Скорость при равноускоренном прямолинейном движении
теория по физике 🧲 кинематика
Описывая движение с постоянной скоростью, мы могли с уверенностью сказать, какую скорость имеет тело в любой момент времени. В случае с равноускоренным движением это не так, потому что скорость постоянно меняется. Поэтому для его описания вводится понятие мгновенной скорости.
Что такое мгновенная скорость? Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени. Обозначается v мгн. Далее, когда мы будем говорить о скорости, мы будем понимать под ней мгновенную скорость тела и обозначать ее просто — v .
Скорость тела в момент времени t равна сумме начальной скорости тела в момент времени t0 и произведения ускорения этого тела на время t, в течение которого это тело двигалось. В векторном виде это записывается так:
v — скорость тела в данный момент времени, v 0 —скорость тела в начальный момент времени, a — ускорение тела, t — время, в течение которого это тело двигалось
Направление вектора скорости при равномерном равноускоренном движении не всегда совпадает с направлением вектора ускорения и вектором перемещения тела.
Пример №1. Мальчик пробежал 200 метров по прямой линии, а затем вернулся в исходное положение. Определить направление вектора скорости и перемещения в момент, когда мальчик, возвращаясь в исходное положение, находился на полпути до него.
Началу вектора перемещения соответствует исходное положение мальчика. Когда мальчик возвращался и находился на полпути до исходного положения, концу вектора его перемещения соответствовала точка, лежащая посередине 200-метрового отрезка. Поэтому вектор перемещения направлен в сторону ОХ. Но мальчик в это время направлялся в обратную сторону. Поэтому его скорость была направлена против направления оси ОХ.
Скалярная формула скорости
В случае равноускоренного прямолинейного движения можно вместо векторов использовать скаляры. Тогда формула примет следующий
Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.
Знак «+» ставится в случае, когда тело разгоняется, знак «–» — когда оно тормозит.
Проекция скорости
Проекция скорости при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид:
Знак проекции скорости зависит от того, в какую сторону движется тело:
- Знак проекции скорости имеет знак «+», если тело движется в сторону направления оси ОХ.
- Знак проекции скорости имеет знак «–», если тело движется противоположно направлению оси ОХ.
Знак проекции скорости не зависит от того, каким является движение: равнозамедленным или равноускоренным.
График скорости
График скорости — график зависимости проекции скорости от времени. Графиком скорости при равноускоренном прямолинейном движении является прямая.
Сравнение модулей ускорения по графикам скоростей
Чтобы сравнить модули ускорений по графикам скоростей, нужно сравнить их углы наклона к оси времени. Чем больше между ними угол, тем больше модуль ускорения. Так, на рисунке выше большим модулем ускорения обладает тело 3 — угол между его графиком скорости и осью времени максимальный. Меньшим модулем ускорения обладает тело 1, так как угол между его графиком скорости и осью времени минимальный.
Пример №2. Ниже представлен график движения велосипедиста. Опишем характер его движения на участке от 0 до 2 с, в момент времени t=2 с и на участке от 2 с.
На отрезке пути от 0 до 2 с велосипедист двигался в направлении, противоположном оси ОХ. При этом модуль его скорости уменьшался. В момент времени t=2 c велосипедист приостановился и поменял направление движения, и дальше оно стало совпадать с осью ОХ. Модуль его скорости при этом начал расти. Но на всем пути независимо от направления движения велосипедиста вектор его ускорения всегда был направлен в сторону ОХ. Однако до 2 с движение считалось равнозамедленным, так как ускорение и скорость были направлены в противоположные стороны. После 2 с движение стало равноускоренным, так как направления скорости и ускорения совпали.
Полезные факты
- Если тело начинало движение из состояния покоя, его начальная скорость равна 0, а его ускорение положительно: v0 = 0, a > 0.
- Если тело заканчивает движение остановкой, то его мгновенная скорость в конечный момент времени равна 0, а его ускорение отрицательно: v = 0, a
Пример №3. Грузовик ехал с некоторой постоянной скоростью. Затем он затормозил и остановился в течение 5 секунд. Найти постоянную скорость, с которой двигался грузовик, если при торможении модуль его ускорения составил 2 м/с.
