Уравнение изогнутой оси балки это

Универсальное уравнение оси изогнутой балки, вычисление прогибов и углов поворота поперечных сечений

Определение прогибов и углов поворота поперечного сечения балки определяют с помощью универсального уравнения изогнутой оси балки (универсального уравнения упругой линии балки)

Формула (закон изменения) прогиба балки в сечении с координатой z и угол поворота сечения (рис. 7.15):

a и b – абсциссы точек приложения сосредоточенного момента M и сосредоточенной силы P, соответственно; c и d – координаты начала и конца участка, нагруженного распределенной нагрузкой.

В формулы входят только внешние усилия, которые расположены левее сечения, в котором определяются перемещения балки.

Если какая-нибудь нагрузка имеет противоположное указанному на рисунке 7.15 направление, то у соответствующих слагаемых в формулах прогибов и углов поворота сечений следует поменять знак на противоположный.

Прогиб и угол поворота балки в начале координат (начальные параметры) определяются из условий закрепления балки.

Уравнение упругой линии балки на примере

Определим прогиб балки на консоли при м, то есть . Запишем универсальное уравнение упругой линии балки :

Прогиб балки в начале координат (на левой шарнирной опоре), равен нулю: .

Для определения угла поворота в начале координат необходимо составить дополнительное условие: прогиб на правой опоре равен нулю.

,

.

Прогиб консоли при z=6м:

Знак «минус» говорит: прогиб балки на консоли происходит вниз. Число, стоящее в числителе, измеряется в килоньютонах на метр в кубе (кН·м3).

Примерный вид упругой линии балки показан на рис. 7.16.

Упругая линия балки должна быть согласована с эпюрой изгибающих моментов по дифференциальным зависимостям. Точка перегиба находится под сечением балки, в котором изгибающий момент равен нулю, что следует из закона Гука при изгибе.

СОПРОМАТ ОН-ЛАЙН

Меню сайта

Расчет геометрических характеристик сечений он-лайн NEW — считает любые сечения (сложные). Определяет: площадь сечения, моменты инерции, моменты сопротивления.

Расчет балок на прочность он-лайн — построение эпюр Mx, Qy, нахождение максимального изгибающего момента Mx, максимальной сдвигающей силы Qy, расчет прогибов, подбор профиля и др. Все просто, все он-лайн.
+ Полное расписанное решение!
Теперь и для статически неопределимых балок!

Расчет рам, ферм балок он-лайн NEW — эпюры Q, M, N, перемещения узлов. Удобный графический интерфейс. Считает любые схемы.

Лекции — теория, практика, задачи.

Справочная информация — ГОСТы, сортамент проката, свойства материалов и другое.

Программы по сопромату (построение эпюр, различные калькуляторы, шпоры и другое).

Книги — разная литература по теме.

Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.

4. Изгиб. определение перемещений.

4.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование.

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y = y ( x ) их центров тяжести сечений – прогибами балки.

Между прогибами y ( x ) и углами поворота сечений θ ( x ) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии ( θ и φ — углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y / = tg θ . Следовательно, tg θ = tg φ = y / .

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h , а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ = y / .

Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M z и жесткости EI z (см. уравнение (8.8)):

.

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

.

Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для M z и y // были приняты независимо друг от друга, получаем

.

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии. При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ = 0.1 рад ( y / ) 2 =0.01 ) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

.

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y , так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y // и M z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M z содержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений

,

а после второго интегрирования – прогибы балки

.

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2 n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

Универсальное уравнение оси изогнутого бруса (метод начальных параметров)

Универсальное уравнение оси изогнутого бруса (метод начальных параметров)

• Универсальное уравнение для криволинейной оси Балки(метод начальных параметров) Задача определения прогиба решается путем применения так называемого универсального уравнения оси криволинейной балки, или, как часто говорят, вывода универсального уравнения упругой линии, основанного на так называемом методе начального параметра, который широко используется в строительной механике. Таким образом 279прогиб любого сечения балки определяется коэффициентами смещения и силы, принятыми в начале координат, с учетом нагрузки,

приложенной к балке. Представим себе, что на балку действует любая система нагрузок. 248, а. Интенсивность нагрузки и концентрированный ТАТ при этом совпадают с направлением оси ОП, которая направлена вверх. Внешний сосредоточенный момент положителен при действии по часовой стрелке. Начало координат совместимо с центроидом секции в дальнем левом углу луча. Жесткость балки считается определенной длиной. Для каждой секции разделите несколько секций за один раз так, чтобы изгибающий момент был представлен непрерывной функцией

Сила давайте щи-положительная, что направление Все ее балки на полу на растяжке — Людмила Фирмаль

— о- • • Граничная точка/, 2,… Кроме того, разделительная секция должна быть размещена в тех секциях, где происходит изменение закона балансировки нагрузки. Так, например, происходит переход к закону нагрузки a Людмила Фирмаль

(9.6). В этом решении вместо координаты x нам нужно взять координаты, которые отсчитываются от точки 7, а именно (x-P1). Вместо значения M o -,

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института