Уравнение касательной функции с двумя переменными

Дипломный проект – это исследование на научную тему

Рассмотрим график данной функции: и его сечения вертикальными плоскостями и . Как отмечалось выше, прямые, касательные к сечениям графика в этих плоскостях, наклонены, соответственно, к осям и под углами и , такими, что и .

Проведём плоскость через эти две взаимно перпендикулярные касательные. Эта плоскость будет касательной к поверхности графика . Найдём её уравнение.

где , и покажем, что плоскость (7.13) в пространстве , где расположен график, обладает нужными свойствами. Действительно, эта плоскость проходит через точку касания , что проверяется подстановкой координат этой точки в уравнение плоскости (7.13). При , то есть в сечении плоскости (7.13) вертикальной плоскостью , получаем

откуда тангенс угла наклона прямой, лежащей в пересечении плоскостей, с осью равен

Значит, плоскость (7.13) пересекается с вертикальной плоскостью в точности по касательной к сечению графика. Аналогично, плоскость пересекается с плоскостью (7.13) в точности по касательной этого вертикального сечения.

Уравнение (7.13) можно записать также в виде

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной плоскости к поверхности , называется нормалью к этой поверхности, проведённой в точке , или нормальной прямой .

очевидно, перпендикулярен к касательной плоскости (поскольку его координаты равны коэффициентам при и в уравнении касательной плоскости) и, следовательно, параллелен нормали, проведённой через точку касания, то уравнения нормали мы получим как канонические уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно известному вектору :

проходящих через точку . (Заметим, что эта поверхность — график функции — эллиптический параболоид.)

Частные производные от , вычисленные в точке , равны

Подставляя координаты точки касания и значения производных в уравнения касательной плоскости и нормали, получаем

Заметим, что касательная плоскость pасположена гоpизонтально , то есть задаётся уpавнением , если значения частных пpоизводных в точке pавняются 0:

Такие точки называются стационаpными точками функции .

Академик А. А. Марков вел непримиримую борьбу с реакционной политикой царского правительства. Так, в 1903 роду письменным заявлением Марков отказывается от всех царских орденов. В 1908 году Марков наотрез отказывается доносить о революционных настроениях студентов, как этого требовал циркуляр Министерства просвещения.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М₀.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 0 , y₀ = 1 , тогда z₀ = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_x = 3•x 2
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_y = 5
В точке М₀(0,1) значения частных производных:
f’_x(0;1) = 0
f’_y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М₀(1,0,1) значения частных производных:
f’_x(1;0;1) = -3 /₁₆
f’_y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 1 = -3 /₁₆(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /₁₆•x+z- 19 /₁₆ = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀ = –1, y₀ = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
f_x’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f_y’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_y = 1/x + x.
Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z₀, подставив заданные x₀ = –1 и y₀ = 2 в уравнение поверхности:

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х₀, y₀) и В(х₁,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x₀,y₀,z₀).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 1, y₀ = 2, тогда z₀ = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_x = 2•x+3•y 3
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_y = 9•x•y 2
В точке М₀(1,2) значения частных производных:
f’_x(1;2) = 26
f’_y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Экстремум функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции двух переменных

ПЛАН

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Экстремум функции двух переменных.

Необходимые и достаточные условия существования

экстремума функции z = f(х, у).

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности S в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности S через точку М₀.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной равнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

Вектор называется вектором нормали к поверхности S в точке М₀. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.

Нормалью к поверхности S в точке М₀ называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N. Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀), где z₀ = f(x₀,y₀), имеют вид:

(2)

Пусть поверхность задана уравнением

(3)

в неявном виде. Будем считать, что и в некоторой окрестности точки функция имеет непрерывные частные производные, одновременно не равные нулю. Тогда

(4)

Условимся писать вместо .

Уравнение касательной плоскости к в точке запишется так:

, (5)

а уравнение нормали к в точке — так:

. (6)

Пример 1. Уравнение

(7)

определяет круговой конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью (рис. 1).

Левая часть уравнения (7) имеет частные производные

,

одновременно не равные нулю, если точка . В любой такой точке, которую обозначим через , касательная плоскость определяется уравнением

.

Нормаль к в точке , т. е. прямая, проходящая через эту точку, перепендикулярно к касательной плоскости, очевидно, имеет уравнение

.

Пример 2. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности

в точке

Решение: Имеем

Тогда, согласно (1), уравнение касательной плоскости к данной поверхности в указанной точке будет иметь вид: z — 6 = — 4(x + 1) + 2(y — 2), то есть

4x — 2y + z + 2 = 0, а уравнение нормали, согласно (2):

Пример 3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к конусу

Решение. Имеем

Уравнение касательной плоскости запишем в виде

или .

Уравнение нормали имеет вид

Экстремум функции двух переменных

Пусть функция z = f(х, у) определена в некоторой области D и точка М₀(х₀, у₀) ÎD (внутренняя точка области).

Определение. Точка М₀(х₀, у₀) называется точкой максимума(минимума) функции z = f(х, у), если в достаточно малой d-окрестности точки М₀ для каждой точки М(х, у) отличной от точки М₀(х₀, у₀), выполняется неравенство:

На рис.1 М₀ – точка максимума, а

точка М₁ – точка минимума функ-

ции z = f(х, у).

Значение функции в точке макси-

мума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции

называется её экстремумом.

Замечание. Согласно определению, точка экстремума функции является внутренней точкой области определения функции. Максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значения функции в точке М₀(х₀, у₀) сравниваются с её значениями в точках достаточно близких к М₀(х₀, у₀). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.