Так как движение равнозамедленное, в формуле будем использовать» знак «–». Он будет указывать на то, что скорость грузовика с течением времени уменьшалась:
Выразим начальную скорость:
Так как грузовик в итоге остановился, его конечная скорость равна 0. Подставляем известные данные в формулу и получаем:
Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t – «>– 3t 2 (все величины выражены в СИ).
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Теоретическая механика:
Кинематика точки
Смотрите также решения задач по теме «Кинематика точки» в онлайн решебниках Яблонского, Мещерского, Чертова (с примерами и методичкой для заочников), Иродова и Савельева.
В этой главе в основном рассмотрены методы решения задач, в которых закон движения точки выражен так называемым естественным способом: уравнением s=f(t) по заданной траектории *.
* Решения задач, в которых закон движения задан координатным способом, рассмотрены в конце главы (§ 31).
В этом случае главными параметрами, характеризующими движение точки но заданной траектории, являются: s – расстояние от заданного начального положения и t – время.
Величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью (v на рис. 192). Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной в ту сторону, куда движется точка. Числовое значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния по времени:
v = ds/dt или v = f'(t).
Ускорение a точки в каждый данный момент времени характеризует быстроту изменения скорости. При этом нужно отчетливо понимать, что скорость – вектор, и, следовательно, изменение скорости может происходить по двум признакам: по числовой величине (по модулю) и по направлению.
Быстрота изменения модуля скорости характеризуется касательным (тангенсальным) ускорением at – составляющей полного ускорения a, направленной по касательной к траектории (см. рис. 192).
Числовое значение касательного ускорения в общем случае определяется по формуле
at = dv/dt или at = f»(t).
Быстрота изменения направления скорости характеризуется центростремительным (нормальным) ускорением an – составляющей полного ускорения a, направленного по нормали к траектории в сторону центра кривизны (см. рис. 192).
Числовое значение нормального ускорения определяется в общем случае по формуле
an = v 2 /R,
где v – модуль скорости точки в данный момент;
R – радиус кривизны траектории в месте, где находится точка в данный момент.
После того как определены касательное и нормальное ускорения, легко определить и ускорение a ( полное ускорение точки ).
Так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны, то числовое значение ускорения а можно определить при помощи теоремы Пифагора:
a = sqrt(at 2 + an 2 ).
Направление вектора a можно определить, исходя из тригонометрических соотношений, по одной из следующих формул:
sin α = an/a; cos α = at/a; tg α = an/at.
Но можно сначала определить направление полного ускорения a использовав формулу tg α = an/at,
а затем найти числовое значение a:
a = an/sin α или a = at/cos α.
Касательное и нормальное ускорения точки являются главными кинематическими величинами, определяющими вид и особенности движения точки.
Наличие касательного ускорения (at≠0) или его отсутствие (at=0) определяют соответственно неравномерность или равномерность движения точки.
Наличие нормального ускорения (an≠0) или его отсутствие (an=0) определяют криволинейность или прямолинейность движения точки.
Движение точки можно классифицировать так:
а) равномерное прямолинейное (at = 0 и an = 0);
б) равномерное криволинейное (at = 0 и an ≠ 0);
в) неравномерное прямолинейное (at ≠ 0 и an = 0);
г) неравномерное криволинейное (at ≠ 0 и an ≠ 0).
Таким образом, движение точки классифицируется по двум признакам: по степени неравномерности движения и по виду траектории.
Степень неравномерности движения точки задана уравнением s=f(t), а вид траектории задается непосредственно.
§ 27. Равномерное прямолинейное движение точки
Если at=0 и an=0, то вектор скорости остается постоянным (v=const), т. е. не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Такое движение называется равномерным прямолинейным .
Уравнение равномерного движения имеет вид
(а) s = s0 + vt
или в частном случае, когда начальное расстояние s0=0,
(б) s = vt.
В уравнение (а) входит всего четыре величины, из них две переменные: s и t и две постоянные: s0 и v. Поэтому в условии задачи на равномерное и прямолинейное движение точки должны быть заданы три любые величины.
При решении задач необходимо выяснить все заданные величины и привести их к одной системе единиц. При этом нужно заметить, что как в системе МКГСС (технической), так и в СИ единицы всех кинематических величин одинаковы: расстояние s измеряется в м, время t – в сек, скорость v – в м/сек.
