Уравнение и тождество в чем разница

Равенство, тождество, уравнение.

Знак равенства используется в математике очень часто, и смысл, который придается этому знаку, далеко не всегда один и тот же. Так, часто мы соединяем знаком равенства два числа, например:

1370 = 3 2 ·5·31 (1) ;

(2) ;

(3) ;

(4)

Каждая такая запись представляет собой некоторое высказывание, которое может быть истинным или ложным. Среди приведенных выше четырех высказываний такого рода второе, третье и четвертое являются истинными, а первое — ложным.

Для того чтобы убедиться в истинности (или ложности) такого высказывания, нередко бывает нужно произвести те или иные действия: сложение дробей, разложение на множители, возведение суммы двух чисел в квадрат и т. п. Однако смысл знака равенства во всех этих случаях один и тот же: истинность такого высказывания означает, что слева и справа от знака равенства стоит одно и то-же число (только, может быть, записанное по-разному).

Высказывания такого вида мы будем называть числовыми равенствами. Если некоторое числовое равенство представляет собой истинное высказывание, то для краткости говорят: «это — верное равенство». Так, равенство (2) — верное. Если же некоторое числовое равенство представляет собой ложное высказывание, то для краткости говорят: «это—неверное равенство». Так, (1) —неверное равенство.

В ином смысле применяется знак =, когда идет речь о равенстве функций. Напомним, что две функции f (х) и g (х) считаются равными (т. е. совпадающими), если, во-первых, области определения этих двух функций совпадают и, во-вторых, для любого числа х₀, принадлежащего общей области определения этих функций, значения функций в точке х₀ совпадают, т. е. верно числовое равенство f (х₀) = g(x₀). Равенство функций (х) и g(x) обычно выражают записью f(x) = g(x).

Например, мы пишем (х 2 + 1) 6 = х 3 + Зx 4 +. Зx 2 + 1, выражая этой записью тот факт, что слева и справа от знака = стоят равные функции (т. е. слева и справа стоит одна и та же функция, только, может быть, записанная по-разному).

В записи, выражающей равенство (т. е. совпадение) двух функций, вместо знака = часто используют знак, называемый знаком тождественного равенства.
Запись f(x)g(x) означает совпадение функций f(х) и g(x). Запись равенства двух функций (т. е. соотношение f(х) = gg(x)) называют также тождеством.

Подчеркнем еще раз: когда мы говорим, что f(x) = g(x) есть тождество, то это означает, что области определения функций f(х) и g(х) совпадают и при этом для любого х₀, принадлежащего этой области определения, справедливо числовое равенство f(x₀) = g(x₀).

Примерами тождеств могут служить соотношения:

(x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1,

sin 2 x= 1 — cos 2 x.

Иногда при рассмотрении тождеств приходится ограничивать области определения функций. Именно, будем говорить, что равенство f(x) = g(x) является тождеством на множестве М, если, во-первых, множество М содержится в области определения каждой из функций f(x), g (х) и, во-вторых, для любого числа х₀, принадлежащего множеству М, справедливо числовое равенство f(x₀) = g (x₀) В этом случае пишут:

. Пример 1. Равенствоявляется тождеством на множестве неотрицательных чисел, т. е.x при х 0.

Заметим, что обе функции y=и y = х определены на множестве всех действительных чисел, но значения их совпадают лишь на множестве неотрицательных чисел. На множестве всех действительных чисел соотношениетождеством не является.

Пример 2. Рассмотрим равенство arcsin(sinx) =. Обе функции (стоящие в левой и правой частях равенства) определены на множестве всех действительных чисел. Однако написанное равенство является тождеством лишь на отрезке [0,], т. е. arcsin(sin x) =при 0x Разумеется, при написании тождеств вовсе не обязательно обозначать аргумент функций буквой х. Можно аргумент обозначить буквой z, буквой а или любым другим символом.

(z + 7) 2 = z 2 — 14z + 49,

(а — 1)(а 2 + а + 1) = а 3 — 1

являются тождествами на множестве всех действительных чисел (или даже на множестве всех комплексных чисел), Можно также рассматривать функции, зависящие от двух или большего числа аргументов, и писать тождества для таких функций. Конечно, и в этом случае надо указывать, при каких значениях аргументов написанное равенство является тождеством.

Например, равенство log₂ a b = b log₂ a является тождеством при а > 0 и любом действительном b; равенство

является тождеством при x+k, y+n, x + y+m, где k, n m —любые целые числа, и т. д.

Мы рассмотрели два случая использования знака = в алгебре: для записи числовых равенств и для записи тождеств (в последнем случае он иногда заменяется знаком ?. В совершенно ином смысле используется знак = при рассмотрении уравнений. Уравнение с одним неизвестным х в общем случае записывается в виде

где f(х) и g(x) — произвольные функции, Таким образом, по внешнему виду уравнение выглядит так же, как и тождество: две функции, соединенные знаком равенства. Но когда мы говорим, что соотношение (5) есть уравнение, то это показывает наше отношение к этому равенству. Именно, когда мы говорим, что (5) есть уравнение, то это означает, что равенство (5) рассматривается как неопределенное высказывание (при одних значениях х истинное, при других—ложное), и мы интересуемся нахождением корней этого уравнения, т. е. таких значений х, при подстановке которых это неопределенное высказывание становится истинным. Более подробно, корнем (или решением) уравнения называется всякое число, при подстановке которого вместо неизвестного в обе части уравнения получается справедливое (верное) числовое равенство. Но что значит «получается справедливое числовое равенство»? Это означает, во-первых, что при подстановке этого числа вместо неизвестного все действия, обозначенные в левой и правой частях уравнения, оказываются выполнимыми и, во-вторых, в результате выполнения этих действий в левой и правой частях получается одно и то же число. Иначе говоря, число а называется корнем уравнения (5), если, во-первых, это число принадлежит как области определения функции f(x), так и области определения функции g(x) и, во-вторых, значения этих функций в точке а совпадают, т. е.
f(a) = g

Итак, если сказано, что равенство (5) рассматривается как уравнение, то это означает, что мы интересуемся нахождением корней этого уравнения, т. е. тех значений, которые обращают соотношение (5) в верное числовое равенство.

