Уравнение касательной 11 класс никольский конспект урока

конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе «Уравнение касательной к графику функции»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Скачать:

Вложение	Размер
variant_11.xls	48.5 КБ
variant_22.xls	34.5 КБ
konspekt.doc	86.5 КБ
prezentatsiya1.ppt	1.8 МБ

Предварительный просмотр:

МБОУ «Гимназия №20»

по алгебре и началам анализа на тему :

«Уравнение касательной к графику функции»

Проведен в 11-Б классе

Учитель: Деева И.В.

Тема: Уравнение касательной к графику функции.

Тип урока : Обобщение и систематизация знаний.

— познакомить учащихся с применением уравнения касательной к решению задач различных типов;

— продолжить формировать умение применять формулы дифференцирования при составлении уравнения касательной к графику функции, а также использовать дополнительные условия, геометрический смысл касательной;

— развивать самостоятельность, умение рефлексивной оценки своей деятельности;

-реализовывать информационную компетенцию учащихся в ходе работы с тестом за персональным компьютером;

— воспитывать аккуратность, внимательность, интерес к предмету.

Оборудование : мультимедийная презентация, проектор, карточки, персональные компьютеры для выполнения тестовой работы.

2.Сообщение темы и целей

3.Актуализация знаний учащихся

1)Фронтальная работа с классом

2) Дифференцированная работа 1.

1группа — выполняет тест на ПК

2 группа — работают фронтально над задачей №2. 3) Дифференцированная работа 2.

2 группа — выполняет тест на ПК

1 группа – работают фронтально над задачей №3

5. Домашнее задание

ΙΙ Сообщение темы и целей ( Слайд 1 )

1.Сегодня на уроке мы рассмотрим применение уравнения касательной к графику функции к решению задач; будем учиться составлять уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а, уравнение касательной к графику функции y = f(x) такое, чтобы касательная была параллельна заданной прямой, определять значение производной, используя график функции у = f(x) и касательной к нему. Все эти вопросы встречаются на ЕГЭ, поэтому необходимо ваше внимание. Вы сможете оценить степень усвоения материала по данной теме, решая задания математического диктанта и выполняя тест на ПК, а также скорректировать свои знания, работая на уроке и выполнив домашнее задание.

Конспект урока по алгебре «Уравнение касательной» для 11 класса

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока алгебры по теме «Уравнение касательной»

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: технология развивающего обучения, проблемный метод, контроля и взаимоконтроля, наглядный, частично-поисковый.

Осознание понятия касательной к графику функции в точке, геометрического смысла производной.

Вывод уравнения касательной; составление алгоритма уравнения касательной к графику функции у = f (x).

Рассмотрение трех типов задач на нахождение уравнения касательной к графику функции.

Отработка навыка в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.

Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи.

Выработка коммуникативных навыков в работе, развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Отработать умения и навыки по применению производной;

Расширять кругозор; развивать математическую речь, внимание, скорость, память, логическое мышление.

Развивать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования.

Развивать навыки исследовательской работы.

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал.

1. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока.

2. Мотивация учащихся

Пусть слова, которые вы видите на экране, станут девизом сегодняшнего урока.

Плохих идей не бывает

Чтобы настроиться на урок повторим ранее изученный материал. Внимание на экран.

3. Актуализация знаний.

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?

Давайте рассмотрим конкретные примеры:

1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = одну общую точку (1; 1), однако не является касательной к параболе.

Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

2) Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x, хотя имеет с ним единственную общую точку (π; 1). С другой стороны, прямая y = — 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.

Попробуйте сами сформулировать цель урока.

На данном уроке, мы с вами должны понять, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной и рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

4. Изучение нового материала

Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1?

Сделайте вывод, что же такое касательная?

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости, нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Начнём с углового коэффициента

Примем за определение: касательная — это предельное положение секущей.

Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при ∆х → 0.

Существование производной функции в точке x₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x₀, f(x₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f ‘(x₀) . В этом состоит геометрический смысл производной.

Определение касательной (записать в тетради)

Касательная к графику дифференцируемой в точке х₀ функции у = f(х) — это прямая, проходящая через точку (x₀, f(x₀)) и имеющая угловой коэффициент f ‘(х₀).
Проведем касательные к графику функции y = f(x) в точках х₁, х₂, х₃, и отметим углы, которые они образуют с положительным направлением оси Ох.

