Уравнение изокосты для функции кобба дугласа

Производственная функция Кобба-Дугласа. Изокванты и изокосты

Факторы производства и производственная функция

В современном мире нам не удастся выжить, орудуя одной лишь «палкой-копалкой», верно служившей нашим далёким предкам. Стол, кресло, компьютер, одежда, посуда, — всё стало настолько сложным, что одному человеку никак не справиться, и одновременно настолько простым, что десятки тысяч этих товаров каждую секунду сходят с конвейеров по всему миру.

Чтобы произвести что-нибудь, нужны ресурсы: сырьё, материалы, оборудование, энергия, информация, деньги, труд людей.

Факторы производства – это используемые в процессе производства ресурсы.

В простейшей модели производства рассматривают два основных фактора:

Результат производства – это некоторое количество Q выпущенного продукта.

Производственная функция – это зависимость количества выпущенного продукта от величины затрат факторов производства:

Пусть $Q = 1,5 \sqrt$.

Тогда при затратах K = 100 ед. капитала и L = 16 ед. труда, будет получено $Q = 1,5 \cdot \sqrt <100 \cdot 16>= 1,5 \cdot 10 \cdot 4 = 60$ ед. продукции.

Степенная производственная функция Кобба-Дугласа

Производственные функции можно строить по-разному.

Часто используется модель, в которой оба фактора – труд и капитал – входят в виде произведения степеней:

где A – технологический коэффициент (зависит от применяемой технологии);

$0 \le a \le 1$ — коэффициент эластичности.

Такие производственные функции называют функциями Кобба-Дугласа в честь американских исследователей, которые получили:

в 1927 году для обрабатывающей промышленности США.

Свойства производственной функции Кобба-Дугласа:

1. Если K = 0 или L = 0, то Q = 0, т.е. производство невозможно при отсутствии хотя бы одного фактора производства.

2. При увеличении затрат фактора производства, величина выпуска продукции возрастает: $K \uparrow \Rightarrow Q \uparrow, L \uparrow \Rightarrow Q \uparrow$

Тогда при затратах K=81 ед. капитала и L=16 ед. труда, будет получено $Q = 2,5 \cdot \sqrt[4] <81 \cdot 16^3>= 2,5 \cdot 3 \cdot 8 = 60$ ед. продукции.

Изокванты – линии равного выпуска

Пусть предприятие планирует выпустить $Q_0$ единиц продукции.

В этом случае, мы можем найти зависимость затрат капитала от затрат труда.

Эту зависимость можно изобразить на плоскости LOK в виде кривой.

Для каждого плана выпуска будет отдельная кривая.

Множество точек (L;K) на плоскости LOK, которые соответствуют одному плану выпуска, называют изоквантой или линией равного выпуска .

Построим изокванты для $Q_0 = \<25;50;75;100 \>$ единиц готовой продукции.

1. Чем больше используется труда, тем меньше нужно капитала для производства заданного количества продукции. И наоборот: чем меньше труда, тем больше капитала. Труд и капитал взаимно заменяют друг друга.

2. Через каждую точку (L;K) проходит единственная изокванта.

3. Изокванты, соответствующие разным количествам продукции $Q_1 \neq Q_2$, не пересекаются.

Изокосты – линии равной стоимости

Согласно полученному выше графику, произвести $Q_0$ = 100 единиц продукции можно потратить 50 единиц труда и 20 единиц капитала, или же по 40 единиц труда и капитала, или же множество других сочетаний L и K.

Как нам определить, какое из сочетаний будет самым удачным? Очевидно, исходя из цены каждого ресурса. Пусть r — цена единицы капитала, а w – цена единицы труда. Тогда для некоторого набора ресурсов (L,K ), их общая стоимость:

На плоскости LOK это будет прямая с угловым коэффициентом $k = -\frac$.

Множество точек (L;K) на плоскости LOK, которые соответствуют одной величине затрат на ресурсы (бюджету), называют изокостой или линией равной стоимости .

Пусть цена ресурсов r = 5, w = 3.

Построим изокосты для общей суммы затрат C =

$$ \frac = \frac<3> <5>= 0,6, \frac = \frac <5>= 0,2C, K = -0,6L+0,2C $$

1. Угловой коэффициент изокосты равен отношению цен на ресурсы $k = -\frac$.

2. Изокоста для данного бюджета затрат C проходит через точки $(\frac,0)$ и $(0;\frac)$.

3. Для заданных цен на ресурсы изокосты для $C_1 \neq C_2$ являются параллельными прямыми.

