Уравнение изменения импульса материальных точек

Уравнение изменения импульса материальных точек

Рассмотрим систему материальных точек массами `m_1`, `m_2«. `, движущихся в произвольной ИСО со скоростями `vecv_1`, `vecv_2«. `. Импульсом `vecP_(«c»)` системы материальных точек называют векторную сумму импульсов материальных точек, составляющих систему, `vecP_(«c») = vecp_1 + vecp_2 + . `.

Найдём скорость `(Delta vecP_(«c»))/(Delta t)` изменения импульса системы материальных точек (ответ на такой вопрос для одной материальной точки нам известен). Для примера рассмотрим систему двух материальных точек. Будем считать, что на первую материальную точку действуют суммарной силой `vecF_1` внешние по отношению к системе тела и внутренняя сила `vecf_(12)` со стороны второго тела. В свою очередь, на вторую материальную точку действуют внешние по отношению к системе тела, сумма этих сил `vecF_2`, и внутренняя сила `vecf_(21)` со стороны первого тела. Тогда с учётом второго закона Ньютона для каждого тела получаем

`(Delta vecP_(«c»))/(Delta t) = (Delta vecp_1)/(Delta t) + (Delta vecp_2)/(Delta t) = (vecF_1 + vecf_(12)) + (vecF_2 + vecf_(21))`.

По третьему закону Ньютона `vecf_(12) + vecf_(21) = vec 0`, и мы приходим к теореме об изменении импульса системы материальных точек

`(Delta vecP_(«c»))/(Delta t) = vecF_1 + vecF_2`,

скорость изменения импульса системы материальных точек равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Из приведённого доказательства следует, что третий закон Ньютона можно сформулировать и как требование сохранения импульса системы взаимодействующих тел, если нет никаких других внешних сил. В этом — его более глубокое физическое содержание.

Клин массой `M` находится на шероховатой горизонтальной поверхности стола. На клин положили брусок массой `m` и отпустили. Брусок стал соскальзывать, а клин остался в покое. Коэффициент трения скольжения бруска по поверхности клина равен `mu`, наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол `alpha`. Найдите горизонтальную `R_1` и вертикальную `R_2` силы (рис. 9), с которыми клин действует на опору.

По третьему закону Ньютона искомые силы связаны с силой трения `vecR_1 =- vecF_(«тр»` и силой нормальной реакции `vecR_2 =- vecN_(«г»)`, действующими на клин со стороны опоры (рис. 10). Силы `vec(F_sf»тр»)` и `vec(N_sf»г»)`, наряду с силами тяжести, являются внешними по отношению к системе «клин + брусок» и определяют скорость изменения импульса этой системы.

Импульс `vecP_(«c»)` системы направлен по скорости бруска и по величине равен произведению массы бруска на его скорость `vecP_(«c») = vec p = m vec v (t)`. Для определения скорости изменения импульса `vec p` бруска обратимся ко второму закону Ньютона (рис. 11):

`(Delta vecp)/(Delta t) = m vec g + vec N + vec(f_sf»тр»`.

Переходя к проекциям приращений импульса бруска и сил на оси `Oy` и `Ox` с учётом соотношения `f_sf»тр» = mu N`, получаем

`(Delta p_y)/(Delta t) = 0 = N — mg cos alpha`, `(Delta p_x)/(Delta t) = mg(sin alpha — mu cos alpha)`.

По теореме об изменении импульса системы «клин + брусок»

`(Delta vecP_(«c»))/(Delta t) = M vec g + m vec g + vecN_(«г») + vecF_(«тр»)`.

Переходя в последнем равенстве к проекциям на горизонтальное и вертикальное направления с учётом

Отсюда находим искомые силы

`R_1 = F_sf»тр» = mg(sin alpha — mu cos alpha) cos alpha`,

`R_2 = N_sf»г» = (M + m) g — mg(sin alpha — mu cos alpha) sin alpha`.

Уравнение изменения импульса материальных точек

3) Механическая система и ее центр масс. Уравнение изменения импульса механической системы. Закон сохранения импульса механической системы.