Мы видим, что угол α₁ острый, угол α₃ тупой, а угол α₂ равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого — отрицателен. Поэтому

( f ( x ))’ = ( +3 — 2 x — 2) = 3 + 6 x — 2.

Поскольку касательная параллельна y = -2x + 1, получим уравнение:

Подставим и в уравнение функции и найдем и .

Подставляем найденные координаты в уравнение касательной и вычислив, получим:

Ответ: y = -2x; y = -2x +10.

Пример 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не принадлежит графику функции, так как f(– 3) ≠ 6

х₀ – абсцисса точки касания. f (х₀) = – х₀ 2 – 4 х₀ + 2.
Производная данной функции существует для любого х из R . Найдем ее:

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

Если х₀ = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если х₀ = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Ответ: y = 4x + 18; y = 6

6. Физкультминутка. Упражнение “Роняем руки” расслабляет мышцы всего корпуса. Дети поднимают руки в стороны и слегка наклоняются вперёд. По команде учителя снимают напряжение в спине, шее и плечах. Корпус, голова и руки падают вниз, колени слегка подгибаются. Затем дети выпрямляются, последовательно разгибаясь в тазобедренном, поясничном и плечевом поясе, и принимают исходное положение. Упражнение повторить несколько раз.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой на уроке.

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.

Вариант 1 Вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

Ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

8. Подведение итогов урока.

— что называется касательной к графику функции в точке?
— в чём заключается геометрический смысл производной?
— сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке.

9. Домашнее задание. П.5.2; № 5.21; №5.35; Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 — 10

10. Рефлексия деятельности на уроке.

Выберете результат, соответствующий вашему настроению и состоянию после проведенного урока. Спасибо за урок.

Применение производной. Уравнение касательной

Разделы: Математика

• закрепить и расширить знания по теме «Применение производной. Уравнение касательной»;
• систематизировать основные типы задач, использующие свойства касательных;
• освоить новое понятие «нормаль», научиться находить нормаль в предложенных задачах;

• формировать умение анализировать условие, выбирать соответствующий способ действия, контролировать и оценивать его выполнение, обобщать;
• развивать грамотную монологическую математическую речь, приобщать к исследовательской культуре (выдвижение гипотезы, умение ставить вопросы, обсуждение полученных результатов и применение их к новым ситуациям);
• вырабатывать умение работать с разными источниками информации;

• формировать наблюдательность, умение слушать и анализировать ответы одноклассников;
• правильно организовывать свою познавательную деятельность;
• приучать к целеполаганию и рефлексии.

УМК: «Алгебра и начала анализа, 11» С.М.Никольский и др.

Тип урока: Урок формирования умений и навыков

Характеристика класса: Класс с углубленным изучением математики или с соответствующим профилем, со сформированным навыком работы в группах, владеющий компьютером и Интернетом.

Этапы урока и их содержаниеВремя
(мин.)ДеятельностьучителяобучающиесяI. Организационный этап

Взаимные приветствия учителя и учащихся; фиксация отсутствующих; проверка внешнего состояния классного помещения; проверка подготовленности учащихся к уроку; организация внимания и внутренней готовности.1–21. Проверяет готовность кабинета, оборудования и класса к уроку.

2. Приветствует учащихся.

3. Мотивирует на успешную учебную деятельность.

4. Представляет ассистентов (подготовленная группа ребят 4–5 человек).1. Проверяют наличие «всего необходимого» к уроку.

2. Записывают: число, тему урока.II. Постановка цели

Вступительное слово учителя, в котором он подчеркивает значение материала изучаемой темы (РОЛЬ И МЕСТО КАСАТЕЛЬНОЙ В ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИИ);

совместная постановка цели;

обсуждение хода урока.4–5Настраивает учеников сформулировать цель урока:

• повторить Теорему о существовании касательной в точке.
• научиться решать задачи, встречающиеся в банке данных ЕГЭ
• заложить теоретическую и практическую опору для дальнейшего изучения темы

Стимулирует обучающихся к познавательной активности.

Помогает ученикам выражать свои мысли и мнения.Обсуждая ход урока, формулируют цель урока.III. Проверка домашнего задания

Возможность учителя за короткий промежуток времени установить уровень качества знаний большинства учащихся по данной теме и в ходе проверки домашнего задания актуализировать, скорректировать опорные понятия и ликвидировать обнаруженные недочёты.9–10Учитель предлагает обсудить материал, изученный на предыдущем уроке и включенный в домашнее задание.

1 слайд «Теорема о существовании касательной»Фронтальная работа с учителем.

