Уравнение касательной 11 класс никольский презентация

Уравнение касательной к графику функции. 11 класс Математический профиль УМК «Алгебра и начала анализа» С.М. Никольский и др. Учитель Злобина Э.В. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемНаталия Сыкчина

Презентация на тему: » Уравнение касательной к графику функции. 11 класс Математический профиль УМК «Алгебра и начала анализа» С.М. Никольский и др. Учитель Злобина Э.В.» — Транскрипт:

1 Уравнение касательной к графику функции. 11 класс Математический профиль УМК «Алгебра и начала анализа» С.М. Никольский и др. Учитель Злобина Э.В.

2 Пусть функция у= f(х) непрерывна на интервале (а;в) и имеет в точке х 0 (а;в)производную.Тогда график этой функции имеет в точке касательную, уравнение которой,где Или где

3 Уравнение касательной y=f(x 0 )+f / (x 0 ) (x-x 0 ) f(x 0 ) – значение функции в заданной точке f / (x 0 ) – значение производной функции в x 0 x 0 – абцисса точки, в которой проведена касательная

4 Алгоритм написания уравнения касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х 0 1. Найти f (x) 2. Подставить полученные числа в уравнение касательной у= f(x 0 ) + f (x 0 )(х — x 0 ) и упростить 3. Найти f(x 0 ) 4. Найти f (x 0 )

5 Алгоритм написания уравнения касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х 0 1. Найти f(x 0 ); 2. Найти f (x); 3. Найти f (x 0 ); 4. Подставить полученные числа в уравнение касательной у= f(x 0 ) + f (x 0 )(х- x 0 ) и упростить

6 Значение производной функции y= f(x) в точке касания Х 0 равно угловому коэффициенту касательной к графику ф-ии y=f(x) в т Х 0. — Геометрический смысл производной

7 Типы задач. 1.Задачи на касательную, заданную точкой касания. 2.Задачи на касательную, заданную точкой не принадлежащей графику функции 3.Задачи на касательную, заданную её угловым коэффициентом. А

10 Касательная к кривой у=15 Х образует с осью абсцисс угол 60 градусов. Найдите абсциссу точки касания. В-8-3

11 Готовимся к ЕГЭ

12 Уравнение нормали. Нормалью к графику функции в т.А называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной. X Y условие перпендикулярности двух прямых A

13 Решить самостоятельно. Составить уравнение нормали к кривой в точке (2; 8). Ответ.

14 Задание на дом. Тест для курсантов Уравнение Касательной Логин Пароль kursant kursant kursant kursant kursant

открытый урок алгебры в 11 классе. Касательная. Уравнение касательной
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

урок алгебры в 11 классе по теме: «Касательная. Уравнение касательной»

1. Тип урока: Урок изучения нового материала

· Уточнить понятие «касательной».

· Вывести уравнение касательной.

· Составить алгоритм «составления уравнения касательной к графику функции

· Начать отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.

· Отработать умения и навыки по применению производной;

· Расширять кругозор; развивать математическую речь, внимание, скорость, память, логическое мышление.

· Развивать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования.

· Развивать навыки исследовательской работы.

4. Краткое описание хода урока:

· Сообщение темы урока

· Повторение изученного материала

· Объяснение нового материала.

· Создание алгоритма «составления уравнения касательной».

· Закрепление. Отработка умений и навыков в составлении уравнения касательной.

· Самостоятельная работа с самопроверкой

· Подведение итогов урока.

5. Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют /приобретут/ закрепят/др. ученики в ходе урока: На уроке учащиеся, с помощью учителя «уточняют» понятие касательной, выводят уравнение касательной, создают алгоритм написания уравнения касательной, учатся решать задания ЕГЭ В-8.

Скачать:

Вложение	Размер
konspekt.docx	94.4 КБ
prezentaciya.ppt	2.58 МБ

Предварительный просмотр:

Подробный конспект урока.

«Касательная. Уравнение касательной»

Алгебра и начала анализа

Автор/ы урока (ФИО, должность)

Горбунова С.В. учитель математики

ГКОУ Каменская школа – интернат № 2

Федеральный округ России (или страна СНГ для участников ближнего зарубежья)

Г. Каменск –Шахтинский

Тип урока (мероприятия, занятия)

Изучение нового материала

Цели урока (мероприятия, занятия)

(образовательные, развивающие, воспитательные)

Уточнить понятие «касательной».
Вывести уравнение касательной.
Составить алгоритм «составления уравнения касательной к графику функции

Начать отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.