§ 28. Равномерное криволинейное движение точки
Если at = 0 и an ≠ 0, то модуль скорости остается неизменным (точка движется равномерно), но ее направление изменяется и точка движется криволинейно. Иначе, при равномерном движении по криволинейной траектории точка имеет нормальное ускорение, направленное по нормали к траектории и численно равное
an = v 2 /R,
где R – радиус кривизны траектории.
В частном случае движения точки по окружности (или по дуге окружности) радиус кривизны траектории во всех ее точках постоянный:
R = r = const,
а так как и числовое значение скорости постоянно, то
an = v 2 /r = const.
При равномерном движении числовое значение скорости определяется из формулы
v = (s — s0)/t или v = s/t.
Если точка совершит полный пробег по окружности, то путь s равен длине окружности, т. е. s = 2πr = πd (d = 2r – диаметр), а время равно периоду, т. е. t = T. Выражение скорости примет вид
v = 2πr/T = πd/T.
§ 29. Равнопеременное движение точки
Если вектор at=const (касательное ускорение постоянно как по модулю, так и по направлению), то an=0. Такое движение называется равнопеременным и прямолинейным .
Если же постоянным остается только числовое значение касательного уравнения
at = dv/dt = f'(t) = const,
то an≠0 и такое движение точки называется равнопеременным криволинейным .
При |at|>0 движение точки называется равноускоренным , а при |at| равнозамедленным .
Уравнение равнопеременного движения независимо от его траектории имеет вид
(1) s = s0 + v0t + att 2 / 2.
Здесь s0 – расстояние точки от исходного положения в момент начала отсчета; v0 – начальная скорость и at – касательное ускорение – величины численно постоянные, a s и t – переменные.
Числовое значение скорости точки в любой момент времени определяется из уравнения
(2) v = v0 + att.
Уравнения (1) и (2) являются основными формулами равнопеременного движения и они содержат шесть различных величин: три постоянные: s0, v0, at и три переменные: s, v, t.
Следовательно, для решения задачи на равнопеременное движение точки в ее условии должно быть дано не менее четырех величин (систему двух уравнений можно решить лишь в том случае, если они содержат два неизвестных).
Если неизвестные входят в оба основных уравнения, например, неизвестны at и t, то для удобства решения таких задач выведены вспомогательные формулы:
после исключения at из (1) и (2)
(3) s = s0 + (v + v0)t / 2;
после исключения t из (1) и (2)
(4) s = s0 + (v 2 — v0 2 ) / (2at).
В частном случае, когда начальные величины s0=0 и v0=0 (равноускоренное движение из состояния покоя), то получаем те же формулы в упрощенном виде:
(5) s = att 2 / 2;
(6) v = att;
(7) s = vt / 2;
(8) s = v 2 / (2at).
Уравнения (5) и (6) являются основными, а уравнения (7) и (8) – вспомогательными.
Равноускоренное движение из состояния покоя, происходящее под действием только силы тяжести, называется свободным падением . К этому движению применимы формулы (5)–(8), причем
at = g = 9,81 м/сек 2 ≈ 9,8 м/сек 2 .
§ 30. Неравномерное движение точки по любой траектории
§ 31. Определение траектории, скорости и ускорения точки, если закон ее движения задан в координатной форме
Если точка движется относительно некоторой системы координат, то координаты точки изменяются с течением времени. Уравнения, выражающие функциональные зависимости координат движущейся точки от времени, называют уравнениями движения точки в системе координат (см. § 51, п. 2 в учебнике Е. М. Никитина).
Движение точки в пространстве задается тремя уравнениями:
x = f1(t);
(1) y = f2(t);
z = f3(t);
Движение точки в плоскости (рис. 203) задается двумя уравнениями:
(2) x = f1(t);
y = f2(t);
Системы уравнений (1) или (2) называют законом движения точки в координатной форме .
Ниже рассматривается движение точки в плоскости, поэтому используется только система (2).