План производства с минимальными затратами на ресурсы

Теперь поставим главную задачу:

При заданном плане производства $Q_0$, известных ценах на ресурсы r и w, найти такое сочетание труда L и капитала K, при котором затраты на эти ресурсы минимальны:

$$ <\left\< \begin Q_0 = A \cdot K^a L^ <1-a>\\ C = wL+rK \rightarrow min \end \right.> $$

При заданном плане производства $Q_0$, известных ценах на ресурсы r и w, затраты на ресурсы будут минимальными в точке $(L_0,K_0)$, в которой изокоста $C_0 (L_0,K_0)$ является касательной для изокванты $Q_0 (K,L)$, т.е. имеет с ней только одну общую точку.

Величина затрат для оптимальной изокванты:

Оптимальный объем ресурсов:

Пусть $Q = 2,5 \cdot K^\frac<1> <4>L^\frac<3><4>$. План выпуска продукции $Q_0 = 100$ единиц.

Цена ресурсов r = 5, w = 3.

Найти оптимальное отношение труда к капиталу $\frac$, при котором затраты на ресурсы будут минимальными.

$$ = 40 \cdot 2^2 \cdot \sqrt[4] <5>= 160 \sqrt[4] <5>$$

Оптимальный объем ресурсов:

Объем труда в 5 раз больше объема капитала при оптимальных затратах.

В плоскости LOK:

Таким образом, точка $(40 \sqrt[4]<5>;8 \sqrt[4]<5>)$ является точкой касания изокосты с минимальным бюджетом затрат $C_0 = 160 \sqrt[4]<5>$ и изокванты с планом выпуска $Q_0 = 100$.

Производственная функция Кобба-Дугласа

Вы будете перенаправлены на Автор24

Назначение производственной функции

Производство с точки зрения экономики представляет собой процесс применения технологий и ресурсов для получения продуктов, предназначенных для продажи.

Таким образом, это процесс создания товара и услуги, которая обладает определенной полезностью для покупателей. Любая деятельность по производству товаров и услуг является деятельностью направленной на удовлетворения потребностей отдельных индивидов или общества в целом.

Соотношение платежеспособного спроса на товары и предложения определяет цену товара или услуги. Количественной характеристикой предложения или объема производства и стоимости товаров является производственная функция. Производственный процесс оказывает прямое влияние на благосостояние общества в целом: чем выше степень удовлетворения индивидуальных и общественных потребностей и удельный вес среднего класса в общем численности населения, тем выше уровень национального благосостояния и развития.

Задача производственной функции состоит в том, чтобы объяснить рост благосостояния общества в процессе выпуска товаров и услуг.

Функция Кобба-Дугласа в системе производственных функций

Значение производственных функций выражается в создании экономико-математических моделей, характеризующих зависимость объема производства от его различных факторов или их соотношения в условиях национального хозяйства.

Эти модели включают в себя такие показатели как объем производства в натуральном или стоимостном выражении, затраченные объемы ресурсов (факторов производства).

Различают две разновидности производственных функций:

• во-первых, однофакторные, устанавливающие зависимость объема производства от одного фактора. К этой разновидности относятся линейная, параболическая, степенная и показательная функции;
• во-вторых, двухфакторные устанавливающие зависимость объема производства от соотношения двух факторов. К этой разновидности относятся функции Кобба-Дугласа, Леонтьева, Солоу, Аллена.

Готовые работы на аналогичную тему

Особенности производственной функции Кобба-Дугласа

В качестве двух основных факторов производства выступают капитал и труд. Определенная пропорциональность их сочетания создает условия для получения продукта. Назначение производственной функции Кобба-Дугласа состоит в том, чтобы отражать технологическое соотношение объема труда и капитала, необходимое для производства того или иного товара в необходимом количестве.

Данная производственная функция является двухфакторной. Впервые ее предложил шведский экономист Кнут Векселль, но статистическая проверка была выполнена в период с 1927 по 1947 год двумя учеными – Чарльзом Коббом и Полом Дугласом (в 1928 году вышла их работа под названием «Теория производства»). Именно фамилии этих ученых и дали название производственной функции.

Также термин «производственная функция Кобба-Дугласа» в узком смысле применяется для обозначения постоянной отдачи от масштаба.

Производственная функция, разработанная Коббом и Дугласом, представляет собой первую функцию агрегированного производства. Ее применение позволило осуществлять моделирование не только мелкомасштабных процессов, но и целых отраслей экономики. Статистическое подтверждение данной функции стало началом нового этапа макроэкономического развития, позволяющего дать оценку эффективности производства на уровне национального хозяйства.