Задачи урока (мероприятия, занятия)

Отработать умения и навыки по применению производной;
Расширять кругозор; развивать математическую речь, внимание, скорость, память, логическое мышление.
Развивать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования.
Развивать навыки исследовательской работы.

Используемые педагогические технологии, методы и приемы

Технология развивающего обучения, проблемный метод, контроля и взаимоконтроля, мозговой штурм.

Время реализации урока (мероприятия, занятия)

45 минут, школьный урок

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в ходе урока (мероприятия, занятия)

«Уточняют» понятие касательной, выводят уравнение касательной, создают алгоритм написания уравнения касательной, отрабатывают умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях, учатся решать задания ЕГЭ В-8.

Необходимое оборудование и материалы

Компьютер, презентация, проектор, интерактивная (или маркерная) доска

Дидактическое обеспечение урока (мероприятия, занятия)

Карточки с памяткой, карточки для рефлексии.

Список учебной и дополнительной литературы

С. М. Никольский и др. «Алгебра и начала анализа», Ш. А. Алимов и др. «Алгебра и начала анализа», Д. А. Мальцев и др. «МАТЕМАТИКА Всё для ЕГЭ 2012»

Ход и содержание урока (мероприятия, занятия),

деятельность учителя и учеников.

Мотивация учащихся

Тема сегодняшнего урока: «Уравнение касательной к графику функции». Откройте тетради, запишите число и тему урока. (Слайд 1)

Пусть слова, которые вы видите на экране, станут девизом сегодняшнего урока. (слайд 2)

Плохих идей не бывает
Мыслите творчески
Рискуйте
Не критикуйте

Чтобы настроиться на урок повторим ранее изученный материал. Внимание на экран. Решение запишите в тетрадь.

2. Повторение изученного материала

(слайд 3) .Цель: проверить знание основных правил дифференцирования.

Найти производную функции:

у =2х 10
у=4 √х
у=7х+4
у = tg x + 5х
у = х 3 sin x
у = х23-4х

Поменяйтесь тетрадью с соседом, оцените работу. Тест проверяют сами учащимися (слайд3 ).

У кого не одной ошибки? У кого одна?

Цель: Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока. (Слайд 4)

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Давайте рассмотрим конкретные примеры:

Примеры. (слайд 5)
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x 2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе.

Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x , хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = — 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

4. Постановка цели и задачи перед детьми на уроке:

Попробуйте сами сформулировать цель урока.

Выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, вывести уравнение касательной. Применять формулу при решении задач

5. Изучение нового материала

Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1? (слайд 7)

Сделайте вывод, что же такое касательная?

Примем за определение: касательная это предельное положение секущей.

Раз касательная это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

Вспомнить общий вид уравнения прямой.( у= кх+b)

Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси оХ

Т. Е. я могу записать tg α = yˈ(а). (слайд 8)

Давайте проиллюстрируем это на чертеже. (слайд 9)

Пусть дана функция y = f (x) и точка М принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х=а, у= f (а), т.е. М (а, f (а) ) и пусть существует производная f ‘(а), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную. Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того что там записано, можно ли найти к? ( да, k = f ‘(а).)

Как теперь найти b? Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka +b , отсюда b = f(a) – ka, т. к. к = tg α= yˈ(x), то b = f(a) – f ‘(а)а

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f ‘(а)x + f(a) – f ‘(а)a, вынося за скобку общий множитель, получаем:

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом: (слайд 10)

(а, f (а) ) – координаты точки касания
f ‘(а) = tg α = к тангенс угла наклона или угловой коэффициент
(х,у) – координаты любой точки касательной

И так мы вывели уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента в данном уравнении, давайте попробуем теперь вывести алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x)

6. Составление алгоритма

(слайд 11) Предлагаю составить алгоритм самим учащимся:

Обозначим абсциссу точки касания буквой а.
Вычислим f(a).
Найдем f ‘( х) и вычислим f ‘( а).
Подставим найденные значения числа а, f( а), f ‘( а) в уравнение касательной.
y = f(a) + f ‘(а) · (x-a).

(Раздаю учащимся напечатанный заранее алгоритм как памятку для последующей работы.)

7. Историческая справка

Внимание на экран. Расшифруйте слово

Ответ: ФЛЮКСИЯ (слайд 13).

