 8 х —j— (8 х 1200) = 3200»
Или
2 0 * + 1 2 0 0 = 3200,
2 0* = 200Х),
jc= 100.
Теперь нетрудно написать и ответ: семян липы собрано 100 г, семян
белой акации — 300 г, семян клена — 800 г, семян желтой акации — 2 кг.
Проверка ответа не представляет труда.
На примере этой задачи видно, что посредством уравнений с
одним неизвестным можно решать не только задачи с одной искомой
величиной, но и такие задачи, в которых имеется несколько искомых
величин.
Задача . Периметр треугольника 44 см. Стороны треугольника
относятся как 10:7:5. Определить стороны треугольника.
Решение. Пусть меньшая сторона треугольника равна 5х см.
Тогда средняя сторона этого треугольника равна 7* см, а ббльшая
сторона равна 10* см. По условию,
5* + 7* + 1 0 * = 4 4 .
Значит,
х — 2.
Выходит, что меньшая сторона треугольника равна 10 см, средняя
14 см, а большая 20 см. Нетрудно проверить, что задача решена
правильна
Отеет. 10 см; 14 см; 20 см.
З а м е ч а н и е . При решении последней задачи рекомендуем обратить
внимание на следующее: „
1) В задаче три искомые величины, но мы их выразили через одно неизвестное
х.
2) Буквой * (в см) мы обозначили -g-часть меньшей стороны.
Конечно, можно было бы обозначить буквой * и всю меньшую сторону,
7
но тогда средняя сторона была бы равна -g- х, ббльшая 2х. Как видно, в
уравнении появились бы дроби, и от этого решение стало бы несколько сложнее.
Зада ч а . В комнате № 1 общежития живут 9 чеЛвек, а в комнате
№ 2 — 6 человек. Сколько человек надо переселить из комнаты
№ 1 в комнату № 2, чтобы в каждой комнате проживало по
одному и тому же числу людей?
Решение. Обозначим буквой * искомое количество людей.
Тогда
6 + * = 9 — *; 2* = 3; * = 1 ,5 .

Мы не напишем в ответе, что надо переселить 1,5 человека, так
как это было бы бессмысленно. Мы должны сказать, что задача не
имеет решения.
Ответ. Задача не имеет решения.
З а д а ч а . Числитель дроби составляет -2g- знаменателя. После того
как к числителю прибавили 5, а к знаменателю 15, дробь стала
равной, -g-. Найти дробь;
Р е ш е н и е. Обозначим знаменатель дроби буквой х . Тогда числи-
тель ее будет у лг. По условию,
”3 * + 5 1
х + 15

3 f
ИЛИ
2лг- И 5 = лг+ 1 5 ; лг= 0 .
Ответ. Дроби, удовлетворяющей условию задачи,
не существует.
Задача. Сумма цифр двузначного числа равна 14. Если к этому
числу прибавить 72,, то в результате «получается число, записанное
теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.
Решение . Обозначим Цифру десятков искомого числа буквой х.
Тогда цифра единиц этого числа равна 14-т-лг. Имеем
10лг + (14 — лг) + 72 = 10(14 — *) + *>
или
18лг=54, т. е. лг5=3.
Выходит, что цифра десятков искомого числа равна 3, а цифра
единиц равна 11.
Ответ. Так как цифра не может быть больше 9,
задача решения не имеет.
З а д а ч а . Одна машинистка может выполнить некоторую работу
за 5 час. Во сколько часов может выполнить эту работу вторая маши?
нистка, если, работая совместно, обе машинистки выполнили ту же
работу в 6 час.?
Решение. Предположим, что вторая машинистка может выполнить
эту работу в х час. Тогда в 1 час она выполнит часть работы.
Первая машинистка в час выполняет

часть работы. Обе машинистки,
работая совместно, выполняют в час

часть работы или
часть работы.