Формула производственной функции Кобба-Дугласа

В формуле производственной функции Кобба-Дугласа отражается зависимость объем производства определенного товара от сочетания двух факторов производства – труда и капитала. В общем виде формула имеет следующий вид:

$Q = A • L^α • K^β$, где:

• $Q$ – показатель объема производства, характеризующий реальную стоимость товаров и услуг, произведенных в определенный период времени;
• $A$ – общий показатель технологической продуктивности факторов. Этот показатель является наиболее трудным для определения и предусматривает с определенным уровнем погрешности возможность несовершенства оценки вклада труда и капитала, а также влияние иных факторов;
• $L$ – затраты труда в производство определенного объема продукции, выражающиеся в количестве человеко-часов, отработанных всеми работниками за указанный период времени;
• $K$ – затраты вложенного капитала в производство определенного объема продукции, выражающиеся в реальной стоимости оборудования и машин, используемых в производстве;
• $α$ – технологическая эластичность труда;
• $β$ – технологическая эластичность капитала.

Основу данной формулы составляют статистические расчеты, свидетельствующие о том, что для развитых стран характерны постоянные доли вкладов труда и капитала на протяжении длительного времени. Однако в настоящее время данное утверждение подвергается сомнению.

Эластичность факторов производства в производственной функции Кобба-Дугласа

Важнейшими показателя производственной функции Кобба-Дугласа являются показатели эластичности факторов производства, которые отражают влияние изменения их соотношения на физический объем производства при иных равных условиях.

Возможны три варианта значений, принимаемых коэффициентами эластичности в рамках формулы:

• $α + β = 1$, данное соотношение характеризует постоянную отдачу от масштаба, например, при росте затраченного труда и капитала на 100%, объем производства возрастет на те же 100%, то есть в два раза. производственная функция является линейно однородной;
• $α + β > 1$, данное соотношение характеризует возрастающую отдачу от масштаба, например, при росте затраченного труда и капитала на 100%, объем производства возрастет, допустим, на 120%, то есть более чем в два раза;
• $α + β$

Производственная функция Кобба-Дугласа

Под производством в экономике понимают применение ресурсов и технологий для того, чтобы получить продукт, который можно было бы продать. Это процесс, в результате которого создается товар или предоставляется услуга, обладающая полезностью для покупателя. Спрос и предложение на рынке определяют их цену. Количество выпущенного товара, а в конечном счете и его стоимость, показывают производство и производственная функция. На спрос влияют ценовые и другие факторы. К последним относят доходы потребителей, их вкусы, стоимость товаров-субститутов.

Экономическое благосостояние создается в процессе производства. Это означает, что любая хозяйственная деятельность прямо или косвенно направлена на удовлетворение человеческих потребностей. От последнего как раз и зависит экономическое благосостояние государства. Чем больше степень удовлетворения потребностей и доля среднего класса в населении, тем выше национальное развитие. Производственная функция объясняет это улучшение благосостояния людей в процессе выпуска продукции.

Общие сведения

Производственная функция в экономике соотносит фактический выпуск с ресурсами, которые были вложены в процессе для его получения. Данное понятие является ключевым в неоклассических теориях. Производственная функция используется для того, чтобы определить маржинальный продукт и общую эффективность. Последняя является краеугольным камнем всех экономических исследований. Первостепенная задача, которую решает производственная функция, это определение эффективности использования факторов производства и распределение полученных доходов между ними без учета технологических проблем, которые могут возникнуть.

В макроэкономике агрегированные показатели рассчитываются для того, чтобы понять, как происходит экономический рост: в частности, благодаря аккумуляции капитала или совершенствованию технологии. Следует отметить, что есть ученые, отвергающие концепцию агрегированной производственной функции, но эта точка зрения не является распространенной.

Теория производственных функций

В строгом смысле выпуск продукции нельзя представить математически как сумму или произведение вложенных ресурсов. Поскольку каждый из наборов факторов производства можно использовать для создания целого ряда товаров. Для того чтобы соответствовать математическому определению, делается предположение, что производственная функция отображает максимально возможный выпуск товаров из данного набора ресурсов. Таким образом, она обозначает минимальное соотношение факторов, которое необходимо для создания оговоренного количества продукции. Предположение о максимально возможном выпуске позволяет экономистам абстрагировать от технологических и управленческих проблем и сфокусировать свое внимание исключительно на проблеме совокупной эффективности. Ее решение позволяет разобраться, до какой степени один ресурс может быть заменен другим. Производственная функция фирмы не отображает монетарную зависимость между выпуском и задействованными факторами, хотя и включает физические объемы. Цена продукции и стоимость факторов остаются за кадром.