Если закон движения точки задан в координатной форме, то:
а) траектория плоского движения точки выражается уравнением
y = F(x),
которое образуется из данных уравнений движения после исключения времени t;
б) числовое значение скорости точки находится из формулы
v = sqrt(vx 2 + vy 2 )
после предварительного определения проекции (см. рис. 203) скорости на оси координат
vx = dx/dt и vy = dy/dt;
в) числовое значение ускорения находится из формулы
a = sqrt(ax 2 + ay 2 )
после предварительного определения проекций ускорения на оси координат
ax = dvx/dt и ay = dvy/dt;
г) направления скорости и ускорения относительно осей координат определяются из тригонометрических соотношений между векторами скорости или ускорения и их проекциями.
§ 32. Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории
При решении многих технических задач возникает необходимость знать радиус кривизны R (или 1/R – кривизну ) траектории. Если задано уравнение траектории, то радиус ее кривизны в любой точке можно определить при помощи дифференциального исчисления. Используя уравнения движения точки в координатной форме, можно определять радиус кривизны траектории движущейся точки без непосредственного исследования уравнения траектории. Определение радиуса кривизны траектории при помощи уравнений движения точки в координатной форме называется кинематическим способом. Этот способ основан на том, что радиус кривизны траектории движущейся точки входит в формулу
an = v 2 /R,
выражающую числовое значение нормального ускорения.
Скорость v точки определяется по формуле
(б) v = sqrt(vx 2 + vy 2 ).
Числовое значение нормального ускорения an входит в выражение полного ускорения точки
a = sqrt(an 2 + at 2 ),
откуда
(в) an = sqrt(a 2 — at 2 ),
где квадрат полного ускорения
(г) a 2 = ax 2 + ay 2
и касательное ускорение
(д) at = dv/dt.
Таким образом, если закон движения точки задан уравнениями
x = f1(t);
y = f2(t),
то при определении радиуса кривизны траектории рекомендуется произвести следующее:
1. Продифференцировав уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора скорости:
vx = f1‘(t);
vy = f2‘(t).
2. Подставив в (б’) выражения vx и vy, найти v 2 .
3. Продифференцировав по t уравнение (б), полученное непосредственно из (б’), найти касательное ускорение at, а затем at 2 .
4. Продифференцировав вторично уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора ускорения
ax = f1»(t) = vx‘;
ay = f2»(t) = vy‘.
5. Подставив в (г) выражения ax и ay, найти a 2 .
6. Подставить в (в) значения a 2 и at 2 и найти an.
7. Подставив в (а) найденные значения v 2 и an, получить радиус кривизны R.
Равноускоренное движение: формулы, примеры
Равноускоренное движение
Равноускоренное движение — это движение, при котором вектор ускорения не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту. Равномерное движение — частный случай равноускоренного движения с ускорением, равным нулю.
Рассмотрим случай свободного падения (тело брошено под уголом к горизонту) более подробно. Такое движение можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.
В любой точке траектории на тело действует ускорение свободного падения g → , которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону.
Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y — равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.
Формулы для равноускоренного движения
Формула для скорости при равноускоренном движении:
Здесь v 0 — начальная скорость тела, a = c o n s t — ускорение.
Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v ( t ) имеет вид прямой линии.
Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.
a = v — v 0 t = B C A C
Чем больше угол β , тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.
Для первого графика: v 0 = — 2 м с ; a = 0 , 5 м с 2 .
Для второго графика: v 0 = 3 м с ; a = — 1 3 м с 2 .
По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t . Как это сделать?
Выделим на графике малый отрезок времени ∆ t . Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆ t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆ t . Тогда, перемещение ∆ s за время ∆ t будет равно ∆ s = v ∆ t .
Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆ t . Перемещение s за время t равно площади трапеции O D E F .
s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + ( v — v 0 ) 2 t .
Мы знаем, что v — v 0 = a t , поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:
s = v 0 t + a t 2 2
Для того, чтобы найти координату тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты в зависимости от времени выражает закон равноускоренного движения.
Закон равноускоренного движения
y = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .
Еще одна распространенная задача кинематики, которая возникает при анализе равноускоренного движения — нахождение координаты при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.
Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:
s = v 2 — v 0 2 2 a .
По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:
v = v 0 2 + 2 a s .
При v 0 = 0 s = v 2 2 a и v = 2 a s
Величины v , v 0 , a , y 0 , s , входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
http://exir.ru/termeh/kinematika_tochki.htm
http://zaochnik.com/spravochnik/fizika/kinematika/ravnouskorennoe-dvizhenie/