Значит,
J L — 4 — J L — l . _______________ х * .5 6 ’ х 30 ’ _____ 3йи0 1, поэтому знаменатель — всегда положительное
число. Что касается числителя, то при п 4 числитель положителен,
при п — 4 числитель равен 0, при п 4 числитель отрицателен.
Исследование показывает, что возможны три случая:
Случай 1. n 4 . В этом случае задача имеет отрицательное решение,
которое означает, что | JC | лет назад отец был в л раз старше
сына. Пусть, например, л = 6. Тогда х — —4; \ х | = 4. Действительно,
4 года назад отцу было 36 лет, сыну 6 лет, и отец был в 6 £аз
старше сына.
§ 9* Понятие о неравенстве
При исследовании уравнений с буквенными коэффициентами приходится
решать такие задачи:
Даны два алгебраических выражения, зависящие от одной или
нескольких букв. Требуется узнать, при каких значениях этих букв
одно из данных выражений больше или меньше другого. Например,
исследуя задачи из § 8, мы должны были узнать, при каких значениях
п выражение 40— Юл является положительным числом и при каких
значениях л это выражение является отрицательным числом. Иными
словами, нам нужно было узнать, при каких значениях л
4 0 > Юл
и при каких значениях л
40 Юл и 40 или знаком 3 ; —2 —60; —50 писать знак . Перепишем неравенства (1), переменив местами правую
и левую части. Получим
3 —2; —60 —50. (2)
Неравенства (1) и (2) не содержат букв, это так называемые
числовые неравенства. Неравенства
4 0 > Юл; 40 3; л2+ 1 > а а (3)
содержат буквы.

Неравенства, не содержащие букв, могут быть верными (справедливыми)
или неверными (несправедливыми). Так, например, все неравенства
(1) и (2) верные. Нетрудно указать и несправедливое неравенство.
Для этого достаточно в верном неравенстве заменить знак
неравенства знаком противоположного смысла.
С неравенствами, содержащими буквы, дело обстоит сложнее.
Рассмотрим для примера знакомое нам неравенство
40 > 1 0 п. (4)
Мы знаем, чта это неравенство справедливо при п 4. При п = 4
знак > надо заменить знаком = , а при я > 4 знак > надо заменить
знаком а \ (5)
Действительно, при любом а левая часть неравенства (5) на 1 больше
правой.
С другой стороны, нетрудно указать и такое неравенство, которое
при любых значениях входящих в него букв несправедливо. Для
этого достаточно в неравенстве, которое справедливо при всех значениях
входящих в него букв, заменить знак неравенства знаком противоположного
смысла. Так, например, заменим в неравенстве (5) знак
> знаком 10я.
Ответ. Неравенство справедливо при всех п 4
и только при этих значениях.
Пример 3. Решить неравенство я2 — f — 1 > я2.
Ответ. ^Неравенство справедливо при любом
значении я.
Пример 4, Решить неравенство а2 -f — 1 3 . (1)
Прибавим к каждой части этого неравенства одно и то же число,
например 10. Получим новое неравенство 5 -J-1 0 ]> 3 -|-1 0 или
1 5 > 13. (2)
Неравенство (2) тоже справедливо. В самом деле, мы к большему
числу 5 и к меньшему числу 3 прибавили поровну (по 10), понятно,
поэтому, что первая сумма больше второй.
Возьмем неравенство (1). Вычтем теперь из каждой части этого
неравенства одно и то же число, например 10. Получим новое неравен*,
ство
б— 1 0 > 3 — 10, или — 5 > —7. (3)
Неравенство (3) тоже справедливо.
Возьмем еще раз неравенство (1). Прибавим к каждой его части
одно и то же буквенное выражение, например а -|- 2Ь. Получим новое
неравенство
5 + (а + 2*) > 3 + ( а + 2*). (4)
Неравенство (4) справедливо при любых значениях а и ft. В самом
деле, при каких угодно значениях а и Ь к правой и левой части
неравенства (1) добавляется одно и то же число.
Пусть, например, а— 3; Ъ = 4 , тогда
а —|— 2 b 11,
и выходит, что при этих значениях аийк каждой части неравенства (1)
прибавлено по 11. Если а и i имеют какие-нибудь другие значения,
все равно а -|-2£, добавленное к левой части неравенства (1), имеет
то же значение, что и a -j- 2Ь, добавленное к правой части этого
неравенства.
Теперь мы можем сформулировать с в о й с т в о 1 неравенств:
Если а^>Ь и с — произвольное число, то a -f- с b — <- с;
а — с^>Ь — с, т. е.к обеим частям неравенства можно прибавить
или от обеих частей его вычесть одно и то же число или буквенное
выражение.
Как легко видеть, свойство 1 неравенств очень напоминает соответствующее
свойство равенств.
Сл е д с т в и е из с в о й с т в а 1. Любой член неравенства можно
перенести из одной части в другую, переменив при этом знак
его на противоположный.

