Уравнение изменения координаты во времени

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении

теория по физике 🧲 кинематика

Уравнение координаты — зависимость координаты тела от времени:

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении:

x₀ — координата тела в начальный момент времени, v_0x —проекция начальной скорости на ось ОХ, a_x —проекция ускорения на ось ОХ, x — координата тела в момент времени t

Зная уравнение координаты, можно определить координату тела в любой момент времени.

Пример №1. Движение автомобиля задано уравнением:

Определить начальное положение автомобиля относительно тела отсчета, его начальную скорость и ускорение. Также найти положение тела относительно тела отсчета в момент времени t = 10 c.

Уравнение координаты — это многочлен. В уравнении выше оно включает в себя только 2 многочлена. Первый — 15 — соответствует начальной координате тела. Поэтому x₀ = 15. Коэффициент перед квадратом времени второго многочлена соответствует ускорению тела. Поэтому a = 5 м/с 2 . Второй многочлен отсутствует. Это значит, что коэффициент перед t равен 0. Поэтому начальная скорость тела равна нулю: v₀ = 0 м/с.

В момент времени t = 10 c координата автомобиля равна:

Совместное движение двух тел

Иногда в одной системе отсчета рассматривается движение сразу двух тел. В этом случае движение каждого тела задается своим уравнением. Эти уравнения используются для нахождения различных параметров движения этих тел. Такой способ решения задач называется аналитическим.

Аналитический способ решения задачи на совместное движение тел

Чтобы найти место встречи двух тел, нужно:

Построить уравнения зависимости x(t) обоих тел: x1(t) и x2(t).
Построить уравнение вида x₁ = x₂.
Найти время встречи двух тел t_встр.
Подставить найденной время в любое из уравнений x1(t) или x2(t), чтобы вычислить координату x_встрч.

Пример №2. По одному направлению из одной точки начали двигаться два тела. Первое тело движется прямолинейно и равномерно со скоростью 3 м/с. Второе тело — равноускорено с ускорением 1 м/с 2 без начальной скорости. Определите, через какое время второе тело догонит первое. Вычислите, на каком расстоянии от тела отсчета это произойдет.

Составим уравнения для движения каждого из тел:

Приравняем правые части этих уравнений и найдем время t:

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Чтобы найти, какое расстояние они пройдут за это время, подставим известное время в любое из уравнений:

x = 3t = 3∙6 = 18 (м).

Графический способ решения задачи на совместное движение тел

Существует графический способ решения данной задачи. Для этого нужно:

Построить графики x1(t) и x2(t).
Найти точку пересечения графиков.
Пустить перпендикуляр из этой точки к оси ОХ.
Значение точки пересечения — координата места пересечения двух тел.

Таким способом можно определить, в какое время произойдет встреча двух тел. Нужно лишь провести перпендикуляр к оси времени после построения графиков перемещений.

Графический способ решения задач требует высокой точности построения графиков. Поэтому он применяется редко!

Если в одной системе описывается движение двух тел, и одно тело начинает движение с опозданием t_запазд, то его уравнение координаты принимает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Пример №3. Мальчики соревнуются в беге. По команде «Старт!» Миша побежал с ускорением 1 м/с 2 и через 4 секунды достиг максимальной скорости, с которой дальше продолжил движение. Саша отреагировал с опозданием и начал движение спустя 1 с после команды с ускорением 1,5 м/с 2 , достигнув максимальной скорости через 3 секунды. Найти время, через которое Саша догонит Мишу.

Если Саша догонит Мишу до того, как мальчики станут двигаться с равномерной скоростью, уравнение движения с равномерной скоростью можно игнорировать. Если это так, то корнем уравнения будет время, не превышающее 4 с (через столько времени оба мальчика начнут двигаться равномерно).

В таком случае составим уравнения только для тех участков пути, на которых мальчики двигались равноускорено:

Приравняем правые части уравнений и вычислим t:

В результате получаем два

Материальная точка движется прямолинейно с постоянным ускорением. График зависимости её координаты от времени x=x(t) изображён на рисунке.

В момент времени t=0 проекции её скорости υ_x и ускорения a_x на ось Ох удовлетворяют соотношениям:

а)

б)

в)

г)

Алгоритм решения

Определить характер движения материальной точки.
Записать уравнение координаты материальной точки.
С помощью графика зависимости координаты от времени и уравнения координаты определить проекции искомых величин.

Решение Графиком зависимости координаты от времени является парабола. Такой график соответствует равноускоренному прямолинейному движению. Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид: Ветви параболы смотрят вверх. Это значит, что коэффициент перед квадратом переменной величины (времени) стоит положительный коэффициент. Следовательно, a_x>0. Поэтому варианты «б» и «г» исключаются. Остается выяснить, чему равна скорость: она равна нулю (как в ответе «а») или меньше нуля (как в ответе «в»)? Моменту времени t=0 соответствует точка, являющая вершиной параболы. Когда ветви параболы смотрят вверх, в ее вершине скорость тела всегда равна нулю, так как эта точка лежит на границе между отрицательной и положительной скоростью. Отсюда делаем вывод, что верный ответ «а».Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

Записать исходные данные.
Записать уравнение движения грузовика и преобразовать его с учетом условий задачи.
Выразить скорость грузовика из уравнения его движения.
Записать уравнение движения мотоциклиста.
Найти время встречи мотоциклиста и грузовика из уравнения движения мотоциклиста.
Подставить время в формулу скорости грузовика и вычислить ее.