Механическая система и ее центр масс.

Механическая система — совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое.

Центр масс механичиской системы — воображаемая точка С, расположение которой характеризует распределение масс в системе.

Центр масс механической системы движется, как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все силы действующие на систему.

Уравнение изменения импульса механической системы.

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:.

Закон сохранения импульса механической системы.

В замкнутой системе импульс сохраняется.

Другая формулировка: Суммарный импульс замкнутой системы остается постоянным по модулю и направлению, хотя импульс каждого из тел системы может изменяться.

Рассмотрим механическую систему из N тел, массы и скорости которых соответсвенно равны m1, m2, . mN; V1, V2, . VN.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из N тел механической системы:

где Fi — равнодействующая внутренних сил i-того тела системы, F — равнодействующая внешних сил i-того тела системы.

Проведем почленное сложение уравнений:

(1)

Рассмотрим левую часть полученного выражения.

==

где = представляет собой суммарный импульс всех тел системы, т.е. импульс системы.

Первый член в правой части выражения (1) представляет собой векторную сумму внутренних сил всех тел системы. По третьему закону Ньютона каждой внутренней силе F’mn соответствует равная ей по модулю и противоположная по направлению сила F’nm, поэтому:

=0.

Выражение преобразуется к виду:

=

Производная от импульса системы по времени равна сумме внешних сил, действующих на систему.

Если сумма (векторная) внешних сил равна нулю, или внешние силы отсутствуют, то:

, т.е. импульс сохраняется.

Дополнение:

Импульсом (или количеством движения) материальной точки (тела) называется векторная величина, численно равная произведению массы материальной точки (тела) на ее скорость и меющая направление скорости: p = mV (единица импульса — 1 (кг*м/с)).

Импульс, закон изменения импульса системы материальных точек

Закон 2 Ньютона. Изменение количества движения пропорционально при­ложенной движущей силе и происходит по направлению той пря­мой, по которой эта сила действует.

Второй закон Ньютона связывает ускорение тела с действую­щей на него силой:

(1.1)

Так как масса — величина постоянная, то уравнение (1.1) мож­но записать в форме (1.6)

Величина называется Импульсом, или Количеством дви­жения материальной точки. Используя определение импульса, второй закон Ньютона записываем в форме (1.7)

Изменение импульса материальной точки вызывается действием на нее силы. В уравнении (1.7) введено общепринятое в классиче­ской механике обозначение, когда полная производная по времени обозначается точкой над буквой.

Несколько тел, каждое из которых можно рассматривать как материальную точку, составляют Систему материальных точек. Для каждой материальной точки можно записать уравнение вто­рого закона Ньютона

(1.13)

В уравнении (1.13) индексы дают номер материальной точки. Действующие на материальную точку силы разделены на внеш­ние и внутренние . Внешние силы — это силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему материальных точек. Вну­тренние силы — это силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, составляющих систему материальных точек. Здесь — сила, действующая на материальную точку, индекс которой , со стороны материальной точки с номером .

Из уравнений (1.13) вытекают несколько важных законов. Если просуммируем их по всем материальным точкам системы, то по­лучим

(1.14)

Величина (1.15)

Называется Импульсом системы материальных точек. Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов отдельных материальных точек. В уравнении (1.14) двойная сумма для вну­тренних сил обращается в нуль. Для каждой пары материальных точек в нее входят силы, которые по третьему закону Ньютона (Закон 3. Действию всегда есть равное и противоположное про­тиводействие; иначе — взаимодействия двух тел друг с другом равны и направлены в противоположные стороны.) равны и противоположно направлены. Для каждой пары вектор­ная сумма этих сил обращается в нуль. Поэтому равна нулю и сумма для всех сил. В результате получим

(1.16)

Уравнение (1.16) выражает Закон изменения импульса системы материальных точек. Изменение импульса системы материальных точек вызывается только внешними силами. Если на систему не действуют внешние силы, то импульс системы материальных то­чек сохраняется. Систему материальных точек, на которую не действуют внешние силы, называют Изолированной, или замкну­той, системой материальных точек.