Действительно, рассмотрим неравенство
5 + 3 > 4 — 2. (5)
Нетрудно проверить, что это неравенство справедливо. Допустим,
что мы хотим число —2 перенести из правой части в левую. Прибавим
к каждой части неравенства по 2, получим опять справедливое неравен*
ство
6 «Ь 3 + 2 > 4. (6)_
Сравнивая неравенство (6) с неравенством (5), видим, что неравенство
(6) получается из неравенства (5) посредством переноса числа
(—2) из правой части в левую, но с противоположным знаком.
Св о й с т в о 2. Возьмем какое-нибудь справедливое неравенство,
например
3 > — 2 . (1)
Умножим обе части этого неравенства на одно и то же положительное
число, например на 5. Получим новое неравенство
3 — 5 > ( —2). б или 15 > —10. (2)
Неравенство (2) тоже справедливо.
Возьмем опять то же неравенство
3 > —2.
Разделим обе части этого неравенства на одно и то же положительное
число, например на 10. Получим новое неравенство
0,3 > —0,2. (3)
Неравенство (3) тоже справедливо.
Возьмем еще раз неравенство 3 > —2. Умножим обе части этого
неравенства на какое-нибудь отрицательное число, например на —5.
В левой части получится —15, а в правой 10. Ясно, что
—15 заменить знаком —2.
Разделим обе части его на какое-нибудь отрицательное число, например
на —10. В левой части получится —0,3, а в правой 0,2. Чтобы
новое неравенство было справедливым, необходимо знак > заменить
знаком Ь и с положительно, то ас^>Ьс, т- обе
части неравенства можно умножить или разделить на одно й
то же положительное кисло.
Если а^>Ь и с отрицательно, то ас надо писать знак
о вместо знака надо писать знак ^>).
Если обе части неравенства умножить на нуль, неравенство
превращается в равенство.
Пример. Умножим обе части неравенства 3^> — 2 на нуль.
В левой части получится 0, в правой части получится тоже 0, т. е.
0 — 3 = 0 . (—2).
Вместо знака приходится писать знак= .
При умножении или делении обеих частей неравенства на буквенное
выражение нужно быть весьма осторожным, так как при различных
значениях букв это выражение может оказаться и положительным,
и отрицательным, и нулем.
Так, например, неравенство 3 — 2 при умножении на х дает
З х ^>— 2дг, если х ^>0,
Зх 0 или ах + b 2дг — 5.
Решение. Перенесем 2х в левую, а —1 в правую часть неравенства.
Получим
Злг — 2х^> — 5->-1, или х^> — 4.

Этот ответ означает, что данное неравенство справедливо при
любом значении х , большем чем —4.
Ответ. л г > —4.
Пример. Решить неравенство 5дг -j- 2 7 х — 10.
Р е ш е н и е. Перенесем 2х в правую, а —10 в левую часть неравенства.
Получим
5-(

10>7дг — 2дг, или5дг —15.
Разделим обе части неравенства на —5. Получим опять
jc *
Решение . Умножим обе части неравенства на 6. Получим
2(2лсг— 1) — З(4лг — 5 )> 0 ,
или
4 х — 2— 12 дг+ 15>0;
отсюда
—8х —j— 13 ^ > 0.
Перенесем —8х в правую часть. Получим
13 > 8х.
Значит,
Ответ.
§ 1 1 ] РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 1 6 7
^ 13

Пример. Решить неравенство а х 0), то х bc.
Решение . Так как b и d одного 8нака, bd положительно.
Поэтому, умножив обе части справедливого по условию неравенства

на bd, получим опять справедливое неравенство.