Решение

Координата встречи грузовика и мотоциклиста: x = 150 м.
Время запаздывания мотоциклиста: t_запазд = 5 с.
Ускорение, с которым мотоциклист начал движение: a = 3 м/с 2 .

Запишем уравнение движения грузовика:

Так как начальная координата равна нулю, это уравнение примет

Отсюда скорость движения грузовика равна:

Запишем уравнение движения мотоциклиста:

Так как начальная координата равна нулю, начальная скорость тоже нулевая, и мотоциклист начал движение позже грузовика, это уравнение примет вид:

Найдем время, через которое грузовик и мотоциклист встретились:

Подставим найденное время встречи в формулу для вычисления проекции скорости грузовика:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Интегрирование дифференциальных уравнений прямолинейного движения материальной точки

Краткое изложение результатов

Здесь мы кратко изложим основные результаты, полученные при интегрировании дифференциальных уравнений прямолинейного движения материальной точки. Далее следует их подробное изложение.

Сила, зависящая от времени

Если на материальную точку действует сила, зависящая от времени , то дифференциальное уравнение прямолинейного движения вдоль оси Ox имеет вид:
.
Вводим ускорение и интегрируем это уравнение.
.
Здесь и далее A и B – произвольные точки на оси Ox . Заменим . Получаем закон изменения скорости от времени:
.
Интегрируя уравнение , получаем закон движения точки :
;
.

Сила, зависящая от скорости

Пусть на точку действует сила, зависящая от скорости . Составляем дифференциальное уравнение движения и интегрируем его:
.
Последнее уравнение дает в неявном виде зависимость . Решаем его. После чего интегрируем уравнение , как описано выше.

Есть второй способ интегрирования уравнения движения в случае зависимости силы от скорости. Для этого переходим от переменных x и t к переменным и x . Считаем, что скорость является функцией от координаты x :
;
.
Последнее уравнение дает в неявном виде зависимость . Далее интегрируем уравнение :
.
Это уравнение дает в неявном виде закон движения точки .

Сила, зависящая от перемещения

Пусть на точку действует сила, зависящая от перемещения . Составляем уравнение движения, переходим от переменных x и t к переменным и x , и интегрируем полученное дифференциальное уравнение:
;
;
.
Это уравнение представляет собой закон сохранения механической энергии для прямолинейного движения. Из него находим зависимость скорости от перемещения . После чего интегрируем уравнение , как это описано выше.

Дифференциальное уравнение движения точки

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки, находящейся под действием постоянных и переменных сил. Направим ось Ox системы координат вдоль линии движения точки. Пусть на нее действуют n сил, проекции которых на ось Ox мы обозначим как . Положение точки, при прямолинейном движении, однозначно определяется ее координатой x . Нам нужно определить закон движения точки , то есть закон изменения ее координаты со временем.

Уравнение движения точки определяется вторым законом Ньютона, который в случае прямолинейного движения имеет вид:
(1) .

Вместо того, чтобы в каждом уравнении выписывать все n сил, введем их равнодействующую, проекция которой, на ось x равна сумме проекций всех сил на эту ось:
.
Тогда задача сведется к движению материальной точки под действием одной силы . При этом уравнение движения примет наиболее простой вид:
(2) .
В дальнейшем, проекцию равнодействующей мы будем называть просто силой, действующей на точку.

Сила может быть как постоянной, так и зависеть от времени t , координаты x и от скорости . К сожалению, если зависит от всех перечисленных факторов, то не всегда возможно решить уравнение (2) аналитически. Поэтому мы рассмотрим те случаи, когда возможно получить аналитическое решение этого уравнения. Заметим, что если сила является постоянной, то уравнение (2) можно решать любыми, приводимыми ниже, способами.

Почему мы обозначаем в виде проекции силы на ось x , хотя рассматриваем только движение вдоль одной оси? – Потому что под обозначением силы R в виде одной буквы, часто подразумевается ее абсолютная величина: . Она имеет неотрицательные значения: . А когда мы пишем силу как проекцию , то подразумеваем, что эта величина может быть как положительной (если сила направлена вдоль оси x ), так и отрицательной (когда она направлена противоположно оси x ). В теоретической механике, в подобных случаях, иногда также говорят, что есть алгебраическое значение силы. Это относится не только к силе, ни и ко всем другим, рассматриваемым далее, векторным величинам.

Интегрирование уравнения движения с силой, зависящей от времени

Вначале рассмотрим случай, когда задан закон изменения силы со временем: . Перепишем уравнение (2), явно указав эту зависимость:
(t1) .

В этом уравнении время t является независимой переменной; координата x – зависимой переменной; – это вторая производная координаты по времени: . Масса m – это постоянная, то есть заданное число. С математической точки зрения, уравнение (t1) есть дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащую зависимую переменную x в явном виде.

