Уравнение касательной через производную презентация

Уравнение касательной к графику функции Алгебра и начала анализа 11 класс х у О ГОУ школа 564, Николаева С.М. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемАлександра Лисина

Похожие презентации

Презентация 11 класса по предмету «Математика» на тему: «Уравнение касательной к графику функции Алгебра и начала анализа 11 класс х у О ГОУ школа 564, Николаева С.М.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 Уравнение касательной к графику функции Алгебра и начала анализа 11 класс х у О ГОУ школа 564, Николаева С.М.

2 Выполните задания: 1 Найдите b, если известно, что прямая у=1,5х+b проходит через точку А(4; 2). Решение. 2 = 1,5·4 + b b= 8. А у=1,5х 8

3 Решение. 1) k=3 у=3х+b 2) 1 = 3·2 + b b= 5 3) у=3х 5 2 Составьте уравнение прямой, если известно, что она проходит через точку М(2; 1) и параллельна прямой у=3х 1. Выполните задания: М у=3х 1 у=3х 5

4 Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. х у О х0х0 А М М1М1 М2М2 М3М3 а Прямая а – касательная к графику функции у=f(x). у=f(x) k = f ´(x 0 ) = tg у = kх + bу = kх + b

5 3 Составьте уравнение касательной к графику функции у = х 3 в точке с абсциссой х 0 = 1. у=х3у=х3 у=3х 2 у = kх + bу = kх + b k = f ´(x 0 ) = tg

6 Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х 0 Алгоритм Вычислить f (х 0 ). Найти f (х). Вычислить f (х 0 ). Подставить х 0 и вычисленные значения f (х 0 ) и f (х 0 ) в формулу у = f (х 0 ) + f (х 0 )(х х 0 ). f (x) = х 3х 2, х 0 =2 1. f (2) = 2 3·2 2 = f (х) = 1 6х. 3. f (2) = 1 6·2 = у = f (х 0 ) + f (х 0 )(х х 0 ) у = 10 + ( 11)(х 2) у = 10 11х + 22 у = 11х + 12

7 4 Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 = 2. у=0,25х+0,75

8 5 Составьте уравнение касательной к графику функции f (x) = sin x в точке с абсциссой х 0 =. у= х+ f (x) = sin x

9 6 Составьте уравнение касательной к графику функции у = 2 0,5x х 2 в точке пересечения его с осью ординат. у=2 0,5x х 2 у= 0,5х+2

10 7 Составьте уравнение касательной к графику функции в точке графика с ординатой 2. у=0,25х+1

11 8 Напишите уравнения всех касательных к графику функции у= х 2 4x+2, проходящих через точку М( 3; 6). М у= х 2 4x+2 у=6 у=4х+18

12 9 Выясните, является ли прямая у = x+1 касательной к графику функции у = е х. у = е х у=х+1

Презентация и конспект по алгебре на тему «Вычисления производных. Уравнение касательной к графику функции.» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ 3 ур през.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Уравнение касательной к графику функции

Верно ли определение? Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку.

Пусть дана и две прямые и , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1).

На данном уроке: выясним, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной; рассмотрим основные задачи на составление уравнения касательной. Для этого: вспомним общий вид уравнения прямой условия параллельности прямых определение производной правила дифференцирования Формулы дифференцирования

Определение производной Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции и составим отношение .Если существует предел отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают .

Правила дифференцирования Производная суммы равна сумме производных. Постоянный множитель можно вынести за знак производной. Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции. Производная частного

Основные формулы дифференцирования С

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны Параллельны ли прямые:

Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Геометрический смысл производной Если к графику функции y = f (x) в точке можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной

Геометрический смысл производной Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Т.е. Причем, если : .

Вывод уравнения касательной Пусть прямая задана уравнением: уравнение касательной к графику функции

Составить уравнение касательной: к графику функции в точке

Составить уравнение касательной: к графику функции в точке

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x). Обозначим абсциссу точки касания буквой x=a. Вычислим . Найдем и . Подставим найденные числа a , в формулу

Составить уравнение касательной к графику функции в точке . Ответ:

К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . . , , , , .

Ответьте на вопросы: Что называется касательной к графику функции в точке? В чем заключается геометрический смысл производной? Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

Выбранный для просмотра документ 3 урок.docx

Тема урока: Вычисления производных. Уравнение касательной к графику функции.

Тип урока: повторение и обобщение материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.

Развивать логическое мышление, математическую речь.

Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер.

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“ Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример. (Слайд № 3)

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

Сформулировать определение производной. (Слайд № 5)

Заполнить таблицу произвольных элементарных функций. (Слайд № 6)

Вспомнить правила дифференцирования. (Слайд № 7)

Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно) (Слайд №8)

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у , то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

.

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)

Составим уравнение касательной:

к параболе в точке (Слайд № 13)

к графику функции в точке

Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)

Обозначим абсциссу точки касания буквой a.

Вычислим .

Найдем и .

Подставим найденные числа , в формулу

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№ 1 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

1)

2)

3) ;

4) Подставим найденные числа , , в формулу.

, т.е.

Ответ:

№ 2 К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . (Слайд № 17)

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .

Из уравнения ,т.е. , находим, что и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

Действуем по алгоритму.

1) ,

2) ,

3)

4) Подставив значения , , , получим , т.е. .

Подставив значения , , , получим , т.е.

Ответ: , .

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)

2. Решение задач из учебника:

VI. Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

Что называется касательной к графику функции в точке?

В чем заключается геометрический смысл производной?

Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

Презентация «Уравнение касательной к графику функции» 10 класс

Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

Для скачивания поделитесь материалом в соцсетях

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

Подписи к слайдам:

МБОУ Каменно-Балковская СОШ

учитель: Пономарева Ю.В.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Верно ли определение?Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку.Пусть дана и две прямые и , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1).На данном уроке:

• выясним, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной;
• рассмотрим основные задачи на составление уравнения касательной.

• вспомним общий вид уравнения прямой
• условия параллельности прямых
• определение производной
• правила дифференцирования
• Формулы дифференцирования

Определение производной Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции и составим отношение .Если существует предел отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают . Правила дифференцирования

• Производная суммы равна сумме производных.
• Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
• Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.
• Производная частного

Основные формулы дифференцирования

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны Параллельны ли прямые: Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной. Геометрический смысл производной Если к графику функции y = f (x) в точке можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной Геометрический смысл производной Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Т.е.

Вывод уравнения касательной

Пусть прямая задана уравнением:

уравнение касательной к

Составить уравнение касательной:

• к графику функции в точке

Составить уравнение касательной:

• к графику функции в точке

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x).

• Обозначим абсциссу точки касания буквой x=a.
• Вычислим .
• Найдем и .
• Подставим найденные числа a , в формулу

Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой .

Самостоятельная работа Номера из учебника

• № 29.3 (а,в)
• № 29.12 (б,г)
• № 29.18
• № 29.23 (а)

Ответьте на вопросы:

• Что называется касательной к графику функции в точке?
• В чем заключается геометрический смысл производной?
• Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

Домашняя работа № 29.3 (б,г) № 29.12 (а,в) № 29.19 № 29.23 (б) Литература

• Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
• Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
• Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010
• ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010