Замечательные кривые
Семейство роз Гранди
Уравнение имеет вид:
a — радиус лепестка;
k — положительный параметр, отвечает за количество лепестков.
Рисунок 1 — роза с тремя лепестками ρ=sin3φ
Рисунок 2 — роза с 16 лепестками ρ=sin8φ
Рисунок 3 — семейство роз Гранди — напоминает ромашку ρ=sin20φ
Рисунок 4 — семейство роз Гранди — линия похожа на зрачок глаза ρ=sin100φ
Логарифмическая спираль
Уравнение логарифмическая спираль (трансцендентная кривая) в полярных координатах:
Кардиоида
Уравнение кардиоиды (перев. греч. сердце и вид) в полярных координатах:
Астроида
Уравнение астроиды (перев. греч. звезда и вид) :
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3
Строфоида
Уравнение строфоиды (перев. греч. крученая лента, поворот) :
y 2 (a — x)= x 2 (a + x)
Уравнение строфоиды в полярной системе координат:
Декартов лист
Уравнение декартова листа :
x 2 + y 2 — 3axy = 0
Уравнение декартова листа в полярной системе координат:
Циссоида
Уравнение циссоиды Диоклеса (перев. греч. плющ, вид) в прямоугольной системе координат :
Параметрическое уравнение циссоиды:
x = a t 2 /(1 + t 2 )
x = a t 3 /(1 + t 2 )
Уравнение циссоиды в полярной системе координат:
Циклоида
Параметрическое уравнение циклоиды :
Кохлеоида
Уравнение кохлеоиды (трансцендентная кривая) в полярных координатах:
Лемниската Бернулли
Уравнение лемниската Бернулли в прямоугольных координатах:
(x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 — y 2 )
Уравнение лемниската Бернулли в полярных координатах:
Архимедова спираль рассмотрена здесь подробно.
Применяя математические уравнения замечательных кривых, можно получить вот такие геометрические линии.
Уравнение кардиоиды в полярных координатах
Кардиоида – плоская кривая, описываемая произвольной точкой М окружности радиуса r, катящейся без проскальзывания извне по другой, неподвижной, окружности того же радиуса – см. рис.
Кардиоида – частный случай эпициклоиды, одна из конхоид и улиток Паскаля.
Если над параболой выполнить преобразование инверсии с центром в фокусе параболы, то парабола перейдет в кардиоиду.
В прямоугольной декартовой системе координат кардиоиду можно задать уравнением
(x 2 + y 2 – 2rx) 2 = 4r 2 (x 2 + y 2 ),
где r – радиус окружности.
Как видно из уравнения, она является алгебраической кривой четвертого порядка и симметрична относительно оси абсцисс. Точка – точка возврата первого рода. Длина l дуги кардиоиды от точки K до точки М может быть вычислена по формуле
l = 16rsin 2 (φ/2),
a площадь, ограниченная кардиоидой, равна 6πr 2 .
Уравнение кардиоиды в полярных координатах (с полюсом на неподвижной окружности) имеет вид:
ρ = 2r(1 + cosφ).
Параметрические уравнения кардиоиды могут выглядеть так:
x = 2rcost – rcos2t; y = 2rsint – rsin2t.
Название кардиоиды происходит от греческих слов χαρδια – сердце, и ειδος – вид, вместе – сердцевидная.
Уравнение кардиоиды в полярных координатах
Улитка Паскаля
Улитка Паскаля была открыта французским математиком Этьеном Паскалем (отцом знаменитого ученого Блеза Паскаля). Улитку Паскаля можно построить, если взять точку не самой катящейся окружности, а внутри неё, сместив в сторону от центра.
Улитка Паскаля применяется для вычерчивания профиля эксцентрика, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические колебания. Такие механизмы отличаются плавностью возвратно-поступательного движения стержня (например, в механике автомашин).
Уравнение Улитки Паскаля в полярных координатах
R=1+2* COS(φ)
http://school-collection.edu.ru/dlrstore-wrapper/5c484b99-e427-4a7b-89a6-60e64f6c7426/Kardioida.html
http://www.sites.google.com/site/mircurves/kardioida