Решение такого уравнения выполняется с помощью подстановки
.
Тогда
.
Подставляя в (t1), мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка:
(t2) .
Выполняя подстановку, мы ввели новую переменную , равную производной координаты x по времени t . Эта производная является проекцией скорости точки на ось Ox . Таким образом, процесс решения разбивается на две части. Сначала мы, решаем уравнение (t2), и находим закон изменения скорости со временем: . Затем, используя уравнение , находим закон изменения координаты .

Упростим уравнение (t2), разделив его на массу m :
(t3) ,
где – ускорение точки. Поскольку зависимость силы от времени известна, то и зависимость ускорения от времени также известна.

Уравнение (t3) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.
;
(t4) ;
(t5) .
Здесь – постоянная интегрирования. Чтобы ее определить, нужно знать значение скорости в какой-либо момент времени . Если мы сможем выразить интеграл через известные функции, то подставив в (t5) значения времени и значение скорости в этот момент, мы сможем определить постоянную .

Для простых задач, формула (t5) вполне удобна. Но если интеграл не выражается через известные функции, то выполнить численное интегрирование по этой формуле нельзя. Поэтому найдем закон изменения скорости со временем в более удобном виде.

Прямолинейное движение точки M под действием силы R_x.

Пусть нам известно, что в момент времени , точка M находилась в положении A, имела координату и скорость . Рассмотрим произвольный момент времени . Пусть в этот момент времени точка M находится в положении B, с координатой и скоростью . Величины и нам пока не известны. Наша задача их найти.

Перепишем (t4) явно указав, что есть функция от t :
(t6) .
Интегрируем (t6) от момента времени до :
.
Слева – интеграл от полного дифференциала. Поэтому он интегрируется элементарно:
.
Здесь мы учли, что . В результате получаем:
;
.

Этот результат можно получить и несколько иначе, если в интеграле сразу перейти к переменной . Тогда пределы интегрирования станут и . В результате получим тоже самое:
.

Итак, мы нашли значение скорости в произвольный момент времени :
(t7) .
Заменим обозначение момента времени на t . В результате получим закон изменения скорости со временем t :
(t8) .

Интеграл справа записан не вполне корректно, хотя так часто пишут. Рассмотрим пример определенного интеграла . Он зависит от пределов интегрирования a и b , но не зависит от переменной интегрирования t . Можно сказать, что переменная t принимает заданные значения из отрезка , которые применяются только для вычисления интеграла. Поэтому для переменной интегрирования t можно использовать любое обозначение. Например, можно использовать переменную . Тогда .

В (t8) мы использовали одно и то же обозначение, как для верхнего предела интеграла, так и для переменной интегрирования. Это может привести к путанице. Поэтому используем для переменной интегрирования любое другое, не используемое обозначение, например . Тогда формула (t8) примет следующий вид:
(t9) .

Теперь найдем закон изменения координаты x от времени. Интегрируем уравнение
.
Разделяем переменные:
(t10) .
Здесь мы также можем выполнить интегрирование от A до B, но мы продемонстрируем другой способ, как получить результат в удобном виде, применяя неопределенный интеграл. Поскольку неопределенный интеграл определен с точностью до постоянной, то запишем его с нижним пределом интегрирования . Интегрируем (t10):
(t11) .
Найдем значение постоянной интегрирования . Для этого подставим сюда :
.
Далее учитываем, что значение координаты точки в момент времени нам известно: . Также учитываем, что интеграл в правой части имеет равные пределы интегрирования и поэтому равен нулю. В результате получаем:
.
Отсюда находим значение постоянной интегрирования: . В результате получаем закон движения точки:
(t12) .

Итак, мы нашли, что если на точку действует сила , то для определения ее закона движения, нужно сначала определить закон изменения скорости со временем:
(t7) .
А затем определить закон движения:
(t12) .
При этом мы полагаем, что нам известны скорость и координата в некоторый момент времени . Если бы мы проводили интегрирование через неопределенные интегралы в общем виде, то и были бы постоянными интегрирования и .

Постоянная сила

Разберем случай, когда действующая на точку сила имеет постоянное значение: . В этом случае ускорение также постоянно: . Интегрируем, используя таблицу неопределенных интегралов. Из (t7) находим закон изменения скорости со временем:
;
(t14) .
Мы видим, что скорость линейно изменяется со временем.

Подставляем в (t12) и находим закон движения точки:

;
(t15) .

Если в начальный момент времени , скорость точки была , а координата , то . Из (t14) и (t15) получаем:
;
.

Равномерное движение

Если проекция силы на ось Ox равна нулю: , то ускорение также равно нулю: . В этом случае из (t14) находим, что скорость точки постоянна:
.
Из (t15) находим, что координата линейно меняется со временем:
.

Если в начальный момент времени , скорость точки была , а координата , то ;
;
.