Какова история происхождения этого названия? (слайд 14,15)

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой .

Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта.

1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² — 3х + 5 в точке с абсциссой а = -1.

Составим уравнение касательной (по алгоритму). Вызвать сильного ученика.

а = -1;
f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
f ‘(x) = 2х – 3,
f ‘(a) = f ‘(-1) = -2 – 3 = -5;
y = 9 – 5 · (x + 1),

Задания ЕГЭ 2011 года В-8

1.Функция у = f(x) определена на промежутке (-3; 4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = 1. Вычислите значение производной f'(x) в точке а= 1.

Решение: для решения необходимо вспомнить, что если известны координаты каких-либо двух точек А и В, лежащих на данной прямой, то её угловой коэффициент можно вычислить по формуле: к = у1-у2х1-х2 , где (x 1 ;у 1 ), (х 2 ; у 2 )— координаты точек А, В соответственно. По графику видно, что эта касательная проходит через точки с координатами (1; -2) и (3; -1),

2. Функция у = f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = -2. Вычислите значение производной f'(x) в точке а = -2.

Решение : график проходит через точки (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 — 10

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.
вариант 1 вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

10. Подведение итогов.

Что называется касательной к графику функции в точке?
В чём заключается геометрический смысл производной?
Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

Рефлексия деятельности на уроке (мероприятии, занятии)

Выберете смайлик, соответствующий вашему настроению и состоянию после проведенного урока. Спасибо за урок.

Дополнительная необходимая информация

Ссылки на использованные интернет-ресурсы

В помощь учителю

Обоснование, почему данную тему оптимально изучать с использованием медиа-, мультимедиа, каким образом осуществить

Данная тема очень объемна, за счет использования мультимедиа высвобождается достаточное количество времени для отработки практических навыков, хорошо работает принцип наглядности.

Советы по логическому переходу от данного урока к последующим

На последующих уроках желательно продолжить отработку навыков составления уравнения касательной, желательно уделить время для решения тренировочных заданий В -8 из сборников по ЕГЭ.

Презентация и конспект по алгебре на тему «Вычисления производных. Уравнение касательной к графику функции.» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ 3 ур през.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Уравнение касательной к графику функции

Верно ли определение? Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку.

Пусть дана и две прямые и , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1).

На данном уроке: выясним, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной; рассмотрим основные задачи на составление уравнения касательной. Для этого: вспомним общий вид уравнения прямой условия параллельности прямых определение производной правила дифференцирования Формулы дифференцирования

Определение производной Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции и составим отношение .Если существует предел отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают .

Правила дифференцирования Производная суммы равна сумме производных. Постоянный множитель можно вынести за знак производной. Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции. Производная частного

Основные формулы дифференцирования С

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны Параллельны ли прямые:

Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Геометрический смысл производной Если к графику функции y = f (x) в точке можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной

Геометрический смысл производной Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Т.е. Причем, если : .

Вывод уравнения касательной Пусть прямая задана уравнением: уравнение касательной к графику функции

Составить уравнение касательной: к графику функции в точке

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x). Обозначим абсциссу точки касания буквой x=a. Вычислим . Найдем и . Подставим найденные числа a , в формулу

Составить уравнение касательной к графику функции в точке . Ответ:

К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . . , , , , .

Ответьте на вопросы: Что называется касательной к графику функции в точке? В чем заключается геометрический смысл производной? Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

Выбранный для просмотра документ 3 урок.docx

Тема урока: Вычисления производных. Уравнение касательной к графику функции.

Тип урока: повторение и обобщение материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.

Развивать логическое мышление, математическую речь.

Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер.

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“ Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример. (Слайд № 3)

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

Сформулировать определение производной. (Слайд № 5)

Заполнить таблицу произвольных элементарных функций. (Слайд № 6)

Вспомнить правила дифференцирования. (Слайд № 7)

Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно) (Слайд №8)

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у , то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)

Составим уравнение касательной:

к параболе в точке (Слайд № 13)

к графику функции в точке

Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)

Обозначим абсциссу точки касания буквой a.

Вычислим .

Найдем и .

Подставим найденные числа , в формулу

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№ 1 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

3) ;

4) Подставим найденные числа , , в формулу.

, т.е.

Ответ:

№ 2 К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . (Слайд № 17)

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .

Из уравнения ,т.е. , находим, что и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.