Уравнение изгиба балки на упругом основании

Общие понятия.

К числу статически неопределимых балок может быть отнесена балка на упругом основании. Так называется балка, опирающаяся по всей своей длине (Рис.1) на упругое основание, оказывающее в каждой точке на балку реакцию, пропорциональную у прогибу балки в этой точке. Коэффициент пропорциональности обозначается буквой k.

Введение предположения о пропорциональности реакций прогибу является приближением, хотя и достаточно близким к действительным условиям.

Рис.1. Расчетная схема балки на упругом основании.

Предложение ввести в расчет коэффициент пропорциональности к, именуемый «коэффициентом постели», было впервые сделано русским академиком Николаем Ивановичем Фуссом в 1801 году. Принимая это предположение, получаем, что интенсивность реакции основания в каждой точке сила равна ky и измеряется в единицах силы и длины; размерность коэффициента k при этом будет сила и квадрат длины. Будем считать, что основание оказывает реакцию при прогибах балки как вниз, так и вверх.

На практике задачи о расчете балки на упругом основании встречаются в железнодорожном деле (рельс, шпала), в строительстве фундаменты различных сооружений, передающие нагрузку на грунт.

Статически неопределимой такая балка будет потому, что условие статики сумма нагрузок равна всей реакции основания не дает возможности установить распределение этой реакции по длине балки, а значит, вычислить изгибающие моменты и поперечные силы.

Интенсивность реакции в каждой точке связана с прогибами балки. Поэтому для решения задачи необходимо найти сначала уравнение изогнутой оси , а уже затем формулы для вычисления изгибающего момента и поперечной силы. Ход решения оказывается обратным обычному.

Найдем уравнение изогнутой оси для балки постоянного сечения, лежащей на упругом основании и нагруженной сосредоточенными силами . (Рис.1). Начало координат возьмем в любой точке, ось х направим вправо, ось у вертикально вверх. Направление нагрузок вверх будем считать положительным. Напишем обычное дифференциальное уравнение изгиба

Так как М(х) нам неизвестен, то постараемся связать прогибы непосредственно с нагрузкой, для этого дифференцируем дважды предыдущее уравнение:

где q(x)интенсивность сплошной нагрузки, действующей на балку в сечении с абсциссой х.

Сплошной нагрузкой для нашей балки является лишь реакция упругого основания. Интенсивность ей пропорциональна прогибам; эта нагрузка направлена вверх, т. е. положительна, когда прогибы идут вниз, т. е. отрицательны, и наоборот. Таким образом, эта нагрузка имеет знак, обратный знаку прогибов:

Если обозначить , то общий интеграл уравнения (25.3) имеет вид: (25.4)

Постоянные А, В, С, D должны быть определены в каждом частном случае нагрузки и длины балки. Величина имеет измерение обратное длине.

Расчет бесконечно длинной балки на упругом основании, загруженной одной силой Р.

Наиболее просто решается задача об изгибе бесконечно длинной балки, нагруженной одной сосредоточенной силой (Рис.2). Помимо непосредственного практического значения решение этой задачи позволит путем последовательных приближений рассчитывать и балки конечной длины.

Рис.2. Расчетная схема балки бесконечной длины.

Начало координат расположим в точке приложения силы Р. Определим постоянные А, В, С и D. Так как вся реакция основания, равная силе Р должна быть конечной величиной, то прогибы балки в точках, бесконечно удаленных от точки приложения силы, должны обращаться в нуль:

При бесконечно больших значениях х два вторых слагаемых в правой части формулы (4) обращаются в нуль благодаря множителю , два же первых могут обратиться в нуль лишь при

Далее, по симметрии нагрузки и реакции основания, касательная к изогнутой оси в точке приложения силы должна идти параллельно оси абсцисс:

Дифференцируя (6), получаем:

Подставляя в это выражение и приравнивая результат нулю, находим:

таким образом, уравнения будут:

Для определения последней постоянной С имеем еще одно уравнение: нам известна величина поперечной силы в начале координат.