Пример 3. Для уравнения (х — 1) 2 = х 2 — 2x + 1 любое действительное число b является корнем, так как равенство (b — 1) 2 = b 2 — 2b + 1 имеет место для любого действительного числа b.

Пример 4. Если рассматривать уравнение |х| = х на множестве всех действительных чисел, то всякое неотрицательное число является корнем этого уравнения (других корней нет).

Пример 5. Уравнение lgx = 1g( — х) не имеет решений, так как левая часть этого уравнения определена при положительных значениях х, а правая — при отрицательных, т. е. области определения левой и правой частей не имеют общих точек.

Пример 6. Уравнение cosx = 2 не имеет решений на множестве действительных чисел, так как |cosx₀|1 для любого действительного числа х₀.

Пример 7. Уравнение х 2 = -1 не имеет решений намножестве действительных чисел и имеет два решения, x = i и х = -i., на множестве комплексных чисел.

Если найдена некоторая совокупность значений х, каждое из которых является корнем уравнения f (x)=g(x), то это еще не значит, что мы решили уравнение.

Решить уравнение — значит найти все его решения (или доказать, что уравнение не имеет решений).

Пример 8. Равенствоможно рассматривать и как тождество, и как уравнение. Если мы относимся к этому равенству как к тождеству, то наиболее полной формулировкой будет следующая: равенствоявляется тождеством при x > 0. Если же мы относимся к этому равенству как к уравнению, то это означает, что мы рассматриваем задачу: решить уравнениет. е. ставим вопрос о том, каковы корни этого уравнения. Ответ будет таков: корнями уравненияявляются все неотрицательные числа и только они.

Пример 9. Бессмысленно ставить вопрос, является ли соотношение 0·x + 5 = 5 тождеством или уравнением. Мы можем сказать, что оно является тождеством на множестве всех действительных чисел. Но мы можем также рассматривать это соотношение как уравнение и тогда скажем, что корнями этого уравнения являются все действительные числа.

Замечание. Кроме рассмотренных выше случаев использования знака = в математике встречаются и другие. Так, выражение вида «рассмотрим функцию f(x) = x 3 — Зх 2 + 5x + 11» часто используется в качестве определения. В этом случае знак = имеет тот смысл, что всюду в проводимом рассуждении f (х) будет обозначать именно эту функцию.

Тождество — суть математического понятия и отличия от равенства

Тождество — математическая тема, которая кажется очень простой, но на деле нередко вызывает затруднения. Дело в том, что понятие тождественности очень тесно связано с понятием равенства и отчасти с ним пересекается. Однако тождество и равенство вовсе не аналогичны друг другу — и бывает трудно уловить, где одно, а где другое.

Чтобы понять разницу, для начала необходимо разобраться в терминологии.

Тождество и его отличия от равенства

Учебники определяют тождество так — этим словом называют выражения со знаком равенства, которые остаются верны, какие бы значения ни принимали переменные. Иными словами, тождество глобально и постоянно.

Из определения следует несколько важных моментов.

• Любое тождество одновременно является и равенством в частном случае — поскольку его члены всегда равны между собой.
• Любое равенство, состоящее только из чисел, одновременно является тождеством — поскольку числа ни при каких условиях не перестанут быть равны.
• При этом равенство, содержащее не только числа, но и переменные, вовсе не обязательно окажется тождеством. Ведь переменные могут принимать разные значения — и при каких-то из них принцип равенства сохранится, а при других окажется нарушен. Если нарушение равенства теоретически возможно, то тождеством данное выражение уже не является.

Приведем несколько примеров.

• Числовая запись «3 = 3» является и тождеством, и равенством одновременно. Число «3» будет равно самому себе и в частном, и в глобальном случае — не существует условий, при которых такое утверждение стало бы неверным.
• Числовая запись «3 + 3 = 6» также будет являться одновременно равенством и тождеством. В сумме два числа «3» всегда дадут «6». То же самое касается более сложных выражений, например «3 + 5 = 8». Здесь можно переставить местами слагаемые — «5 + 3 = 8». Равенство все равно сохранится — а значит, и останутся основания утверждать, что выражения тождественны.
• А вот запись с переменными, например, а + 2с = с + 2а, тождественной уже не будет. Дело в том, что можно подобрать определенные значения для «а» и «с», при которых приведенное равенство будет верным. Но при других значениях равенство нарушится — и это будет противоречить принципу тождественности.

В математике существуют простые и довольно сложные тождества. Но приведенные определения и правила едины для всех них. Что касается алгебраической записи, то знак тождества очень похож на значок «равно», или «=». Но состоит он не из двух, а из трех горизонтальных черточек.

Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.

Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.

Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.

Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:

В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.

2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.

Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 25 2 =625.

Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).

Примеры тождеств.

— Тождество Эйлера (кватернионы);

— Тождество Эйлера (теория чисел);

— Тождество четырёх квадратов;

— Тождество восьми квадратов;

Тождественные преобразования.

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.

Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.

Выполним тождественные преобразования с такой дробью: .

Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.

Доказательство тождеств.

Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.

Например, доказать тождество:

Вынесем х за скобки:

Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.

Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.

5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.

Это равенство не тождество.

Разница между тождеством и уравнением.

Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.

Это выражение верно лишь при х = 10.

Тождеством будет равенство, которое не содержит переменных.