Повторяют необходимые условия существования касательной к графику в точке.Домашнее задание:

1.«Алгебра и начала анализа,11» С.М.Никольский

П.5.2 Уравнение касательной;

2.№№ 5.19-5.29 преобразованные в 4 таблицы (Вариант. А, Б, В, Г) с добавлением ряда столбцов-вопросов (ПРИЛОЖЕНИЕ 1), причем «отсутствующие» задания будут решены и проверены в классе;

Тема урок: Уравнение касательной к графику функции. Тарасов В.А2–3слайд «Алгоритм написания уравнения касательной»

4 слайд «Угловой коэффициент»Восстанавливают алгоритм нахождения уравнения касательной.

Сверяют найденные угловые коэффициенты в заданиях домашней работы

(4 варианта, соответственно , 4 ассистента работают с группами, обсуждают работу и сверяют ответы, отвечают на вопросы)

Приложение 2Роль учителя, в ходе работы обучающихся с таблицами:

• активизировать их знания о взаимном расположении прямых на плоскости;
• мотивировать познавательную самостоятельную работу;
• формировать коммуникативно-речевые действия по передачи информации.

Заполняют в табличках два пустых столбца.

«уравнение прямой параллельной касательной, проходящей через точку (0,0)»

«уравнение прямой перпендикулярной касательной и содержащей точку касания (1-2 уравнения на выбор)»IV. Выполнение упражнений

актуализация знаний и практических и умственных умений;

• повторение сформированных умений и навыков, являющихся опорой;

• проведение проверочных упражнений;4–5Учитель предлагает работу с учебником «Алгебра и начала анализа» С.М.Никольский и др.

Стр.115-117 Пример 2 и Пример 3
и ставит учебную задачу: определить основные типы задач «на касательную»

Учитель приглашает к доске 3 ученика

(М.К.Потапов, А.В. Шевкин «Алгебра и начала анализ» Дидактический материалы 11 класс.

Обязательно указать на необходимый шаг проверки принадлежности точки графику заданной функции!Работают индивидуально с текстовой информацией.

Обучающиеся самостоятельно делают вывод о трех типах задач.

Комментируют слайд 5

Вырабатывают алгоритм решения традиционных задач.

Работают параллельно с 3-й доской.

Приобретают навык оформления решения.

Приложение 3вариативных:

• знакомство с новыми умениями;
• упражнения на их освоение;
• упражнения на их закрепление;
• тренировочные упражнения по образцу, алгоритму, инструкции;
• упражнения на перенос в сходную ситуацию;

4–5Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
Слайд 9

(или оn-лайн работа СD-приложения)

Предложенное задание из сборника «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011» Учебно-тренировочные тесты. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко.

Приложение 4«Мозговой штурм»

Как решить?
Что можно применить?

СОБИРАТЕЛИ ИДЕЙ работают на доскетворческих:

• упражнения творческого характера;

4–6Дает определение нормали

Слайд10
Слайд 11Выводят уравнение нормалиV. Контроль сформированности умений и навыков

Проверка учителем глубины понимания учащимися учебного материала, внутренних закономерностей и связей сущности понятий.8–9Самостоятельная работа

Приложение 5Выполняют работу на листах с печатной основой.VI. Домашнее задание

Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению; предупреждение о возможных затруднениях и способах их ликвидации.

Проверка учителя понимания учащимися содержания работы и способов ее выполнения.1–2

Тест для курсантов

Логин kursant kursant19 kursant49 kursant30 kursant56

Пароль 8877012 5272014 92371993 2733728 3548756

Приложение 6Записывают сроки выполнения работы, интернет ссылки.VII. Подведение итогов урока

Проанализировать, дать оценку успешности достижения цели и наметить перспективу на будущее.

Стимуляция высказывания личного мнения об уроке и способах работы на нем

Осознание учениками значимости полученных результатов и готовность использовать их для достижения учебных целей

Использование алгоритма оценки работы класса, учителя и отдельных учеников.3Помогает учащимся проанализировать достижение цели урока.

Аргументирует выставленные отметки, замечания по уроку, предложения о возможных изменениях на последующих уроках.Самооценка и оценка работы класса и отдельных учащихся

(Учащимся предлагается дописать предложения)

источники:

http://infourok.ru/konspekt-uroka-po-algebre-uravnenie-kasatelnoy-dlya-klassa-3818570.html

http://urok.1sept.ru/articles/613338