Разрезав балку сечением в точке О справа от силы Р и рассматривая правую часть балки, видим, что поперечная сита в этом сечении равна реакции основания, действующей на правую половину балки со знаком минус; так как реакция направлена вверх (для правой половины) и вся реакция основания равна Р, значит, поперечная сила в сечении при х = 0 равна

Но, с другой стороны

Вычисляем, пользуясь (8), и :

Подставляя (12) в (10) и приравнивая х нулю, получаем:

Теперь значения у и ее производных получают вид

Таким образом, напряженное состояние и деформации балки на упругом основании всецело определяются нагрузкой и коэффициентом , зависящим от соотношения жесткостей балки и упругого основания.

Изгиб балки на упругом основании

Изгиб балок на упругом основании. Примером балки на упругом основании являются железнодорожные шпалы, нагруженные двумя силами, передаваемыми через рельсы. Поскольку опоры нет, шпала переносит эту нагрузку непосредственно на грунт и одновременно прогибается за счет гибкости грунта. Термин «упругое основание»

применительно к грунту условен, так как механические свойства грунта не идентичны свойствам упругого тела в обычном смысле、 Рис 185 Этот термин понимается в теории упругости и сопротивления материала по-разному. Если поставить задачу о равновесии балки, покоящейся на гигантском упругом теле, ограниченном

с одной стороны плоскостью, то мы имеем пример так называемой Людмила Фирмаль

контактной задачи теории упругости, суть которой заключается в том, что деформация тела в одной точке зависит не только от давления в этот момент, но и от давления в другой точке. Если мы хотим упростить формулировку задачи и получить доступ к основному методу, то предположение о том, что движение на основе упругости зависит только от давления в точке, в которой движение ищется, эта гипотеза иногда называется гипотезой

Винклера и, по-видимому, заменяет фактическое упругое тело серией несвязанных пружин или стержней(рис. 185). Рассматривая реакцию основания пропорционально отклонению, было установлено, что реакция, распределенная непрерывно по длине балки, составляла—KV. Эта упрощенная модель упругого основания достаточно хорошо воспроизводит свойства грунта^, который фактически не может

рассчитывать изгиб балок на упругом основании 271 Это упругое тело: связь между его частицами»меньше«, чем у твердого тела. Есть более сложные и более продвинутые модели с эластичным основанием. Поэтому М. М. Филоненко-Бородич предлагает модель упругого основания, способного распределять нагрузку, и в то же время допускает использование основных математических устройств. В смысле Винклера, для составления дифференциального уравнения изгиба балки, находящейся на упругом основании, исходим из дифференциального уравнения изгиба по форме(116.5).

В правой части действующей нагрузки q добавьте реакцию основания (- kv) и рассмотрите изгибную жесткость балки, то есть произведение EJX, как постоянную величину. Вам; EJx-П=■ — К В — \ — Г(З), Или «■v+4a’ » =l g (’,=I f c)- уравнение(125.1) встречается не только в задаче о балках на упругом основании, но и в других разделах строительной механики, таких как теория цилиндрических оболочек. Сначала интегрируем однородное уравнение T » IV — | — 4a^=0. (125.2)корень характеристического уравнения — a (1 ->g); a(-i-W); ® (- 1-g);-O-общий Интеграл уравнения(125.2) v= удаления мнимых чисел. его надо формировать. Эти решения являются УП (з)=ч з потому что АЗ, ут (з)=[ч з ЗША з ш аз ведь АЗ], ут (з)=г^С Н З С В З, (125.4)ут (З)=4″» »

EAG(D sin A z Bpos)-E-(125.3) используя метод§§, общий Интеграл (125-3 123) используется для объединения соответствующих частных решений для Людмила Фирмаль

[ч а з ЗША з-ш А З потому что АЗ]. Берегись этого. ут=у’ «УБ=у’, ут=у I272 деформации[ГЛ. Икс По формуле (123.6)) И еще) = ® ( 0 ) ^ ( ^ + ® ’( 0 ) C (g) 4 — ® » (0)^и 4 — -Н»’(0) (125.5)) Здесь. (125.6) Q Вычислите функцию V r (z), когда балка нагружена сосредоточенной силой в координате Z=B сечения. Прочность этой нагрузки предполагается равной P|2E, согласно случаю формулы (125.6) t(z)=0z ■ b. * Желание получить решение в случае сосредоточенного момента, приложенного к сечению с координатами a, напомним, что предел=Ut=Ut, передавая в этом сечении размер UI свойства концентрации> — t и » a-e>)•8=0 и находим: ( • * ) = 0^A в z. , V i (z>=