168 Мой любимый школьный предмет математика, УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Решение неравенств первой и второй степени с одной переменной

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение неравенств первой и второй степени с одной переменной

Неравенства первой степени – это неравенства вида ах + b > 0 или ах + b ≥ 0, ах + b 0; 0,3x +1,2 > 0; 5 – 10x ≤ 0 являются неравенствами первой степени. Решим, например, последнее из этих неравенств: 5 – 10x ≤ 0 x ≥ 0,5 можно считать ответом, так как оно вполне ясно описывает множество всех значений x, являющихся его решениями. Можно также записать решение неравенства в виде числового промежутка: [0,5; +оо). Множеством решений неравенства первой степени всегда является числовой луч

Пример 1. Определим, в каком случае на координатной прямой изображено множество решений неравенства 19 – 7x > 20 – 3(x – 5).

Самая правильная стратегия поиска ответа на вопрос состоит в том, чтобы просто решить неравенство. 19 – 7x > 20 – 3(x – 5), 19 – 7x > 20 – 3x +15, –4x > 16, 4x 0; б) нет корней, а0; г) 1 коре. » onclick=»aa_changeSlideByIndex(5, 0, true)» >

Ответы: у х у х у х у х 0 0 0 0 а) 2 корня, а>0; б) нет корней, а 0; г) 1 корень, а 0 при х (-∞;. » title=»Ответы: у у у х х х 0 0 0 х1 х2 х0 х0 а) у>0 при х (х1;х2), б) у>0 при х (-∞;. » onclick=»aa_changeSlideByIndex(7, 0, true)» >

Ответы: у у у х х х 0 0 0 х1 х2 х0 х0 а) у>0 при х (х1;х2), б) у>0 при х (-∞;+∞), в) у>0 при х (-∞;х0)U(х0;+∞). у 0 и ах2+вх+с 0 2х2-7х 0

Рассмотреть функцию, соответствующую данному неравенству, определить направление ветвей параболы. Найти нули функции, т.е. абсциссы точек пересечения параболы с осью х, если они есть. Изобразить схематически параболу в координатной плоскости. Выбрать нужные промежутки. Записать ответ.

Решить неравенство 5х2+9х-2>0. Решение. у = 5х2+9х-2. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 2. Нули функции. 5х2+9х-2=0; D=81+40=121, х1=0,2, х2=-2 3. 4. у>0 при х (-∞; -2)U(0,2; +∞). Ответ: (-∞; -2)U(0,2; +∞). -2 0,2 х у 0

Решите неравенство: Вариант 1 Вариант 2 а) х²-9>0; а) х²-16 0; в) –х²-10х-25>0. в) –х²+6х-9>0.

Правильные ответы: Вариант 1 Вариант 2 а) (-∞;-3)U(3;+∞); а) (-4;4); б) (3;5); б) (-∞;3)U(7;+∞); в) решений нет. в) решений нет.

Спасибо за урок!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 583 825 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

§ 2. Неравенства второй степени с одним неизвестным

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

17.10.2020
919
40

16.10.2020
415
54

04.08.2020
561
29

27.07.2020
94
0

26.07.2020
185
11

20.07.2020
334
35

18.07.2020
147
14

03.07.2020
965
99

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

18.10.2020 546
PPTX 2.1 мбайт
11 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Луценко Елена Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 6 лет и 4 месяца
Подписчики: 1
Всего просмотров: 20098
Всего материалов: 11

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

источники:

http://matematika.advandcash.biz/urovneniya-i-neravenstva-pervoy-stepeni/

http://infourok.ru/reshenie-neravenstv-pervoj-i-vtoroj-stepeni-s-odnoj-peremennoj-4498133.html

Уравнение и неравенства первой степени это