Интегрирование уравнения движения с силой, зависящей от скорости

Разберем случай прямолинейного движения материальной точки, когда действующая сила зависит от скорости . Такие задачи встречаются при движении в жидкой или газообразной среде, когда на точку помимо постоянных сил, действует сила трения, зависящая от скорости. В этом случае, уравнение движения имеет вид:
(v1) .
Разделим обе части уравнения на массу m :
(v2) ,
где – ускорение точки. Теперь нам известна зависимость ускорения точки от ее скорости. Уравнение (v2) не содержит в явном виде как зависимую переменную x , так и независимую переменную t . Поэтому его можно решать двумя способами.

Решение уравнения, определяя v_x(t)

Применим к уравнению (v2) метод решения дифференциального уравнения, не содержащего зависимую переменную в явном виде. Для этого, как и в предыдущем случае, делаем подстановку
.
Тогда
.
Подставляя в (v2), мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка:
(v3) .

Пусть, как и в предыдущем случае, в момент времени , точка находилась в положении A, имела координату и скорость . И пусть в произвольный момент времени , точка находится в положении B с координатой и скоростью . Нам нужно найти величины и .

Разделяем переменные.
;
.
Перепишем это уравнение, указав, что скорость является функцией от времени:
.
Интегрируем по времени от до :
.
В левой части сделаем замену переменной. От переменной t перейдем к переменной . При этом изменим пределы интегрирования учитывая, что при ; и при :
(v4) .

Заменим обозначения переменных , и переменной интегрирования . Подставим в (v4):
(v5) .
Это уравнение, в неявном виде, дает закон изменения скорости от времени t . Вычислив интеграл, и выполнив преобразование, мы можем выразить через t : .

Далее, по формуле (t12) ⇑ определяем закон движения материальной точки:
(t12) .

Решение уравнения, определяя v_x(x)

Выпишем уравнение (v2) еще раз.
(v2) .
Для применения этого метода, в качестве независимой переменной возьмем координату x , а в качестве зависимой – скорость . То есть считаем, что скорость является функцией от координаты: .

Выразим через переменные x и вторую производную координаты по времени:
.
Подставим в (v2) и разделяем переменные:
;
.
В левой части в явном виде запишем как функцию от x , и интегрируем по x от положения A до B:
;
.
В интеграле слева переходим от переменной x к :
(v6) .

Переобозначим переменные:
(v7) .
Это уравнение дает в неявном виде зависимость скорости от координаты:
.
Подставив сюда , получим для x дифференциальное уравнение первого порядка. Решаем его методом разделения переменных:
;
.
Интегрируем от положения A до B:
;
.
Заменим переменные:
(v8) .

Уравнение (v8) дает в неявном виде закон движения материальной точки .

Интегрирование уравнения движения с силой, зависящей от перемещения

Наконец рассмотрим случай прямолинейного движения материальной точки, когда действующая сила зависит от перемещения x . Такие задачи встречаются при движении в потенциальных полях – в гравитационных или электрических. Сюда также относится движение груза, прикрепленного к упругой пружине.

Выписываем уравнение движения для этого случая:
(x1) .
Это дифференциальное уравнение второго порядка. Оно не содержит независимую переменную t в явном виде. Также как и в предыдущем случае, применяем метод решения дифференциального уравнения, не содержащего независимую переменную в явном виде.

Перейдем к новым переменным. В качестве независимой переменной возьмем координату x , а в качестве зависимой – скорость . Считаем, что скорость является функцией от координаты: .

Выразим вторую производную координаты по времени через переменные x и :
;
Подставим в (x1) и разделяем переменные:
(x2) ;
.
Интегрируем по x от A до B:
(x3) .
Вычисляем интеграл, используя таблицу неопределенных интегралов:
;
.
Подставляем в (x3):
(x4) . Нетрудно видеть, что слева стоит изменение кинетической энергии материальной точки. Справа – работа, которую совершает сила при перемещении материальной точки из A в B. Само уравнение (x4) представляет собой теорему об изменении кинетической энергии точки для прямолинейного движения.

Вернемся снова к уравнению (x2).
(x2) .
Его можно проинтегрировать и другим способом.

Для этого представим правую часть в виде производной по координате:
,
где – координата произвольной заранее выбранной точки C .
Левую часть также представим в виде производной по координате:
.
Тогда (x2) можно записать в виде:
.

Поскольку производная по x от выражения в скобках равна нулю, то само выражение является постоянной, не зависящей от x величиной:
.
Такая форма записи, когда некоторая функция от переменных приравнивается постоянной, называется интегралом дифференциального уравнения. Перепишем его в следующем виде:
(x5) .
Здесь – кинетическая энергия точки; – потенциальная энергия, отсчитываемая от, произвольным образом выбранной, точки C ; E – постоянная интегрирования, которая в данном случае имеет определенный физический смысл – это полная механическая энергия материальной точки. Поэтому мы ее обозначили привычной для этого случая буквой E . Само уравнение (x5) представляет собой закон сохранения механической энергии. С математической точки зрения, энергия E является интегралом дифференциального уравнения, или, как говорят в механике, интегралом движения точки. То есть величиной, сохраняющей при движении постоянное значение.

