Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.
С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).
Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>z + \frac<1><7>z^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Немного теории.
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
\( -x^2+6x+1<,>4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac<4><9>=0 \)
имеет вид
\( ax^2+bx+c=0, \)
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.
Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём \( a \neq 0 \).
Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \( c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
\( x^2 = -\frac
Так как \( c \neq 0 \), то \( -\frac
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\( x^2+\fracx +\frac
Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\( x^2+2x \cdot \frac<2a>+\left( \frac<2a>\right)^2- \left( \frac<2a>\right)^2 + \frac
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\( D = b^2-4ac \)
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\( x_ <1,2>= \frac < -b \pm \sqrt
Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac <2a>\).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\( \left\< \begin
Квадратное уравнение
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c, где a, b, c — некоторые числа (причём обязательно a ≠ 0),
В таком уравнении:
- x — переменная, которая присутствует в таком уравнении во второй степени,
- a — первый коэффициент,
- b — второй коэффициент,
- c — свободный член.
Ещё такое уравнение называется квадратный трёхчлен, т.к. самая большая степень в нём квадрат и он состоит из 3 одночленов.
Для решения таких уравнений сначала находится дискриминант по этой формуле:
- D корней не существует,
- D = 0 есть один корень,
- D > 0 есть два корня.
Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = (–1)² – 4×1×(–3) = 1 + 12 = 13, D > 0 есть два корня.
Когда уже точно известно, что корни существуют, и известно количество этих корней, можно приступить к их поиску с помощью этой формулы:
Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = 13.
x1 = (1 + √13)/2 ≈ (1 + 3,60555)/2 ≈ 2,302775
x2 = (1 – √13)/2 ≈ (1 – 3,60555)/2 ≈ -1,302775
Примеры
Пример 1
20x² – 15x – 10 = 0
Лучше сразу выписать так: a = 20, b = – 15, c = – 10.
1. Ищем дискриминант: формула D = b² – 4ac D = (– 15)² – 4 × 20 × (– 10) = 225 + 800 = 1025; D > 0 значит есть два корня.
2. Ищем эти корни: формула корней
2.1. Разбиваем формулу на две части, первый корень:
Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.
x1 = ((–(–15)) + √ 1025)/(2×20) = (15 + 32,0156) / 40 ≈ 1,17539
2.2. Второй корень:
Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.
x2 = ((–(–15)) – √ 1025)/(2×20) ≈ (15 – 32,0156) / 40 ≈ -0,42539
Пример 2
a = –1, b = 6, c = 18
Дискриминант D = b² – 4ac
D = 6² – 4×(–1)×(18) = 36 + 72 = 108, D > 0 есть два корня
a = –1, b = 6, c = 18, D = 108
x1 = ((–6) +√108)/(–2) = ((–6) + 10,3923)/(–2) = – 2,19615
x2 = ((–6) –√108)/(–2) = ((–6) – 10,3923)/(–2) = 8,19615
Как разложить квадратный трёхчлен на множители?
Продолжим с примером уравнения 20x² – 15x – 10 = 0
Мы уже нашли корни
x1 ≈ 1,17539, x2 ≈ -0,42539
Выносим коэффициент x² за скобки, и оба корня ставятся с противоположными знаками таким образом:
20x² – 15x – 10 = 20 (x – 1,17539) (x+0,42539)
Хотите проверить? Открываем скобки и проверяем
20 (x – 1,17539) (x+0,42539) = 20 (x²–1,17539x + 0,42539x–0,42539×1,17539) = 20 (x²–0,75x – 0,4999991521) =
Погрешность в 0,000016958 должна быть из-за округления в предыдущих расчётах.
Виды квадратных уравнений
Полное и неполное квадратное уравнение
В полном уравнении присутствуют все три его члена (ax² + bx + c = 0). В противном случае уравнение неполное, например:
–x² – 9 = 0 (отсутствует bx)
x² + 16x = 0 (отсутствует с)
–5x² = 0 (отсутствуют bx и с)
Т.е. это когда коэффициент с = 0 или b = 0 (или оба одновременно равны нулю). Внимание: о том, что «a» может быть равно нулю, не говорится, т.к. таким образом уравнение станет линейным (ax + b = 0).
Как решать неполное квадратное уравнение?
Способ решения, когда b=0
5x² = 5, делим всё на 5
x = ± √1 ⇔ x = 1 или x = –1
Первый способ решения, когда c=0 (это быстрый метод)
x² + 16x = 0 (выносим x за скобки)
x (x + 16) = 0, таким образом, либо x = 0, либо то, что в скобках, равно нулю,
x = 0 или (x + 16)= 0
(x + 16)= 0 ⇔ x = – 16
Второй способ решения, когда c=0
Неполное уравнение (c=0, b=0 или когда оба равны нулю) можно решить по той же системе, как и полное, правильно выписав коэффициенты (но это долго и нерационально).
a = 1, b = 16, c = 0 (здесь отсутствует c, значит он равен нулю)
Дискриминант: D = b² – 4ac = 16² – 4×1×0 = 16² = 256 >0, есть два корня.
Ищем корни X1,2 = ((–b) ±√D)/(2×(a)) =>
x1 = ((–16) + √256)/(2×(1)) = ((–16) + 16)/2 = 0
x2 = ((–16) – √256)/(2×(1)) = ((–16) – 16)/2 = –32/2 = – 16
Способ решения, когда b=0 и c=0
Приведённое квадратное уравнение
Чтобы получить приведённое квадратное уравнение, нужно лишь разделить обе части уравнения на a:
x² + px + q = 0, где:
3x² – 6x = 0 (делим всё на 3) ⇔ x² – (6/3)x = 0 ⇔ x² – 2x = 0 (неполное приведённое)
2x² – 4x – 2 = 0 (делим всё на 2) ⇔ x² – (4/2)x – (2/2) = 0 ⇔ x² – 2x – 1 = 0 (полное приведённое)
Геометрический смысл решения корней квадратных уравнений
Корни квадратного уравнения ещё являются и нулями функции, т.е. если вы ищете нули функции (в каких точках функция пересекает ось Ox), то вы их найдёте именно через этот процесс: поймёте, если они существуют, рассчитав дискриминант, затем найдёте их, используя формулу корней.
Вспомним наш пример уравнения 20x² – 15x – 10 = 0.
Узнайте также, что такое Теорема Виета и Парабола.
Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений.
Используя этот онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений, вы сможете очень просто и быстро найти корни квадратного уравнения.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения квадратных уравнений, вы получите детальное решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный на уроках материал.
Калькулятор квадратных уравнений
Ввод данных в калькулятор квадратных уравнений
Если в квадратном уравнении есть знаки вычитания, то перед соответствующими коэффициентами в онлайн калькуляторе нужно поставить знак минус («-«).
Например, квадратное уравнение x 2 — x — 5 = 0, вводится в калькулятор следующим образом:
Если в квадратном уравнение меньше трех слагаемых, то рядом с отсутствующим слагаемым в онлайн калькуляторе необходимо ввести коэффициент ноль («0»).
Например, квадратное уравнение: x 2 — 4 x = 0, вводится в калькулятор следующим образом:
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора квадратных уравнений
- Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.
Теория. Решение квадратных уравнений.
a x 2 + b x + c = 0,
где a не равно 0.
Для решения квадратного уравнения необходимо посчитать дискриминант многочлена
- Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
- Если D = 0, то уравнение имеет один корень ( x 1 = x 2).
- Если D x 1,2 =
— b ± √ D 2 a
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
http://www.uznaychtotakoe.ru/kvadratnoe-uravnenie/
http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/equation/quadratic/