Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:
Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 0 , y0 = 1 , тогда z0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’x = 3•x 2
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’y = 5
В точке М0(0,1) значения частных производных:
f’x(0;1) = 0
f’y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0
Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
В точке М0(1,0,1) значения частных производных:
f’x(1;0;1) = -3 /16
f’y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 1 = -3 /16(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /16•x+z- 19 /16 = 0
Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’y = 1/x + x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х0, y0) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x0,y0,z0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 1, y0 = 2, тогда z0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’x = 2•x+3•y 3
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’y = 9•x•y 2
В точке М0(1,2) значения частных производных:
f’x(1;2) = 26
f’y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0
Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение
Экстремум функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции двух переменных
ПЛАН
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Экстремум функции двух переменных.
Необходимые и достаточные условия существования
экстремума функции z = f(х, у).
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности S в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности S через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной равнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:
Вектор называется вектором нормали к поверхности S в точке М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.
Нормалью к поверхности S в точке М0 называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N. Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0), где z0 = f(x0,y0), имеют вид:
(2)
Пусть поверхность задана уравнением
(3)
в неявном виде. Будем считать, что и в некоторой окрестности точки функция имеет непрерывные частные производные, одновременно не равные нулю. Тогда
(4)
Условимся писать вместо .
Уравнение касательной плоскости к в точке запишется так:
, (5)
а уравнение нормали к в точке — так:
. (6)
Пример 1. Уравнение
(7)
определяет круговой конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью (рис. 1).
Левая часть уравнения (7) имеет частные производные
,
одновременно не равные нулю, если точка . В любой такой точке, которую обозначим через , касательная плоскость определяется уравнением
.
Нормаль к в точке , т. е. прямая, проходящая через эту точку, перепендикулярно к касательной плоскости, очевидно, имеет уравнение
.
Пример 2. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности
в точке
Решение: Имеем
Тогда, согласно (1), уравнение касательной плоскости к данной поверхности в указанной точке будет иметь вид: z — 6 = — 4(x + 1) + 2(y — 2), то есть
4x — 2y + z + 2 = 0, а уравнение нормали, согласно (2):
Пример 3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к конусу
Решение. Имеем
Уравнение касательной плоскости запишем в виде
или .
Уравнение нормали имеет вид
Экстремум функции двух переменных
Пусть функция z = f(х, у) определена в некоторой области D и точка М0(х0, у0) ÎD (внутренняя точка области).
Определение. Точка М0(х0, у0) называется точкой максимума(минимума) функции z = f(х, у), если в достаточно малой d-окрестности точки М0 для каждой точки М(х, у) отличной от точки М0(х0, у0), выполняется неравенство:
На рис.1 М0 – точка максимума, а
точка М1 – точка минимума функ-
ции z = f(х, у).
Значение функции в точке макси-
мума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции
называется её экстремумом.
Замечание. Согласно определению, точка экстремума функции является внутренней точкой области определения функции. Максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значения функции в точке М0(х0, у0) сравниваются с её значениями в точках достаточно близких к М0(х0, у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
Примеры решений задач: функции нескольких переменных
В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа для функций нескольких переменных:
Примеры: область определения ФНП
Задача 1. Найти область определения функции двух переменных $z=f(x,y)$. Изобразить ее на координатной плоскости и заштриховать.
Задача 2. Для данной функции найти область определения и изобразить ее на рисунке в системе координат.
Примеры: частные производные ФНП
Задача 3. Найти частные производные: $z=tg^3 (3x-4y)$
Задача 4. Найти частные производные второго порядка $z=\sqrt
Задача 5. Найти частные производные сложной функции:
$$ z=u^2 \cdot \ln v; \quad u=\frac
Задача 6. Проверить справедливость теоремы о смешанных производных второго порядка.
Задача 7. Найти полный дифференциал данной функции
Задача 8. Найти дифференциал второго порядка функции:
Задача 9. Для функции $z(x,y)$ двух переменных, неявно заданной уравнением $\sin(xz)+\cos(yz)=1$, найдите первый и второй дифференциалы в точке $x=y=1, z=0$.