Выше мы пришли к выводу, что постоянная интегрирования E не зависит от координаты x , но ничего не сказали о ее зависимости от времени. Однако, для одномерного движения, со временем может изменяться только одна координата x . Поскольку постоянная E от нее не зависит, то она не зависит также и от времени t . Поэтому полная механическая энергия сохраняет постоянное значение и в различные моменты времени.

Нетрудно видеть, что формулировки (x4) ⇑ и (x5) ⇑ эквивалентны. Для доказательства, приравняем механическую энергию точки для двух положений A и B:
;

.
Здесь мы разбили интеграл от до на два интеграла – от до ; и от до . Интегралы от до сократились.

Найдем зависимость скорости точки от координаты. При этом мы считаем, что скорость точки в положении A нам известна. Рассмотрим два положения: A и B. Из (x4) ⇑ имеем:
,
где – работа, которая производит сила при перемещении точки из A в B. Наконец, заменим на x , и на . В результате получим искомую зависимость:
(x6) ,
где – работа, которая производит сила при перемещении материальной точки из A в точку с координатой x . Скорость определена с точностью до знака (плюс или минус). Знак нужно выбирать из начальных условий и исследования движения. Если в точке , то при достаточно малых значениях . Далее точка может остановиться и начать движение в обратную сторону. Тогда нужно выбрать знак минус, чтобы скорость стала отрицательной.

Теперь, зная зависимость , находим закон движения материальной точки. Для этого интегрируем уравнение:
;
;
;
.
Это уравнение дает в неявном виде зависимость координаты x от времени t .

Приложение к движению в пространстве

Приведенные выше результаты могут быть применимы и для некоторых случаев движения материальной точки в двухмерном или трехмерном пространстве.

Пусть нам известно, что в момент времени , материальная точка находилась в точке A, и имела скорость . Выберем трехмерную систему координат Oxyz , и распишем эти начальные условия по компонентам:
При ;
При ;
При .

Сила в пространстве, зависящая от времени

Пусть на материальную точку действует сила, зависящая от времени: . Составим уравнения ее движения:
.

Выпишем уравнение для координаты x с начальными условиями:
; при .
Здесь все необходимые величины известны, и они не зависят от значений других координат. Мы можем найти закон изменения координаты x со временем, применяя интегрирование уравнения движения с силой, зависящей от времени ⇑ для прямолинейного движения.

Выпишем уравнение для координаты y с начальными условиями:
; при .
Здесь также известны все необходимые величины, и они не зависят от значений других координат. Мы также можем найти закон изменения координаты y со временем, применяя интегрирование, как для прямолинейного движения.

Точно также мы можем найти закон изменения координаты z со временем. В этом случае говорят, что переменные разделились. Уравнения движения, составленные для каждой из координат, вместе с начальными условиями, не зависят от значений других координат. Поэтому каждое такое уравнение можно проинтегрировать отдельно. В результате мы получим закон движения материальной точки в трехмерном случае: .

Силы, приводящие к разделению переменных

Пусть теперь на точку действуют три взаимно перпендикулярные силы. И пусть одна из них зависит только от времени; вторая – от проекции скорости на направление силы; третья – от проекции радиус-вектора на направление силы.

Выберем систему координат Oxyz , оси которой направим вдоль направлений действующих сил. Тогда в этой системе координат отличными от нуля будут только три проекции сил: . Составляем уравнения движения:
;
;
.
Мы видим, что и в этом случае переменные разделились. Каждое из этих уравнений зависит только от одной переменной. И мы можем решить его, применяя изложенные выше методы. Все это применимо и к случаю, когда любая из этих сил является постоянной.

И, разумеется, тут могут быть различные вариации, приводящие к разделению переменных. Например, если зависящая от времени сила лежит в плоскости xy , а перпендикулярная ей сила зависит только от координаты z . В этом случае переменные также разделяются.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-10-2020

Кинематика в физике — основные понятия, формулы и определения с примерами

Содержание:

Основная задача механики — описание движения тел, т. е. выяснение закона (уравнения) их движения. Как отмечал А. Эйнштейн, наиболее фундаментальная проблема, остававшаяся нерешенной на протяжении тысячелетий, — это проблема движения. Собственно, учение о движении стало наукой лишь со времен Галилео Галилея и Исаака Ньютона.

Кинематика, изучает конкретные механические та их взаимодействия с другими телами. Она фактически объединяет простейшие пространственно-временные зависимости, в частности изменение координат тела со временем (как функцию времени).

Поэтому кинематику часто называют геометрией движения.

Кинематика изучает механические движения тел без учета их взаимодействия с другими телами.

Кинематика

Физика изучает разнообразные явления и процессы, происходящие вокруг нас. Как вам известно, в зависимости от их природы различают механические, тепловые, электрические, магнитные, световые и другие физические явления. Раздел физики, который объясняет движение и взаимодействие тел, называется механикой.

Слово «механика» впервые ввел Аристотель. Оно означает «машина».
Механика — одна из древнейших наук. Ее возникновение и развитие связано с практическими потребностями человека. Первые труды по механике, в которых рассматривались свойства простых механизмов и машин, появились еще в Древней Греции. Весомый вклад в ее становление сделали такие корифеи науки, как Аристотель (IV в. до н. э.), Архимед (III в. до н. э.), Леонардо да Винчи (XV в.), Галилео Галилей (XVII в.) и др. В завершенном виде как классическая теория она получила обоснование в работе Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии» (1687 г.). Современная механика, в основе которой лежит теория относительности, создана в начале XX в. Альбертом Эйнштейном.

