Уравнение i1 i2 i3 i4

Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами

Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.

Калькулятор комплексных чисел

Как пользоваться калькулятором

1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
3. Нажмите на кнопку «Построить»

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

• Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
• Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
• Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
• Математические константы: π, e

Поддерживаемые операции и математические функции

• Арифметические операции: +, -, *, /, ^
• Получение абсолютного значения числа: abs
• Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
• Получение действительной и мнимой частей: re, im
• Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
• Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
• Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
• Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры корректных выражений

• (2+3i)*(5-7i)
• sh(i)
• (4+i) / (3 — 4i)
• sqrt(2i)
• (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)

Комплексные числа

Комплексные числа — это числа вида x+iy , где x , y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i 2 = -1 ).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

Примеры комплексных чисел

• 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
• -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
• i — действительная часть = 0, мнимая = 1
• -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
• 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

• сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
• умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
• деление:

Примеры

Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i :
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом: 5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

Найти разность чисел 12-i и -2i :
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i

Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i

Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3+4i) = 1 — 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

• Получение действительной части числа: Re(z) = a
• Получение мнимой части числа: Im(z) = b
• Модуль числа: |z| = √(a 2 + b 2 )
• Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
• Экспонента: e z = e a ·cos(b) + i·e a ·sin(b)
• Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
• Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
• Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
• Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
• Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(4 2 + (-3) 2 ) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

• Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy , где x — действительная часть, а y — мнимая часть
• Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ) , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
• Показательная форма — запись вида r·e iφ , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

• Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(1 2 + 1 2 ) = √2
• Найдём аргумент числа: φ = arctan(

Напишите уравнение согласно первому закону Кирхгофа для узла.

2.4.4. Нарисуйте в указанном прямоугольнике электрический узел, для которого согласно первому закону Кирхгофа составлено уравнение: I₁ + I₂ — I₃ + I₄ — I₅— I₆ = 0

2.4.5. Напишите уравнения по второму закону Кирхгофа для кон­туров «а-б-д-е» и «б-в-г-д» изображенных на рисунке.Ответ:

2.4.6. Определите ток в цепи, изображенной на рисунке, если ЭДС генератораЕ₁ = 36 В, его внутреннее сопротивление r_г = 0,5 Ом, ЭДС батареи Е₂ = 30 В, ее внутреннее сопротивление r_б = 0,2 Ом, сопротивление потребителя R₁ = 1,5 Ом.

Дано:	Решение:
E1=36B Rг=0.5 Ом E2=30B Rб=0,2 Ом R1=1.5 Ом	E1+E2=I2(R+r)+I,r E1=I,R1 I1= I2=
Найти:
Ответ:	17.64A

2.4.7. В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, резисторы имеют сопротивленияR₁ = 2 Ом; R₂ = 6 Ом; R₃ = 18 Ом; R₄ = 10 Ом; R₅ = 3 Ом; R₆ = 9 Ом; R₇ = 27 Ом. Определите общий ток в цепи и напряжение на резисторе R₄, если к зажимам подведено напряжение 24 В.

Дано:	Решение:
R1=2 Ом R2=6 Ом R3=18 Ом R4=10 Ом R5=3 Ом R6=9 Ом R7=27 Ом	2.08OM 1,4+10+2,08=13,48 OM IОБЩ= U4=10*1.78=17.8A
Найти:
U4 — ?
Ответ:	17.8A

2.4.8. Напряжение сети 12 В. Общий ток, потребляемый четырь­мя параллельно включенными одинаковыми лампами, равен 6 А. Определите сопротивление каждой лампы.

Дано:	Решение:
U=12B I=6A	RЭКВ= RЭКВ= R= RЭКВ*r R=2*4=8 OM-1лампа
Найти:
RA — ?
Ответ:	8 Ом

Имеется разветвление, состоящее из четырех параллельно включенных сопротивлений в 10, 5, 3 и 8 Ом. Ток, протекающий к точке разветвления, равен 20 А. Определите ток, протекающий по каждой ветви.

Дано:	Решение:
R1=10 Ом R2=5 Ом R3=3 Ом R4=8 Ом I=20A	U=I*R=20*1.32=26.4B I1= I2= I3= I4=
Найти:
I1-I4 — ?
Ответ:	I1=2.64A, I2=5.28A, I3=8.8A, I4=3.3A

2.4.10. Показатели амперметра А7, А1 и А6 в сложной цепи соответственно равны 10, 8 и 1 А, показание амперметра А5 равно нулю. Определите значения и направления неизвестных токов.

2.4.11. Напряжение генератора 110 В. В сеть включены парал­лельно тридцать ламп сопротивлением по 200 Ом каждая. Определите ЭДС генера­тора, если его внутреннее сопротивление 0,5 Ом

Дано:	Решение:
R=200 Ом r=0.5 Ом U=110B	I RЭКВ= I= I=
Найти:E
Ответ:	118.3B

РАБОТА И МОЩНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА

2.5.1. Заполните таблицу:

2.5.2. Определите мощность, потребляемую электрическим дви­гателем, если ток в цепи равен 6 А, а двигатель включен в сеть напряжением 220 В.

На цоколе лампы накаливания написано: 200 Вт, 220 В. Определите сопротивление нити накаливания.

Дано:	Решение:
P=200BT U=220B	P=UI; I= I= P=I 2 R R=
Найти:
R — ?
Ответ:	165.3 Ом

2.5.5. Электродвигатель, подключенный к сети 220 В, потребля­ет ток в 6 А. Какова мощность двигателя и какое количество энергии он потребляет за 8 часов работы?

2.5.6. В квартире имеется восемь ламп, шесть из них мощнос­тью по 40 Вт горят в сутки по 6 часов, а две мощностью по 60 Вт горят 8 часов в сутки. Сколько нужно заплатить за горение всех ламп в течении месяца (30 дней) при тарифе 120 руб. за 1 кВт час?

Глава 3 МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКА И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ

3.1.1. В каких единицах системы СИ измеряются:

магнитная индукция В_ тесла (Тл)

магнитный поток Ф Вебер (Вб)

напряженность магнитного поля Н А/М

индуктивность L Генри (Гн)

3.1.2.Напишите формулы:

а) магнитной индукции б) магнитного потока

B= ф=BS

3.1.3. Закончите предложения:

Важное свойство магнитных линий— Замкнутость

Гистерезис — явление которое состоит в том, что физическая величина, характеризующая состояние тела (например, намагниченность) , неоднозначно зависит от физические величины, характеризующей внешние условия (например, магнитного поля)

Ферромагнетики — это вещество, в которых собственные ( внутреннее) магнитное поле может в сотни и тысячи раз превосходить вызывающее его магнитное поле.

3.1.4. По виду гистерезисных кривых определите тип магнитно­го материала:

а) магнито- мягкий материал

б)магнито – твердый материал

3.1.5. Запишите формулу закона полного тока:

Что можно определить, применив правило левой руки?

Ответ: определения направления силы, действующей на проводник с током находящимся в магнитном поле.

3.1.7. Магнитная индукция стали 1,5 Тл, площадь поперечного сечения сердечника, изготовленного из этой стали, 0,003 м 2 . Определите магнитный поток, пронизывающий сердечник.

Комплексные числа по-шагам

Результат

Примеры комплексных выражений

• Деление комплексных чисел
• Умножение комплексных чисел
• Комплексные уравнения
• Возведение комплексного числа в степень
• Корень из комплексного числа

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте: