Уравнение имеет два одинаковых корня

Дискриминант

Дискриминантом квадратного трехчлена называют выражение \(b^<2>-4ac\), где \(a, b\) и \(c\) – коэффициенты данного трехчлена.

Например, для трехчлена \(3x^2+2x-7\), дискриминант будет равен \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А для трехчлена \(x^2-5x+11\), он будет равен \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Дискриминант обозначается буквой \(D\) и часто используется при решении квадратных уравнений . Также по значению дискриминанта можно понять, как примерно выглядит график квадратичной функции (см. ниже).

Дискриминант и корни квадратного уравнения

Значение дискриминанта показывает количество корней квадратного уравнения:
— если \(D\) положителен – уравнение будет иметь два корня;
— если \(D\) равен нулю – только один корень;
— если \(D\) отрицателен – корней нет.

Это не надо учить, к такому выводу несложно прийти, просто зная, что квадратный корень из дискриминанта (то есть, \(\sqrt\) входит в формулу для вычисления корней квадратного уравнения: \(x_<1>=\) \(\frac<-b+\sqrt><2a>\) и \(x_<2>=\) \(\frac<-b-\sqrt><2a>\) . Давайте рассмотрим каждый случай подробнее.

Если дискриминант положителен

В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит \(x_<1>\) и \(x_<2>\) будут различны по значению, ведь в первой формуле \(\sqrt\) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+2x-3=0\)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

Найдем корни уравнения

Получили два различных корня из-за разных знаков перед \(\sqrt\)

На графике квадратичной функции положительный дискриминант будет означать пересечение функции с осью икс ровно в двух точках – корнях уравнения. И это логично. Вдумайтесь – если уравнение \(x^2+2x-3=0\) имеет корни \(x_<1>=1\) и \(x_<1>=-3\), значит при подстановке \(1\) и \(-3\) вместо икса, левая часть станет нулем. А значит, если те же самые единицу и минус тройку подставить в функцию \(y=x^2+2x-3\) получим \(y=0\). То есть, функция \(y=x^2+2x-3\) проходит через точки \((1;0)\) и \((-3;0)\) (подробнее смотри статью Как построить график функции ).

Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

Формулы корней выглядят так: \(x_<1>=\) \(\frac<-b+\sqrt><2a>\) и \(x_<2>=\) \(\frac<-b-\sqrt><2a>\) . И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль. Тогда получается:

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2-4x+4=0\)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

Находим корни уравнения

Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.

На графике квадратичной функции нулевой дискриминант означает одну точку пересечения функции с осью икс. Все аналогично изложенному выше: два корня – две точки пересечения, один корень – одна. В частности, функция \(y=x^2-4x+4\) будет выглядеть вот так:

Если дискриминант отрицателен

В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т.к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+x+3=0\)
Решение

Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

Находим корни уравнения

Оба корня содержат невычислимое выражение \(\sqrt<-11>\), значит, и сами не вычислимы

То есть, отсутствие корней у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом – не чья-то случайная придумка. Это не потому что «в учебнике так написано», а действительно правда: невозможно найти такое число, чтоб при подстановке его вместо икса в выражение \(x^2+x+3\) получился ноль.

Матхак: заметим, что если вы решаете обычное квадратное уравнение или неравенство и получаете отрицательный дискриминант, стоит проверить решение еще раз, так как это не частая ситуация в школьном курсе математики.

Ну, а на графиках все просто: нет корней – нет точек пересечения с осью икс!

Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами

Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.

Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.

1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.

Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.

Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.

Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.

Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.

Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:

Решим первое неравенство системы

Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .

Возведем второе уравнение системы в квадрат:

Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .

Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр

График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:

3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения

Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно

1) . Получим линейное уравнение

У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.

2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .

Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:

— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.

Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.

— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.

Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.

Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим

Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.

С учетом пункта 1 получим ответ

4. При каких значениях параметра a уравнение

имеет единственное решение?

Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .

Сделаем замену

Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.

1) В случае уравнение будет линейным

Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.

2) Если , уравнение будет квадратным.

Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.

Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.

Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.

Объединив все случаи, получим ответ.

И наконец – реальная задача ЕГЭ.

5. При каких значениях a система имеет единственное решение?

Решением квадратного неравенства может быть:

В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:

1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)

2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства

Рассмотрим первый случай.

Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или

Если , при этом система примет вид:

Второй корень первого уравнения:

Второй корень второго первого:

Если , при этом система примет вид:

– бесконечно много решений, не подходит.

Рассмотрим второй случай.

– решением является точка, если – является решением второго неравенства.

– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида

где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Если коэффициенты b и c отличны от нуля, квадратное уравнение называется полным.

Если b или c или оба коэффициента равны нулю, квадратное уравнение называется неполным.

Решение полного квадратного уравнения

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта.

Дискриминант — это число, вычисляемое по формуле

1) Если D>0, квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле

2) Если D=0, квадратное уравнение имеет один корень, который находят по формуле

3) Если D

Это уравнение типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Таким образом, при c=0 квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, второй — -b/a.

2) Если b=0

Если знаки a и с разные (например, a>0, c

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Если -a 0, обе части уравнения делим на -a

и получаем то же уравнение

Если знаки a и c одинаковые, уравнение не имеет решений.

Если a>0, c>0, то, так как x² — неотрицательное, то ax²≥0 (на самом деле, здесь ax²>0) . Сумма положительных чисел не может равняться нулю, поэтому это уравнение не имеет корней.

Если a

Таким образом, при b=0 квадратное уравнение либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (то есть являются противоположными числами), либо не имеет действительных корней.

3) Если b=0 и c=0

Это уравнение имеет один корень x=0.

Итак, квадратное уравнение может иметь два корня, один корень либо не иметь ни одного корня.

В некоторых источниках один корень рассматривается как два одинаковых корня:

Такие корни называются кратными (второй степени).

В следующий раз для удобства использования запишем виды квадратных уравнений и способы их решения в виде схемы.

Затем рассмотрим примеры решения квадратных уравнений различных видов.