U t(z — ^a) при g>a.§ 125] изгиб валков на упругом основании 273 Наконец, рассмотрим случай равномерных распределенных

нагрузок, начиная с z=c. (125.6) (z)=J l7, («- f y^d t Отчет Но, как легко проверить прямым вычислением, Ut (z)=-^U n’с z=D. Когда z>d мы получим: Окончательная формула для отклонения выглядит следующим образом: v (z)=v (0) Ut (z)v’(0) (z) 4-v «(0) Ut (z)4-v ’ „(0) Ut (z) — |- , −4^[4(Z-с) — ут(з-д)]>. (125.7) общий символ с индексом “ l » вверху следует понимать так же, как и§ 118. Рис 186 В качестве примера рассмотрим задачу изгиба полубесконечной балки с силой и моментом(рис. 186). В Формуле (125.5) нужно поставить 1=o,^(0)=D, x/»(0)=^. Получаем: v=v (0) U»(z)+v’(0)Ut(z) 4-Ut(z) Ut(z). Для определения

констант w(0)и w’(0) отклонение Бесконечности должно быть равно нулю. Для этого мы имеем 274 изгибных деформации[гл. $ Для больших значений аргумента ч з — > — Шаз-> — г УО. Следовательно, формула (125.4) ООН (з)—Эпсилон-еаз потому что. В, С (З)-Эпсилон (грех аз-Ф-Кос.), £7. (^)- ¤4^2ез грех, Аризона, США(Z) — » — еаз(грех аз-ведь АЗ). В большом z Один. 2а. 1М +2а ’ £ЧХ Си в (з) — >г еаз(0)потому что з-ж- аз)|>0.. Сравнивая коэффициенты при COS AZ и аз греху, вы можете увидеть следующее: И так оно и есть. (0)+1С’(0) — 4А ’° EJX’ _1P-0 4A’EJX’(0) — 4-1H ’2а» EJX1 С’(0): Мистер. Эжх2а? EJx’ C (0):

— М А Р 2а * EJx1 2a3EJx’ (125.8) Обратите внимание, что отклонение v (z) меняет знак: в некоторых местах балка приподнимается над основанием. Мы предполагаем, когда принимаем решение. Показано, что реакция основания происходит при отрицательном прогибе.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании

Определение постоянных при интегрировании дифференциального уравнения изгиба балки.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование.

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y=y(x) их центров тяжести сечений – прогибами балки.

Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

Выбор знака в правой части определяется направлением координатной оси y, так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M_z противоположны — в правой части знак минус. Уравнение справедливо только в пределах применимости закона Гука.

Интегрируя, находим сначала углы поворота сечений

а после второго интегрирования – прогибы балки

25. Интегрирование дифференциального уравнения изгиба балки с несколькими участками.Метод Клебша.

Для составления уравнений необходимо выполнить следующие основные условия:

начало координат, для всех участков, необходимо расположить в крайнем левом конце балки;
интегрирование дифференциального уравнения упругой линии балки проводить, не раскрывая скобок;
при включении в уравнение внешнего сосредоточенного момента М его необходимо помножить на (Z – a), где а – координата сечения, в котором приложен момент;
в случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца балки, а для восстановления действительных условий нагружения вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления

Метод начальных параметров

Для углов поворота

(17)

(18)

где θ – угол поворота сечения; w – прогиб; θo – угол поворота в начале координат; w0 – прогиб в начале координат; dі – расстояние от начало координат до i-й опоры балки; ai – расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенного момента Mi; bi – расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенной силы Fi; сi – расстояние от начало координат до начала участка распределенной нагрузки qi; Ri и Мрi – реакция и реактивный момент в опорах балки.

Балка на упругом основании

Рис.10.1

В инженерной практике встречаются балки, лежащие на сплошном упругом основании. Это ленточные фундаменты зданий, фундаменты плотин, ж/д шпалы и др. Расчет таких балок осложняется тем, что реакция оснований «

зависит от прогибов « » балки, а прогибы зависят от реакции основания. Для решения задачи необходимо знать закон, связывающий реакцию основания с осадкой (прогибом) основания. Наиболее распространенной является гипотеза Винклера

(1)

(2)

Здесь: внешняя погонная нагрузка; коэффициент постели, приводится в справочниках для различных грунтов; суммарная погонная нагрузка, действующая на балку.