Задача 10. Проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных $z(x,y)$ указанному дифференциальному уравнению.
Градиент, производная по направлению
Задача 11. Найти производную функции $f(x,y,z)$ в точке $M(x_0,y_0,z_0)$ по направлению вектора $\overline
Задача 13. Найдите градиент, производную по направлению $\overline
Задача 14. Найти производную функции $u$ в точке $M$ по направлению нормали к поверхности $S$, образующей острый угол с положительным направлением оси $Oz$.
Касательная плоскость и нормаль
Задача 15. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x^2+y^2-x+2y+4z-13=0$ в точке $M(2,1,2)$.
Задача 16. Для кривой $\overline
$$ \overline
Задача 17. Найти градиент, первый дифференциал, матрицу вторых производных, второй дифференциал функции $z=2xy-xy^4+5y^3-3$ в точке $A(2,-3)$. Составить уравнения касательной плоскости и соприкасающегося параболоида к графику данной функции.
Экстремумы функции нескольких переменных
Задача 18. Найти точки экстремума функции $z=x^2+xy+y^2+2x-y$.
Задача 19. Найти точки локального экстремума и экстремальные значения $z=x^2+y^2-xy+x+y$.
Задача 20. Исследовать на экстремум функцию $z=x^4+xy+\frac<1><2>y^2+5$.
Задача 21. Определите, при каких значениях параметра $a$ функция $z(x,y)=x^3+y^3+4xy-7x-7y+a(x-1)^2+a(y-1)^2$ в точке (1;1):
А) имеет максимум,
Б) имеет минимум,
В) не имеет экстремума.
Задача 22. Найдите (локальные) экстремумы функции трех переменных $f(x,y,z)=2x^2-xy+2xz-y+y^3+z^2$.
Приближенные вычисления
Задача 23. Вычислить приближенно значение функции $Z=Z(x,y)$ и данной точке с помощью дифференциала.
Задача 24. Дана функция $z=x^2+2xy+3y^2$ и две точки $А (2; 1)$ и $В (1,96; 1,04)$. Требуется:
1) вычислить точное значение функции в точке $В$;
2) вычислить приближённое значение функции в точке $В$, исходя из значения функции в точке $А$ и заменив приращение функции при переходе от точки $А$ к точке $B$ дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом.
Ряд Тэйлора
Задача 25. Разложите функцию $f(x,y)=x^2\ln y + y^2$ по формуле Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано) в окрестности точки $M(2;1)$ до членов второго порядка включительно. Выпишите первый и второй дифференциалы заданной функции.
Задача 26. Найти первые и вторые частные производные функции $F$ и записать формулу Тэйлора в указанной точке $x^0$.
Наибольшее и наименьшее значение в области
Задача 27. Найти наименьшее $m$ и наибольшее $M$ значения функции $z=f(x,y)=3-2x^2-xy-y^2$ в замкнутой области $D$, заданной системой неравенств $-1 \le x \le 1; 0\le y \le 2$. Сделать чертёж области $D$.
Задача 28. Экстремумы функций нескольких переменных. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=5x^2-3xy+y^2+4$ в области, ограниченной заданными линиями $x=0, y=0, x+y=2$.
Решение контрольной
Контрольное задание. Дана функция $f(x,y)=x^2+y^2-3xy$
1. Исследовать функцию $f$ на экстремум. Найти экстремальные значения функции.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f$ в заданной области $D$.
3. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности $z=f(x,y)$ в точке, где $x=x_0=1$, $y=y)0=3$.
4. Найти величину наибольшей скорости возрастания функции $f$ в точке $M_1(-1;1)$.
5. Вычислить производную функции $f$ в точке $M_1$ в направлении вектора $\overline
6. Найти угол между градиентами функции $f$ в точках $M_1$ и $M_2(2;2)$. Построить векторы и указать угол.
Помощь с решением заданий
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.
http://lektsii.org/16-81514.html
http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=mafnp