Основная задача механики состоит в том, чтобы на основании параметров движения тела: координат, пройденного пути, перемещения, угла поворота, скорости, силы и т. д. — найти закон или уравнение, которое описывает это движение.

Основная задача механики состоит в том, чтобы найти уравнение движения тела с помощью параметров, описывающих это движение.
Т. е. если мы при помощи этих физических величин сможем установить положение тела в любой момент времени, то основная задача механики считается решенной. В зависимости от способов ее решения в механике выделяют три раздела: кинематика, динамика и статика.

Кинематика изучает, как движется тело, не вникая в причины, вызывающие именно такое движение. Поэтому кинематические уравнения состоят лишь из пространственных характеристик механического движения: пройденного пути, изменения координат тела, скорости и т. д. В них нет сил, изменяющих это движение.

В переводе с греческого слово кинематика» (kinematos) означает движение.

Механическое движение и траектория движения

Чаще всего в обыденной жизни мы наблюдаем явление, которое называется механическим движением. Например, автомобиль едет по дороге, в небе «плывут» тучи, ребенок катается на качелях, Луна вращается вокруг Земли и т. д. Во всех этих случаях происходит изменение положения одного тела или его частей относительно других. Чтобы убедиться в этом, необходимо выбрать тело отсчета, относительно которого можно фиксировать положение движущегося тела в любой момент времени. Тело отсчета выбирают произвольно. В приведенных примерах это может быть столб или дерево возле дороги, дом, поверхность Земли и т. д.

Для того чтобы описать движение тела, необходимо точно знать его местоположение в пространстве в произвольный момент времени, т. е. уметь определять изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Как известно, легче всего это можно сделать с помощью системы координат. Например, зафиксировать «адрес» тела как определенное его положение в пространстве, измерив расстояния или углы в некоторой системе координат.

Например, в географии положение тела на земной поверхности задается двумя числами на пересечении меридиана и параллели, которые называются географической долготой и широтой. В математике «адрес» точки чаще всего определяют ее координатами, в частности в прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости — это расстояния х и у (рис. 1.1).
Взаимные изменения положения тела или его частей в пространстве с течением времени называются механическим движением.

Систему координат, как правило, связывают с телом отсчета. В данном случае движущееся тело характеризуется изменением положения в пространстве относительно тела отсчета, т. е. изменением его координат с течением времени.

Математически это можно записать в таком виде: х = x(t); у = y(t).

Для того чтобы определить такое изменение в любой момент времени, с телом отсчета и системой координат необходимо связать средство измерения времени, к примеру секундомер или хронометр. Тогда тело отсчета, связанную с ним систему координат и секундомер как единое целое называют системой отсчета.

Как известно, реальные физические тела имеют форму и объем. Поэтому однозначно задать их положение в пространстве не всегда представляется возможным, поскольку различные их части имеют разные координаты. Однако эту проблему можно упростить, если не брать во внимание размеры тела. Такое возможно лишь при определенных условиях.

Чтобы выяснить их, рассмотрим движение автомобиля. На значительных расстояниях, например на шоссе между Киевом и Харьковом, размерами автомобиля можно пренебречь, поскольку они значительно меньше расстояния между этими городами. Поэтому нет необходимости рассматривать особенности движения каждой части кузова автомобиля — достаточно его представить как движение точки.

Таким образом, для упрощения описания движения тел, когда их размерами при определенных условиях можно пренебречь, применяют понятие материальной точки. Это условное тело, не имеющее размеров, которое определяет положение реального тела в пространстве при помощи координат такой, материальной точки. Ее геометрический образ — невесомая точка, не имеющая размеров. В случае поступательного движения, при котором все точки тела движутся одинаково, любое тело можно считать материальной точкой.

Материальная точка — это физическая модель, при помощи которой представляют реальное тело, пренебрегая его размерами.

Часто кроме движущихся предметов мы наблюдаем тела, пребывающие в состоянии покоя. Однако абсолютно неподвижных тел в природе не существует.

Рассмотрим такой пример. В вагоне на столе стоит бутылка с водой (рис. 1.2). Во время движения поезда разные наблюдатели — пассажир в купе и провожающий на перроне — оценят ее состояние движения по-разному. Для сидящего пассажира она неподвижна, поскольку расстояние от него до бутылки не изменяется. Для провожающего на перроне 16 она движется, потому что изменяет свое положение с течением времени в системе отсчета, связанной с перроном.

Следовательно, состояние покоя является относительным, равно как и состояние движения, поскольку зависит от выбранной системы отсчета. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении движения тела мы в первую очередь будем определяться с выбором системы отсчета, потому что от этого нередко зависит сложность уравнений, описывающих данное движение. Правильный выбор системы отсчета ведет к упрощению уравнений движения.

Состояние покоя и состояние движения тела относительны, поскольку зависят от выбора системы отсчета.