Виды производственных функций

Экономико-математическия модели, которые характеризуют зависимость выпуска от различных факторов и национального хозяйства в целом, могут учитывать следующие показатели: объем произведенной продукции (в стоимостном или натуральном выражении), затраченный основной капитал и фонды, вложенные трудовые ресурсы, расход электроэнергии, количество станков и оборудования. Выделяют три группы производственных функций:

1. Однофакторные. К этой группе относят линейную, параболическую, степенную и показательную функцию.
2. Двухфакторные. К этой группе относят функции Леонтьева, Кобба-Дугласа, Аллена, Солоу, линейную, с постоянной эластичностью замены используемых ресурсов.
3. Многофакторные.

Функция Леонтьева используется для моделирования полностью автоматизированных или мелкомасштабных процессов. Она не допускает отклонения от строго детерминированных технологических норм ресурсов на единицу выпуска. Функция Кобба-Дугласа описывает среднемасштабные процессы (от промышленного объединения до целой отрасли). Главное условие ее использования – стабильное и относительно устойчивое их функционирования. Функция Аллена описывает мелкомасштабные процессы, в которых ограничены возможности переработки ресурсов. Она предназначена для ситуаций, когда чрезмерный рост каждого из факторов оказывает отрицательное воздействие на выпуск. Функция Солоу рекомендуется к использованию в случае моделирования систем любого масштаба. Основное условие ее использования – зависимость нормы замещения от пропорций ресурсов.

Функция Кобба-Дугласа в экономике

Двумя основными факторами производства являются труд и капитал. Их соединение в определенной пропорции позволяет создать продукт. Производственная функция Кобба-Дугласа отражает технологическое соотношение между объемом труда и капитала для выпуска некоторого количества товара. Данная модель является двухфакторной и была проверена статистически двумя учеными, по фамилиям которых она и была названа, в 1927-1947 годах. Иногда термин «производственная функция Кобба-Дугласа» имеет более узкое значение, указывая на постоянную отдачу от масштаба (в этом случае b=1-a в основной формуле).

Основная формула

Производственная функция Дугласа-Кобба отражает зависимость выпуска определенного товара от соотношения двух факторов: труда и капитала. В наиболее общем виде формула выглядит следующим образом: Y=A*L b *K a , где буквами обозначены следующие показатели:

• Y – общий объем производства (реальная стоимость всех товаров, выпущенных в этом году);
• L – вклад труда (количество человеко-часов, отработанных за данный период);
• K –объем затраченного капитала (реальная стоимость машин, оборудования и зданий);
• A – общая продуктивность факторов;
• a и b – эластичность труда и капитала соответственно (эти значения определяются имеющимися технологиями);

Производственная функция Кобба-Дугласа была разработана на основе статистических данных. Они свидетельствовали о том, что доля вклада труда и капитала была постоянной на протяжении времени в развитых странах. На сегодняшний день у многих ученых это положение вызывает большие сомнения.

Эластичность факторов производства

Параметры a и b играют важную роль в расчете предполагаемого объема выпуска товаров по формуле Кобба-Дугласа. Эластичность факторов отражает то, как изменение их соотношения повлияет на физическое производство при прочих равных условиях. Например, если a=0,45, то увеличение на 1% использования трудовых ресурсов приведет к приблизительному росту объема выпуска товаров на 0,45%.

Рассмотрим три основных случая значений, которые могут принимать коэффициенты в формуле:

• a+b=1. В этом случае считается, что производственная функция имеет постоянную отдачу от масштаба. Это означает, что увеличение использования капитала и труда на 100 %, приведет к удвоению общего объема выпуска товаров;
• a+b;
• a+b>1. Этот случай связан с уменьшением отдачи от масштаба.

В условиях совершенной конкуренции и равенства эластичности труда и капитала коэффициенты a и b показывают доли каждого из факторов в общем объеме производства.

История разработки формулы

Пол Дуглас первоначально занимался изучением вклада человеко-часов и объема капитала в выпуск. Он искал функциональную зависимость между данными показателями. Он поговорил со своим коллегой Чарльзом Коббом и вместе они вывели формулу с одним коэффициентом: Y=A*L b *K 1- b . Ранее данное равенство уже использовалось Кнутом Викселлем. Оценивая результат вычисления с помощью метода наименьших квадратов, Дуглас определил, что экспонента труда равна 0,75. Позже его подтвердил расчет Национального бюро экономических исследований. Дальнейшие работы в области разработки формулы указали на то, что экспоненты труда и капитала не должны быть постоянными. Как следствие, это позволило более точно определять продуктивность.