Рассмотрим движущееся тело, последовательно фиксируя его положение в определенные моменты времени. Если теперь соединить все точки, в которых побывало тело во время своего движения, то получим мнимую линию, которая называется траекторией движения. Траектория движения может быть видимой (след от самолета на небосклоне, линия от карандаша или ручки при записи в тетради) и невидимой (полет птички, движение теннисного мяча и т. д.).

По форме траектории механическое движение бывает прямолинейным и криволинейным (рис. 1.3).

Положение броуновской частички через определенные промежутки времени.

Рис. 1.3. Различные формы траектории

Траектория прямолинейного движения — прямая линия. Например, падение тела с определенной высоты или движение шарика по наклонному желобу. Во время криволинейного движения тело перемещается по произвольной кривой. Часто реальное движение тел является комбинацией прямолинейного и криволинейного движений. Например, комбинированным есть движение автобуса по маршруту: на разных участках траектория его движения может быть и прямолинейной, и криволинейной.

Поскольку движение тел происходит в определенных системах отсчета, то и траектория рассматривается относительно них. Ведь она отображает во времени последовательные положения тела в некоторой системе отсчета. Поэтому она будет отличаться формой в различных системах отсчета, т. е. траектории движения также относительны. Например, все точки колеса велосипеда относительно его оси описывают окружность, однако в системе отсчета, связанной с землей, эта линия более сложная (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Траектория движения точки обода колеса велосипеда

Путь и перемещение

Зная траекторию движения, можно определить путь, пройденный телом: для этого необходимо измерить длину траектории между начальной и конечной точками движения.

Путь — это длина траектории, которую проходит тело или материальная точка за определенный интервал времени. Он обозначается латинской буквой l. Данная физическая величина является скалярной и характеризуется лишь значением длины траектории движения.

В Международной системе единиц (СИ) путь измеряется в метрах (м). На практике используют также другие единицы пути — километр (км), сантиметр (см) и др.

Часто, для того чтобы более полно охарактеризовать движение тела и найти его новое положение, кроме пройденного пути (длины траектории), необходимо указать также направление, в котором двигалось тело. Например, водителю автомобиля приходится ехать по извилистой дороге (рис. 1.5).

Пройденный путь — это длина дороги I, по которой ехал автомобиль. Водитель же совершил перемещение в пространстве из точки А в точку В, которое можно найти, соединив начальное и конечное положение тела прямой линией, указав при этом направление движения.

Следовательно, направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение движущегося тела с конечным, называется перемещением. Перемещение — это векторная величина. Оно обозначается латинской буквой Его значение характеризуется модулем вектора перемещения или для упрощения записи s.

Путь и перемещение могут отличаться своими значениями. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим движение велосипедиста по окружности радиуса R= 100 м (рис. 1.6).

Допустим велосипедист стартует в точке А. Проехав половину окружности, он окажется в точке В. Пройденный им путь равен дуге а модуль перемещения = 2R = 200 м.

В момент времени, когда велосипедист проедет окружности, пройденный им путь будет равен значение перемещения Когда велосипедист сделает полный оборот, пройденный путь будет равен модуль перемещения при этом равен нулю Таким образом, перемещение может равняться нулю даже в том случае, если тело перед этим осуществляло движение. Это возможно, когда начальное и конечное положения тела совпадают.

Путь и перемещение имеют также одинаковые значения, когда тело движется прямолинейно лишь в одном направлении.

В рассмотренном нами примере пройденный путь и перемещение разные, отличаются по своему значению. Возникает вопрос: могут ли они совпадать, быть одинаковыми? Можно легко убедиться в том, что такое возможно, если, во-первых, траектория движения будет прямой, во-вторых, движение происходит в одну сторону. Как подтверждение этого, рассмотрим — такой пример.

Допустим, что автомобиль движется прямолинейно по шоссе из пункта А в пункт В, а затем возвращается в пункт С. Расстояние между пунктами 2 км и 4 км соответственно, все они размещены на одной прямой (рис. 1.7).

Двигаясь из пункта А в пункт В, автомобиль проходит путь = 2 км + 4 км = 6 км, и модуль его перемещения равен = 6 км. Т. е. в данном случае путь и перемещение совпадают: После того как автомобиль развернулся и приехал в пункт С, его перемещение равно = 2 км, а пройденный путь составляет = 6 км + 4 км = 10 км, т. е. пройденный путь и перемещение отличаются:

Следовательно, пройденный путь и перемещение по своему значению одинаковы лишь в том случае, если тело движется по прямой и не изменяет направление движения.

Равномерное прямолинейное движение

Простейшим видом механического движения является равномерное прямолинейное движение. Это такое движение, при котором тело, двигаясь по прямой, за любые одинаковые интервалы времени совершает одинаковые перемещения. Его траектория — прямая линия. Поэтому его можно описать переменой одной из координат, например х = x(t), если координатная ось совпадает с направлением движения.

Пусть тело в начальный момент движения имеет координату (рис. 1.8); через некоторое время, совершив перемещение оно будет иметь координату х. Перемещение, характеризующее изменение положения тела в пространстве с течением времени, может происходить с разной скоростью. Скорость равномерного движения — это физическая величина, равная отношению перемещения ко времени, в течение которого оно произошло:

Как известно, в СИ скорость
измеряется в метрах за секунду (м/с). 1 м/с — это скорость такого равномерного прямолинейного движения, при которой тело за 1 с совершает перемещение 1 м. На практике используют также другие единицы скорости, например километр в час:

Поскольку перемещение — векторная величина, а время t -скалярная и всегда больше 0, то скорость также векторная величина, направление которой совпадает с направлением перемещения (рис. 1.9).

При равномерном движении значение скорости остается постоянным, поскольку за любые равные интервалы времени совершаются равные перемещения.

Как известно, основной задачей механики является определение положения тела в пространстве в произвольный момент времени. Следовательно, чтобы ее решить, надо найти координаты тела либо их изменение во времени: х — x(t). В механике такое уравнение называется уравнением движения. При решении задач с использованием уравнения движения векторные величины, характеризующие движение тела, записывают в проекциях на соответствующую ось. Следовательно, из формулы (1) получаем:

Из рисунков 1.8 и 1.9 понятно, что Воспользовавшись формулой (2), получим уравнение равномерного прямолинейного движения:

поэтому
Уравнения равномерного прямолинейного движения:

Рассмотрим теперь различные случаи равномерного прямолинейного движения (рис. 1.10).

Из рисунка следует, что если направление движения тела совпадает с направлением координатной оси, то > 0 и координата тела с течением времени возрастает: где v — модуль скорости.

Если же направление движения тела противоположно направлению координатной оси, то 0) либо устремляться вниз ( 0 (рис. 1.15) либо 0 и 0, скорость движения увеличивается, ведь — > 0, вектор совпадает с направлением движения.

Если скорость тела со временем уменьшается то вектор ускорения будет противоположным к направлению движения (рис. 1.25).

В данном случае в соответствии с выбранным направлением координатной оси ОХ проекция ускорения будет отрицательной

Вместе с тем знак проекции ускорения не определяет характер движения — оно ускоряющееся или замедляющееся, в зависимости от выбора системы отсчета. В этом легко убедиться, если рассмотреть случай, когда оба тела движутся в противоположных направлениях. Тогда одно из тел имеет положительную проекцию ускорения а другое — отрицательную хотя оба движутся равноускоренно.

Из формул (1) и (2) можно получить кинематическое уравнение скорости для равноускоренного движения:

или в проекциях на ось ОХ:

Выведем теперь кинематическое уравнение перемещения для равноускоренного движения. Учтем, что скорость во время такого движения постоянно изменяется, например сначала она равна а в конце движения она будет v. Поэтому в формуле перемещения можно воспользоваться понятием средней скорости (известное из курса физики 8-го класса):

Подставив в данную формулу уравнение (3) и произведя некоторые преобразования, получим:

или в проекциях на ось ОХ:

Если начальная скорость тела равна 0 то кинематическое уравнение перемещения приобретает вид:

или в проекциях на ось ОХ:

Для прямолинейного движения, учитывая, что получим кинематическое уравнение для координат или уравнение равноускоренного движения:

или для случая, когда = 0:

Следует помнить, что в ходе решения задач необходимо учитывать знаки проекций в соответствующих уравнениях.

При определении проекции перемещения не всегда известно время, в течение которого происходило движение. Тогда можно воспользоваться иным уравнением. Чтобы его получить, подставим в кинематическое уравнение выражение Сделав некоторые математические преобразования (предлагаем произвести их самостоятельно), получим формулу:

Отсюда Если

Задача №5

Водитель начинает тормозить в тот момент, когда спидометр автомобиля фиксирует скорость 72 км/ч. Через какое время автомобиль остановится, если он двигался с ускорением Каким был его тормозной путь?
Дано:

По условию задачи спидометр показывает начальную скорость автомобиля Движение автомобиля во время торможения — замедляющееся, поэтому вектор ускорения направлен в противоположную сторону от направления движения. Конечная скорость автомобиля v = 0 (он остановился).

следовательно, 0 = — at, отсюда

Ответ: автомобиль остановился через 10 с, проехав 100 м.

Задача №6

Шарик толкнули по наклонному желобу вверх со скоростью 6 м/с. Шарик движется с ускорением 0,5 Найти скорость шарика через 8 с и 14 с после начала движения.
Дано:

Решение

Направим ось ОХ вдоль желоба (см. рис.).

Учитывая знаки проекций скорости и ускорения, имеем

Отсюда уравнение для имеет такой вид:

Для имеем:

Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что в первом случае шарик двигался вверх (> 0), а во втором случае он скатывался вниз, поскольку 0), либо падать вниз ( 0, то график имеет вид, представленный на рисунке 1.28. На графике зависимости координаты от времени, если вершина параболы смещается по оси ординат вверх или вниз в зависимости от значения

Если = 0 и

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

источники:

http://1cov-edu.ru/mehanika/dinamika-tochki/pryamolinejnoe-dvizhenie/

http://www.evkova.org/kinematika-v-fizike