Самым большой проблемой данной модели оставалось то, что производственная функция выпуска основывалась на слишком маленьком объеме статистических данным, поэтому ей нельзя было полностью доверять. Дуглас решил использовать данные американской переписи населения, который охватывал многие сферы и обеспечивал значительное количество наблюдения. Результаты своих новых исследований для США и других стран ученый представил в 1947 году на заседании Американской экономической ассоциации, президентом которой он являлся. Вскоре Дуглас стал политиком, но плохое здоровье не позволило ему развить свою концепцию дальше. Однако двадцать лет спустя его производственная функция была популяризирована выдающимися экономистами – Полом Самуэльсоном и Робертом Солоу.

Графическое изображение

Влияние изменений в затратах труда и капитала на объем производства можно отобразить не только с помощью формул, но и изоквант. Последние представляют собой кривые, которые показывают разные комбинации используемых ресурсов, обеспечивающих одинаковый выпуск продукции. Карта изоквант представляет собой альтернативный способ описания производственной функции. Чем дальше от начала координат размещена кривая, тем больший объем выпуска обеспечивают комбинации факторов на ней. Угловой коэффициент любой изокванты может быть выражен пропорцией, где один ресурс может быть замещен другим в процессе производства. Его абсолютное значение равно норме технологического замещения.

Проблемы и критика

Национальное хозяйство – это сложная система, которая включает множество элементов и их взаимосвязей. Поэтому так трудно, если вообще возможно, построить идеальную модель. Основные проблемы использования функции Кобба-Дугласа можно разделить на две сферы:

1. Анализ размерностей. Представители австрийской школы экономики критиковали модель Кобба-Дугласа из-за отсутствия точных показателей. Они утверждали, что в формуле отсутствуют значимые и экономически правильные меры измерения. Однако другие экономисты в ответ Барнетту заявили, что имеющиеся показатели не являются менее точными, чем широко используемые в физике логарифмы температур или квадраты расстояний.
2. Отсутствие микроэкономических оснований. Факторы производственной функции Кобба-Дугласа не были разработаны на основе знания инжиниринга, технологии или управления процессом выпуска. Напротив, ее стали использовать потому, что у нее были красивые математические характеристики, в частности, закон убывающей полезности каждого из факторов и свойство, что расход на производство – это постоянная доля от общей стоимости. И для этого нет микроэкономических оснований. На сегодняшний день многие экономисты стараются строить свои модели на основе поведения отдельных индивидов, а не пытаться наложить свои концепции на целую экономику. Однако современные экономисты (в частности, неокейнсианцы) разработали производственные функции труда и капитала, начиная с микроуровня, которые только подтверждают выводы Кобба и Дугласа. Тем не менее нельзя утверждать, что применимость модели в отдельных отраслях автоматически означает необходимость ее использования для агрегированной экономики.

Области применения

Несмотря на критику в ее адрес, функция Кобба-Дугласа получила широкое распространение в экономической теории. Ее можно применить для нахождения полезности (u). Если x1 и x2 – это объемы потребления первого и второго товара, то u=x1 a *x2 b .

Производство как процесс внутри предприятия

Процесс выпуска продукции можно разделить на несколько стадий. Каждая из них имеет свою логику, цели и ключевые фигуры. Важно изучать их отдельно, но понимать, что все стадии являются частью целого. Выделяют следующие процессы внутри предприятия:

• Реальный.
• Распределения доходов.
• Производственный.
• Монетарный.
• Рыночной стоимости.

Увеличение выпуска и выработка

Целью любого предприятия является рост собственной прибыльности. А для этого нужно либо увеличить количество единиц производимой продукции, либо сократить расход ресурсов. Увеличение выпуска обычно обозначают в процентах к аналогичному периоду в прошлом. Производственная функция как раз и отображает реальный процесс изготовления товаров на предприятии. Одновременно она показывает механизм создания доходов во время выпуска. Она состоит из двух элементов: изменение объема товаров и продуктивности.

В целом существуют только два основных процесса в экономике – производство и потребление. И столько же основных рыночных субъектов – продавец и покупатель. Благосостояние государства и его жителей зависит от эффективности производства и коммуникации между акторами. Формула Кобба-Дугласа – это первая функция агрегированного производства. С помощью нее стало возможным моделировать не только мелкомасштабные процессы, но и целые отрасли. Ее появление ознаменовало новый этап развития макроэкономики, поскольку она позволила оценить эффективность производства в масштабах всего национального хозяйства государства.